Monografia Coordenadas Polares Todotodo (2)

COORDENADAS POLARES Y GRÁFICAS POLARESÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES

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http://sinmiedos.net/escuela-politecnica-nacional-epn/politecnica/


INDICEI. OBJETIVOS……………………………………………………………………………… 4II. MARCO TEORICO………………………………………………………………………. 51. SISTEMA DE COORDENADAS………………………………………………………… 52. INTEGRAL DEFINIDA……………………………………………………………………… 53. COORDENADAS POLARES…………………………………………….................... 6

3.1. Conversión de coordenadas polares………………………………………… 83.1.1. Relación entre polares y cartesianas………………………….. 83.1.2. Transformación de polares a rectangulares…….………….. 93.1.3. Transformación de rectangulares a polares……………….. 9

3.2. Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares ………………………. 103.2.1. Rectas………………………………………………………………………… 103.2.2. Circunferencias………………………………………………………….. 123.2.3. Caracoles…………………………………………………………………… 183.2.4. Rosas ………………………………………………………………………… 203.2.5. Lemniscatas ………………………………………………………………. 213.2.6. Espiral……………………………………………………………………….. 223.2.7. Cónicas……………………………………………………………………… 23

3.3. Pendiente y rectas tangentes………………………………………………….. 243.4. Áreas en coordenadas polares…………………………………………………. 26

3.4.1. Teorema 1………………………………………………………………. 273.4.2. Teorema 2……………………………………………………………….. 27

3.5. Punto de intersección de gráficas polares……………………………….. 284. Ejercicios resueltos……………………………………………………………………….. 285. Ejercicios propuestos……………………………………………………………………. 38

III. Conclusiones………………………………………………………………………………… 39IV. Bibliografía…………………………………………………………………………………… 40

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INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de nuestro curso se ha tratado diferentes problemas únicamente mediante el uso de coordenadas cartesianas. Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.

Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, teoremas, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.

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I. OBJETIVOSOBJETIVO GENERAL

Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones, trabajando con coordenadas polares.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Analizar las ventajas que trae el trabajo en coordenadas polares.2. Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y

viceversa.3. Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de

determinadas funciones.

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II.MARCO TEORICO

1.-SISTEMA DE COORDENADAS

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.Existen los siguientes tipos de sistemas:

Coordenadas cartesianas Coordenadas polares Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas Coordenadas curvilíneas generales Coordenadas curvilíneas ortogonales

2.-INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas, y las líneas verticales x=a y x=b

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http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa



Se presenta por:

∫ es el signo de integración a es el límite inferior de la integración b es el límite superior de la integración f(x) es el integrando o función a integrar dx es diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra.

3.-COORDENADAS POLARES

Es un sistema en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Para formar sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen) y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r,), como sigue:

r = distancia dirigida de O a P “coordenada radial” = ángulo dirigido “coordenada angular”, en sentido contrario del reloj desde el

eje polar hasta el segmento OP

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación

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Plano de coordenadas polares.



única. En coordenadas polares, no sucede así. Las coordenadas (r,) y (r, 2 +) representan el mismo punto.

A continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en el sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.

a (2,π3 ) , b (3 ,− π

6 ) c (3,11π

6 )

a)

b)

c)

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3.1- CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES O VICEVERSA.

tanθ=yx

cosθ=xr

⇒ x=r . cosθ

senθ=yr

⇒ y=r . senθ

r2=x2+ y2

3.1.1.-Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas Cuando utilizamos tanto el sistema de coordenadas polares como el cartesiano en un plano, colocamos los dos orígenes juntos y tomamos el rayo polar inicial como el eje x positivo. El rayo θ=π /2, r>0, entonces el eje y positivo. Entonces los dos sistemas de coordenadas están relacionados por las ecuaciones siguientes.Ecuaciones que relacionan coordenadas polares y cartesianas

x=rcosθ , y=rsenθ, x2+ y2=r2

Dadas las coordenadas polares r y θ, las primeras dos de estas ecuaciones determinan de manera única las coordenadas cartesianas x y y. Por otra parte, si se dan x y y, la tercera ecuación proporciona dos alternativas para r (una positiva y una negativa). Para cada alternativa existe un único θ=¿ que satisface las dos primeras ecuaciones, cada una de las cuales de una representación en coordenadas polares del punto cartesiano (x,y). Las otras

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tanθ=xy

θ=tan−1xy

θ=tan−11

√3=30 º

θ=π6


representaciones en coordenadas polares para el punto pueden determinarse a partir de estas dos.

Ejemplo ecuaciones equivalentes.

Coordenadas polares Equivalente cartesianarcosθ=2 x=2

r2 cosθsenθ=4 xy=4

r2 cos2 θ−r2 sen2 θ=1 x2− y2=1

r=1+2rcosθ y2−3 x2−4 x−1=0

r=1−cosθ x4+ y 4+2x2 y2+2x3+2x y2− y2=0

3.1.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES.

Dado el punto (r, ) = (2, )x = r.cos = 2cos = – 2 y y = r.sen = 2sen = 0

Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) = (– 2, 0)

Dado el punto (r, ) = (√3 , /6)

x=√3cos( π6 )=32 Y

y=√3 sen( π6 )=√3

2

Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) =

( 32

, √32 )

3.1.3.-TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES.

Dado el punto (x, y) = (√3 ,1 )

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r=√x2+ y2

r=√(√3 )2+(1 )2

r=√3+1=√4r=2



3.2.-GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico.

3.2.1.-RECTAS

3.2.1.1-RECTAS QUE ESTAN EN EL ORIGEN La ecuación cartesiana de una recta que pasa por el origen es: y=mx

Para transformar:

y=mx

rsenθ=mrcosθ

m= senθcosθ

tgθ=tgφ

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Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es: (r , θ )=(2 ,

π6 )



Por lo tanto Ө= Ҩ

3.2.1.2.-RECTAS QUE NO PASAN POR EL ORIGEN Y SE ENCUENTRAN A UNA DISTANCIA ¨d¨ DEL ORIGEN

Del triángulo observamos: cos (θ−φ)=dr

Por lo tanto la ecuación del lugar geométrico es: r=d

cos (θ−φ)

3.2.1.3.-CASOS ESPECIALES Para d ≥0

1.-Si φ=0 ° ; entonces la ecuación que se obtiene es: r=d

cosθ

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Despejando tenemos:rcosθ=d →x=d

2.- Si φ=π2 ; la ecuación resultante es:

r= d

cos (θ−π2)= d

cosθcosπ2+senθsen

π2

= dsenθ

3.- Si φ=π ; la ecuación es:

r= dcos (θ−π )

= dcosθcosπ+senθsenπ

= d−cosθ

Por lo tanto: Es una recta vertical hacia la izquierda del eje de las ordenadas.

4.-Si φ=3π2 ; entonces la ecuación resultante es:

r= d

cos (θ−3π2

)= d

cosθcos3 π2

+senθsen3 π2

= d−senθ

Por lo que: Es una recta horizontal bajo el eje de las abscisas

NOTA: si d≤0 cumplen con los parámetros anteriores pero su gráfica será al lado contrario.

3.2.2.-CIRCUNFERENCIAS

3.2.2.1.-CIRCUNFERNCIAS CON CENTRO EN EL ORIGEN

La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x2+ y2=a2

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Al aplicar sus respectivas transformaciones resulta:x2+ y2=a2

(rcosθ)2+(rsenθ)2=a2

r2 cos2 θ+r2 sen2θ=a2

r2(cos2θ+sen2θ)=a2

r2=a2

Entonces: r = a

3.2.2.2.-CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL PUNTO (a ,φ) Y QUE PASAN POR EL ORIGEN

Al aplicar ley de cosenos y despejando obtenemos:a2=r2+a2−2arcos(θ−φ)

r2=2arcos (θ−φ)Entonces: r=2acos(θ−φ)

3.2.2.3.-CASOS ESPECIALES

1.- Si φ=0 °; tenemos la ecuación r=2acos (θ−0 )=2acos (θ)La transformamos en su ecuación cartesiana de la siguiente manera:

r=2acos(θ)

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r=2axr

r2=2axx2+ y2=2ax

(x2−2ax+a2)+ y2=0+a2

(x−a)2+ y2=a2

Por lo tanto observamos que es una circunferencia con centro en el punto (a, 0) y con r=a

2.- Si φ=π tenemos r=2acos (θ−π )=−2acosθ

Es una circunferencia con centro en el punto (-a, 0) y con r=a

3.- Si φ=π2 tenemos r=2acos(θ−π

2 )=2asenθ

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Es una circunferencia con centro en el punto (0, a) y con r=a

4.- Si φ=3π2 entonces tenemos r=2acos(θ−3π

2 )=−2asenθ

Es una circunferencia con centro en el punto (0,-a) y con r=a

Ejemplos.-Describir la gráfica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.

a) r = 2

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La gráfica de la ecuación polar r=2 está formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la gráfica es una circunferencia de radio 2 centrada en el

origen, podemos confirmarlo usando la relación r2

= x2

+ y2

para obtener la ecuación

rectangular : x2

+ y2

= 22

b) θ = π3

La gráfica de la ecuación polar θ = π /3 contiene todos los puntos de la semirrecta radial que forma un ángulo de π /3 con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la

relación tg = θ=x / y para obtener la ecuación rectangular.

y = √3 x Ecuación rectangular.

c) r = secθ

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La gráfica de la ecuación polar r = secθ no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relación rcos θ = x.

r = secθ Ecuación polar r cos θ = 1 x = 1 Ecuación rectangular Deducimos que la gráfica es una recta vertical.

Resumen de ecuaciones polares de rectas y circunferencias C, a y b son constantes

θ=C Recta que contiene al polo; forma un ángulo de C radianes con el eje polar.

rsenθ=b Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b >0; debajo del eje polar si b<0.

rcosθ=a Recta paralela al eje 12

π, a la derecha del

eje 12

π si a>0; a la izquierda del eje 12

π

si a<0.r=C Circunferencia; centro en el polo; radio C.

r=2acosθ Circunferencia; radio |a|; tangente al eje 12

π; centro en el eje polar o en su

prolongación.r=2b senθ Circunferencia; radio|b|; tangente al eje

polar; centro en el eje 12

π o en su

prolongación.

Antes de discutir otras graficas polares, se establecerán los siguientes criterios de simetría, los cuales pueden demostrarse a partir de la definición de simetría de una gráfica.

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Criterios de simetríaUna gráfica es:

1. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ) se sustituye por (r, -θ) o (-r, π-θ).

2. Simétrica con respecto al eje 12

π si se obtiene una ecuación equivalente

cuando (r, θ) se sustituye por (r, π-θ) o (-r,-θ).3. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando

(r, θ) se sustituye por (-r, θ) o (r, π+θ).

Teorema:La grafica de ecuación polar r=f (θ) está definida por las ecuaciones paramétricas: x=f (t)cos (t) Y y=f (t )sen(t )

Demostración:Sea (x, y) la representación cartesiana de un punto P cuya representación polar es (r,θ). Entonces

x=r cos (θ)Y y=r sen(θ)

Como r=f (θ) ,se tiene x=f (θ)cos(θ)Y y=f (θ ) sen (θ)

Al sustituir θpor t de modo que el parámetro sea t, se tiene x=f (t)cos (t)Y y=f (t )sen(t )

3.2.3.-CARACOLES

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Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r=a±cosθ o de la forma r=a±bsenθ

Tipos de CaracolesDe la ecuación r=a+bcos (Ѳ) ,donde a >0 y b>0

1. 0< ab<1 Caracol con lazo.

2.ab=1 Cardioide (forma de corazón).

3. 1< ab<2 Caracol con hendidura.

4. 2≤ab

Caracol convexo (sin hendidura).

1. CARACOL CON LAZO

2. CARDIOIDE

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3. CARACOL CON HENDIDURA

4. CARACOL CONVEXO

A partir de la ecuación de un caracol, también se puede determinar su simetría, y la dirección en la que apunta.

Simetría y dirección de un caracolSi a>0 yb>0

r=a+bcosθ Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la derecha.

r=a−bcosθ Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la izquierda.

r=a+bsenθ Simetría con respecto al eje 12

π ; apunta

hacia arriba.

r=a−bsenθ Simetría con respecto al eje 12

π ; apunta

hacia abajo.

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3.2.4.-ROSAS

Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma r=acos (nθ ) or=a sen(nθ), para n>1 n∈N .

De aquí consideramos 2 casos:

1. Si n es PAR es una rosa de 2n pétalos.

2. Si n es IMPAR es una rosa de n pétalos.

3.2.5.-LEMNISCATASTienen ecuación polar de la forma r2=acos2θ o de la forma r2=asen2θ

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3.2.6.-ESPIRAL

Consideremos de 2 tipos:

1. ESPIRAL DE AQRUIMIDES

Son ecuaciones de la forma r=aθ

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2. ESPIRAL LOGARITMICA

Son de la forma r=aebθ

3.2.7.-CÓNICAS.

Tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo.

Obsérvese en la figura.

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Se define a la parábola (e=), a la elipse (0<e<1) y a la hipérbola (e>1) como el conjunto de puntos del plano tales que:

d ( P ,F )=ed (P ,l)

Entonces:( P ,F )=ed (P , l )

r=e [d−rcos (θ−∅ ) ]r=ed−ercos (θ−∅ )r+ercos (θ−∅ )=ed

r [1+ecos (θ−∅ ) ]=ed

r= ed1+ecos (θ−∅ )

Casos especiales son:

1. Si ф=0 tenemos r= ed

1+ecos (θ)2. Si ф=π tenemos

r= ed1−ecos (θ)

3. Si ф=π /2 tenemos r= ed

1+esen (θ)4. Si ф=3 π /2 tenemos

r= ed1−esen(θ)

3.3.-PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES

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TEOREMA:Si m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de r=f (θ) en el punto (r,Ө) entonces

m=senθ

drdθ

+rcosθ

cosθdrdθ

−rsenθ

Demostración:Del teorema, la gráfica de r=f (θ) está definida por las ecuaciones paramétricas:

x=f (Ѳ)cos Ѳ Y y=f (Ѳ ) senѲ

En donde Ѳ es el parámetro. Si f es una función derivable de Ѳ, se sabe que:

dydx

=

dydѲdxdѲ

=f ´ (Ѳ ) senѲ+f (Ѳ ) cosѲ

f ´ (Ѳ ) cosѲ+f (Ѳ )(−senѲ)

Al sustituir dy /dxpor m, f (Ѳ ) por r y f ´ (Ѳ ) por dr /dѲ, se obtiene:

m=senθ

drdθ

+rcosθ

cosθdrdθ

−rsenθ

A partir de este teorema podemos hacer las siguientes observaciones.

1. Las soluciones de

dydθ =0 conducen a tangentes horizontales siempre que

dxdθ

≠0

2. las soluciones de

dxdθ

=0conducen a tangentes verticales, siempre

dydθ

≠0

EJEMPLO:

Hallar las tangentes horizontales y verticales de r =senθ ,0¿θ≤π

Primero escribimos la ecuación en forma paramétrica

X = r cos θ =sen θ cosθ e y = r sen θ = senθ sen θ = sen2 θ

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Luego derivamos x e y con respecto a θ e igualamos a 0 cada derivada.

dxdθ

=cos2θ−sen2θ=cos 2θ=0→θ=π4

,3π4

dydθ

=2 sen θ cosθ=sen2θ=0→θ=0 ,π2

Por tanto la siguiente grafica posee tangentes verticales en (√2

2, π

4 ) y

(√22,3 π

4 ), Y tangentes horizontales en (0,0) y (1,π

2 ).

Tangentes horizontales y verticales de r = sen θ .

3.4.-ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

El proceso que culmina en una fórmula para el área de una región polar es paralelo al del área en coordenadas cartesianas, pero utiliza sectores circulares en lugar de rectángulos como elementos básicos. Observemos, en la figura 9.47, que el área de un sector circular

de radio r viene dada por 12

θ r2, en el supuesto de que θ se ida en radianes.

Consideremos la ecuación r=f (θ ), con f continua y no negativa en el intervalo

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α ≤θ≤ β. La figura 9.48 muestra la región acotada por la gráfica y por las rectas radiales θ=α y θ=β. Para hallar el área de esta región, dividimos el intervalo [α , β ] en n subintervalos iguales.

α=θ0<θ1<θ2<…<θn−1<θn=β

Aproximamos el área de la región por la suma de las áreas de los n sectores.

Radio del i-ésimo sector ¿ f (θ i )

Angulo central del i-ésimo sector ¿β−α

n=∆θ

A≈∑i=1

n

( 12 )∆θ [ f (θi ) ]

2

Tomando el límite cuando n→∞ se obtiene

A=limn→∞

12∑i=1

n

[f (θi ) ]2∆θ

¿ 12∫α

β

[ f (θ i ) ]2dθ

3.4.1.- TEOREMA 1

Si f es continua y no negativa en el intervalo [α , β ], el área de la región limitada por la gráfica de r=f (θ ) y las rectas radiales θ=α y θ=β viene dada por

A=12∫α

β

[ f (θ ) ]2 dθ

¿ 12∫α

β

r2 dθ

Ejemplo 1Hallar el área de un pétalo de la rosa de ecuación r=3cos3θEn la figura 9.49 vemos que el pétalo de la derecha se

recorre cuando θ crece de −π

6 a

π6

. Así pues, el área es:

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A=12∫α

β

r2dθ=12∫−π

6

π6

(3 cos3θ )2dθ

¿ 92∫−π6

π6

1+cos6θ2

dθ

¿ 94 [θ+ sen6θ

2 ]−π6

π6 =9

4 ( π6

+ π6 )=3 π

4

3.4.2.-Teorema 2Para calcular el área de una región como la de la siguiente figura, comprendida entre dos curvas de ecuaciones polares r=r1(Ѳ) y r=r2(Ѳ) entre los rayos de ecuaciones θ =α y , θ = β simplemente restamos las áreas que encierran cada una de ellas en este sector. Entonces obtenemos la siguiente definición.

El área de la región limitada por la curvas de ecuaciones polares r=r1(Ѳ) y r=r2(Ѳ) y los rayos de ecuaciones θ =α y θ = β se define como la integral

12∫α

β

(r2cos (θ)2¿−r 1cos (θ )2)dѲ ¿

3.5.-PUNTO DE INTERSECCIÓN DE GRAFICAS POLARES

Dado que cada punto admite diversas representaciones en coordenadas polares, hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas en polares. Por ejemplo, consideremos los puntos de intersección de las gráficas de:

r=1−2 cosθ

r=1

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Si intentáramos, como hacemos con las ecuaciones rectangulares, hallar los puntos de intercesión resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente, obtendríamos:r=1−2 cosθ Primera ecuación

1=1−2cosθ Sustituir r=1 de la segunda ecuación en la primera

cosθ=0 Simplificar

θ=π2

,3π2 Despejar θ

Los correspondientes puntos de intersección son (1 ,π2 ) y (1 ,

3 π2 ). Sin embargo, en la

figura, se puede observar que existe un tercer punto de intercesión que no aparecía al resolver las ecuaciones simultáneamente. El motivo por el que no se encontró el tercer punto es que no aparece con las mismas coordenadas a las ambas gráficas. En la gráfica r=1, corresponde a las coordinas (1 , π ), mientras que en la de r=1−2 cosθ, sus coordenadas son (−1,0 ).

4.-Ejercicios resueltos

1. Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol r=1−2 sin θ.

En la figura 9.50 observamos que el lazo interior se recorre

cuando θ crece de π6

a 5π6

. Por lo tanto, el área limitada

por el lazo interior es:

A1=12∫π6

5 π6

(1−2sinθ )2dθ

¿ 12∫π6

5π6

(1−4sin θ+4 sin2 θ )dθ

¿ 12∫π6

5π6

[1−4 sinθ+4( 1−cos2θ2 )]dθ

¿ 12∫π6

5π6

(3−4sin θ−2cos 2θ )dθ

¿ 12

[ 3θ+4 cosθ−sin2θ ] π6

5π6

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¿ 12

(2π−3√3 )=π−3√32

De forma similar integrando de 5π6

a 13π

6 obtenemos que el área limitada por el lazo

exterior sea A2=2π+3 √32

. El área de la región comprendida entre ambos lazos es la

diferencia entre A2 y A1

A=A2−A1=(2 π+3 √32 )−(π−3√3

2 )=π+3√3≈8 .34

2. Calcular el área de la región interior a r=2+cos (θ)

30



3. Calcular el área de la región encerrada por r=4 sen(2θ)

4. Calcule el area de la región a las curvas:

r=sen (θ) y r=cos(θ)

31



5. Calcular el area de la región interior a las curvas

r=sen (2θ) y r=cos(2θ)

32



33



6. Hallar la ecuación que pase por el punto (4;30º) y forme un ángulo de 150º con el eje polar

r= dcos (θ−φ)

r=4 sin (60 º)

cos (θ−60 º )

r= 2√3cos (θ−60 º )

7. Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada

a. r=2 sen(3θ)r=2 sen(θ+2θ)→sen (θ+2θ )=sen (θ ) cos (2θ )+sen (2θ )cos (θ )=¿

¿ sen (θ ) (2 cos2 (θ )−1 )+2 sen (θ ) cos (θ )cos (θ )=¿¿

¿2 cos2 (θ ) sen (θ )−sen (θ )+2 cos2 (θ ) sen (θ )=¿

¿4 cos2 (θ ) sen (θ )−sen(θ)

→r=2(4cos2 (θ ) sen (θ )−sen (θ ))

como r=√x2+ y2; sen (θ )= y

√x2+ y2;cos (θ )= x

√x2+ y2

√ x2+ y2=8( x2

x2+ y2 )( y

√x2+ y2 )−2( y

√ x2+ y2 )x2+ y2=8 y ( x2

x2+ y2 )−2 y

(x¿¿2+ y2)2=8x2 y−2 y (x2+ y2)¿

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x4+2 x2 y2+ y4=8 x2 y−2x2 y−2 y3

x4+2 x2 y2+ y4−6 x2 y+2 y3=0

b. r= 43−2 cos (θ)


√x2+ y2;cos (θ )= x

√x2+ y2

→√x2+ y2= 4

3−2( x

√x2+ y2 )3√ x2+ y2−2x=4

√ x2+ y2=4+2 x3

x2+ y2=( 4+2 x3 )

2

9 x2+9 y2=16+16 x+4 x2

5 x2+9 y2−16 x−16=0

8. En los siguientes ejercicios describir y graficar las ecuaciones

c. r=2cos (4θ) Esta ecuación nos dice que su grafica es una rosa con 8 pétalos

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d. r=eθ3 Esta ecuación nos indica que su grafica será la de la espiral logarítmica

e. r2=−25 cos (2θ) Por la forma de esta ecuación sabemos que es una lemniscata

vertical

f. r=2θ Esto significa que la ecuación nos da la grafica de la espiral de Arquímedes

9. Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada

g. r2 cos (2θ )=10

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r2 (2 cos2 θ−1 )=10


√x2+ y2;cos (θ )= x

√x2+ y2

→ (x2+ y2 )(2( x2

x2+ y2 )−1)=10

2 x2−x2− y2=10

x2− y2=10

h. r2=4 cos (2θ)

r2=4 (2 cos2 θ−1)

(x2+ y2 )=8 ( x2

x2+ y2 )−4

(x¿¿2+ y2)2=8x2−4 (x2+ y2 )¿

(x¿¿2+ y2)2+4 (x2+ y2 )−8 x2=0¿

10. Trace las gráficas de las dos ecuaciones, e identifique gráficamente los puntos de intersección. Resuelva también analíticamente.

r=2 senθ

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Según el grafico el punto de intersección es (1,1) en coordenadas cartesianas

De las ecuaciones tenemos:

2cosθ=2 senθ

1= senθcosθ

tgθ=1

θ=π4

Reemplazamos Ѳ en las ecuaciones y obtenemos

r=2sinπ4

r=√2

r=1.4142

Entonces la intersección en coordenadas polares es (√2 ;π4

r ) y en coordenadas cartesianas es

(1,1) L.Q.Q.D.

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5.-EJERCICIOS PROPUESTOS

Pasar las siguientes ecuaciones a coordenadas polares

1. (x2+ y2)2=2a2 xy R. r2=a2 sen2θ

2. (x2+ y2)3=4 x2 y2 R. r2=sen22θ

3. (x2+ y2)3=16 x2 y2(x2− y2)2 R. r=±csc 4θ

Pasar las siguientes ecuaciones a coordenadas cartesianas4. r=1−cosθ R. (x2+ y2+ x)2=x2+ y2

5. r= 32+3 senθ

R. 4 x2−5 y2+18 y−9=0

6. r2=9 cos2θ R. (x2+ y2)2=9(x2− y2)

Calcular el área exacta de la región limitada por la grafica.

7. r=2cos 4θ R: 2π u2

8. Hallar el área dentro r=cosθ de y fuera de r=√3 senθ

R: 14(√3+ π

6) u2

9. Hallar el área dentro de r2=cos2θ y fuera de r2=sen2θ

R: √22

u2

10. a) Determine las coordenadas de todos los puntos de intersección del caracol r=1+4 cosθ y la circunferencia r=1

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b) Calcule el área de la región dentro del caracol y fuera de la circunferencia

R: a) (1±12

π );(−1±23

π ) b) ( 83

π−2√3) u2

III. CONCLUSIONES Podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas

polares que pueden ser identificadas y reconocidas mediante una ecuación particular.

Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras.

En el trabajo elaborado hemos tratado de realizar ejemplos que permitan la comprensión de aquellas personas que lean este documento.

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http://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtml

http://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/index.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/



IV. BIBLIOGRAFÍA Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press. ©1994 Thomas, George. Cálculo Varias Variables. Undécima Edición. Pearson Addison

Wesley Educación. ©2005 Villena Muñoz. Matemática básica para economía e ingeniería comercial. ESPOL -

CENTRO DIFUSIÓN Y PUBLICACIONES. 2005 Larson R., Hostetler R., Edwars B., Cálculo y Geometría Analítica. Volumen I y II,

quinta edición, McGraw-Hill, Madrid 1995. Joshep h. Kindle. Geometría Analítica SCHAUM. McGraw-Hill,2009. Demidovich, B., Problemas y ejercicios de análisis matemático. MIR, Moscú, 1980. Granville Smith Mikesh., Trigonometría plana y esférica ,. Tercera edición.

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http://www.monografias.com/Educacion/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES

http://www.monografias.com/trabajos901/nuevas-tecnologias-edicion-montaje/nuevas-tecnologias-edicion-montaje.shtml


Monografia Coordenadas Polares Todotodo (2)

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