Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.
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Prof. Herondino
IV - Descrição e Apresentação dos Dados
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DadosA palavra "dados" é um termo relativo,
tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partir de uma etapa podem ser considerados os "dados brutos" do próximo. (Wikipédia)
Dados BrutosEm informática dados brutos (raw data)
designam os dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento (Wikipédia)
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Dados BrutosSuponhamos o seguintes dados Brutos
como sendo a idade de alunos de uma turma de informática
14 12 13 11 12 1316 14 14 15 17 1411 13 14 15 13 1214 13 14 13 15 1612 12
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FrequênciaA frequência de uma observação é o
número de repetições dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma “população”.
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Distribuição de Frequência Simples ( )
11 2
12 5
13 6
14 7
15 3
16 2
17 1
ix if
if
Dados ou variável (Idade)
Frequência (nº de Alunos)
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Frequências Relativas A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido pelo número total de observações.Variável
(idade)frequência absoluta
(Nº de alunos)frequência relativa
11 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923
13 6 6/26 = 0,2308
14 7 7/26 = 0,2692
15 3 3/26 = 0,1154
16 2 2/26 = 0,0769
17 1 1/26 = 0,0385
TOTAL = 26 1,0000
ix if rf
ifN
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Frequência AcumuladaVariável freqüência
absolutafreqüência relativa frequência
absolutaacumulada
frequência relativa acumulada
11 2 2/26 = 0,0769 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923 7 7/26 = 0,2692
13 6 6/26 = 0,2308 13 13/26 = 0,5000
14 7 7/26 = 0,2692 20 20/26 = 0,7692
15 3 3/26 = 0,1154 23 23/26 = 0,8846
16 2 2/26 = 0,0769 25 25/26 = 0,9615
17 1 1/26 = 0,0385 26 26/26 = 1,0000
TOTAL = 26 =1,0000
ixif rf
af raf
if rf
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Regras de arredondamento na Numeração DecimalNorma ABNT NBR 58911) Quando o algarismo imediatamente
seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação
Exemplo: 1,333 3 arredondado à primeira decimal
tornar-se-á 1,3
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Regras de arredondamento na Numeração Decimal2) Quando o algarismo imediatamente
seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade
Exemplo1,666 6 arredondado à primeira decimal
tornar-se-á: 1,7.4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.
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Regras de arredondamento na Numeração Decimal3) Quando o algarismo imediatamente
seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.
Exemplo: 4,550 0 arredondados à primeira decimal
tornar-se-ão: 4,6.
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Regras de arredondamento na Numeração Decimal4) Quando o algarismo imediatamente
seguinte ao último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.
Exemplo:4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.
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Atividade - III1. Verificar a altura em centímetro de cada
aluno da turma e construir uma sequência de Dados Brutos;
2. A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição de frequência absoluta simples, a frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.
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Apresentação dos dadosQuando se dispõe de um grande número
de observações, torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados em tabela.
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HistogramaUm histograma é uma representação
gráfica de uma única variável que representa a frequência de ocorrências (valores dos dados) dentro de categorias de dados.
O histograma tanto pode ser representado para as frequências absolutas como para as frequências relativas.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14Nota nº de Alunos0 11 12 23 44 65 86 127 108 39 210 1
Total 50
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Polígono de Frequência
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
1 12
4
6
8
12
10
32
1
O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.
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Sobrepondo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
1 12
4
6
8
12
10
32
1
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Histograma de frequência acumulada (ou ogiva)histograma de frequência acumulada (ou
ogiva) é a representação gráfica do comportamento da frequência acumulada.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
40
50
60
Distribuição por Frequência Acumulada
Freq
uênc
ia A
cum
ulad
a
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Gráfico de Setores
2% 4%
5%
7%
9%
11%
13%15%
16%
18%
Gráfico de Setores
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
É designado por um círculo, onde cada classe é representada por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho da amostra.
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Distribuição de Frequência agrupadas em ClassePara a determinação de classes não existe
uma regra pré estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro para a solução mais adequada.
1. Definir o número de classesSe n representa o número de observações
(na amostra ou na população, conforme for o caso) o número aproximado de classes pode ser calculado por Número de Classes = arredondando os resultados.
n
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Exemplo
Nº de Classes =
Fonte: Marques, 2013
47,530
Fazendo arredondamento para 6
Altura em cm da Turma CA 2013
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2. Calcular a amplitude das classes Essa será obtida conhecendo-se o número
de classes e amplitude total dos dados. A amplitude total dos dados é o resultado
da subtração valor máximo - valor mínimo da série de dados
classes de Total Amplitude = classe de Amplitude
número
MinValor -MaxValor = Total Amplitude
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
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Exemplo
66
36 = classe de Amplitude
36152-188 = Total Amplitude
Rol
Fonte: Vaz,2013
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3. Distribui a frequência dos dados agrupados por classe
O limite superior de cada classe é aberto (e consequentemente, o limite inferior de cada classe é fechado), ou seja, cada intervalo de classe não inclui o valor de seu limite superior, com exceção da última classe.
(Nº de Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158
02 158 164
03 164 170
04 170 176
05 176 182
06 182 188
Total
i ix if
Limite Inferior Limite Superior
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
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Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
(Nº de Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total 30 if
i ix if
Fonte: Tillmann, 2013
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Medidas de posição ou tendência central
n
x
nxxxX
n
ii
n
121 ...
1. Média Aritmética
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Exemplo: A nota final (NF) do curso será dada pela
fórmula:
Em que: AP – Avaliação ParcialAF – Avaliação Final
Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn)
A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.
2AFAPNF
nATnATATAP
...21
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Exemplo:
164163,833...30
188...156155154154152152
X
1641
n
xX
n
ii
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Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de
gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras,
é um mínimo.
0)( Xxi
)( 2 Xxi
n
x
nx
X
n
ii
i 1
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Exemplo
n
x
nx
X
n
ii
i 1
0)( Xxi )( 2 Xxi
ix X Xxi 2)( Xxi
![Page 30: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Média Ponderada
Medidas de posição ou tendência central
i
n
iii
n
nnP p
px
ppppxpxpxX 1
21
2211
.........
Onde é o peso da observação iip
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A universidade definiu que as avaliações parciais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno.
Exemplo
4,03,03,04,06,93,093,08
PX8,0
0,300,30
Ap 2 9,09,6
Ap nota pesoAp 1
Final 0,40
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Média aritmética Ponderada em dados agrupados (Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
mx
30 if
im fx
i
n
iim
f
fxX 1
n
iim fx
1
.
![Page 33: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/33.jpg)
Média aritmética Ponderada em dados agrupados (Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155 1395
161 1288
167 835
173 692
179 537
185 185
4932
mx
2supinf LL
xm
30 if
im fx
i
n
iim
f
fxX 1
16430932.4
X
n
iim fx
1
.
![Page 34: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/34.jpg)
Mediana (Md)A mediana é o valor do item central da série quando
estes são arranjados em ordem de magnitudeExemplo: a) 2, 4, 5, 7, 8 Md=5b) 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 Md=9c) 3, 5 ,8 ,10, 15 ,21Md=9
Para o calculo da mediana, têm-se:Se a série for ímpar sua posição será dada por
ou se for
Par a sua posição é dada por
21
nposição
2
122
nn
posição
![Page 35: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/35.jpg)
Mediana (Md)Cálculo da mediana
Se série ímpar
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
Md=2
21
nposição
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª0 0 1 1 2 2 3 4 5
ª52
19
posição
![Page 36: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/36.jpg)
Mediana (Md)Cálculo da mediana
Se a sequência for par Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3,
5, 6 }
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª
0 0 1 1 2 3 3 4 5 6
2
122
nn
posição
2ª6ª5
2
12
102
10
posição
5,22
32
Md
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Mediana (Md) para valores agrupadosA partir da distribuição de frequência
acumulada ou ogiva, inicialmente determina-se a classe que contem a mediana.
(Nº de Ordem)
(Altura em cm)
01 152 158
9
02 158 164
8
03 164 170
5
04 170 176
4
05 176 182
3
06 182 188
1
Total
i ix if
30 if
9 30
17 57
22 73
26 87
29 97
30 100
af
fadeLimfadeLim
__%50__%50
sup
inf
%raf
![Page 38: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/38.jpg)
Mediana (Md) para valores agrupadosmmm af
ix
17
9
5,152
1302
1
n
158 164Md
91795,15
158164158
Md
158685,6
Md
8,162Md
![Page 39: Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022110217/5706385f1a28abb8238feeef/html5/thumbnails/39.jpg)
cf
fnLMdMd
aMd
2/)1(inf
= limite de classe inferior da classe da mediana; = frequência acumulada da classe imediatamente anterior à classe da mediana;= frequência absoluta simples da classe da mediana, = amplitude (tamanho) da classe da mediana.
MdL inf
af
Mdf
c
Mediana (Md) para valores agrupados
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cf
fnLMdMd
aMd
2/)1(inf
158inf MdL
9af
8Mdf6c
Exemplo:
68
92/)130(158
Md
68
95,15158
Md
685,6158
Md
87,4158Md
87,162Md
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Moda (Mo)É o valor que ocorre com maior frequência
em uma série de valores.Exemplos:
a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.b){ 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.
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Moda (Mo) – Dados agrupadoso Sem intervalo de classe: é o valor da
variável de maior frequência.o Exemplo:
Nota nº de Alunos0 11 12 23 44 65 86 127 108 39 210 1
Total 50
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Moda (Mo) – Dados agrupadoso Com intervalos de
classe: A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Nesta, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal (Moda Bruta).
1552
1581522
)( supinf
MoLL
Mo
(Nº de Ordem)
(Altura em cm)
01 152 158
9
02 158 164
8
03 164 170
5
04 170 176
4
05 176 182
3
06 182 188
1
Total
i ix if
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Método pela fórmula de CZUBER:
: limite inferior da classe modal : frequência anterior a classe
modal : frequência posterior a classe
moda : frequência da classe modal : amplitude da classe modal
Moda (Mo) – Classes agrupada
4)811()911(
91158
Mo
54 58
9
58 62
11
62 66
8
66 70
5
ix if
432
258
Mo
45258
Mo
6,596,158 Mo
hdd
dLMo
21
1inf
antffd Mo 1
postffd Mo 2
infLantf
Mof
h
postf
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Interpretação Geométrica
Mo
if
ix
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Atividade IV
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ReferênciaBERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield
C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.
MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.