Sistema de Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e

alguns problemas relacionados a lugares geométricos.

No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se

sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P

consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um

ponto fixo e a um semi-eixo fixo.

O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , ), onde r é

denominado raio vetor, e o ângulo vetorial de P.

r = distância entre P e a origem

= medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.

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r

(r, )

O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas

representadas por (r, +2k ), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado

por (-r, +2k ), sendo K qualquer inteiro ímpar.

Transformações de Coordenadas

Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em

coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois

sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema

cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas.

Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e

coordenadas polares (r, ), temos:

i)

Observamos que:

cos = e sen =

2

ii)

cos = = e sen = =

Portanto,

x = r cos

y = r sen

3

Usando x = r cos e y = r sen , vem que:

x² = r²cos²

y² = r²sen²

x² + y² = r²

Portanto,

r = .

Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.

Gráficos com coordenadas polares

Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a

representação de equação de curvas.

O gráfico de F(r, ) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas

polares satisfazem a equação.

A equação é apresentada da seguinte forma:

r = f ( )

Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos:

1) Calcular os pontos máximos e / ou mínimos;

2) Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;

3) Verificar a simetria:

- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem.

- Se a equação não se altera ao substituirmos por – , ou seja, simetria em relação

o eixo polar.

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- Se a equação não se altera ao substituirmos por , ou seja, existe simetria em

relação o eixo .

O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:

- cos = cos(- ), cos = - cos( ) e cos = cos( )

- sen = - sen( ), sen = sen( ) e sen = sen( )

Equações de algumas curvas em coordenadas polares

- Equações de reta

Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma:

= k

Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto

sobre a reta.

*Paralelos ao eixo polar:

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r sen = a, a>0 r sen = a, a<0

Paralelos ao eixo

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a

0

A 0

a

A

b0 A 0 b A

r cos = b, b<0 r cos = b, b>0

- Circunferências

i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|;

ii) r = a cos : circunferência com centro na reta = 0, passando pelo pólo e raio ;

iii) r = a sen : circunferência com centro na reta = , passando pelo pólo e raio

.

7

r = 2 r = 3 cos r = -2 sen

-Limaçons

r = a + b sen ou r = a + b cos , n inteiro positivo, a 0 e b 0

Se |a|<|b| apresentam laço.

Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva.

r = 1+2 sen r = -3-2.2 cos r = -2-2 sen

- Rosáceas

r = asen ou r = acos , n iteiro positivo, a 0. Se n é par, o gráfico consiste

de 2n laços.

Se n é ímpar, o gráfico consiste de n laços. Observe que se n = 0 ou n = 1,

obtém-se equações de circunferências ou o pólo (caso r = asen(nt)).8

r = 2sen(3t) r = 2sen(4t)

- Lemniscatas

r² = acos(2 ) ou r² = asen(2 )

r² = -4cos r² = 4sen r² = 4cos r² = -4sen

- Espirais

i) r = a (espiral de Arquimedes);

ii) r = (espiral hiperbólica);

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iii) r = , a>0 (espiral logarítmica)

iv) r = a (espiral parabólica)

Exemplos de construção de Gráficos

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Exemplo 1 : Esboce o gráfico de r = 1+6/ para 0 .

Solução

A tabela seguinte mostra alguns valores escolhidos para entre 0 e e os valores de

r correspondentes:

0

r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Localizando os pontos polares (r, ) mostrados na tabela e conectando-os por meio

de uma curva contínua, obtém-se o gráfico desejado.

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Exemplo 2 : Esboce o gráfico de r = 3+3 cos para 0 .

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r

0 6

3

3

-

Área em coordenadas polares

Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada pela curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um setor circular de

raio r e ângulo-ao-centro , ou seja:

Área do setor circular =

Seja r = f( ) uma função contínua e não-negativa de , em que e

0< . Começamos por fazer uma partição regular de [ ] em n sub-

intervalos todos iguais, de comprimento = . Em seguida, escolhemos um

ponto qualquer , em que i = 1,...,n:

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Notemos que quanto maior for n e menor for , mais as regiões obtidas com

esta partição se assemelharão a setores circulares.

Portanto, se podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é

semelhante a área de um setor circular de raio f e ângulo-ao-centro , ou seja:

No limite, quando n e 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor exato da

área delimitada pela curva polar de equação r = f( ) no intervalo , valor

esse que pode ser calculado por meio da seguinte integral:

Exemplo 3 : Ache a área da região limitada pelo gráfico de r = 3+2cos

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Solução

A curva do exemplo 3 é chamada limaçon é uma curva fechada traçada

completamente quando percorre o intervalo [0, [ :

0

r 5 3 1 3 5

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Exercícios Propostos (Cálculo A – Seção 8.11)

Calcule a área limitada pela curva dada.

Solução

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Solução

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Solução

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Solução

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