Prof. Herondino

V – Medida de Dispersão

Medidas de posição ou tendência central

Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de

gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:

2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.

3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras,

é um mínimo.

0)( Xxi

)( 2 Xxi

n

x

n

xX

n

ii

i 1

Exemplo

n

x

n

xX

n

ii

i 1

0)( Xxi )( 2 Xxi

ix X Xxi 2)( Xxi

Estudo de caso4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro,

obtiveram as notas e medias, conforme mostra a tabela:

Qual deles se saiu melhor?

Alunos

Notas Média

Antônio

5 5 5 5 5

Carlos

6 4 5 4 6

José 10 5 5 5 0

Pedro 10 10 5 0 0

Estudo de caso

1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula)

2º As notas de Carlos variaram menos que as de José

3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três alunos.

Alunos Notas Média Mediana

Moda

Antônio 5 5 5 5 5

Carlos 6 4 5 4 6

José 10 5 5 5 0

Pedro 10 10

5 0 0

Encontrando a variância(Nº de

Ordem) (Nota de Carlos) ( Nº de alunos) (Desvios)(Quadrado dos

desvios)

01 6

02 4

03 5

04 4

05 6

Total

i ix X Xxi 2Xxi

0)( Xxi )( 2 Xxi

A variância amostralA variância amostral é o somatório do

quadrado dos desvios dividido pelo somatório das frequências menos um.

ou

Exemplo:

1

2

2

n

Xxs i

11

2

12

2

nn

x

xs

n

i

n

ii

i

Variância pelos quadrados(Nº de

Ordem) (Nota de Carlos)

01 6

02 4

03 5

04 4

05 6

i ix2ix

2ix ix

11

2

12

2

nn

x

xs

n

i

n

ii

i

Variância(Nº de

Ordem) (Nota de Carlos)

01 6 36

02 4 16

03 5 25

04 4 16

05 6 36

i ix2ix

1292 ix25 ix

155

25129

2

2

s

4

1251292 s

4

42 s

11

2

12

2

nn

x

xs

n

i

n

ii

i

12 s

Alunos Notas Média Variância

Desvio Padrão

Antônio 5 5 5 5 5 5

Carlos 6 4 5 4 6 5 1

José 10 5 5 5 0 5

Pedro 10 10

5 0 0 5

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155

161

167

173

179

185

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155 1395

161 1288

167 835

173 692

179 537

185 185

4932

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155 1395 164

161 1288 164

167 835 164

173 692 164

179 537 164

185 185 164

4932

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155 1395 164 -9

161 1288 164 -3

167 835 164 3

173 692 164 9

179 537 164 15

185 185 164 21

4932

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Classes Agrupadas(Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de

alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155 1395 164 -9 81

161 1288 164 -3 9

167 835 164 3 9

173 692 164 9 81

179 537 164 15 225

185 185 164 21 441

4932 846

mx

30 if

im fx

n

iim fx

1

.

X Xxm 2Xxm

2Xxm

Encontrando a variância

1

2

2

n

Xxs i

8462 Xxm

30 ifn

Encontrando a variância

1

2

2

n

Xxs i

8462 Xxm

30 ifn130

8462

s

29

8462 s

17,292 s

O desvio Padrão amostralO desvio padrão é a raiz quadrada da

variância.

Exemplo:

1

2

n

Xxs i

O desvio Padrão amostralO desvio padrão é a raiz quadrada da

variância.

Exemplo:

1

2

n

Xxs i

17,292 s

17,29s

4,5s

Estudo de Caso

Alunos Notas Média Variância

Desvio Padrão

Antônio 5 5 5 5 5 5

Carlos 6 4 5 4 6 5 1

José 10 5 5 5 0 5

Pedro 10 10

5 0 0 5

A variância PopulacionalA população é finita e consiste de N valores

e uma estimativa da média da população

N

xi

2

2

O desvio Padrão PopulacionalObservou-se anteriormente que a média da

amostra pode ser utilizada como uma estimativa da média da população.

N

xi

2

Coeficiente de VariaçãoÉ a razão entre o desvio padrão e a média.

O seu resultado é multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja dado em porcentagem.

100.X

sCv

ReferênciaHAIR, Joseph F. et al. Análise

Multivariada de Dados. 5ª Porto Alegre, Rs: Bookman, 1998. 51 p.