PorLUCIANO MENESES CARDOSO DA SILVA

Engenheiro CivilEspecialista em Recursos Hídricos da ANA

Doutor em Desenvolvimento Sustentável (UnB - CDS) M.Sc. Recursos Hídricos (UFRGS - IPH)

Especialista em Saneamento Ambiental (Universidade de Linköping - Suécia)

Elementos de Estatística

Slides próprios e obtidos de Tucci, Porto e Ahy.

Conceitos básicosVariável aleatória: não possui um explicação determinista da sua ocorrência: P. Ex. a precipitação de um local; qual o número que sairá numa roleta População é o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável aleatória. P. ex. num dado são seis possibilidades, sendo que cada número tem igual chance de ocorrer. Amostra é a quantidade de indivíduos (valores) que permite estimar as estatísticas da população. Por ex. após jogar o dado 1000 vezes é possível determinar qual a probabilidade de ocorrer cada um dos número e certamente será 1/6, mas se tivesse jogado o dado apenas 10 vezes, provavelmente minha estimativa da probabilidade seria errada porque minha amostra é pequena.

ConceitosEstatísticas: uma variável aleatória tem várias estatísticas que a caracterizam como: média, desvio padrão, assimetria, etc. A média pode ser aritmética, geométrica, etc. A média aritmética é simplesmente a média dos valores da amostra; o desvio padrão retrata a distribuição dos valores da variável com relação a média. Quanto maior o valor, maior a dispersão em relação a média;A assimetria retrata como os dados se distribuem com relação a média. Uma assimetria positiva mostra que a maioria da freqüência do valores fica são maiores que a média.

Número de intervalos (k):2k ≥ n; k: menor inteiro; n: número de elementos da amostra

Tipos de curva de freqüência

Negativa

Positiva

Desvio quadrático médio da média

Medida da dispersão dos dados

Raiz quadrada da Variância

Conceitos básicosRisco: é a possibilidade de ocorrência de valores da variável aleatória fora do planejado. Por ex. qual o risco de ocorrência de um número do dado maior que 4? Incerteza é o erro da diferença entre as estatísticas da amostra e da população na estimativa do risco.Em hidrologia a incerteza pode estar na medida das vazões, no processamento dos dados, no tamanho da amostra e na metodologia.

ConceitosVariável estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas não variam com o tempo e não-estacionária no caso contrário.

Ex. a mudança da média do escoamento de uma bacia urbana devido a impermeabilização; aumento ou diminuição da vazão de estiagem depois da construção de uma barragem, são exemplos de variáveis não-estacionárias.

Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

ConceitosProbabilidade e tempo de retorno: A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser cumulativa ou individual. Ex. A probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 a chance de que ocorra uma número maior que 3 é de 3/6 ou ½. O tempo de retorno (utilizado em hidrologia) retrata a freqüência seqüencial de ocorrência de valores. Ex. o número 3, em média, ocorre a cada seis jogadas. Portanto TR = 1/PEm hidrologia é utilizado para caracterizar a freqüência de repetição de um evento. Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos. Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anos. Não significa repetição cíclica.

QUESTÃO

Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica X ser igualada ou excedida em um ano qualquer ?

Conceito:Período de Retorno ( ou Recorrência) T

Intervalo de tempo médio, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida.

Para não-excedência: T = 1/(1-P)

T = 1/P (anos)

P ( x >=X)= ?

Se uma vazão Q tem um período de recorrência de 50 anos isto significa que, em média(!), esta vazão é igualada ou excedida a cada 50 anos.

Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P= 1/T = 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!)

Conceito :Risco de Falha

Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, N. Pode ser deduzido:

R = 1 - (1 - 1/T)N

Exemplo: Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500 anos.

Conceito :Risco de Falha

0

20

40

60

80

100

Ris

co(%

)

0 10 20 30 40 50 Vida Útil (anos)

T = 5 anosT = 10 anos

T = 50 anos

T = 100 anos

T = 500 anos

Hidrologia

Qual a vazão de projeto?

É um dos problemas mais comuns (e importantes) em hidrologia, uma vez que envolve diretamente as dimensões da obra - e, portanto, o seu custo - e o risco que esta obra tem de falhar durante sua vida útil.

Valores usuais de T (ANOS) Obras de microdrenagem 2 a 10Obras de macro drenagem 25 a 500Barragens 1000 a 10000

Hidrologia

Solução:Risco de não ocorrer em qualquer ano = 90% = 0,90

Risco de não ocorrer 5 anos seguidos = (0,9)5 = 0,5905 ≈ 59%

CondiçõesValores independentes: os valores da amostra não devem apresentar correlação entre si. P. ex. Numa amostra de vazões máximas anuais, o valor de cada ano não devem ter correlação com o do ano seguinte. Por isto que os valores são escolhidos dentro do ano hidrológico.Variável estacionária: as estatísticas da série não podem se alterar ao longo do tempo.Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo.

Exemplo de Blumenau

Cheias máximas em Blumenau/SC:

1852 – 16,52 m1880 – 17,10 m1911 – 16,90 m1983 - 15,34 m1984 – 15,50 m

Entre 1911 e 1984 não houve nenhuma inundação com cota maior que 16,90 m, período pouco representativo

Função de distribuição Normal

Observe como os valores de média (μ) de desvio padrão (σ)alteram a forma e aposição da curva {N(μ;σ)}.

N(μ;σ)

Variável reduzida (tabelada)

Z = (X – μ)/σ

1 x σ2 x σ

3 x σ

A área sob a curva significa a probabilidade cumulativa de 0 a 1.

Z = (X – μ)/σ

10

Z = (X – μ)/σ

A = 0,5

A = 0,4

= ?

Área = 0,4 Z ≈ 1,28

1

Exemplo: Qméd(μ) = 311 m³/s e desvio padrão (σ) = 169,7 m³/s. Calcule a vazão (X) com 200 anos de retorno (Tr = 200 anos).

X = Z.σ + μ ;

Para Tr = 200, Z = 2,5758

Então, X = 2,5758.169,7 + 311 = 748,1 m³/s

Z = (X – μ)/σ

X = Z* σ + μ

Metodologia

1. Processamento dos dados

2. Escolha da distribuição de probabilidades: determinação da relação entre a vazão (Q) e o tempo de retorno (T) Q = f(T)

Determinação da Relação Q = f (T)

a) coletar uma série de observações hidrológicas de vazões, a mais longa possível (N > 30 anos), de um posto próximo do local de interesse.

b) escolher a maior vazão diária de cada ano hidrológico:

1. Processamento dos dados

1. Processamento dos dados

tempo (dias)

Q

Q

tempo (dias)

Ano 1

Ano 2

Ano N

c) ordenar as vazões em ordem decrescente (m) e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão:

P(q > Q) = m/(N+1) Empírico como na Tabela:

1. Processamento dos dados

1. Processamento dos dados

Número de Vazão Probabilidade Período deOrdem m Q P(q>=Q) Retorno

T=1/P1 Q1 1/(N+1) (N+1)2 Q2 2/(N+1) (N+1)/23 Q3 3/(N+1) (N+1)/3| | | || | | |N QN N/(N+1) (N+1)/N

Vazão (m³/s)m Vazão (m³/s) Ordenada decrescente Prob. TR

1 348,59 1082,82 0,033 30,0002 614,24 1044,87 0,067 15,0003 696,50 998,94 0,100 10,0004 1082,82 872,34 0,133 7,5005 574,10 765,65 0,167 6,0006 468,17 765,65 0,200 5,0007 658,79 730,87 0,233 4,2868 563,27 696,50 0,267 3,7509 552,49 662,54 0,300 3,333

10 570,48 658,79 0,333 3,00011 499,38 643,85 0,367 2,72712 998,94 625,31 0,400 2,50013 662,54 614,24 0,433 2,30814 625,31 614,24 0,467 2,14315 577,72 614,24 0,500 2,00016 643,85 610,56 0,533 1,87517 765,65 577,72 0,567 1,76518 614,24 574,10 0,600 1,66719 371,14 570,48 0,633 1,57920 1044,87 563,27 0,667 1,50021 492,40 552,49 0,700 1,42922 610,56 499,38 0,733 1,36423 354,99 492,40 0,767 1,30424 730,87 485,45 0,800 1,25025 765,65 468,17 0,833 1,20026 614,24 420,63 0,867 1,15427 420,63 371,14 0,900 1,11128 485,45 354,99 0,933 1,07129 872,34 348,59 0,967 1,034

Média 630,352 630,352DP 188,531 188,531

MédiaDP

Ajuste probabilístico de vazões máximas em Resende(rio Paraíba do Sul)

0,0050,00

100,00150,00200,00250,00300,00350,00400,00450,00500,00550,00600,00650,00700,00750,00800,00850,00900,00950,00

1000,001050,001100,001150,001200,00

0 5 10 15 20 25 30 35

Tempo de retorno (anos)

Vazã

o (m³

/s)

Empírico Gumbel Exponencial

Distribuições de probabilidade

Eventos máximos:Gumbel, Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III e Log-Pearson III

Eventos mínimos:Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III, Log-Pearson III e Weibull

e e

Vazão (m³/s) Prob. TR Gumbel Exponencial Empírico1082,82 0,033 30,000 1042,997 1083,052 1082,821044,87 0,067 15,000 938,549 952,373 1044,87998,94 0,100 10,000 876,312 875,930 998,94872,34 0,133 7,500 831,307 821,693 872,34765,65 0,167 6,000 795,701 779,624 765,65765,65 0,200 5,000 766,001 745,250 765,65730,87 0,233 4,286 740,340 716,188 730,87696,50 0,267 3,750 717,601 691,013 696,50662,54 0,300 3,333 697,058 668,808 662,54658,79 0,333 3,000 678,211 648,944 658,79643,85 0,367 2,727 660,701 630,975 643,85625,31 0,400 2,500 644,256 614,571 625,31614,24 0,433 2,308 628,664 599,480 614,24614,24 0,467 2,143 613,756 585,508 614,24614,24 0,500 2,000 599,390 572,501 614,24610,56 0,533 1,875 585,442 560,334 610,56577,72 0,567 1,765 571,801 548,904 577,72574,10 0,600 1,667 558,364 538,128 574,10570,48 0,633 1,579 545,029 527,934 570,48563,27 0,667 1,500 531,689 518,264 563,27552,49 0,700 1,429 518,227 509,066 552,49499,38 0,733 1,364 504,507 500,295 499,38492,40 0,767 1,304 490,359 491,915 492,40485,45 0,800 1,250 475,559 483,891 485,45468,17 0,833 1,200 459,785 476,195 468,17420,63 0,867 1,154 442,531 468,800 420,63371,14 0,900 1,111 422,913 461,685 371,14354,99 0,933 1,071 399,070 454,829 354,99348,59 0,967 1,034 365,570 448,213 348,59

630,352 624,196 619,806188,531 165,852 159,785

MédiaDP

Tr Gumbel ExponencialVazões de cheia (m³/s)

100 1221,7243 1310,039500 1458,8988 1613,468

1000 1560,863 1744,147

e

-1 1 3 5 7 9 variável reduzida (y)

Papel de Probabilidades de Gumbel

1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)

Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL (TIPO 1)

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200TPacumQmax

N+1m/N+131.000.03114.515.500.06107.910.330.1093.57.750.1392.26.200.1689.95.170.1981.64.430.2379.53.880.2673.33.440.2973.13.100.3271.52.820.3570.32.580.3969.42.380.4268.72.210.4568.32.070.4868.31.940.5267.71.820.5561.91.720.5860.21.630.6159.61.550.6559.21.480.6854.81.410.7152.41.350.7449.71.290.7748.81.240.8147.01.190.8444.61.150.8740.71.110.9040.41.070.9438.41.030.9733.9

Q100= 136 m3/s

Reta empírica

Posição de Plotagem

Valores de Kt para Pearson IIITr

Curva de permanência“Curva que indica a percentagem do

tempo em que um determinado valor de vazão foi igualado ou ultrapassado durante um período de observações”Valores diários, semanais ou mensaisÚtil para:

Critérios de outorga, navegação, qualidade da água, estudos hidrelétricos, etc.

X

X

Curva de Permanência mensal

Hidrograma mensal

10 200 000 - Rio Javari em Palmeiras do Javari

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

permanência (%)

vazã

o (m

3/s)

25

Q90

Curva de Permanência

Manancial regularizado

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30/06/2006

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