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5 Sistemas de coordenadas
Luca Betoline
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Fig. 5.1: Coordenada unidimensional: formação e origem
AO - Origem
2 pontos
1 linha
Posição (A) = coordenadaC (A) = l unidades lineares
l l - Coordenada de A em relação à origem O
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Fig. 5.2: Esquema de configuração de coordenadas bidimensionais
3 pontos 2 linhas concorrentes 1 plano
A
O — Origem
P(A)= (u, v) unidades lineares
Posição (A) = coordenadas
C(A) = (u, v) unidades lineares
(u, v) — Coordenadas de A em relação às origenslinhas concorrentes em O
u
v
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Fig. 5.3: Esquema de configuração de coordenadas tridimensionais
4 pontos 3 linhas concorrentes
2 planos 1 sólido - volume
P(A) = (u, v, w) unidades lineares
Posição (A) = coordenadas
C(A) = (u, v, w) unidades linearesuO - Origem
vw
A
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Fig. 5.4: Exemplo de um sistema cartesiano
Origem
Eixos coordenados
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Fig. 5.5: Exemplo de malha ou grade
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Fig. 5.6: Famílias de um sistema cartesiano
Famílias de curvas e retasSistema de eixos
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Fig. 5.7: Sistema plano cartesiano
XM
N P
Y
0
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Fig. 5.8: Quadrantes no sistema cartesiano e trigonométrico
Cartesiano(Topográfico)
Trigonométrico
12
3 4
1
3
4
2
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Fig. 5.9: Quadrantes e sinais das coordenadas no sistema cartesiano
0
1° quadrante
x +
y +
4° quadrante
x –
y +
3° quadrante
x –
y –
2° quadrante
x +
y –
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Fig. 5.10: Determinação de coordenadas
0
P
X
Y
S
R
Q
xs
ypys
yr
xr
yq
xq
xp
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Fig. 5.11: Diferenças de coordenadas
0 X
Y
2(x2,y
2)
1(x1,y
1)
∆x
∆y
α
β
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Fig. 5.12: Posições relativas das diferenças de coordenadas
y
O
1
2
3
4
∆yp4 ∆yp1
∆yp2
∆yp3
∆xp3
∆xp2
∆xp4∆xp1
βp4
βp1
βp2
αp1
αp2αp3
βp3
αp4
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Fig. 5.13: Representação de azimute plano
3
4
1
2
x
y
θ34
θ43
θ21
θ12
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Fig. 5.14: Sistema de coordenadas polares
O
Q
θ
Pr
O – Polo
OQ – Eixo polar
OP = r – Raio vetor
2 – Ângulo vetorial
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Fig. 5.15: Relação entre coordenadas cartesianas e polares
O
P
r
N
M x
y
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Fig. 5.16: Relações entre coordenadas polares e cartesianas com deslocamento entre origens
O
P
r
N
M
∆y
∆x
x
y
y0
x0
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Fig. 5.17: Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais
O
P
Y
X
β
α
Z
x
y
r
z
r1
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Fig. 5.18: Propriedades das esferas
P’
P
F H
A C
D
O
B
G
O’
E
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Fig. 5.19: Sistema polar esférico
OW
G Q
D
E
CA
B
φB
φA
δφ
δλ
φ
λAλO
λ
λC
N
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Fig. 5.20: Distribuição dos sinais das coordenadas geográficas
Equador
φ +λ –
φ –λ –
φ –λ +
φ +λ +
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Fig. 5.21: Esquema de representação de um ângulo esférico
O
A
J
P
KD
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Fig. 5.22: Azimutes e distâncias
N
S
A A
BB
AZ
Z’ BZ’
Z
B
Z’
A
Z
α'=Z'
α
α α
α'
α'
α=Zα'
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Fig. 5.23: Comprimento de um arco de círculo
A
B
zO
T
R
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Fig. 5.24: Arco de meridiano
O
R
A
B
G
F
r
N
S
W E
X
O’δλ
λb
λa
δλ
φ
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Fig. 5.25: Definição de um raio de paralelo
O’r
O
R
90 - φ
φ
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Fig. 5.26: Convergência de meridianos
B
A
ϒ
δλ
α
α'
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Fig. 5.27: Conceitos de latitude geocêntrica e geodésica
NN
S
P
φΨA
B
OF
z
k
z
z
A’B’’
N
S M’
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Fig. 5.28: Translação dos eixos
Y’
X’O’
Y
X
X’
Y’
X
Y
O
A
Δx
Δy
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Fig. 5.29: Rotação entre dois sistemas cartesianos
o X
Y
X’
Y’
P
α
θ y
y’
xx’
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Fig. 5.30: Esquema da incidência dos raios solares sobre a Terra definindo diferentes horas em diferentes posições
E
N
Sol
E W
BA
M
L
12
816
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Fig. 5.31: Relógio atômico do Observatório de Greenwich, Inglaterra
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Fig. 5.32: Meridiano de Greenwich, no Observatório Real, Inglaterra
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Fig. 5.33: Fuso horário: o mundo em fusos de 15°, denominados por letras
X W V U T S R Q P O N Z
Meridiano de Greenwich
Linha Teórica de Mudança de Data
A B C D E F G H I K L M Y
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Fig. 5.34: Fuso horário adaptado ou horário civil mundial
Fonte: IBGE (2004).
Projeção de Robinson
0-2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12
0°120° 60° 60° 180°180°
0°0°
30°
30°
30°
30°
60°
60°
60°
60°
90°90°
90°
Mer
idia
no d
e G
reen
wic
h (G
MT)
Equador
Trópico de Câncer
Trópico de Capricórnio
Círculo Polar Antártico
Círculo Polar Ártico
Brasília
Buenos Aires
Cidade doMéxico
Lima
Washington Los Angeles
Ottawa Paris
Madrid
Londres
Trípoli
Moscou
Argel
Reykjavik
Adis Abeba
RiadCairo
Luanda
Nairóbi
Niamei
Cidadedo Cabo
Maputo
Dacar
Melbourne
Jacarta
Teerã
Manila
Bucareste
Astana
NovaDélhi
Vancouver
Bogotá
Georgetown
Seul
Tóquio
BeijingNova York
Sydney
Hong Kong
Berlim
Cabo Verde
Açores
Ilhas Madeira
Ilhas Canárias
Ilhas Maldivas
Ilhas Aleutas
Ilhas Tonga
Ilhas Malvinas
Havaí
Ilhas Galápagos
Ilhas Pitcairn
Ilhas Fiji
70 140 km0
Horário Fracionado Linha internacional de data
120°
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Fig. 5.35: Alterações no traçado da LID ao longo do século XX
Fonte: adaptado de <http://www.staff.science.uu.nl/~gent0113/idl/idl.htm>.
1900 1910
1921 1995
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Fig. 5.36: Fusos horários no Brasil até 2008
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Fig. 5.37: Distribuição atual dos fusos horários brasileiros
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Fig. 5.38: Estados que adotaram o horário de verão brasileiro em 2012/2013