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Prof. Herondino
V – Medida de Dispersão
Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de
gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras,
é um mínimo.
0)( Xxi
)( 2 Xxi
n
x
n
xX
n
ii
i 1
Exemplo
n
x
n
xX
n
ii
i 1
0)( Xxi )( 2 Xxi
ix X Xxi 2)( Xxi
Estudo de caso4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro,
obtiveram as notas e medias, conforme mostra a tabela:
Qual deles se saiu melhor?
Alunos
Notas Média
Antônio
5 5 5 5 5
Carlos
6 4 5 4 6
José 10 5 5 5 0
Pedro 10 10 5 0 0
Estudo de caso
1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula)
2º As notas de Carlos variaram menos que as de José
3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três alunos.
Alunos Notas Média Mediana
Moda
Antônio 5 5 5 5 5
Carlos 6 4 5 4 6
José 10 5 5 5 0
Pedro 10 10
5 0 0
Encontrando a variância(Nº de
Ordem) (Nota de Carlos) ( Nº de alunos) (Desvios)(Quadrado dos
desvios)
01 6
02 4
03 5
04 4
05 6
Total
i ix X Xxi 2Xxi
0)( Xxi )( 2 Xxi
A variância amostralA variância amostral é o somatório do
quadrado dos desvios dividido pelo somatório das frequências menos um.
ou
Exemplo:
1
2
2
n
Xxs i
11
2
12
2
nn
x
xs
n
i
n
ii
i
Variância pelos quadrados(Nº de
Ordem) (Nota de Carlos)
01 6
02 4
03 5
04 4
05 6
i ix2ix
2ix ix
11
2
12
2
nn
x
xs
n
i
n
ii
i
Variância(Nº de
Ordem) (Nota de Carlos)
01 6 36
02 4 16
03 5 25
04 4 16
05 6 36
i ix2ix
1292 ix25 ix
155
25129
2
2
s
4
1251292 s
4
42 s
11
2
12
2
nn
x
xs
n
i
n
ii
i
12 s
Alunos Notas Média Variância
Desvio Padrão
Antônio 5 5 5 5 5 5
Carlos 6 4 5 4 6 5 1
José 10 5 5 5 0 5
Pedro 10 10
5 0 0 5
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155
161
167
173
179
185
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155 1395
161 1288
167 835
173 692
179 537
185 185
4932
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155 1395 164
161 1288 164
167 835 164
173 692 164
179 537 164
185 185 164
4932
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155 1395 164 -9
161 1288 164 -3
167 835 164 3
173 692 164 9
179 537 164 15
185 185 164 21
4932
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Classes Agrupadas(Nº de
Ordem)(Altura em cm) ( Nº de
alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i ix if( Ponto médio)
155 1395 164 -9 81
161 1288 164 -3 9
167 835 164 3 9
173 692 164 9 81
179 537 164 15 225
185 185 164 21 441
4932 846
mx
30 if
im fx
n
iim fx
1
.
X Xxm 2Xxm
2Xxm
Encontrando a variância
1
2
2
n
Xxs i
8462 Xxm
30 ifn
Encontrando a variância
1
2
2
n
Xxs i
8462 Xxm
30 ifn130
8462
s
29
8462 s
17,292 s
O desvio Padrão amostralO desvio padrão é a raiz quadrada da
variância.
Exemplo:
1
2
n
Xxs i
O desvio Padrão amostralO desvio padrão é a raiz quadrada da
variância.
Exemplo:
1
2
n
Xxs i
17,292 s
17,29s
4,5s
Estudo de Caso
Alunos Notas Média Variância
Desvio Padrão
Antônio 5 5 5 5 5 5
Carlos 6 4 5 4 6 5 1
José 10 5 5 5 0 5
Pedro 10 10
5 0 0 5
A variância PopulacionalA população é finita e consiste de N valores
e uma estimativa da média da população
N
xi
2
2
O desvio Padrão PopulacionalObservou-se anteriormente que a média da
amostra pode ser utilizada como uma estimativa da média da população.
N
xi
2
Coeficiente de VariaçãoÉ a razão entre o desvio padrão e a média.
O seu resultado é multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja dado em porcentagem.
100.X
sCv
ReferênciaHAIR, Joseph F. et al. Análise
Multivariada de Dados. 5ª Porto Alegre, Rs: Bookman, 1998. 51 p.