INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 15

Significado referencial y perSonal de nocioneS algebraicaS en educación Secundaria.

el caSo del número áureo

joséantoniocajaravillepegitoUniversidadedesantiagodecompostela(españa)

tâniac.rochasilvagusmãoUniversidadeestadualdosudoestedaBahia(Brasil)

FranciscoM.rodríguezMayoi.e.s.M.a.gonzálezestévez.carril-pontevedra(españa)

RESUMEN eneste trabajo,enmarcadoenelproyectode investigación“Problemática didáctica del estudio del álgebra en educación secundaria”1, presentamos un estudio sobre el significado de referencia y elsignificadopersonal,atribuidoalnúmeroáureo,φ,respectivamenteporunlibrodetextodematemá-ticasde1ºdebachilleratoyporestudiantesdesecundariaydela licenciaturadematemáticasenlaUniversidad de santiago de compostela (Usc). el análisis del contraste de ambos significados, serealizautilizandolasherramientasteóricasdelenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemática(eos).Palabras clave:Didácticade laMatemática,significadoreferencialypersonal,estudiodelálgebra,configuracionesepistémicaycognitiva.

ABSTRACT inthispaper,framedintheresearchproject“educationalproblemsofthestudyofalgebrainsecondaryeducation”,wepresentastudyofthereferencemeaningandthepersonalmeaningattributedtothegoldenratio,φ,respectivelybyatextbookofsecondarymathematicseduca-tionandhighschoolstudentsandundergraduatemathematicsattheUniversityofsantiagodecompostela(Usc).theanalysisofthecontrastofthetwomeanings,isperformedusingthe theoretical tools of onto-semiotic approachofmathematical cognition and instruction(eos).Keywords:Mathematicseducation,referentialandpersonalmeaning,studyofalgebra,epis-temicandcognitiveconfigurations.

Recibido: 10/XI/09. Aceptado: II/20101 proyectosubvencionadoporelMcyt-FeDer:sej2004-07346,Ministeriodecienciaytecnología,plan

nacionaldeinvestigacióncientífica.Desarrolloeinnovacióntecnológica.Madrid. investigadorprincipal:joséa.cajaravillepegito.investigadores:luiscachafeirochamosa,teresaFer-

nándezBlanco,patriciaFerrojove,tania,c.r.s.gusmão,HumbertogusmãodeMoura,pedroa.labra-ñaBarrero,auroraplatacasais,ManuelrodriguezMayo,juliorodrígueztaboadayMªjesússalinasportugal.

16 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

1. IntroduccIón

siel reconocimientodeφ,comonúmero, fueproblemáticopara losgrandesmatemáticosgriegosenfrentadosalproblemadelcálculodelarazónentreelladoyladiagonaldelpentágonoregular,porsucarácterirracional,resultaverosímilquetambiénplanteedificultadesdesignificadoparalosestudiantesdeenseñanzasecundaria.

esnecesario,portanto,elestudiodedichaproblemática.paraellodebemospresentaralgu-nasnocionescentralesparaladidácticadelamatemática,comosonlasdesignificadoreferencialypersonaldeunobjetomatemático,delasquesóloharemosunabrevereferencia,dentrodelmarcoteóricoconocidocomoenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemáticas(eos).

posteriormente,tomandocomoreferenciaellibrodetextodeMatemáticas(colera,garcía,gazteluyoliveira,2002)paraelnivelde1ºcursodebachillerato,opcióndecienciassociales,paralacomunidadautónomadegalicia(encuyoscentrosescolaresdichotextogozadeampliaimplan-tación)analizaremoselsignificadoreferencialdelnúmero áureo,queestosautorespresentandentrodelaunidadtemática“númerosreales”,ylaproblemáticadidácticaquepuededesencadenardichosignificadodecaraalacomprensión,porpartedelosestudiantesdeestenivel(einclusodeniveluniversitario),queestudianesteobjetomatemático,apartirdelainformaciónquelesofrecedichotexto.Mostramoslosconflictossemiótico/cognitivosquesederivandedichoestudio,atravésdelanociónde“dualidadexpresión/contenido”,queconsideralasdisparidadesentrelaexpresiónqueponeenjuegounemisor(profesor,texto,etc.)yelcontenidoqueinterpretaelreceptor(estudiante,lector,etc.)quequieredecirelemisor.

2. nocIones teórIcAs

2.1. Algunos estudios sobre dificultades de aprendizaje de nociones algebraicas

comoseseñalaenelDiseñocurricularBasedelMinisteriodeeducaciónycienciaespañol(1989)elaprendizajedelálgebraresultaunescolloimportanteparaunbuennúmerodealumnos,debido—entreotrascosas—almayorgradodeabstracciónquerequierelautilizacióndesímbolos—significantes—,amenudosinsignificadoinmediato.lasinvestigacionessobrepensamientoalge-braicosecircunscribenadiferentesmarcosteóricosentrelosquedestacamos:

a)elmarcodelapsicologíacognitiva,bajoelqueseidentificanlosfactoresqueinfluyensobrelaenseñanza-aprendizajedelálgebra,queponendemanifiestolasconsecuenciaslimitativasdeconsiderarelálgebracomoaritméticageneralizada(KieranyFilloy,1989;Kieran,1992),pres-cindiendodesupotencialcomomodelodeorganizacióndeotrasobrasmatemáticas(Bolea,Boschygascón,2001).

b)elenfoquelingüístico,queconsideraallenguajealgebraicocomoellenguajebásicodelasmatemáticas,centrandoelinterésenelestudiodelossistemasderepresentaciónsemióticos(Kaput,1987;janvier,1987;Duval,1993)queconstatanlanecesidaddeaceptarquelaapropiacióndeunobjetomatemáticodifícilmenteselograsinlaadquisicióndediversasrepresentacionessemióticasdelmismo.

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c) el enfoque antropológico y ontosemiótico (chevallard, Bosch y gascón, 1997; Bolea,Boschygascón,2001;godinoyBatanero,1994;godino,2002),que,adoptandounpuntodevistapragmático,centransuatenciónenelanálisisdelsignificadode losobjetosmatemáticos tantoanivelpersonalcomoinstitucional,estudiandolosfenómenosderivadosdelatransposicióndidácti-caescolartratandodeintegrarlosaspectossintácticos,semánticos,pragmáticosysocioculturales.comoproblemasespecíficosdelprocesodeenseñanza-aprendizajedelálgebraseidentifican:

• Dificultades asociadas a los procesos de evolución del pensamiento algebraico en losestudiantes,queprovocanquelosconocimientosadquiridos,enunadeterminadaetapa,se conviertan enmodelos implícitos inadecuadospara la adquisicióndenuevos cono-cimientos.estooriginaobstáculosepistemológicosydidácticos(Brousseau,1983)queconstituyenunafuentedeerroressistemáticosypersistentesquedebensuperarseparalograrnuevosaprendizajes.

• seidentificantresgruposdeerrores(palareaysocas,1994):a)losqueseoriginanporlaexistenciadeobstáculoscognitivos;b)loserroresdelálgebraquesederivandeerroresprocedentesdelestudiodelaaritméticayc)losdebidosalascaracterísticaspropiasdellenguajealgebraico.socas(1997),identifica,asimismo,tresgruposdeerroresquetienensuorigenen:a)unobstáculocognitivo;b)ausenciadesentidodelossistemasderepre-sentación;yc)actitudesafectivasyemocionales.

2.2. El Enfoque Ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS)

elanálisisdidácticodesignificadosdenocionesmatemáticas,constituyeelnúcleodelmarcoteóricoconocidoporenfoqueontosemióticodelacognicióneinstrucciónmatemáticas(eos).esteprogramadeinvestigaciónvienesiendodesarrolladoporgodinoycolaboradores,desdehacemásdeunadécada,(godinoyBatanero,1994;godino,2002;godino,Bataneroyroa,2005;Font,2005;godino,BataneroyFont,2006,godinoyFont,2004,2007).proponeunanálisisdelanociónde“significado”desdeunpuntodevistadidáctico,dirigido,entreotrascosas,aapoyarlosestudiosso-brelaevaluacióndelosconocimientosmatemáticos.paraesteanálisis,elmodeloteóricodesarrolla-dosebasaenlossupuestospragmáticosdelsignificadodelosobjetosmatemáticosdesdeunatripleperspectiva:institucional,personalytemporal.porsignificado deunobjetomatemático(lenguaje, problema, concepto, propiedad, procedimiento, argumento),entendemos,deacuerdocongodinoyBatanero(1994,pág.332),“elsistemadeprácticasoperativasydiscursivasqueunsujeto(personaoinstitución)realizanpararesolvercamposdeproblemasdeloscualesemergedichoobjetomatemá-tico,comunicaraotroslasolución,validarlaygeneralizarlaaotroscontextosyproblemas”.estossistemasdeprácticasconstituyenelobjetobásicoparadeanálisis(godino,2002).enesaperspecti-va,eleosconsideraque,paralarealizacióndecualquierprácticamatemática,esnecesarioactivarunconglomeradodeobjetosformadoporalgunosotodosloselementoscitados. esteconglomeradosedenominaconfiguración. estasconfiguracionespuedensercognitivas(conglomeradodeobjetospersonales)oepistémicas(conglomeradodeobjetosinstitucionales)segúnseconsiderelaprácticadesdelaperspectivapersonaloinstitucional(godino,2002,godinoyFont,2007).

godinoyFont(2007,p.2)distinguenentrediversostiposdesignificado:

18 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

• tiposdesignificadosinstitucionales:– Referencial:sistemadeprácticasqueseusacomoreferenciaparaelaborarelsigni-

ficadopretendido.enuna institucióndeenseñanzaconcretaestesignificadodere-ferenciaseráunapartedelsignificadoholístico (o“sabio”)delobjetomatemático.ladeterminacióndedichosignificadoglobal requiere realizarunestudiohistórico–epistemológicosobreelorigenyevolucióndelobjetoencuestión,asícomotenerencuentaladiversidaddecontextosdeusodondeseponeenjuegodichoobjeto.

– Pretendido:sistemadeprácticasincluidasenlaplanificacióndelprocesodeestudio.– Implementado:enunprocesodeestudioespecíficoeselsistemadeprácticasefectiva-

menteimplementadasporeldocente.– Evaluado: elsubsistemadeprácticasqueutilizaeldocenteparaevaluarlosaprendi-

zajes.

• tiposdesignificadospersonales:– Global:correspondealatotalidaddelsistemadeprácticaspersonalesqueescapazde

manifestarpotencialmenteelsujetorelativasaunobjetomatemático.– Declarado: da cuentade las prácticas efectivamente expresadas a propósitode las

pruebasdeevaluaciónpropuestas,incluyendotantolascorrectascomolasincorrectasdesdeelpuntodevistainstitucional.

– Logrado:correspondealasprácticasmanifestadasquesonconformesconlapautainstitucionalestablecida.enelanálisisdelcambiodelossignificadospersonalesquetienelugarenunprocesodeestudiointeresarátenerencuentalossignificadosinicia-lesopreviosdelosestudiantesylosquefinalmentealcancen”.

porotrapartediremosqueunapersona“comprende”undeterminadoobjetomatemáticosiha“captadosusignificado”,esdecir,siescapazdeinterpretary/orealizarlasprácticasadecuadaspararesolverlosproblemasasociadosadichoobjeto.lanocióndecomprensiónesevolutivaeneltiempo.enunmomentodadounapersonaposeeunacomprensiónmásomenosparcialdeunde-terminadoobjetomatemático,peroesmuydifícilquenocomprendanadaolocomprendatodoenrelacióncondichoobjeto.lainstituciónescolartienecomounodesusobjetivosnuclearesacercar,paulatinamente, el significadoqueundeterminadoestudianteposeedeunobjetomatemático, alsignificadoquedichoobjetotieneparala“matemáticasabia”,esdecir,paralacomunidaddelosmatemáticos.paraintentarlograresteobjetivo,lainstituciónescolar(escuelainfantil,primariayse-cundaria,universidad)poneenjuegounaseriededispositivosqueseconcretanenloquellamamosprocesodeinstrucción.enesteprocesoentranenjuegomuchoselementosqueinteraccionanentresí,configurandounambientedeestudiosocialmentecompartido:curriculum,profesor(a),estudian-tes,librosdetexto,nuevastecnologías,etc.

loslibrosdetextoconstituyenunelementoimportanteenelprocesodeestudio,puespre-sentanelsignificadoreferencialescolardeunconjuntodeconocimientos,socialmentedemandadosparalaformacióndesusciudadanos.lamaneraconcretadepresentarlosconocimientosaaprender,suidoneidadcognitivaydidáctica,puedenfavorecerodificultarelaprendizajedelosestudiantes.

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3. sIgnIfIcAdo referencIAl (escolAr) del número áureo

enesteapartadovamosaanalizar,alaluzdeleos,elsignificadoreferencialquesobreelnúmeroáureo(objetodenuestrointerés)plasmaellibrodetextodeMatemáticasi(colera,garcía,gazteluyoliveira,2002),citadoanteriormente.trasunabrevepresentacióndelaunidad“númerosreais”:

Figura1

planteaninmediatamente,allector,lasiguientetarea,aresolverporlosestudiantes:

20 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

Figuras2-3

Dospáginasmásadelante,eltextopresentaunainformaciónsobreunapropiedadgeométricadelnúmeroáureo,cuyainterpretaciónconsidera“transparente”paradichosestudiantes:

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Figura4 a continuación vamos a realizar un análisis de este texto,siguiendo el modelo onto-semiótico de godino (2002). en estapresentacióndelsignificadoreferencialdelnúmeroáureo,seenco-miendanalestudiantecinco tareas:

a)Demostrar lasemejanzadedos triángulos,con lasuge-renciadeque“bastaconprobarquetienendosángulosrespectivosiguales”;

b)Construir el modelo matemático de la relación entre lalongituddeladiagonaldelpentágonoylalongituddesulado(to-madacomounidaddelongitud),utilizandolasemejanzaanterior,

c)obtenerelvalordel(acontinuaciónfigurauntextoqueparecenoenlazarconestatarea.

Dehechosehabladeunarelaciónquesesimbolizaporφ =,queeselvalorobtenidopara

l,alresolverlatarea,esdecir,secometeunabusodelenguajequeidentificaal conφ(cambiodesímboloderepresentación,quelosautoresconsideran“transparente”)

d)Demostrarque,enelrectánguloáureo,=φ

e)Probarque,enlaconstrucción,BD=φvamosaevidenciarlacomplejidadepistemológicaysemiótica(onto-semiótica)delapro-

puestadellibrodetexto,paramostrarlashipotéticasdificultadesdeinterpretacióndelsignificadoreferencialporpartedelosestudiantesdeesteniveleducativo(conflictosderivadosdeladualidad“expresión/contenido”).

3.1. Resolución de la tarea a) por un experto

laposicióndelostriángulosBDeyBcF“noesdethales”.siseaceptalasugerenciaquesedaeneltexto,existenvariasformasdeprobarqueambostriángulostienendosángulosrespecti-vamenteiguales.consideraremosaquídosmodelosdeprueba.

Prueba 1:comoaBesparaleloaec,elánguloBdeltriánguloBDaesigualalánguloFdeBcF(alternosinternosentreparalelas),peroeltriánguloBDaesigualalBDe,porconstrucción,asíqueelánguloBanterioresigualalánguloedeBDe,portanto E °=F°;asuvez,elángulocdeBcFeselmismoángulodeBce.comolostriángulosBceyBDesoniguales,porconstrucción,sededucequeC°=D°.

Prueba 2.enelinteriordelpolígonoestrelladoseformaunpentágonoregular,suángulocentrales360/5=72º,elángulo interioressusuplementario180-72=108º.asíque(verfigurasiguiente)lasdiagonalestrazadasenelpentágonoregular trisecan cada ángulointeriordedichopentágono.losángulosdelafiguraE, D, FyC,valentodos72º.portantohemosdemostradodedosformasdistintasquelostriángulosBDEyBCFsonsemejantesportenersusángulosrespectivosiguales.

Unresolutorexperto,pararesolverestatarea,eligiendoporejemplolaformadeprueba2—que consideramos más potente, explicativamente— ha tenido que llevar a cabo las siguientesacciones:

1+√52

ABAD

22 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

a)leercondetenimientolainformacióntextualygráficaqueseleofreceeneltexto;b)diseñarunafiguraparaestablecerrelacionesentreángulos;c)calcularelángulointeriordelpen-tágono regular mediante la operación 360/5 = 72º; d) deducirqueelángulointerior(I)delpentágonoysuángulocentralsonsuplementariospuestoque72+I/2+I/2=180º;72+I=180º,y,por tanto dicho ángulo interior vale 180-72 = 108º; e) puestoquelosángulosinterioryexteriorsonsuplementarios(porcons-trucción),deducirqueelánguloexteriorvale72ºy,portanto,elánguloformadopordosdiagonalesdelpentágonoestrelladoqueconfluyenenunmismovértice(p.e.ena)esde36º;f)deducirquelosotrosdosángulosqueseformanena,valen,cadauno,36º,yaqueeneltriánguloisóscelesagB,elángulogvale108º

porseropuestoporelvérticealángulointeriordelpentágonoregular;g)deducir,enconsecuenciaquelasdiagonalesdelpentágonoestrelladoqueconfluyenenunmismovérticetrisecanelángulointeriordelpentágonoregular;h)deducirque,debidoalapropiedadanteriorlosánguloseyDdeltriánguloBDeyelcdeltriánguloBcFvalen72º,yqueelánguloFdeltriánguloBcFtambiénvale72º,porsersuplementariodelángulointeriordelpentágonoregular;k)argumentar,finalmente,quepuestoquelostriángulosBDeyBcFtienendosángulosrespectivosiguales,tambiéntendránigualelterceroy,portanto,tienentodoslosángulosrespectivosiguales,loquedemuestralasemejanzadeestosdostriángulos.

ladiversidaddetécnicasquesemanejanpararealizarlasaccionesquesehandescritopararesolver la tarea,asícomosuplanificación,secuenciaciónyverificación,ponendemanifiesto lacomplejidad onto-semánticadeestatarea.postulamosqueunestudiantemediodeesteniveleduca-tivotendráseriasdificultadespararesolverestatareaporsísolo,sinmásayudasquelasfacilitadaseneltexto.

3.1.1. Configuración epistémica (ideal) de la tarea a)

enesteapartado,ya títulodeejemplo,vamosarealizar,elanálisisdelosconocimientos(tiposdeobjetosyrelacionesentrelosmismos)puestosenjuegoenlaresolucióndeunatareaporunsujetoideal(experto).enelmarcodeleosestoequivaleaelaborarlaconfiguración epistémicaasociadaalaresolucióndedichatarea.

lacomparaciónentrelossignificadosatribuidosalosobjetosmatemáticospordeterminadasinstituciones(escolares,sociales)oporunapersonayunreferenteinstitucional(“matemáticasa-bia”)nospermiteidentificarconflictos semióticos entredichosagentes.Dichosconflictosserefierenatodadisparidadodesajusteentrelossignificadosatribuidosaunamismaexpresiónpordossujetos(personasoinstituciones)eninteraccióncomunicativaypuedenexplicarlasdificultadesylimitacio-nesdelosaprendizajesylasenseñanzasimplementadas.laconfiguraciónepistémicaseusarácomoreferencia para estudiar las configuraciones cognitivas de los sujetos y formular hipótesis sobreconflictossemióticospotenciales.

seidentificanlosobjetosyrelacionesprimarias(lenguajes,conceptos,proposiciones,proce-dimientosyargumentospuestosenjuego),loquepodemosdescribircomounanálisissemántico.

Figura5

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Tabla I

LENGUAJE:

Términos y expresiones:relaciónentre ladiagonalyellado de un pentágono regular,demostrar que los triángulosBeD y BcF son semejantes,es suficiente con probar quetienendosángulosrespectivosiguales.

Gráficos:Dibujodeunpentágonoregularytrazadodesusdiagonales.

Notaciones: ABCDE, para representar elpentágono regulardevértices:A,B,C,D,E.

F para denotar un vértice quepermitaidentificaruntriángulodeterminado.

BCF y BDE, para identificardostriángulosobjetivodecom-paración.

SITUACIONES/ PROBLEMAS:Situación inicial:1.paraestablecerlarelaciónentreladiagonalyelladodelpentágonoregular,dalossiguientespasos:a)DemuestraquelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes.

(para esto es suficiente probar que tienen dosángulosrespectivamenteiguales)

E

x

p

r

e

s

a

A

y

u

d

a

Motivan Resuelven

CONCEPTOS/ DEFINICIONES:Conceptos previos:pentágono regular, diagonal, lado, pentágono estrellado, relación, triángulo, semejanza de triángulos,ángulosrespectivos,igualdaddeángulos,ángulosopuestosporelvértice,ángulocentral,ángulointerioryánguloexteriordeunpolígonoregular,ángulossuplementarios.

Conceptos emergentesDemostrar,probar,condiciónsuficiente.

PROPIEDADES/ PROPOSICIONES:1. en un pentágono regular, la amplitud del ángulo central de es de 72º (360/5). su ángulo interior essuplementariodel centralymide,por tanto,108º.laamplitudde suánguloexterior es igual a lade suángulocentral.2.enunpentágonoregular,lasdiagonalesqueconfluyenenunmísmovértice,trisecanelángulointeriordelpentágono.3.losángulosopuestosporelvérticetienenigualamplitud.

PROCEDIMIENTOS: 1.partiendodelgráficodelasituación,construirotrográficoparaestudiarlasmedidasdelosángulosqueseformanenunpentágonoestrellado.2.calcularlamedidadelángulocentraldeunpentágonoregular:(360/5)=72º3.calcularlamedidadelángulointeriormediantelaobservacióndeque:72+I=180º,I=108º.4.calcularlamedidadelánguloexterior:72º5.observarque,lostresángulosqueseformanenasonigualesymiden36º6.Determinarque,enconsecuencia,losángulose,D,cyF,miden72ºy,portanto,soniguales,loquepruebalasemejanzadelostriángulosBDeyBcF.

Justifican

ARGUMENTOS:a)apartirdelgráficodelasituación,sededucequeelángulocentraldelpentágonoregularmide360/5=72º,yaqueseforman5ángulosigualescuyasumavale360º.b)elángulointerior(I)delpentágonoysuángulocentralsonsuplementariosyaque72+I/2+I/2=180º;72+I=180.c)losángulosinterioryexteriorson,porconstrucción,suplementarios.elánguloexteriordelpentágonoregularmide,entonces,72º.d)elánguloqueformanlasdiagonalesqueconfluyenenunvérticedelpentágonoregular,mide36º,yaqueeselángulodeuntriánguloisóscelescuyosotrosdosángulosigualesmiden72º.asíqueestasdiagonalestrisecanelángulointeriordelpentágono.f)porlapropiedadanterior,losángulose,D,cyFmiden72ºy,portanto,soniguales.g)sedemuestraasíque los triángulosBDeyBcFsonsemejantes,pues tienendosángulos respectivosiguales.

24 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

acontinuaciónmostramoscómounsujetoideal(experto)resolveríaelrestodelastareas:

3.2. Resolución de la tarea b)

laresolucióndeestatareaseapoyaengranmedidaenlapruebaanterior:silostriángulosBDeyBcFsonsemejantes,entoncessusladosrespectivossonproporcionales.si,comoseproponeeneltexto,elegimoscomounidaddelongitudladelladodelpentágonoregular,llamamoslalalongituddelladodelpentágonoestrellado,yconstruimoslafiguraquesigue:

Figura6

laigualdadentrelasrazonesdeloslados“largos”y“cortos”respectivamentedeambostriángulosnosllevaalaecuación—propuestaeneltexto—

queseríaelmodelomatemáticodelarelaciónentreelladodelpentágonoestrelladoyeldelpen-tágono regular generatriz.Un resolutor experto, para resolver esta tarea, tendría que realizar lassiguientesacciones:a)leerelenunciadodelamisma;b)construirunafigura(comolaanterior,p.e.)quepermitaidentificarlaslongitudesdelosladosarelacionarporsemejanzadelostriángulosBcFyBDe;c)establecerlaproporciónentreloslados“largos”deambostriángulos(l:1),yloslados“cortos”(1:l-1);d)determinarelmodelomatemáticomediantelaigualdaddeambasrazones,

basándoseenlasemejanzadetriángulos,loquepruebaquedichomodeloes:.

lasdificultadesdeestatareaparalosalumnosdeesteniveleducativo,puedenaparecerenlasaccionesb)yc),debidoalanecesidaddeinterpretarlasemejanzadetriánguloscomoigualdadentrelasrazonesdelosladosrespectivos,algunasdecuyaslongitudeshayquedeterminarpreviamente.

3.3. Resolución de la tarea c)

a)sidespejamos l,obtenemoslaecuaciónde2ºgrado:l2 –l -1=0,consoluciones:l=.

l 1

1 l-1=

l 1

1 l-1=

1 ± √52

INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 25

b)comol(cantidaddelongitud)tienequeserpositiva,laúnicasoluciónfactiblees.

elllamarφaestenúmero,puedecrearconflictossemióticosalosestudiantes,puesestevaloreselobtenidoparal.luegodebenaceptarelcambiodenotación.tambiénpodríallevaralacon-fusióndeque,enunpentágonoestrelladocualquiera,lalongituddesuladoeselnúmero áureo,loqueesfalsosinoseadoptaelconveniodequelalongituddelladodelpentágonoregularbaseeslaunidad.Quizásnohubieraestadodemásque,eneltexto,segeneralizaralatareaaunacantidadde

longitudarbitrariacparaelladodelpentágono,loquellevaríaaplantearlaecuación:

queconduciríaalaecuaciónde2ºgradol2 –cl -c2= 0,cuyaúnicasoluciónfactible,tomandoccomo

parámetro,esl=c(),esdecir:=φ.esdecir,la razón que hay entre la longitud del lado

del pentágono estrellado y la del lado del pentágono regular generatriz es el número áureo.

3.4. Resolución de la tarea d)

a)sepuedepartirdelasproporciones(porsemejanza):====

,dedonde:AD2 –AD.MB – MB2=0y,resolviendoenAD: AD = MB(),dedónde:

φ ==.

b)peropodríapartir,análogamente,de:===1+=1+,

dedondeAB2 –AD.AB – AD2=0,parallegaralamismaconclusión.

sinosehageneralizado,enlatarea b),larelaciónentreladoydiagonaldelpentágonore-

gular,avaloresarbitrariosdelalongituddellado(),esdeesperarquelosestudiantesdeeste

niveltengandificultadespararesolverlataread)sinayudaexterna.p.e.,enlaecuacióndesegundogradoAD2 –AD.MB – MB2=0,hay que decidir cuál es la incógnita y cuál el parámetro2.además,hayqueelegiradecuadamentelossegmentosquedebenponerseenrelación.estonosllevaapensarquesetratadeunatareacomplejaparadichosestudiantes.

AD + MBAD

1 + √52

l c c l-1

=

1 + √52

l c

ABAD

MNMB

ADMB

AM + MBAD

1+√52

ADMB

ABAD

ABAD

AM + MBAD

AD + MBAD

MBAD

ADAB

lc =φ

2 enBolea,Boschygascón(2001)seinterpretaunaincógnitacomo“unvalordesconocidoquesemanipulacomosifueseconocido”yparámetrocomo“unvalorconocidoquesemanipulacomosifuesedescono-cido”.

26 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

3.5. Resolución de la tarea e)

Tabla II

comotaread)(ejercicio3),seafirmaBD = φ,loquesuponeprobar que si AB=AC =1, entonces BD = φ. para ello, elestudiante,debe(usandoelteoremadepitágoras)establecerlasrelaciones:DO = AOyAO2 +1= DO2 +1= OB2

BD=DO+OB=DO+

siDO=½,entonces:

BD =+==φ

De nuevo postulamos dificultades y conflictos en los estu-diantespararesolverestatarea.

√ 1 + DO2

12

14

√ 1 +1 + √5

2

4. evIdencIA de conflIctos semIótIco-cognItIvos, A pArtIr del sIgnIfI-cAdo referencIAl

conscientesdelosconflictossemióticosquepodíangenerarse,apartirdelenunciadodecidi-mossometerloalaconsideracióndeunamuestrade19estudiantesde1ºdeBachilleratodecienciassociales,(yaprovecharladisponibilidaddealumnosparapasarlotambiénen4ºdeeso(29estu-diantes),delies“M.a.gonzálezestévez”decarril-pontevedra.paraelloselesentregaelenun-ciadodelproblema,reproduciendoliteralmentelapropuestadelcitadolibro,proponiéndolescomotareaprincipallademostracióndelasemejanzadetriángulos,yanimándolesaque,acontinuación,siguieranresolviendolasdemástareaspropuestas,segúnsusposibilidadescognitivasytemporales.

Deacuerdoconcomentariosanteriores,habíamospostulado“apriori”que:

• ladiversidaddetécnicasquesemanejanpararealizarlasaccionesquesehandescritopararesolverlatareaa)asícomosuplanificación,secuenciaciónyverificación,ponendemanifiestosucomplejidadontosemiótica,postulandoqueunestudiantemediodeestosniveleseducativospodríatenerdificultadespararesolverestatareaporsísolo,sinmásayudasquelasfacilitadaseneltexto.

• lasdificultadespuedenaparecerenlastareasa)yb),debidoalanecesidaddeinterpretarlasemejanzadetriánguloscomoigualdadentrelasrazonesdelosladosrespectivos,algunasdecuyaslongitudeshayquedeterminarpreviamente.

• obtenidalasolucióndelaecuación:l2 – l – 1=0cuyassolucionesson:l=,losestu-

diantesprimerohandedecidirquesólolasoluciónpositivaesadmisible,portratarsedeunamedidadelongitud.llamarφaestenúmero,puedecrearconflictossemióticosalosestudiantes,puesestevaloreselobtenidoparal,debiendoaceptareinterpretarelcambiodenotación.encasocontrario,podríallevarlosalconflictodequeenunpentágonoestrelladocualquiera,lalongituddesuladoeselnúmero áureo,loqueesfalsosinoseadoptaelconveniodequelalongituddelladodelpentágonoeslaunidad.

1 ± √52

INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 27

• seesperaque,en1ºdeBachillerato(16-17años),almenosunaparterepresentativadelosestudiantes,puedanresolverconéxitolatareaa),peroelcambiodenotaciónylageneralizaciónqueseefectúaapartirdeb),puedeocasionarconflictossemióticosaestosalumnos.

lasituación,enrelaciónaladinámicadeclase,enlaqueseencontrabanlosdoscursoseramuydiferente:

• en4ºseestabaestudiandotrigonometría,enespecialproblemasdesemejanzadetrián-gulossimilaresalpropuestoperoconunniveldedificultadinferior.losprincipalesar-gumentosqueseempleabaneranlaigualdaddeángulosenbasealasrelacionesentrelosángulosqueseformancuandounarectacortaadosrectasparalelasylaposibilidaddesituarlasfigurasenposicióndethales.

• en1ºbachilleratoseestabantratandoproblemasderesolucióndesistemasdeecuacioneslinealesempleandoenmétododegauss,muyalejadosdelproblemapropuesto.

• entodosloscursosselesrecordócómopuedecalcularselamedidadelosángulosdeunpolígonoregulary,en4ºeso,despuésdetranscurrirlamitaddeltiempodelaprueba,seindicóquequizásfueseposiblecalcularlamedidadetodoslosángulosimplicados.

• en1ºdebachilleratofuenecesariorecordarloscriteriosdesemejanzadetriángulos,enparticularlaigualdaddeángulos.

• enalgunoscasos,antepreguntasdirectasdealumnos,elprofesorhizoalgúncomentariosobrelavalidezdelasargumentacionesqueproponían,engeneraldeltipo“eso no pue-des suponerlo”.

• atodoslosalumnosseles“informó”dequelapruebateníarelevanciaparasucalifica-ción,sibienlosalumnosdebachilleratonollegaronacreérselodeltodo.

4.1. Resultados

4.1.1. En 4º de ESO

Tabla III

Argumentos

respuestacorrecta

suponerectoelánguloeBcyquesedivideendosiguales

giraneltriánguloBFcsobreeltriánguloeBDysuponequequedanenposicióndethales

intentacalcularlamedidadelosángulosdeunpentágonosinconseguirlo

razonamientosincorrectossobrelaigualdaddeángulos

asumen, sin demostrar, la igualdad de losángulosquecompartenelvérticeB.

Frec.

1

1

6

1

6

5

Comentarios

calculatodoslosángulosdelpentágonoestrelladoydeducelaigualdaddelosdosángulospedidos.

nollegaademostrarnadayse limitaadarunarespuesta“matemática”.

Demostraciónbasadaen“evidenciavisual”.

Unestudianteañade(sindemostrar)quelosánguloseBDyFBcsoniguales

enuncasointentademostrarlaigualdaddeeBDeFBc

Un estudiante calcula la medida de los ángulos delpentágono,sincompletarlatareapropuesta.

28 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

Análisis:

Manuel(unalumnoconungrantesónyqueintentaportodoslosmediosllegaralfinalencadaproblema)fueelúnicoalumnoqueformulóunarespuestacorrecta.lohaceapoyándoseencálculosaritméticosdelasmedidasdelosángulosynoenrazonamientosgeométricos.suéxitosebasaenquelafiguracentraltambiénesunpentágonoregular(algoquenadiemásutilizó),loquelepermitecalcularlamedidadelosángulosaDeyceD3:

tambiénestámuycercadeconseguirlojavier(unalumnoconmuybuenasideasperocalifi-cacionesnomuybrillantes),conunaformulaciónrealmenteoriginal:

• establecelaigualdadentrelosángulosBcFyBeDporserigualeslostriángulosBDeyBecytenerencomúnelánguloclostriángulosBceyBcF.

• elánguloBcFesigualalánguloBFcyalosángulosBeDyBDe(sinargumentarparaelánguloBFc).

• intentaresolverlaecuación.

otroalumnoqueestuvocercadelarespuestacorrectafueDamián(undeportistaentrelosmejoresalumnosenmatemáticas):

• calculacorrectamentelamedidadelosángulosdeunpentágonoregular(comootros7).• establecelaigualdaddelostriángulosBceyeDB,peronollegaaestablecerlaigualdad

delosángulosBFcyBeD.• resuelvelaecuaciónycalculaelvalordelnúmeroáureo(solodosalumnosseenfrenta-

ronalaecuaciónyéleselúnicoquellegaaresolverla).

Argumentos

argumenta que, de no darse la semejanza, nopodríaformarseuna“estrellaperfecta”

razonamientos correctos sobre la igualdad deángulos empleando la igualdad del triánguloeBDconelBecyasumiendo,sindemostración,queeltriánguloBFcesisósceles

calculanlamedidadelosángulosdelpentágonoperonoestablecenlasemejanza.

parece calcular los ángulos pero no está clarosi realmente prueba o supone la trisección delánguloB

nodanningunarespuesta

total

Frec.

1

1

2

1

4

29

Comentarios

esunademostracióncasicorrectadelasemejanza,afaltadelademostracióndeserisósceles.

lamayoríadelosalumnosde4ºconocíanlamedidadeeseángulo

De ser así (los comentarios hechos al profesor ante laobservación“no puedes asumir, de entrada, que el ángulo B se divida en tres iguales”asílosugieren),lademostraciónseríacorrecta.

Tabla III (continuación)

3 realmentenoesnecesarioutilizarlaregularidaddelpentágonocentral.podemoscalcularlosánguloscBDycDBeneltriánguloisóscelesBcDpuessabemosqueelánguloBcDmide108º.

INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 29

Marcos (el alumno con mejores calificaciones en Matemáticas) construye un complicadorazonamientogeométrico,sinllegaraunresultadocorrecto.engeneral,lasrespuestassonmuchomenoselaboradas,comolasdeesperanza(unabuenaalumna):

Figura7

enotroscasos,lasrespuestassonbastanteconfusas.joséluis(unalumnoqueestecursoestárealizandoungranesfuerzoenlamateria):“porque si no son semejantes los triángulos, no puedes llegar a formar una estrella perfecta como esa. O sea, que si el triángulo BDE no puedes hacer la estrella perfecta. Mi teoría es que si lo traslado tiene que ser semejante, o sea igual en proporción para formar la estrella perfecta. Los ángulos son iguales porque se puede formar la estrella per-fecta”

4.1.2. En 1º de Bachillerato

Tabla IV

Argumentos

calculan correctamente los ángulos de lostriángulosydemuestranlasemejanza

suponenlatriseccióndelánguloB

calculalamedidadelángulodeunpentágono

sonsemejantesporser isóscelesysumar180º(fueunargumentoqueaparecetambiénen4ºapesardequeenclasefueradesmentido)

losángulossonigualesporsumar180º

losángulossonigualesporsumar180ºycalculalamedidadelángulodeunpentágono

los ángulos son iguales por sumar 180º yresuelvenlaecuación

pasa directamente a resolver la ecuación sinintentardemostrarlasemejanza

total

Frec.

6

4

1

1

3

1

2

1

19

Comentarios

Utilizan la técnica de calcular los ángulos centrales,interioresyexterioresdeunpentágonoregular.

calculan los ángulos del pentágono y algún otro ángulo.además,algunoresuelvelaecuación

posiblemente existiese un cierto “intercambio deinformación” entre los alumnos de este grupo que,curiosamente, se dieron por satisfechos en cuanto fueroncapaces de escribir algo “matemático” , suponiendo,ingenuamente, que así queda justificada una respuestacorrecta.

este estudiante mostró una enorme frustración cuando elprofesorindicólanecesidaddecontestarsiguiendoelordendelaspreguntas.

30 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

Análisis:

comoeradeesperar,enestecursolosalumnosutilizanmenosargumentacionesgeométricasperotodoslosalumnosintentanalgunarespuesta.

Marta(notable),respondiócorrectamentealapartadoa),empleandounrazonamientoaritmé-tico,basadoenelcálculodelosánguloscentraleinteriordeunpentágonoregular.leticia(notable)realizaunprocesosimilaraMartaydeterminalarespuestaalapartadoa).

aldo(sobresaliente)—yotros3alumnos—calculalamedidadelosángulosdelpentágonoyresuelvelaecuaciónparadeterminarelnúmeroáureo.

Aldo:

Figura8

algunosalumnossemostraronsatisfechosconunarespuestaclaramenteincompleta.Manuel(sobresaliente):“FCB es igual a EBD porque ABC es simétrico. Entonces al dividir el ángulo A en tres partes también es simétrico”.

envarioscasos,larespuestahacereferenciaala“semejanzadetriángulosisósceles”vanessa(bien):“son semejantes porque los dos son triángulos isósceles”.

engeneral,losalumnosde1ºdebachilleratodieronrespuestasmáscoherentesperotambiénmásconservadoras,enmuchoscasossinintentarresponder,realmente,alascuestionesformuladas.soloenseiscasos(31,6%)seaprecialaaplicacióndeconocimientosadecuadosalaobtencióndeunarespuesta.

5. confIgurAcIón cognItIvA de un estudIAnte de lA lIcencIAturA de mAtemátIcAs, relAcIonAdAs con lAs tAreAs A), b) y c).

alavistadelosconflictossemióticosycognitivosapreciadosenestasdosmuestrasdees-tudiantes,sedecideproponerlamismatareaa17estudiantesde2º,3ºy4ºcursosdelalicenciaturade matemáticas, que estudian la materia, de libre configuración, Didáctica de la Matemática ensecundariaenlaUsc.engenerallasrespuestasdedichosestudiantesconcuerdanbastanteconlarespuestadeunresolutorexperto,porloquepodemosconcluirque,engeneral,elsignificadorefe-

INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 31

rencialpropuestoenellibrodetextoanalizado,formapartedelosconocimientosdeestosestudian-tes.sinembargo,mostramosaquí,porresultarnosmuysorprendente,larespuestadeunestudiantede3ºcurso.

Figura9

32 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

argUMentos:a)suposicióningenuadequelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes(darporsupuestoloquehayqueprobar)b)suposicióningenua(sinprobar)dequeα=βc)igualdaddeángulossignificaigualdaddesenosdeestosángulosd)suposicióningenua(sinprobar)quelostriángulosHyjson“equivalentes”.

CONCEPTOS/ DEFINICIONES:Conceptos previostriángulo,semejanzadetriángulos,triángulos“equivalentes”,igualdaddeángulos,senoycosenodeunángulo.

Conceptos emergentesformulacióndehipótesis,probar,

PROPIEDADES/ PROPOSICIONES:1.encualquiertriángulosecumplenlasrazonestrigonométricaselementales(errónea)2.α=β⇒senα=senβ 3.enunpentágonoregular,lasdiagonalesqueconfluyenenunmismovértice,trisecanelángulointeriordelpentágono.(propiedadsupuesta,peronodemostrada)

PROCEDIMIENTOS: 1.partiendodelgráficodelasituación,construirotrográficoparaestudiarlasmedidasdelosángulosqueseformanenunpentágonoestrellado.2.suponiendoqueαyβsoniguales,interpretar(erróneamente)queBFcyBeDsontriángulosrectángulos3.suponerquesen α=1/(l-1)(errorsorprendenteyaqueeldibujoquepresentaelestudiante,muestrauntriángulorectánguloBcF,queno eseltriángulodelenunciadodelatarea.(isóscelesnorectángulo)y,aunquelofuera,cometeotroerrorgraveconlanocióndesenodeunángulo.4.suponerquesenβ =l/1(cuandonoseapreciaque1 ylsean“catetos”nihipotenusadeBeD,yaquedichotriángulonoesrectángulo).5.comoα=βsededucequesenα=senβ6.obtienefinalmentequedelaigualdadanteriorderivalaecuaciónquesepropone.

SITUACIONES/ PROBLEMAS:Situación inicial:1.paraestablecerlarelaciónentreladiagonalyelladodelpentágonoregular,dalossiguientespasos:a)DemuestraquelostriángulosBeDyBcFsonsemejantes.

(paraestoessuficienteprobarquetienendosángulosrespectivamenteiguales)

LENGUAJE:

Términos y expresiones:

-“lostriángulosBeDyBcFsonsemejantes”,-“supongamosquelosángulosαyβ soniguales”-“triángulosequivalentesH,j”etc.

Gráficos:Dibujodeunpentágonoregularytrazadodesusdiagonales.Dibujodetriángulos

Notaciones: -ABCDE, pararepresentarelpentágonoregulardevérticesA,B,C,D,E.-Fparadenotarunvérticequepermitaidentificaruntriángulo.-BCFyBDE,paraidentificardostriángulosobjetivodecomparación.-1ylpararepresentarlamedidadelados.-H,jparaidentificardostriángulosdeapoyosemiótico.

Motivan Resuelven

Justifican

paraunamayorclaridadalahoraderealizarelanálisisontosemiótico,elaboramoslaconfi-guracióncognitivadeesteestudiante.eneleos,dichaconfiguración,alcompararlaconlaconfigu-raciónepistémicadereferencia,nospermitirádetectarcoincidenciasodiscrepanciasentresignifica-dospersonaleseinstitucionales,postulandosusposiblescausas.

Tabla V

E

x

p

r

e

s

a

A

y

u

d

a

INNOVACIÓN EDUCATIVA, n.º 20, 2010: pp. 15-35 33

Análisis semiótico-cognitivo de la solución de este estudiante:

sicomparamoslaconfiguraciónepistémicaconlaconfiguracióncognitivaanterior,observa-mosqueesteestudiante(enniveluniversitarioavanzado)tienegrandeslagunasdecomprensióndeconocimientosmatemáticos,quesesuponedebenalcanzarseenlosestudiosdesecundaria,asícomootrosquesonnuclearesenestudiosdelalicenciaturadematemáticas.losconflictos semióticos queseobservanson:

1º:establecercomohipótesisdetrabajopropiedadesmatemáticasquesepide(explícitaoimplícitamente)quedemuestre:“a)lostriángulosBeDyBcFsonsemejantes”;“lostriángulosBeDyBcFsonsemejantespora)”;“supongamosquelosángulosαyβsoniguales”

2º.suponerquelasrazonestrigonométricasbásicas(seno-coseno),aplicablessóloatriángu-losrectángulos,puedengeneralizarseacualquierotrotipodetriángulo.

3º.“adaptar”elenunciadodelproblemaasusposibilidadescognitivas,“convirtiendo”untriánguloisóscelesnorectánguloBcF,enuntriángulorectángulo,alquepuedaaplicarsusconoci-mientosdetrigonometría.esteconflictorevelaqueesteestudiantenoesconscientedelaimportan-ciadelascondicionesqueimponeundeterminadoproblema(dilema“expresión/contenido”),yalasquedebesujetarseparaintentarbuscarunasoluciónalmismo.porotraparte,resultaparticularmentesorprendenteque,esteestudiante,cometaunerrortanespectacularcomoconstruir(ingenuamente)untriángulorectánguloisósceles,cuyoángulorecto(c)noestáformadoporlosdoscatetosigualesdelmismo:

Figura10

uotro,nomenosdramático,comoconsiderarquesenα =

estosconflictossemióticos,perotambiéncognitivos,ponendemanifiestolasprofundasca-renciascomprensivasdedichoestudiante,muyalejadasdelosconocimientosqueselesuponen,dadoelniveleducativoenqueseencuentra.

cateto contiguocateto opuesto

34 joséantoniocajaravillepegitoyotros:Significado referencial y personal

5. reflexIones fInAles

• laprincipalymásevidenteesladistanciaentrelosplanteamientosdidácticosdelapro-puestadelosautoresylascapacidadesrealesdeinterpretaciónyaccióndelalumnadoalquesupuestamentevadirigida.estehechoeselorigendenumerososconflictossemióti-co-cognitivospotenciales,quecondicionanlaposibilidaddealcanzarun“aprendizajeconcomprensión”.

• lagrandificultaddelosestudiantespararealizarunrazonamientodeductivoysuescasafluidez en la aplicaciónde conocimientospreviosque se les suponen,pero a losque,comomínimo,nohandotadodelossuficientes“sentidos”(Font,2005)parasercapacesdeaplicarlosacontextosconcretos.

• Dalaimpresióndequefrenteaunproblemacomoelpropuesto,lamayoríadelosalum-nosno intentanrespondera laspreguntasformuladas, limitándoseadarunarespuestaque,ingenuamente,consideran“matemática”.estoponedemanifiestolafaltadecom-prensióndeunadelasreglasnuclearesdelamatemática:lanecesidaddesujeciónalascondicionesdelproblema.

• paraunestudiantemedio,enfrentarseaunproblemaquedifícilmentepodráresolver,su-poneungrandesgasteemocionalsinrecompensaalguna,unresultadonefasto,totalmentecontrarioalsupuestamenteperseguidode“motivar”alalumno.

• porotraparte,semuestralapotenciadelatécnicaquenosofreceeleos,pararealizarunanálisismicroscópicodelosconocimientosyconflictosdeunsujeto(anteunadeter-minadatareamatemática),frentealmarcocognitivosegúnelcualelconocimientomate-máticosereducebásicamenteaconceptosyprocedimientos,entendidoscomoentidadesmentales.nosedistingueelpapelespecíficodelasproposicionesyargumentacionesy,sobretodo,noseexplicitaelpapelclavedelassituaciones–problemas,comoorigenyrazóndeserdetalesentidades,cuyaconstrucciónestá,además,mediadaporlosrecursoslingüísticosytecnológicosdisponibles.todoelloponedemanifiestoqueel“saberma-temático”nopuedeserconsiderado“transparente”enlasinvestigacionesendidácticadelamatemática,comoparecederivarsedelasinvestigacionesenelmarcocognitivo.porelcontrario,dichosabereslavariablemásproblemáticadecualquierinvestigaciónenestaáreadelconocimiento.

reconocImIento:

trabajorealizadoenelmarcodelproyectoMcyt-FeDer:sej2004-07346,Ministeriodecienciaytecnología,plannacionaldeinvestigacióncientífica.Desarrolloeinnovacióntecnoló-gica.Madrid.

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