Post on 17-Nov-2018
Situação 01:
Se você somar 1 ao produto de
quatro inteiros consecutivos, o
resultado sempre será um quadrado
perfeito.
Situação 02:
Na resolução de problemas, é
comum ocorrerem situações em que a
leitura e a compreensão do enunciado
nos levam a formular expressões e
equações que nos ajudam a resolver o
problema. Imagine por exemplo que, em
determinados problemas, os enunciados
nos levem às seguintes figuras e suas
dimensões:
a) A primeira figura é uma região retangular de
dimensões x e (x+5). Determine as expressões
do perímetro e da área dessa figura.
b) A segunda figura representa um cubo com
arestas de medida x. Determine as expressões
da área e do volume dessa figura.
c) A terceira figura representa um
paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4)
e x. Determine as expressões da área total e do
volume dessa figura.
d) Qual a expressão que representa a soma de
todas as superfícies das figuras.
e) Qual a diferença entre a medida da
superfície do paralelepípedo e da medida da
superfície do cubo.
Historicização:
Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.
O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é “trocar os membros” no termo de uma equação.
Polinômio com uma variável
Polinômio na variável x é toda expressão
P(x) que pode ser apresentada sob forma:
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥
+ 𝑎0′
Em que {𝑎0′,𝑎1, , 𝑎2, … , 𝑎𝑛} ⊂ ℂ, {𝑛, 𝑛 −
1, 𝑛 − 2, … ,1,0} ⊂ ℕ e a variável x pode
assumir qualquer valor complexo.
Exemplos:
b) a expressão 7𝑡5 + 6𝑖𝑡³ − 10𝑡, que pode ser
representada sob a forma 7𝑡5+0𝑡4 + 6𝑖𝑡³ +0𝑡² − 10𝑡 + 0 é um polinômio de grau 5 em
que:
Exemplos: c) O número 3 é um polinômio?
d) As expressões 5𝑥−3 + 6𝑥² + 4𝑥−1 + 7 e
3𝑡1
2 + 4𝑡³ + 5𝑡 − 2 são polinômios?
e) O número 2 é a raiz do polinômio
P(x)= 𝑥³ − 5𝑥² + 3𝑥 + 6 ?
Identidade de polinômios:
Considere os polinômios 𝑃 𝑥 = 2𝑥² +4𝑥 + 3 𝑒 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 , em que 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são constantes complexas.
Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios idênticos se, e somente se, P(𝛽)=Q(𝛽) para qualquer 𝛽 ∈ ℂ.
Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais.
Operações com polinômios:
Adição
A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que
se indica por P(x) + Q(x), é o polinômio
obtido ao se adicionarem os coeficientes de
P(x) com os coeficientes de Q(x).
Exemplo: Calcule a soma dos polinômios
P(x)= 12𝑥4 + 6𝑥² + 2𝑥 + 7 e Q(x)= 4𝑥³ +9𝑥² − 𝑥 − 8.
Operações com polinômios:
Subtração
A diferença entre os polinômios P(x) e
Q(x), nessa ordem, que se indica por P(x) –
Q(x), é definida como a soma de P(x) com o
oposto de Q(x).
Exemplo: Sejam P(x)= 𝑥5 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 3 e
Q(x) = 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ − 2 , calcule P(x)-
Q(x).
Operações com polinômios:
Multiplicação
O produto dos polinômios P(x) e Q(x),
que se indica por P(x) ⋅ Q(x), é o polinômio
obtido pela soma dos produtos de cada
monômio de P por todos os monômios de Q.
Exemplo: Sendo H(x) = 5𝑥³ + 2𝑥 e
G(x) = 2𝑥² + 4𝑥 − 1, efetue o produto
H(x) ⋅ G(x).
Operações com polinômios:
Divisão
Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio
não nulo D(x) significa obter os polinômios
Q(x) e R(x) tais que:
Q(x) ∙ D(x) + R(x)= E(x)
gr (R) < gr (D) ou R(x)= 0
Operações com polinômios:
Divisão
Exemplo: Vamos dividir o polinômio
P x = 3𝑥5 + 5𝑥4 + 10𝑥³ + 6𝑥² + 10𝑥 pelo
polinômio 𝐷 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥.
Exemplo: Efetue a divisão de P x = 𝑥² − 9
por D(x) = 𝑥 − 3.
Fração Polinomial:
Chama-se fração polinomial toda
expressão do tipo 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) em que P(x) e Q(x) são
polinômios, com Q(x)≠ 0.
Exemplos:
a) 5𝑥4+2𝑥−1
𝑥+3
b) 5
𝑥²−1
Teorema do resto:
Sendo a uma constante complexa
qualquer, o resto da divisão de um polinômio
P(x) por 𝑥 − 𝑎 é igual a P(a).
𝑃 𝑎 = 𝑅
Teorema de D’Alembert:
Sendo a uma constante complexa
qualquer, um polinômio P(x) é divisível por
𝑥 − 𝑎 se, e somente se, a é raiz de P(x).
a é raiz de 𝑃 𝑥 ↔ 𝑅 = 0
P(a) = 0
Dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Para a divisão do polinômio E(x) por um
binômio da forma 𝑥 − 𝑎 , em que a é uma
constante qualquer, com o objetivo de facilitar
essa operação, temos um dispositivo prático
conhecido como dispositivo prático de Briot-
Ruffini, em homenagem aos matemáticos que
a criaram, Charles August Briot (1817-1882) e
Paolo Ruffini (1765-1822).
Dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Vamos fazer a divisão de 𝑃 𝑥 = 3𝑥³ − 5𝑥2 + 𝑥 − 2
por 𝐷 𝑥 = 𝑥 − 2
1º - Colocamos a raiz do divisor seguida dos
coeficientes do dividendo, em ordem cresceste dos
expoentes de x ;
2º - Repetimos, abaixo da linha, o primeiro
coeficiente do dividendo;
Dispositivo prático de Briot-Ruffini:
3º - Multiplica a raiz do divisor pelo coeficiente retido e adicionamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste;
4º - Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente colocado abaixo do 2º coeficiente e adicionamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente;
5º - Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São Paulo: Editora FTD S.A, 2005.
PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna, 2009.
Sites: http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 25/08/2014 Polinômios no dia-a-dia