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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2014
TÍTULO: A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA: Uma arte na resolução de problemas
Autor: João Luís Stival
Disciplina/Área: Matemática/Exatas
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Professora Ângela Sandri Teixeira
Município da escola: Almirante Tamandaré
Núcleo Regional de Educação:
Área Metropolitana Norte
Professor Orientador: Prof. Dr. André Fabiano Steklain Lisbôa
Instituição de Ensino Superior:
UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Relação Interdisciplinar: Língua Portuguesa
Resumo:
O Caderno Temático propõe questões com análise da interpretação da linguagem matemática e da língua materna na aplicação de Resolução de Problemas para promover o desenvolvimento do raciocínio lógico, amadurecer as estruturas cognitivas, colaborar com a leitura e a interpretação do problema, propiciando a utilização das habilidades para resolução. A metodologia irá cooperar para que os alunos tenham um melhor interesse pelo assunto e solucionem os problemas propostos e os professores possam ter um novo olhar pedagógico inserindo esta metodologia ao trabalharem os conteúdos de matemática ou a partir da Resolução de Problemas, estruturar e formalizar um novo conteúdo. Utilizam-se como referencial principal as contribuições de Polya e outros que darão suporte teórico, relacionados nas referências bibliográficas.
Palavras-chave:
Resolução de Problemas; Linguagem Matemática; Língua Materna; Problemas.
Formato do Material Didático:
Caderno Temático
Público:
Alunos do 9º ano
Produção Didática Pedagógica na Escola
João Luís Stival1
André Fabiano Steklain Lisbôa2
A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA:
Uma arte na resolução de problemas
Caderno Temático apresentado no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná em convênio com a Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o biênio 2014/2015.
CURITIBA
2014
1STIVAL, João Luís. Núcleo Regional de Educação Área Metropolitana Norte. Área de atuação:
Matemática. Professor PDE – 2014/2015. 2 LISBÔA, André Fabiano Steklain. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Professor Dr.
Orientador PDE – 2014/2015.
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: João Luís Stival
Área/Disciplina PDE: Exatas/Matemática
NRE: Área Metropolitana Norte
Professor Orientador IES: Prof. Dr. André Fabiano Steklain Lisbôa
IES vinculada: Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Escola de Implementação: Colégio Estadual Professora Ângela Sandri Teixeira
Público objeto da intervenção: alunos do 9º ano
TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
O uso da linguagem matemática e da língua portuguesa na resolução de problemas
TÍTULO
A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA:
Uma arte na resolução de problemas
CURITIBA
2014
iii
“Não me ensine nada
que eu possa descobrir.
Provoque minha curiosidade.
Não me dê apenas respostas.
Desarrume minhas ideias e me dê
somente pistas de como ordená-las.
Não me mostre exemplos.
Antes me encoraje a ser exemplo
vivo de tudo o que posso aprender.
Construa comigo o conhecimento.
Sejamos juntos investidores, descobridores, navegadores,
e piratas de nossa aprendizagem.
Não fale apenas de um passado
distante ou um futuro
imprevisível.
Esteja comigo hoje alternando
as sensações de quem ensina
e de quem aprende.”
Ivana M. Pontes
iv
Dedico este trabalho aos meus familiares, em especial a minha esposa Dirlei e aos meus filhos João Victor e Luís Gustavo, que se tornaram essenciais, pela compreensão, paciência e incentivos em todos os momentos.
v
Agradecimentos Ao meu bom Deus, que esteve sempre presente ao meu lado nas horas difíceis. As minhas companheiras de PDE Amarilda, Evelise, Helani, Jandra, Joelma, Mari Luci, Maria José (Zezé), Marta e Rosimeri que se tornaram essenciais na minha vida, pois estiveram e estão sempre me apoiando em todos os momentos. A direção, coordenação, agentes I e II, professores, alunos, pais e a comunidade escolar do CEPAST por acreditar e aguardar o nosso retorno ao colégio. A minha família que se preocupou e que sempre que precisei estava ali para me ajudar. Ao professor André Fabiano Steklain Lisboa, pela orientação, dedicação e companheirismo nesta caminhada.
vi
SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS .............................................................................................. VIII
LISTA DE QUADROS ............................................................................................ XII
LISTA DE TABELAS ............................................................................................. XIII
APRESENTAÇÃO ................................................................................................... 14
2. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS .................................................................. 15
2.1 AÇÕES DO PROFESSOR DURANTE A APLICAÇÃO DOS PROBLEMAS ..... 15
3. OBJETIVOS / EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM ......................................... 16
3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................... 16
4. CONTEÚDO/TEMÁTICA ..................................................................................... 16
5. MATERIAL DIDÁTICO ........................................................................................ 17
6. ENCAMINHAMENTOS/ METODOLOGIA ........................................................... 17
7. DIVISÃO CADERNO EM ETAPAS ...................................................................... 18
8. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO.............................................................................. 19
9. PRIMEIRA ETAPA .............................................................................................. 20
9.1 PROBLEMAS BÁSICOS ................................................................................. 20
9.1.1 Cronograma 1ª Etapa ............................................................................... 20
9.1.2 Avaliação ................................................................................................. 21
Tarefa 1 – Calcular frações ............................................................................... 22
Tarefa 2 – Reconhecer frações equivalentes .................................................... 23
Tarefa 3 – Calcular frações ............................................................................... 24
Tarefa 4 – Calcular perímetro e área ................................................................ 24
Tarefa 5 – Montar um Sistema de Equação ...................................................... 25
Tarefa 6 – Calcular proporção .......................................................................... 26
Tarefa 7 – Identificar relação entre representações algébrica e geométrica ..... 27
9.2 QUESTIONÁRIO 1ª ETAPA ............................................................................ 31
10. SEGUNDA ETAPA ............................................................................................ 32
10.1 PROBLEMAS INTERMEDIÁRIOS ................................................................ 32
10.1.1 Cronograma 2ª Etapa ............................................................................. 32
10.1.2 Avaliação ............................................................................................... 33
Tarefa 1 – Calcular unidade de medida de comprimento, utilizando a relação
métrica no triângulo retângulo ........................................................................... 34
vii
Tarefa 2 – Calcular situação problema envolvendo porcentagem ..................... 35
Tarefa 3 – Calculo de área irregular com uso de escala ................................... 36
Tarefa 4 – Calcular idade .................................................................................. 37
Tarefa 5 – Calculo de área ................................................................................ 38
Tarefa 6 – Calcular consumo de energia elétrica em kWh e em unidade
monetária .......................................................................................................... 40
Tarefa 7 – Analisar dados de uma tabela .......................................................... 42
10.2 QUESTIONÁRIO 2ª ETAPA ................................................................................. 54
11. TERCEIRA ETAPA ............................................................................................ 55
11.1 PROBLEMAS AVANÇADOS......................................................................... 55
11.1.1 Cronograma 3ª Etapa ............................................................................. 55
11.1.2 Avaliação ............................................................................................... 56
Tarefa 1 – Calcular a frequência de oscilação de uma Ola ............................... 57
Tarefa 2 – Calcular percurso/distância e escala, utilizando a relação métrica no
triângulo retângulo ............................................................................................ 59
Tarefa 3 – Geometria Plana e Espacial – Calcular diâmetro, altura e volume de
um cilindro ........................................................................................................ 63
Tarefa 4 – Modelagem e Função Afim/ Dependência entre duas variáveis –
atividade do táxi ................................................................................................ 67
Resolução atividades do taxista de Curitiba ...................................................... 70
Resolução atividades do taxista de Londrina .................................................... 72
Tarefa 5 – Calcular perímetro e raio de uma circunferência .............................. 75
Tarefa 6 – Função Afim/Calcular grandezas entre duas variáveis .................... 79
Tarefa 7 – Modelagem da água ........................................................................ 83
11.2 QUESTIONÁRIO 3ª ETAPA .......................................................................... 86
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 87
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Instrutores - Microsoft Média Gallery – Profissões. Disponível em: http://office.microsoft.com, acesso em 21/08/2014. Figura 2 – Recife a Caruaru – Pernambuco. Disponível em: https://goo.gl/maps/Ck94b, acesso em 21/08/2014. Figura 3 – Fração Equivalente das Pizzas. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109, acesso em 21/08/2014. Figura 4 – Pizza. Disponível em: http://www.smartkids.com.br/busca/resultado?Busca[termoBuscado]=pizza&Busca[todosFiltros]=1 &Buscar, acesso em 10/09/2014. Figura 5 – Trecho Ciclovia na capital do Estado do Paraná. Disponível em: https://www.google.com.br/maps/@-25.3981313,-49.2676174,18z?hl=pt-BR, acesso em 10/09/2014. Figura 6 – Sanduíche. Disponível em: http://www.tocadacotia.com/culinaria/lanches, acesso em 10/09/2014. Figura 7 – Unidade Escolar. Disponível em: http://www.sjc.sp.gov.br/noticias/noticia.aspx?noticia_id=14593, acesso em 23/09/2014. Figura 8 – Representação da Reta. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109, acesso em 21/09/2014. Figura 9 – Tela Inicial software GeoGebra. Figura 10 – Inclusão dos pontos cartesianos. Figura 11 – Destaque dos pontos cartesianos. Figura 12 – Estabelecer a reta entre dois pontos. Figura 13 – Reta decrescente construída dado dois pontos cartesianos. Figura 14 – Reta crescente construída dado dois pontos cartesianos. Figura 15 – Intersecção entre duas retas. Figura 16 – Instalação Rede Elétrica em uma residência.
ix
Figura 17 – Um cafezinho. Disponível em: http://www.dormindobem.com.br/noticias/9-dicas-para-parar-de-beber-cafe.php, acesso em 25/09/2014. Figura 18 – Mancha de Óleo. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/itens/2012/pisa_2012_matematica_itens_liberados.pdf, acesso em 06/10/2014. Figura 19 – Idades. Disponível em: http://www.pinterest.com/pin/290130400966411619/, acesso em 18/10/2014. Figura 20 – A Piscina. Disponível em: http://assimeugosto.com/2010/11/29/piscinas-1/, acesso em 18/10/2014. Figura 21 – Chuveiro. Disponível em: http://fotografia.folha.uol.com.br/galerias/7131-escolha-o-chuveiro-ideal#foto-137526, acesso em 21/10/2014. Figura 22 – Pagina Inicial Planilha Excel. Figura 23 – Montando Tabela. Figura 24 – Acrescentando Dados. Figura 25 – Ajustando Tabela. Figura 26 – Preenchimento para destacar linha. Figura 27 – Seleção Células. Figura 28 – Inclusão Linhas. Figura 29 – Lançamento Dados População. Figura 30 – Ajustando as casas posicionais. Figura 31 – Elaborando Fórmula Aumento/Decréscimo. Figura 32 – Elaborando Fórmula Percentual. Figura 33 – Elaborando Fórmula Previsão. Figura 34 – Gráfico de Barras População. Figura 35 – Gráfico de Setores com percentual de Aumento/Decréscimo. Figura 36 – Tela Excel com tabela e gráficos representativos. Figura 37 – Ola. Fonte: ENEM 2013. Figura 38 – Representação trajeto avião em escala.
x
Figura 39 – Trajeto de ida e volta do avião. Figura 40 – Acadêmico. Disponível em: http://office.microsoft.com,acesso em 08/11/2014. Figura 41 – Percurso Avião cidades A, C, B e retorno de B a A. Figura 42 – Pilha de Tubo. Disponível em: http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2002/matematica/q05.html, acesso em 09/11/2014. Figura 43 – Representação do triângulo equilátero na pilha de tubos. Figura 44 – Demonstração para encontrar altura de um triângulo equilátero. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/teorema-pitagoras-altura-area-triangulo-quilatero.htm, acesso em 09/11/2014. Figura 45 – Tubo de Concreto. Disponível em: http://www.mcpremoldados.com.br/manilhas.php#, acesso em 09/11/2014. Figura 46 – Táxis em Curitiba. Disponível em: http://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/150-novos-taxistas-ja-fizeram-pedido-de-cadastro-na-urbs/32652, acesso em 23/10/2014. Figura 47 – Táxis em Londrina. Disponível em: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=740654&page=237 acesso em 23/10/2014. Figura 48 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade a da alternativa 2. Figura 49 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade b da alternativa 2. Figura 50 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade a da alternativa 4. Figura 51 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade b da alternativa 4. Figura 52 – Analise de percurso dos taxistas com vantagens, valor e quilometragem comum a ambos. Figura 53 – Ilustração de Eratóstenes e sua descoberta. Fonte: http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm. Acesso em 17/11/2014. Figura 54 – Terra cortada ao meio e divida em frações Fonte: http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf. Acesso em 17/11/2014.
xi
Figura 55 – Ilustração da incidência dos raios solares sobre Alexandria e Siena. Fonte: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf. Acesso em 17/11/2014. Figura 56 – Ilustração poço em Siene e estaca em Alexandria (Antigo Egito) Fonte: http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php. Acesso em 17/11/2014. Figura 57 – Gnômon, parte triangular deste relógio de sol. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gn%C3%B4mon. Acesso em 17/11/2014. Figura 58 – Informações do planeta Terra. Fonte: https://www.google.com.br/search?q=circunferencia+da+Terra&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a&channel=nts&gfe_rd=cr&ei=4qRkVKXuKIGX8QejyoHICQ. Acesso em 17/11/2014. Figura 59 – Moda Infantil. Disponível em: http://www.mariavitrine.com.br/2011/09/recados-de-vitrine-41-noticias-e.html, acesso em 17/11/2014. Figura 60 – Janela de álgebra e planilha no GeoGebra. Figura 61 – Janela de Visualização e alteração da escala no GeoGebra. Figura 62 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra. Figura 63 – Campo de entrada, histograma [lista1,lista2]. Figura 64 – Gráfico da função f(x) =0,10x + 1.324, no GeoGebra. Figura 65 – Torneira Aberta. Fonte: http://site.sanepar.com.br/sustentabilidade/consumo-responsavel Figura 66 – Interdisciplinaridade. Disponível em: http://osmurosdaescola.wordpress.com/2011/07/06/multi-pluri-trans-e-interdisciplinaridade-em-graficos-e-esquemas/, acesso em 15/11/2014. Figura 67 – Superdotado. Disponível em: http://papoentrepais.blogspot.com.br/2013/01/superdotacao-escolar-x-superdotacao.html, acesso em 15/11/2014.
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Cronograma 1ª Etapa. Quadro 2 – Cronograma 2ª Etapa. Quadro 3 – Percentual de Aumento/Decréscimo dos Cinco Municípios mais
Populosos do Paraná com Perspectiva para 2020.
Quadro 4 – Cronograma 3ª Etapa. Quadro 5 – Valor a pagar dado o percurso táxi Curitiba.
Quadro 6 – Valor a pagar dado o percurso táxi Londrina.
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO ESTADO DO PARANÁ Tabela 2 – VALORES DE VENDA DA VENDEDORA – R$
APRESENTAÇÃO
A preocupação com o tema nasceu da necessidade de investigar mais a
fundo as causas que levam um grande número de alunos do colégio a apresentarem
dificuldades na leitura, interpretação e resolução de problemas matemáticos e que
se repetem com certa frequência, precisando de uma atenção especial. O Colégio
possui característica urbana, mas atende uma quantidade considerável de alunos da
área rural. Com esse material pretende-se contribuir na melhoria pedagógica,
provocando reflexões importantes acerca da resolução de problemas, oportunizando
troca de experiências, procurando discutir aspectos relevantes dos conteúdos,
melhorando a forma de apresentá-los aos alunos do ensino fundamental que
apresentam dificuldades de interpretação. Para tal, buscam-se instrumentos para
que a disciplina de matemática vá além do mero imediatismo.
O material está organizado em três etapas, com analise passo a passo das
atividades com os seus respectivos descritores3, algumas com dicas e uso de
novas ferramentas tecnológicas, facilitando assim um melhor parâmetro para o
professor e serão desenvolvidas com questões que foram aplicadas em ENEM,
PROVA BRASIL, PISA, SAEB, TESTE SELETIVO DO COLÉGIO DA POLÍCIA
MILITAR DO PARANÁ, VESTIBULAR DA UFPR, CADERNO DE ATIVIDADES DA
SEED (MATEMÁTICA, 2009) e elaboradas pelo autor do projeto com proposições de
situações problema.
3 O descritor é uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas
pelo aluno, que traduzem certas competências e habilidades. Os descritores indicam habilidades gerais que se esperam dos alunos e constituem a referência para seleção dos itens que devem compor uma prova de avaliação. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/saeb_matriz2.pdf, acesso em 25/09/2014.
O Caderno Temático aqui apresentado é um
material composto por questões e atividades que vai ao
encontro da proposta do Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE), da Secretaria de Estado da
Educação de Paraná, no biênio 2014/2015 e norteará o
trabalho durante a implementação com os alunos do 9º
ano do Colégio Estadual Professora Ângela Sandri
Teixeira – EFM.
Figura 1 – Instrutores Fonte: http://office.microsoft.com
15
A proposta deste caderno temático é instigar nos envolvidos um ato reflexivo,
desenvolvendo atividades para raciocínio, pesquisa, interpretação com uso de
alguns recursos tecnológicos para observar e analisar os recursos e métodos que os
alunos utilizam para interpretar e resolver os problemas, numa forma de desafio aos
seus conhecimentos.
2. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Para que a matemática seja mais abrangente, há a necessidade de uma
proposta que envolva os alunos na resolução de problemas, que propiciem
discussões, se criem alternativas de resolução, bom uso da comunicação e
envolvimento de todos no processo da transmissão do conhecimento. Tal postura
pedagógica exige do corpo docente empenho, dedicação, esforço, muita pesquisa e
mudança de postura metodológica na busca da qualidade de ensino “para que o
alunado possa apropriar-se de linguagem adequada, constatar regularidades,
generalizar procedimentos, com o objetivo de interpretar e descrever fenômenos não
só do cotidiano matemático, mas o de outras disciplinas”. (Motta, 2013, p. 7)
2.1 AÇÕES DO PROFESSOR DURANTE A APLICAÇÃO DOS PROBLEMAS
Estimular os grupos a leitura, interpretação e tentativa de solução das
tarefas propostas, revisando o resultado encontrado;
Esclarecer que não se trata de uma competição e sim de um diagnóstico
para redimir ou sanar dificuldades no processo de construção do
conhecimento;
Deixar claro que o erro faz parte do processo e que são as tentativas de
erros e acertos que propiciam ao aprendizado;
Estabelecer regras com modificação ou não, no andamento das etapas a
serem aplicadas;
Incentivar os alunos a pensar e agir, auxiliando na organização do
pensamento e na comunicação matemática;
Instigar os alunos a analisar as questões antes da sua resolução.
16
3. OBJETIVOS / EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
Esta proposta didática pedagógica na escola pretende trabalhar com
questões, cujo objetivo é investigar e compreender como os conhecimentos da
Linguagem Matemática e da Língua Portuguesa auxiliam na resolução de problemas
matemáticos.
3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Retomada dos conteúdos apropriados nas series anteriores;
Desenvolver no aluno o hábito da leitura, da interpretação e do raciocino
lógico para compreender um texto e dar significado se for um problema
matemático;
Contribuir para que os alunos, no enfrentamento de situações problemas, se
apropriem de conceitos e conhecimentos pré-estabelecidos para que possam
interpretar enunciados, transformando com segurança a língua materna em
linguagem matemática;
Propiciar situações problemas aos alunos que sejam interessantes e
desafiadores para o desenvolvimento de sua autonomia, ajudando-os na
criação de formas próprias para interpretar e resolver;
Instigar nos educandos, a capacidade de formular, criar e de resolver
situações problema a partir de temas geradores e esclarecer os benefícios
que a resolução de problemas propicia para o enriquecimento do mesmo;
Colher os resultados significativos produzidos pelos alunos no enfrentamento
das situações problemas a eles propostos.
4. CONTEÚDO/TEMÁTICA
As questões atenderão as Diretrizes Curriculares da Educação Básica:
Matemática4, contendo conteúdos estruturantes: Número e Álgebra, Grandezas e
Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da Informação.
4 Diretrizes que norteiam o trabalho pedagógico da educação pública estadual do Estado do Paraná.
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5. MATERIAL DIDÁTICO
Para a produção didático-pedagógica serão necessários alguns itens que
facilitarão o desenvolvimento deste caderno para posterior análise e elaboração do
artigo final, conforme exposto abaixo.
6. ENCAMINHAMENTOS/ METODOLOGIA
O encaminhamento metodológico será a Resolução de Problemas5,
apresentando a proposta didática aos alunos por meio de questões desafiadoras e
práticas.
Para o desenvolvimento deste trabalho a classe será subdivida em grupos de
três ou quatro alunos, com um dos membros com nível de conhecimento
considerável dos conteúdos matemáticos para auxílio e estímulo dos demais
membros, que após a apresentação do(s) problema(s), discutirão caminhos para sua
solução. Nos minutos finais, após discussões, analises e maneiras de resolução,
serão redigidas e entregues para que o professor possa avaliar as
5 “[...] uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta (DANTE, 2003,
citado por PARANÁ, 2008, p. 63)”.
Material necessário
Quadro e giz;
Caderno para anotações;
Mídia conectada à internet para pesquisa e investigação;
Canhão Multimídia para projeção das atividades;
Laboratório de Informática para pesquisa e uso de softwares com
planilhas eletrônicas;
18
dificuldades/facilidades de cada grupo. Em aulas seguintes poderá ser feita uma
mudança nos grupos para troca de informações e, se necessário, o professor poderá
intervir com sugestões e dicas de acordo com as etapas de Polya (2006), mas deve
ser evitada a resolução de uma tarefa por parte do professor, para propiciar aos
grupos que se utilizem de seus próprios métodos para tentarem resolver os
problemas propostos. Após os alunos lerem os problemas, será realizada uma
discussão para estimular o espírito de pesquisa e solução dos mesmos.
Será explicada a diferença básica entre exercício e problema, ressaltando
que a Resolução de Problema é uma tendência, ou seja, uma metodologia de ensino
na matemática, propiciando discussões, reflexões e habilidades para poder resolver
os problemas propostos neste trabalho. Será ressaltada a importância da
interpretação, da tradução da linguagem corrente para a linguagem matemática,
retirando os dados do problema, suas etapas de resolução e suas estratégias de
ação no desenvolvimento dos algoritmos, com dicas dos tipos de problemas
pontuados por Polya (2006) e Butts (1997).
Serão entregues impressos a cada os problemas de acordo com cada etapa
de implementação para que os grupos possam resolver, iniciando com problemas
básicos e ao final de cada etapa será disponibilizado online um questionário que
responderão questões do tipo: Estava fácil ou difícil? Houve dificuldade na
interpretação do enunciado? A tradução da linguagem usual em linguagem
matemática foi possível? O uso de figuras colaborou na leitura e interpretação dos
problemas? Apropriaram-se de material de apoio para a resolução dos problemas
propostos?
7. DIVISÃO CADERNO EM ETAPAS
O presente trabalho está estrutura em três etapas para melhor aplicação e
compreensão por parte dos alunos.
PRIMEIRA ETAPA: Problemas Básicos;
SEGUNDA ETAPA: Problemas Intermediários;
TERCEIRA ETAPA: Problemas Avançados;
19
Em cada etapa é primordial analisar o problema, descobrir a incógnita,
registrar os dados fornecidos e tentar fazer alguma estimativa para a resposta.
Alguns questionamentos são necessários, tais como:
O que se pede no problema? Explique com suas próprias palavras.
Quais são os dados e as condições do problema?
É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
É possível estimar a resposta?
No decorrer das atividades, o professor verificará em que etapa do processo
de resolução, os alunos estão apresentando dificuldades em encontrar a solução de
cada problema e fará mediação por meio de questionamentos, procurando motivar
os alunos, criando novas estratégias para obter os resultados das tarefas aplicadas
neste caderno.
8. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação será diagnóstica ao longo do processo, com escrita, oralidade,
demonstração/resolução dos problemas propostos e com levantamento de dados
através de questionário disponibilizado online ao final de cada etapa de
implementação.
“A Matemática é o alfabeto com o qual
Deus escreveu o universo”
“Não posso conceber a infinidade do
universo sem aceitar a existência de Deus”
Albert Einstein
20
9. PRIMEIRA ETAPA
9.1 PROBLEMAS BÁSICOS
A perspectiva nesta primeira etapa é proporcionar aos educandos a
apropriação dos conhecimentos previamente adquiridos, interpretando com
segurança a língua materna e linguagem matemática e através deles fazer uso para
que possam entender os enunciados, praticar e desenvolver o hábito da leitura para
compreender um texto e dar significado se for um problema matemático, com
situações problemas que sejam interessantes e desafiadoras para o
desenvolvimento de sua autonomia, ajudando-os na criação de formas próprias para
interpretar e instigar a capacidade de formular, criar e de resolver situações
problema a partir de temas geradores, esclarecendo os benefícios que a resolução
de problemas propicia para o enriquecimento do mesmo.
Nesta etapa serão relembrados conceitos dos conjuntos dos números reais,
frações, frações equivalentes, operações com fração, porcentagem, MMC (Mínimo
Múltiplo Comum), expressões algébrica, perímetro, área, plano cartesiano e escala.
9.1.1 Cronograma 1ª Etapa
Para esta etapa serão necessárias sete aulas para a resolução dos
problemas e levantamento dos dados.
Quadro 1 Cronograma 1ª Etapa
1 aula Organização e apresentação
4 aulas Desenvolvimento das atividades
1 aula Avaliação
1 aula Questionário
Fonte: Autor
21
9.1.2 Avaliação
A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos
envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela
apresentação dos resultados encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e
interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e
desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por
cada grupo.
O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem
dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da
língua materna na resolução de problemas.
22
Tarefa 1 – Calcular frações. (Descritor 26)6
Figura 2: Recife a Caruaru – Pernambuco Fonte: https://goo.gl/maps/Ck94b
Análise
Pretende-se com esta questão que os alunos procurem uma fração
equivalente a cada uma das frações que foram dadas para efetuar a soma. Deve-se
considerar o fato de o denominador ser, ao mesmo tempo, um número múltiplo de 4
e de 6, considerando também a fração que falta para completar o inteiro e observar
os argumentos de cada um. O grupo precisa ter compreensão da equivalência e
recapitular o conteúdo intitulado operações com frações, no caso específico, adição
de fração, para dar significado ao resultado. Espera-se que os alunos compreendam
que um dos múltiplos comum entre o 4 e o 6 é o 12, montando a resolução nesta
sequência: 1
6 +
1
4 =
2
12 +
3
12 =
5
12, concluindo que para fechar o inteiro faltam
7
12,
portanto, a terceira etapa de recuperação.
Analisando a figura 3, observa-se que o trajeto em azul que vai de Recife a
Caruaru marca distância de 134 km, então o grupo pode associar esta distância às
três etapas de recuperação, isto é, multiplicando a fração das três etapas. Conforme
o enunciado, os grupos perceberão que 1
6 corresponde a 22,33... km,
1
4 a 33,5 km e
7
12 a 78,166...Km. Uma observação importante nesta análise é referente à dízima
periódica que aparece na primeira e terceira etapa, propiciando o conceito de
números racionais (finitos ou infinitos e periódicos).
6 D26 - Resolver problema com números racionais que envolvam as operações de adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação.
(PROVA BRASIL, 2011) A
estrada que liga Recife a
Caruaru será recuperada em três
etapas. Na primeira etapa, será
recuperado 1/6 da estrada e na
segunda etapa 1/4 da estrada.
Uma fração que corresponde à
terceira etapa é?
23
Outro caminho para o desenvolvimento desta tarefa pode ser pelos números
decimais ou o uso da porcentagem, então vejamos, 1
6≅ 0,1667 ≅16,67% e
1
4=
0,25 = 25%. Sendo o processo da soma, 0,1667 + 0,25 ≅ 0,4167 ou 41, 67%,
concluindo que para o inteiro ou totalidade, faltam 0,5833 ou 58,33%. Neste caso o
grupo terá que ter habilidade para transformar a dízima periódica na fração geratriz,
no caso do problema, fica assim: para cada algarismo do antiperíodo se coloca um
algarismo zero, também no denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte
conta: (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo) que
no caso ficará 583−58
900=
525
900, simplificando ambos os termos por 75, a fração
irredutível será igual a 7
12.
Tarefa 2 – Reconhecer frações equivalentes. (Descritor 23)7
(PROVA BRASIL, 2011) Observe as figuras:
Figura 3 – Fração Equivalente das Pizzas Fonte:http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109
Análise
Neste problema, o grupo deve compreender que as duas pizzas tem o mesmo
tamanho, deduzindo que há uma equivalência entre 6
8 e
9
12. O esperado, é que
saibam simplificar ambas as frações 6
8 =
3
4 e
9
12 =
3
4, concluindo que tanto José,
quanto Pedrinho comeram a mesma quantidade de pizzas. Um dos conteúdos que
deve ser enfatizado neste problema é fração irredutível, permitindo ao grupo fazer
suas análises e ponderações com relação às frações 3
4,
6
8 e
9
12, levando a
7 D23 – Identificar as frações equivalentes.
Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver
quem comia mais pedaços de pizza. Pediram
duas pizzas de igual tamanho. Pedrinho dividiu
a sua em oito pedaços iguais e comeu seis.
José dividiu a sua em doze pedaços iguais e
comeu nove. Então, qual deles comeu mais
pedaços de pizza?
24
compreensão de que todas as três frações tem em comum o mesmo valor decimal,
no caso 0,75, por isso concluir que tanto José, quanto Pedrinho comeram a mesma
quantidade de pizza.
Tarefa 3 – Calcular frações. (Descritor 26)
Figura 4 – Pizza Fonte: http://www.smartkids.com.br/busca/resultado?Busca[termoBuscado]=pizza&Busca[todosFiltros]=1&Buscar
Análise
Nesta questão, o grupo precisa observar que o fator tempo é apenas uma
informação, um detalhe sem relevância, o importante é associar a quantidade (50%)
com a fração que a representa. O esperado é que se associe 50% = 50
100=
5
10 =
1
2
(fração irredutível). Eles devem compreender que porcentagem consiste em uma
fração em que o denominador é 100, representada pelo símbolo % e que 100%
representa a totalidade e no caso específico deste problema, foram consumidos a
metade do todo, quer dizer que da pizza inteira, a metade foi consumida.
Tarefa 4 – Calcular perímetro e área. (Descritores 12 e 13)8
(Elaboração pessoal) Observe o mapa a seguir de algumas quadras, na
capital do Paraná.
Figura 5 – Trecho Ciclovia na capital do Estado do Paraná Fonte: https://www.google.com.br/maps/@-25.3981313,-49.2676174,18z?hl=pt-BR
8 D12 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D13 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
(PARANÁ, 2009) Bianca e suas amigas saíram para
comer uma pizza. Depois de 20 minutos de conversa
elas já haviam comido 50 % da pizza. Qual fração
representa a parte da pizza que elas já comeram?
25
A linha azul representa o trajeto percorrido por um ciclista em seu treinamento
esportivo. Cada parte da quadra tem um comprimento aproximado de 108m. Se ele
percorrer quinze vezes todo esse trecho, vai andar aproximadamente quantos
quilômetros? Qual é a área aproximada em metros, que compreende o percurso
feito pelo ciclista?
Análise
Nesta alternativa, o grupo deve analisar a figura e se apropriar das
ferramentas de unidades de medida de comprimento (metro e quilômetro), dos
conceitos de perímetro e área para análise e solução. Em relação ao perímetro,
esperasse que os grupos observem o contorno em azul e percebam que são 8
partes e que o comprimento aproximado de cada parte é 108 m, multiplicando um
pelo outro obtém-se resultado 864 metros e como o ciclista percorre 15 vezes este
trecho, multiplicasse o perímetro pelo total, encontrando resultado 12.960 metros e
convertendo em quilômetros (conforme enunciado), dá 12,96 Km. No caso da área,
o grupo precisa multiplicar o comprimento pela largura, uma vez que o percurso tem
um formato retangular. Eles precisam somar as três parte das quadras
(comprimento), 108 + 108 + 108 = 324 metros e multiplicar pela largura, então 324 x
108 = 34.992 m².
Tarefa 5 – Montar um Sistema de Equação e identificar expressões algébricas que
representam os valores de uma sequência numérica. (Descritores 34)9
Figura 6– Sanduíche Fonte: http://www.tocadacotia.com/culinaria/lanches
9 D34 – Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.
(PARANÁ, 2009) Na lanchonete de uma escola o preço
do salgado é R$ 2,00 e o preço do sanduíche é R$
3,00, que são os lanches vendidos. Em uma manhã
foram vendidos 70 lanches. O valor arrecadado em todo
o dia foi de R$ 180,00. Monte o sistema de equação
que representa o problema
26
Análise
O objetivo desta questão não é o cálculo em si, mas instigar o grupo a pensar,
refletir e verificar como é possível determinar uma equação que permita encontrar o
resultado, quando se tem duas grandezas disponíveis. É interessante que o grupo
questione, argumente e analise como uma ferramenta (maquina registradora, bomba
de combustível, outros) faz o cálculo automaticamente. O grupo deve associar as
grandezas diretamente proporcionais, que no caso do problema são preço e
quantidade vendida. O problema informa que em certa manhã foram vendidos 70
lanches, atribuindo a letra x para salgado e y para sanduíche, então, x + y = 70. Se
cada salgado custa R$ 2,00 e cada sanduíche custa R$ 3,00, e foram vendidos R$
180,00 então 2x + 3y = 180. Então o sistema de equação para aquela manhã foi:
Tarefa 6 – Calcular proporção. (Descritor 29)10
Figura 7 – Unidade Escolar Fonte: http://www.sjc.sp.gov.br/noticias/noticia.aspx?noticia_id=14593
(Readaptado Prova Brasil, 2011) O desenho de um colégio foi feito na
seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5m. A representação ficou com 10 cm de
altura 50 cm de largura e 150 cm de comprimento. Em dimensões reais, qual é a
altura, largura e comprimento do colégio em metros?
10
D29 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.
𝑥 + 𝑦 = 70
2𝑥 + 3𝑦 = 180
27
Análise
Estabelecer a relação de proporcionalidade, encontrar o equivalente a uma
unidade. Nesta questão, além do uso da escala, se faz necessário explorar formas
geométricas, o que contribuirá no processo do conhecimento. O procedimento
básico a ser adotado pelo grupo será a equivalência, realizando a operação pela
regra de três.
Altura será representada pela letra ℎ:
4
5=
10
ℎ→ 4ℎ = 5 ∗ 10 → ℎ =
50
4→ ℎ = 12,5 𝑚
A largura será representada pela letra 𝑙:
4
5=
50
𝑙→ 4𝑙 = 5 ∗ 50 → 𝑙 =
250
4→ 𝑙 = 62,5 𝑚
O comprimento será representado pela 𝑐:
4
5=
150
𝑐→ 4𝑐 = 5 ∗ 150 → 𝑐 =
750
4→ 𝑐 = 187,5 𝑚
Portanto, as dimensões reais são: altura 12,5 metros, largura 62,5 metros e
comprimento 187,5 metros.
Tarefa 7 – Identificar relação entre representações algébrica e geométrica. (Descritor
911 e 3512)
(PROVA BRASIL, 2011), Observe o gráfico abaixo.
Figura 8 – Representação da reta Fonte: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109
11
D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas. 12
D35 –Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau
Monte o sistema de equação
representado por este gráfico.
28
Análise
Nesta tarefa é necessário relembrar o conceito de equação do primeiro grau e
de função afim, compreender o que é Plano Cartesiano, par ordenado e como se
encontra a equação da reta através do sistema de equação. É notório observar que
a solução desta questão está na identificação dos pontos do plano cartesiano (x; y)
expressos neste gráfico. Convém que os grupos compreendam o significado gráfico
(ou geométrico) desta questão, a qual pede para montar o sistema de equação que
o gerou e pelo método tradicional há a necessidade de se iniciar pela lei de
formação da função afim para as duas retas que tem o ponto (2, 1)
em comum, usando um dos métodos do sistema de equação para a sua resolução.
É interessante estimular o uso da tecnologia para auxiliar na apropriação do
conhecimento, possibilitando fazer as construções dos gráficos de diferentes
funções usando softwares gratuitos, e um deles é o GeoGebra.13
O software GeoGebra irá incrementar a compreensão e resolução do
problema proposto. A equação da reta e a análise do sistema de equação serão
mais visíveis, compreensíveis, possibilitando também a manipulação de dados e
construção de novas coordenadas cartesianas.
Vejamos passo a passo com o software GeoGebra:
1º Passo – Abrir software GeoGebra ou através da lousa digital ou canhão
multimídia ou computadores no laboratório de informática e com a turma divida em
grupo.
Figura 9 – Tela Inicial software GeoGebra 3.2 Fonte: Autor
13
É um software de matemática dinâmico gratuito e multi-plataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Ele tem recebido vários prêmios na Europa e EUA. Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/info/13-what-is, acesso em 22/09/2014
y = ax + b
29
2º Passo – Incluir os pontos das coordenadas cartesianas disponíveis na questão
acima, figura 8. Ir à Barra de Ferramentas, clique em Exibir, abrirá uma janela,
clique em , abrirá na parte inferior da tela o campo entrada,
digite o ponto (0, 5) dê Enter e aparecerá na Janela de Álgebra (canto superior
esquerdo) o ponto A = (0, 5) e na Janela de Visualização (Plano Cartesiano), o
ponto A. Proceda da mesma forma para incluir os pontos (2, 1) e (0, –1).
Figura 10 – Inclusão dos pontos cartesianos Fonte: Autor
Figura 11 – Destaque dos pontos cartesianos Fonte: Autor
3º Passo – Estabelecer a reta entre os pontos A(0, 5) e B (2, 1), encontrando assim
a equação da reta destes pontos, conforme gráfico 5, no caso
y = - 2x + 5
30
Figura 12 – Estabelecer a reta entre dois pontos Fonte: Autor
Figura 13 – Reta decrescente construída, dado dois pontos cartesianos Fonte: Autor
4º Passo – Proceder da mesma forma do passo três, neste caso entre B (2, 1) e C
(0, -1) encontrando assim a equação da reta dos pontos B e C, conforme gráfico 6,
no caso
Figura 14 – Reta crescente construída dado dois pontos cartesianos. Fonte: Autor
y = x - 1
31
5º Passo - Fazer a intersecção entre as duas retas, encontrando o sistema de
equação 𝑦 = −2𝑥 + 5
𝑦 = 𝑥 − 1 solicitado na tarefa 6.
Figura 15 – Intersecção entre duas retas Fonte: Autor
9.2 QUESTIONÁRIO 1ª ETAPA
Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada
grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/05Cpw4x4wH
32
10. SEGUNDA ETAPA
10.1 PROBLEMAS INTERMEDIÁRIOS
A proposta nesta segunda etapa, além da apropriação dos conhecimentos
previamente adquiridos, os alunos deverão demonstrar certo potencial de
conhecimento para resolução dos problemas propostos, aumentando o grau de
dificuldade e busca pela solução, com o uso de muita leitura, releitura, pesquisa,
troca de informações entre os componentes do grupo e domínio da linguagem
matemática.
Para estas questões serão relembrados e explorados os conceitos de escala,
razão e proporção, regra de três simples, porcentagem, dados estatísticos, área,
perímetro, expressão algébrica, polinômio, equação do 1º grau, relações métricas no
triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras, potência, unidade de medida Kwh14,
tabela e gráfico de barras.
10.1.1 Cronograma 2ª Etapa
Para esta etapa a previsão será de onze aulas para a resolução dos
problemas e levantamento dos dados.
Quadro 2 Cronograma 2ª Etapa
1 aula Organização e apresentação
8 aulas Desenvolvimento das atividades
1 aula Avaliação
1 aula Questionário
Fonte: Autor
14
KWh – Quilowatt-hora. Disponível em: http://www.significados.com.br/kwh/, acesso em 27/10/2014.
33
10.1.2 Avaliação
A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos
envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela
apresentação dos resultados encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e
interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e
desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por
cada grupo.
O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem
dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da
língua materna na resolução de problemas.
34
Tarefa 1 – Calcular unidade de medida de comprimento, utilizando a relação métrica
no triângulo retângulo. (Descritor 1015)
Figura 16 – Instalação Rede Elétrica em uma residência Fonte: Autor
Análise
Para a resolução desta tarefa, o grupo precisa ter conhecimento das relações
métricas no triângulo retângulo, conhecer os nomes dos lados de um triângulo
retângulo, distinguir o lado maior dos lados menores, identificando a hipotenusa e os
catetos e se apropriar do Teorema de Pitágoras para a sua resolução, lembrando
que há três fios na ligação (duas fases positivas e uma neutra). O procedimento é
elaborar um esquema que facilite a visualização, identificando que a ponta do poste
até a caixa de entrada de energia elétrica representa a maior distância (hipotenusa),
o que facilita a aplicação do Teorema de Pitágoras. É importante que o grupo
perceba que a caixa está a dois metros acima do solo e que precisa deduzir esta
medida da altura do poste.
15
D9 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos
(Adaptado SEED, 2009, p. 21) Quantos
metros de fio são necessários para ligar
a ponta de um poste de 8m de altura até
a entrada de energia elétrica de uma
casa, localizada em uma caixa que fica
a 2m do solo, distante 8m do poste?
Lembrete: A ligação é bifásica, com
duas entradas positivas e uma neutra.
Dica: Pesquisar um pouco da história de
Pitágoras e fazer uma demonstração do seu Teorema.
35
Resolução:
8 – 2 = 6 metros (dedução da altura do poste e da caixa em relação ao solo)
Teorema de Pitágoras
Chamaremos H a ponta do poste até a entrada da energia elétrica
(hipotenusa), P o poste, deduzido a altura da caixa do solo (cateto) e D a distância
do poste até a caixa de energia elétrica (cateto).
Então: H2 = P
2 + D
2, substituindo as letras pelos respectivos valores, fica H
2 =
62 + 82 → H2 = 36 + 64 → H2 = 100 → H = √𝟏𝟎𝟎 → H = 10, portanto cada fio tem 10
metros de comprimento, multiplicando por 3, serão necessários 30 metros de fio.
Tarefa 2 – Calcular situação problema envolvendo porcentagem. (Descritor 16)16
Figura 17 – Um cafezinho Fonte: http://www.dormindobem.com.br/noticias/9-dicas-para-parar-de-beber-cafe.php
Análise
Explorar porcentagem é um conteúdo indispensável no cotidiano dos alunos,
além de familiarizar com os termos desconto, acréscimo, juros, taxa, capital e
montante.
Um dos caminhos para solucionar o problema acima é extrair de 1000, 70%
de pessoas que bebem café. Um conceito simplista, porcentagem é em simples
palavras, todo e qualquer valor na base 100, então deduzindo, 70% = 70
100= 0,7,
portanto, bebem café → 1000 x 0,7 = 700 pessoas.
16
D16 – Resolver problema que envolva porcentagem
(PDE/SAEB, 2011) Uma pesquisa sobre o perfil
dos que bebem café mostrou que, num grupo de
1000 pessoas, 70% bebem café e, dentre os que
bebem café, 44% são mulheres. Qual a
quantidade de homens que bebem café no grupo
de 1 000 pessoas?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos
36
Outro dado importante: do total que bebem café, 44% são mulheres, então se
conclui que dos 100% que bebem café, 56% são homens. Então, extraindo 56% de
700 pessoas, fica: 700 x 0,56 = 392 homens que bebem café.
Tarefa 3 – Calculo de área irregular com uso de escala. (Descritor 13 e 15)17
MANCHA DE ÓLEO
(PISA, 2012, p. 16) Ao navegar, um petroleiro choca-se com um arrecife,
abrindo um buraco nos tanques de armazenagem de óleo. O petroleiro se
encontrava a aproximadamente 65 km da costa. Alguns dias mais tarde, o óleo se
espalhou como mostra o mapa abaixo.
Figura 18 – Mancha de Óleo Fonte: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/itens/2012/pisa_2012_matematica_itens_liberados.pdf
Análise
Calcular a área aproximada da mancha causada por um petroleiro, usando a
escala definida na figura. Neste caso, o grupo se apropriara do conteúdo
estruturante: Espaço e forma para que possa encontrar um valor mais próximo da
tolerância aceitável, compreendida entre 2200 a 3300 Km². A sugestão mais
apropriada será contornar a mancha com uma figura regular (formato retangular),
quadricular com distância de 1 em 1 cm, facilitando assim o cálculo. Contabilizar os
quadros que perfazem a mancha, calcular a área em centímetros quadrado e com o
uso da escala, converter para quilômetros quadrado, desprezando as partes que não
estão manchadas.
17
D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
Usando a escala do mapa, calcule a área
da mancha de óleo em quilômetros
quadrados (km²).
37
Tarefa 4 – Calcular idade. (Descritor 1918 e 34)
Figura 19 – Idades Fonte: http://www.pinterest.com/pin/290130400966411619/
Análise
Este é um típico desafio que estimula o grupo a pensar, refletir e encontrar a
solução a qual depende da montagem de um sistema de equação do primeiro grau.
Então, resolve-se nomeando as idades da seguinte forma:
Quando tu tinhas y anos, eu tinha x anos.
Hoje tu tens x e eu tenho 2y
A diferença entre as idades é sempre igual, é só pensar um pouco.
x – y = k – x + 2y = k
Tem-se um sistema de equações do 1º grau. Resolve-se, somando as duas
equações:
x – y = k – x+2y = k y = 2k
A diferença das idades é k = y/2, então quando tu tiveres 2y eu terei sua
idade mais a diferença, tem-se:
2y + 𝑦2
= 4𝑦+𝑦
2 =
5𝑦2
Agora, faz-se uma equação somando as idades futuras resultando em 45
anos, tem-se:
18
D19 – Resolver o problema com números naturais envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
Eu tenho o dobro da idade
que tu tinhas quando eu tinha
a tua idade. Quando tu tiveres a
minha idade, a soma das nossas
idades será de 45 anos. Quais
são as nossas idades?
38
2y +5y
2= 45
4y + 5y = 90 9y = 90
y =90
9
y = 10
Hoje eu tenho 2y e tu tens x = 3y/2, então:
2y = 2 * 10 = 20 anos
x = 3𝑦2 =
3∗102
= 30
2 = 15 anos
Eu tenho 20 anos e tu tens 15 anos.
Nesta questão os grupos podem questionar que a soma entre 20 e 15 não dá
45. Vale lembrar-se da leitura e interpretação que se faz da parte central do
problema: “Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de
45 anos” e perceber que está no futuro, portanto quando eu tiver 25 anos e você 20
(minha idade atual), então a soma será 45 anos, o que justifica a resolução está
correta.
Tarefa 5 – Calculo de perímetro, de área e de valor a pagar. (Descritores 13)
(Adaptado SEED, 2009, p. 25) Uma
piscina quadrada foi construída num
terreno retangular, conforme figura ao
lado. O proprietário colocou grama
esmeralda no terreno em volta da piscina
e construiu muro em alvenaria com 2
metros de altura neste terreno.
Calcule quanto ele investiu neste empreendimento, sabendo-se
que o 1m² de grama custou R$ 5,60, a piscina, R$ 285,50 o 1m²
(com material e mão de obra) e o muro R$ 105,00 o 1 m² (com
material e mão de obra).
Figura 20 – A Piscina Fonte: http://assimeugosto.com/2010/11/29/piscinas-1/
39
Análise
Neste problema o grupo precisa fazer algumas análises e interpretar que a
área plantada com grama não representa o todo do terreno e que precisa descontar
a área da piscina. A interpretação chave está no fato do terreno ser retangular, a
piscina ser quadrada e o muro contornar todo o terreno com altura definida no
enunciado. As medidas estão expostas na figura acima para auxiliar no cálculo da
área do terreno, da piscina, do gramado e do muro para encontrar o investimento
total, conforme solicitado no problema. A questão é simples, mas exige atenção do
grupo, então vejamos:
At = 12 x 8 At = 96 m² (Área Total)
Ap=42 Ap = 16 m² (Área Piscina)
Ag = At - Ap Ag = 96 – 16 Ag = 80 m² (Área Grama)
Com os dados acima é possível calcular os gastos com a construção da
piscina e com o plantio da grama, através de uma regra de três simples:
PISCINA
1 m² → R$ 285,50
16 m² → P
P = 16 * 285,50
P = R$ 4.568,00
GRAMA
1 m² → R$ 5,60
80 m² → G
G = 80 * 5,60
G = R$ 448,00
Próximo passo, encontrar a área construída do muro e posterior gasto com a
sua construção. Deve-se levar em conta que o muro cerca todo o terreno e se faz
necessário encontrar o seu perímetro para depois cálculo da área total construída.
Pm = 2c + 2l
Pm = 2 * 12 + 2 * 8
Pm = 24 + 16
Pm = 40 m
Am = Pm * h
Am = 40 * 2
Am = 80 m²
At = Área Total Ap = Área Piscina Ag = Área Grama Am = Área Muro Pm = Perímetro Muro
c = comprimento l = largura h = altura
P = Piscina G = Grama M = Muro I = Investimento
40
Com a área total do muro, calcular o seu custo de construção e o valor total
do empreendimento neste terreno:
MURO
1 m² → R$ 105,00
80 m² → M
M = 80 * 105,00
M = R$ 8.400,00
INVESTIMENTO
I = P + G + M
I = 4.568,00 + 448,00 + 8.400,00
I = R$ 13.416,00
Concluindo, o investimento total nesta propriedade foi de Treze Mil,
Quatrocentos e Dezesseis Mil Reais.
Tarefa 6 – Calcular consumo de energia elétrica em kWh e em unidade monetária.
(Descritores 15 e 2919)
Figura 21 – Chuveiro Fonte: http://fotografia.folha.uol.com.br/galerias/7131-escolha-o-chuveiro-ideal#foto-137526
Análise
Neste problema são necessários alguns conhecimentos de ciências,
principalmente na área da física, tais como as unidades de medidas Watts (W),
Quilowatts-hora (kWh), Volts (V), Energia (E), Potência (P) e Variação (Δ). Outra
tarefa importante é pesquisar, analisar e compreender como funciona a geração e
distribuição de energia elétrica, quem gera, quem distribui, como é medida o
consumo de energia e quais as unidades de medidas. O interessante é que o grupo
possa realizar uma pesquisa e investigação com um professor de física, livro
19
D29 – Resolver o problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.
(Elaboração Pessoal) Qual é o custo mensal de um
banho diário de meia hora num chuveiro cuja
potência é de 4000W, sabendo-se que o custo do
kWh é de R$ 0,490713?
Obs.: R$ 0,490713 é o fator de consumo para área urbana, na cidade
de Almirante Tamandaré/Pr), de acordo com fatura de energia elétrica
de novembro/2014 do próprio autor.
41
didático ou pela INTERNET, nos sites de busca ou da própria COPEL20. É
indispensável estimular os alunos a verificarem as faturas de energia elétrica das
suas residências ou da própria escola para verificar o fator de consumo de energia,
o próprio histórico de consumo e incidência de encargos, tributos, taxas e impostos
para auxiliar na compreensão do problema, nos conceitos e na montagem da
expressão que permitirá calcular o consumo de energia do chuveiro e o seu custo
mensal.
Os grupos precisam compreender que a expressão representa grandezas
diretamente proporcionais e é uma Equação do 1º Grau.
Para a resolução é preciso encontrar a variação do tempo (Δt), isto é, o tempo
de uso do chuveiro durante o período de leitura de consumo (equivalente a 30 dias),
após multiplica-se a potência do chuveiro pela variação do tempo para encontrar a
variação de energia e por último, multiplica-se a variação de energia (ΔE) pelo fator
de consumo
Resolução:
O tempo total de uso do chuveiro é: Δt = 30 * 0,5 = 15 h
Como a potência do chuveiro é 4000W ou 4kW, então o consumo de
energia é dado por: ΔE = P * Δt ΔE = 4 *15 ΔE = 60kWh.
Sendo R$0,490713 o custo de cada kWh, temos:
Custo = 60 * 0, 490713 Custo ≅ R$ 29,44
O custo mensal para um banho de meia hora diária num período de 30 dias é
de aproximadamente Vinte e Nove Reais e Quarenta e Quatro Centavos.
20
COPEL – Companhia Paranaense de Energia Elétrica
30 corresponde ao total
de dias num mês
comercial e 0,5 a meia
hora diária.
42
Tarefa 7 – Analisar dados de uma tabela. (Descritores 36)21
(Elaboração Pessoal) A tabela a seguir apresenta a população dos cinco
municípios mais populosos do Paraná nos anos 2000 e 2010.
TABELA 1
MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO ESTADO DO PARANÁ
Fonte: IBGE: Censo demográfico, 2000 e 2010.
Ao observar os dados da tabela, encontrar o aumento/decréscimo no período
de 2000 a 2010 da população e representá-los em percentual, verificar qual cidade
teve o maior crescimento neste período, elaborar um gráfico de barras, dada a
população nos dois períodos expostos, fazer uma previsão para 2020 e a título de
curiosidade, realizar uma pesquisa sobre as possíveis razões do decréscimo da
população de Foz do Iguaçu neste período.
Análise
Esta é uma típica questão com informações que após análise, observação,
pesquisa no próprio site do IBGE22, levantamento de dados importantes e anotações
realizadas pelo grupo é que as formulações e respostas aparecerão. As tabelas são
muito utilizadas e exploradas em jornais, revistas, livros e outros, para expressar de
maneira simbólica e visual os levantamentos de dados para analise, observações e
possíveis ações. As tabelas são um farto material para estimular os alunos a leitura
e interpretação dos dados. Neste caso, o interessante é elaborar um roteiro para
21
D36 – Resolver o problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. 22
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA
ORDEM Município
População (habitantes) 2000
População (habitantes) 2010
1 Curitiba 1.587.315
1.746.896
2 Londrina 447.065
506.645
3 Maringá 288.653
357.117
4 Ponta Grossa 273.616
311.697
5 Foz do Iguaçu 258.543
256.081
43
instigar o grupo na busca por dados relevantes e que permitam o maior número de
informações possíveis. Eis um exemplo de roteiro para auxiliar na problematização:
Elaborar um quadro com levantamento do aumento/decréscimo da população,
calculando o percentual de cada cidade com base na população de 2010,
destacando a cidade que teve o aumento mais expressivo. Para calcular o aumento
populacional das quatro maiores cidades e o decréscimo de Foz do Iguaçu, pode ser
dado por uma regra de três simples, conforme o exemplo abaixo da capital
paranaense.
Fazer uma estimativa para o ano 2020 no próprio quadro, aproveitando os
percentuais encontrados no período analisado de maneira linear para se ter um
parâmetro e prognóstico para uma possível coleta dos dados, elaboração de um
projeto de intervenção nas áreas da saúde, educação, transporte, partindo do
pressuposto que faz parte do governo estadual e tem interesse no assunto..
Elaborar um gráfico de barras de acordo com os dados da tabela 1 para a
população entre 2000 a 2010
Elaborar um gráfico de setores (pizza), a partir do quadro criado, referente ao
percentual de aumento/decréscimo da população das cinco maiores cidades do
Estado do Paraná.
O roteiro ficará o mais próximo da sequência abaixo:
Para as demais cidades o procedimento é o mesmo, com o cuidado para Foz
do Iguaçu que houve um decréscimo, é possível aproveitar o quadro para fazer um
prognóstico para 2020, aproveitando o percentual encontrado.
Curitiba
1.587.315 100%
1.746.896 x%
x =174.689.600 - 100 x ≅10,0535% 1.587.315
Conclusão: O aumento da população da Capital Paranaense neste período foi de aproximadamente 10,0535%, isto é, de 159.581 habitantes.
- 100
44
O quadro a ser elaborado deve conter um título, acrescentando em cada
coluna os tópicos: municípios, aumento/decréscimo com percentual baseado na
população de 2010 e a estimativa para 2020, deixando claro para os grupos que a
estimativa para a cidade de Foz do Iguaçu será incerta e imprevisível.
QUADRO 3
PERCENTUAL DE AUMENTO/DECRÉSCIMO DOS CINCO MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO PARANÁ COM PERSPECTIVA PARA 2020
Município Aumento/Decréscimo Percentual
(%)
Estimativa Linear
2020
Curitiba 159.581 10,0535% 1.922.521
Londrina 59.580 13,3269% 574.165
Maringá 68.464 23,7184% 441.820
Ponta Grossa 38.081 13,9176% 355.078
Foz do Iguaçu -2.462 -0,9522% 253.642
Fonte: Autor
Para dar sequência ao roteiro e para que a questão fique com um toque
requintado, é interessante conduzir os alunos ao laboratório de informática para
confecção dos gráficos de barras ou setores (pizza) por meio de um software de
planilhas, que pode ser o calc23 ou excel24.
23
Calc é um software de planilha eletrônica multiplataforma de código aberto, desenvolvido originalmente pela Star Division, posteriormente pela Sun Microsystems (como parte da suíte StarOffice) e atualmente pela The Document Foundation, como parte da suíte LibreOffice. Também é distribuído gratuitamente com as suítes OpenOffice.org e NeoOffice. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Calc 24
O Microsoft Office Excel é um editor de planilhas produzido pela Microsoft para computadores que utilizam o seu sistema operacional, Microsoft Windows, além de computadores Macintosh da Apple Inc. e dispositivos móveis como o Windows Phone, Android ou o iOS. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel
45
Caro professor, observar se os grupos estão compreendendo o assunto e se
sabem quais são as etapas para a confecção da tabela e se sabem como formular
as expressões para o cálculo automático, tanto do aumento/decréscimo, do
percentual e da estimativa.
Abaixo um passo a passo no uso da planilha eletrônica excel para resolução
desta atividade, com esquema para as fórmulas que propiciaram as questões
solicitadas.
1º Passo:
Abrir a planilha.
Figura 22 – Pagina Inicial Planilha Excel Fonte: Autor
2º Passo:
Conte quantas células usará tanto em linha quanto em coluna para facilitar a
confecção da tabela. Escolha uma célula central para escrever o título, neste caso
D1, é interessante deixar a fonte com tamanho maior, nas células A3, A4, A5, A6 e
A7 colocar a sequência numérica, na célula B2, escrever Município e nas células
B3, B4, B5, B6 e B7 colocar os nomes das cidades conforme sequência descrita na
tarefa 1, na célula C2 escrever População (habitantes) 2000 e na célula D2,
População (habitantes) 2010. Não se esqueça de expandir as células para que os
dados apareçam por completo e negritar os dados para um melhor destaque.
46
Figura 23 – Montando Tabela Fonte: Autor
3º Passo:
Neste passo incluir as questões solicitadas, na célula E2 escrever
Aumento/Decréscimo, na célula F2 Percentual (aumento/decréscimo)e na célula
G2, Previsão para 2020, não esqueça de ajustar as linhas e colunas para uma
melhor visualização.
Figura 24 – Acrescentando Dados Fonte: Autor
47
4º Passo:
Nesta etapa é interessante, sombrear as células B2, C2, D2, E2, F2 e G2.
Para isto, selecione as células indicadas, clique no lado direito do mouse, abrindo
uma janela, role o mouse até , clique com o lado
esquerdo do mouse para abrir outra janela que está descrita no 5º passo.
o
Figura 25 – Ajustando Tabela Fonte: Autor
5º passo
Nesta etapa, escolher a janela Preenchimento, clicar, escolher uma cor,
clicar em ok para destacar as células citadas no 4ºpasso.
Figura 26 – Preenchimento para destacar linha Fonte: Autor
48
6º Passo:
Selecionar as células de A2 a G7, clicar com lado direito do mouse, rolar até
, clicar, escolher a janela Borda, clicar e escolher a
janela , clicar, escolher a Borda , excluir as bordas da esquerda e da
direita circuladas na figura clicar em okpara incluir
linhas nas células, ajustando e destacando a tabela.
Figura 27 – Seleção Células Fonte: Autor
Figura 28 –Inclusão Linhas Fonte: Autor
49
7º Passo:
Incluir os valores sem ponto ou vírgula da população de 2000 e 2010. Para
separar as casas posicionais, selecionar as células C3 a D7, clicar em ,
e .
Figura 29 – Lançamento Dados População Fonte: Autor
Após clicar em , escolher a opção número,
para zerar, para separar as casas
posicionais, após clicar em ok para finalizar a formatação.
Figura 30 – Ajustando as casas posicionais Fonte: Autor
50
8º Passo:
Nesta etapa, serão elaboradas as fórmulas para cálculo automático do
Aumento/Decréscimo, Percentual e Previsão para 2020. Começar pela célula E2
(Aumento/Decréscimo), o procedimento é selecionar as célula E3 e incluir em
a expressão , clicar em enter para que o
resultado apareça na célula E3, após selecionar as células E3 a E7 para preencher
o restante do resultado. Na sequência vem à célula F2 (Percentual), selecionar a
célula F3, incluir a expressão , dar enter para que o resultado esteja
disponível, após selecionar com quatro casas decimais e clicar
para que o valor apareça em percentual, selecionar as células F3 a F7 para que as
demais células sejam preenchidas com o resultado conforme figura 18. Por último
selecionar a célula G3 (Previsão para 2020), incluir a fórmula , dar enter,
ajustar para zerar, para separar as
casas posicionais, selecionar as células G3 a G7, clicar para finalizar a formatação,
conforme figura 19.
Figura 31 – Elaborando Fórmula Aumento/Decréscimo Fonte: Autor
51
Figura 32 – Elaborando Fórmula Percentual Fonte: Autor
Figura 33 – Elaborando Fórmula Previsão Fonte: Autor
9º Passo:
Para finalizar o roteiro, incluir os gráficos de colunas e setores (pizza).
Começar pelo gráfico de colunas, é necessário selecionar as células C2 a D7, ir à
opção , escolher uma opção e clicar com o mouse para aparecer o
gráfico de colunas. É aconselhável escrever um título para o gráfico, lembrando que
a coluna representa a quantidade da população conforme escala de 200.000 em
52
200.000 e na linha estão os números que representa os municípios conforme
exposto na tabela, 1 – Curitiba, 2 – Londrina, 3 – Maringá, 4 – Ponta Grossa e 5 –
Foz do Iguaçu.
POPULAÇÃO DOS CINCO MAIORES MUNICÍPIOS DO PARANÁ NOS
PERÍODOS DE 2000 E 2010
Figura 34 – Gráfico de Barras População Fonte: Autor
10º Passo:
Próximo passo, para criar o gráfico de setores (pizza), selecionar as células
F2 a F7, ir à opção , escolher uma opção e clicar com o mouse para
aparecer o gráfico de setores (pizza), se faz necessário alguns ajustes para
melhorar visualização, selecione os números com os percentuais e no lugar do
número escreva o nome do município, negrite e de enter. Veja o exemplo:
, proceda da mesma forma para os demais valores até o
gráfico ficar de acordo. Por último elabore um título para o gráfico para melhor
compreensão de quem está visualizando.
0
200.000
400.000
600.000
800.000
1.000.000
1.200.000
1.400.000
1.600.000
1.800.000
1 2 3 4 5
População (habitantes) 2000
População (habitantes) 2010
53
PERCENTUAL DE AUMENTO/DECRÉSCIMO DOS CINCO MAIORES MUNICÍPIOS DO PARANÁ NO PERÍODO DE 2000 A 2010
Figura 35 – Gráfico de Setores com percentual de aumento/decréscimo Fonte: Autor
Para finalizar, é importante que o grupo visualize na mesma planilha, todas as
tarefas realizadas, conforme os passos descritos acima.
Figura 36 – Tela Excel com tabela e gráficos representativos Fonte: Autor
Curitiba 10,0535%
Londrina 13,3269%
Maringá 23,7184%
Ponta Grossa 13,9177%
Foz do Iguaçu -0,9523%
Curiosidade:
É interessante estimular os alunos,
aproveitando o acesso a INTERNET para
investigar quais possíveis causas do
decréscimo do município de Foz do Iguaçu
período de 2000 a 2010.
54
10.2 QUESTIONÁRIO 2ª ETAPA
Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada
grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/VLD3gjijca
55
11. TERCEIRA ETAPA
11.1 PROBLEMAS AVANÇADOS
A proposta nesta terceira etapa é proporcionar um desafio aos alunos na
superação de seus conhecimentos. Os alunos deverão demonstrar grande potencial
de compreensão para resolução dos problemas propostos, com o uso aprofundado
de leitura, releitura, pesquisa, troca de informações entre os componentes do grupo
e domínio da linguagem matemática. Nesta etapa serão propostas questões do
cotidiano e algumas tarefas serão no estilo da modelagem matemática,
possibilitando a exploração de diversos conteúdos e de alternativas possíveis para a
resolução. Para estas questões serão relembrados os conceitos de equação e
função do 1º grau (função afim), escala, relação métrica no triângulo retângulo,
geometria plana e espacial, medidas de ângulo, perímetro, área, volume,
comprimento da circunferência, Teorema de Pitágoras, unidade de medida de
comprimento, frequência, Hertz, Watts, unidade monetária, porcentagem, análise de
tabela e gráfico.
11.1.1 Cronograma 3ª Etapa
Para esta etapa estão previstas vinte aulas para a resolução dos problemas e
levantamento dos dados.
QUADRO 4 Cronograma 3ª Etapa
01 aula Organização e apresentação
17 aulas Desenvolvimento das atividades
01 aula Avaliação
01 aula Questionário
Fonte: Autor
56
11.1.2 Avaliação
A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos
envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela
apresentação dos resulta dos encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e
interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e
desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por
cada grupo.
O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem
dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da
língua materna na resolução de problemas.
57
Tarefa 1 – Calcular a frequência de oscilação de uma Ola. (Descritores 26 e 30)
(ENEM 2013) Uma manifestação comum das torcidas em estádios de futebol
é a ola mexicana. Os espectadores de uma linha, sem sair do lugar e sem se
deslocarem lateralmente, ficam de pé e se sentam sincronizados com os da linha
adjacente. O efeito coletivo se propaga pelos espectadores do estádio, formando
uma onda progressiva, conforme ilustração.
Figura 37 – Ola Fonte: ENEM 2013
Calcula-se que a velocidade de propagação dessa “onda humana” é 45 km/h
e que cada período de oscilação contém 16 pessoas, que se levantam e sentam
organizadamente distanciadas entre si por 80 cm.
Disponível em: www.ufsm.br. Acesso em 7 dez. 2012 (adaptado).
Nessa ola mexicana, a frequência da onda, em hertz, é um valor mais
próximo de:
a) 0,3 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,9 e) 3,7
Análise
Para resolver esta questão, os grupos precisam pesquisar sobre alguns
tópicos que ainda não estejam familiarizados, que são frequência, hertz e
conversão de velocidade de Km/h para m/s. O interessante é firmar uma parceria
com um professor de Física ou Ciências para colaborar neste aprendizado e
também pesquisar em livros didáticos ou pela própria internet. Tomado
conhecimento destes tópicos, os grupos precisam juntar as informações coletadas e
encontrar à alternativa que mais se aproxima da pergunta. Na sequencia se tem
uma ideia de como se resolve esta questão.
58
Resolução:
Como cada período de oscilação contem 16 pessoas, conclui-se que há 15
espaços entre elas. Com esta informação, encontrar o comprimento desta onda,
formada pela “ola”. Será atribuída a letra grega λ (sigma) para representar este
comprimento.
Aproveitando a informação dada no enunciado de que a velocidade de
propagação dessa “onda humana” é de 45 km/h e de que o comprimento é dado em
centímetros e convertido para metros, é necessário fazer a conversão desta
velocidade em metros por segundo, para se trabalhar com a mesma unidade de
medida. Neste caso se usa uma regra simples, dado o parâmetro de conversão após
pesquisa junto ao professor de física ou ciências ou da própria
internet. A curiosidade é pertinente e necessária neste
momento, aguçando o interesse pelo aprendizado. Para
tal é conveniente que o grupo tenha conhecimento de
como surgiu o fator 3,6 para conversão de velocidade.
Com os valores do comprimento dessa “onda humana” e da velocidade é
possível calcular a frequência da onda, mas é necessário saber qual a expressão
que permite este cálculo. É notório que os grupos se informaram deste item junto ao
professor de física ou ciências ou que pesquisaram em livros didáticos ou na
internet.
A expressão é v = λ * f
Alternativa: c
λ = 15 * 80 cm λ = 1200 cm λ = 12 m
(metros)
O parâmetro de conversão da velocidade é:
De m/s para Km/h multiplica-se
por 3,6.
De Km/h divide-se por 3,6.
v = 45 km/h 𝟒𝟓
𝟑,𝟔 12,5 m/s
v = λ * f 12,5 = 12 * f f ≅1 Hz
59
Tarefa 2 – Calcular percurso/distância e escala, utilizando a relação métrica no
triângulo retângulo. (Descritor 10 e 29)
(Adaptado CPM/PR, 2012) Na representação em escala abaixo, os quadrados
são iguais e cada centímetro representa 100 km. Um avião sai da cidade A, faz uma
parada para abastecer na cidade C, chega à cidade B e retorno direto para a cidade
A, conforme a figura 38.
Calcule a distância percorrida pelo avião:
a) Da cidade A até a cidade B, passando pela cidade C;
b) Retorno direto da cidade B até a cidade A;
c) A distância total percorrida pelo avião.
A
C
B
12 cm Figura 38 – Representação trajeto avião em escala. Fonte: Autor
Análise
O procedimento para resolução desta tarefa é o uso do Teorema de Pitágoras
em três etapas. A primeira etapa vai da cidade A até a cidade C, a segunda de C até
B e por último de B até A, lembrando que a escala é de 1 para 100 e se faz
necessário transformar de centímetros para quilômetros para encontrar o valor
aproximado.
Os grupos podem criar uma malha com células de 1 cm cada lado, nos
mesmos moldes da Figura 38 e inserir segmentos 𝐴𝐶, 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 e criar os segmentos
𝐴𝐷, 𝐷𝐶, 𝐶𝐸, 𝐵𝐸, 𝐴𝐹 e 𝐵𝐹 para melhor visualização e compreensão do problema.
6 cm
60
A
C
D
B
F E
12 cm Figura 39 – Trajeto de ida e volta do avião. Fonte: Autor
Primeira etapa, encontrar a distância do segmento 𝐴𝐶 (hipotenusa), lado maior
do ∆ABC. As medidas dos segmentos 𝐴𝐷 e 𝐷𝐶 (catetos) são deduzidas da
própria malha criada, 𝐴𝐷 = 2 cm e 𝐷𝐶 = 8 cm.
Resolução:
(𝐴𝐶)2 = (𝐴𝐷)2 + (𝐷𝐶)2 → (𝐴𝐶)2 = 22 + 82 → (𝐴𝐶)2 = 4 + 64 → (𝐴𝐶)2 = 68
𝐴𝐶= √68 → 𝐴𝐶 ≅ 8,2462 cm → multiplicando por 100 km
dAC ≅ 824,62 Km.
Segunda etapa, encontrar a distância do segmento 𝐶𝐵 (hipotenusa), lado maior
do ∆BCE. As medidas dos segmentos 𝐶𝐸 e 𝐵𝐸 (catetos) são deduzidas da
própria malha criada, 𝐶𝐸 = 3 cm e 𝐵𝐸 = 3 cm.
Resolução:
(𝐶𝐵)2 = (𝐶𝐸)2 + (𝐵𝐸)2 → (𝐶𝐵)2 = 32 + 32 → (𝐶𝐵)2 = 9 + 9 → (𝐶𝐵)2 = 18
𝐶𝐵 = √18 → 𝐶𝐵 ≅ 4,2426 cm→ multiplicando por 100 km
dCB ≅ 424, 26 Km
Com a resolução das duas primeiras etapas é possível responder alternativa
a - distância percorrida pelo avião da cidade A até a cidade B, passando pela cidade
C. O processo é somar as distâncias dAC e dCB.
6 cm
61
d = dAC + dCB → d = 824,62 + 424, 26 → d ≅ 1.248,88 Km
Terceira etapa, encontrar a distância do segmento 𝐴𝐵 (hipotenusa), lado maior
do ∆ABF. As medidas dos segmentos 𝐴𝐹 e 𝐵𝐹 (catetos) são deduzidas da
própria malha criada, 𝐴𝐹 = 5 cm e 𝐵𝐹 = 11 cm.
Resolução:
(𝐴𝐵)2 = (𝐴𝐹)2 + (𝐵𝐹)2 → (𝐴𝐵)2 = 52 + 112 → (𝐴𝐵)2 = 25 + 121→ (𝐴𝐵)2 = 146
𝐴𝐵 = √146 → 𝐴𝐵 ≅ 12,0830cm → multiplicando por 100 km
dAB ≅ 1.208,30 km
Esta resolução responde a alternativa b - retorno direto da cidade B até a
cidade A.
Para responder a alternativa c - distância total (dt) percorrida pelo avião é só
somar d e dAB.
dt = d + dAB → dt = 1.248,88 + 1.208,30 → dt ≅ 2.457,18 Km.
Figura 40 – Acadêmico Fonte: http://office.microsoft.com
O procedimento começa verificando se o software GeoGebra se encontra
instalado no laboratório de informática, se instalado, testá-lo e agendar horário para
que os grupos possam resolver esta tarefa com este software. Se não, verificar se
há na escola, uma lousa digital, um canhão multimídia, um notebook para que o
Dica:
Que tal usar o software GeoGebra para estimular os
alunos a uma melhor
compreensão e resolução desta
tarefa? Também é interessante
explorar a trajetória que um
avião faz: reta ou curva.
Explorar o conceito de Geodésia.
A distância total percorrida pelo avião foi de aproximadamente 2.457,18 km
62
professor, passo a passo auxilie os alunos na resolução da tarefa 2 através
GeoGebra.
O procedimento para o uso do software GeoGebra é assim: primeiro passo,
abrir o software no Menu Principal, clicar com mouse, lado direito em Exibir, abrirá
uma janela, clicar em , abrirá no rodapé a opção Entrada, digitar
os pontos que os grupos extrairão da figura 44 e aí se verificará se estão
compreendendo e interpretando o problema corretamente. Os pontos são A = (1, 5),
C = (9, 3), B = (12, 0). Com estes pontos é possível encontrar a distância e usando a
escala, encontrar a distância percorrida pelo avião. Mas para que o Teorema de
Pitágoras seja melhor compreendido é aconselhável criar pontos que simulem um
formato de triângulo retângulo, de acordo com a rota do avião. Proceder conforme
acima e incluir os pontos D = (1, 3), E = (9, 0), F = (1, 5). Na sequência para unir os
pontos A, C e B e formar o triângulo ∆ABC, na Barra de Ferramentas, escolher a
opção , deslizar mouse até a Janela de Visualização, clicar com o
lado direito do mouse no ponto A, rolar até o ponto C e clicar, proceder da mesma
forma entre os pontos A e D e entre D e C. Para realce, é possível alterar a cor e a
espessura de cada linha, clique com o lado direto do mouse em cima do segmento,
abrirá uma janela, role até propriedades, de um clique com o lado direito do mouse,
entre as opções tem cor e estilo, fique a vontade para explorar e aplicar. Proceda da
mesma forma para criar os triângulos ∆CEB e ∆AFB. Para encontrar as distâncias
entre os segmentos AC, CB e AB, clique em ,
deslize o mouse até o ponto A, conduza até o Ponto C, dê um clique com o lado
direito do mouse, pronto, a distância estará calculada e visível na Janela de
Visualização, procede da mesma maneira para com os pontos C e B e entre os
pontos A e B. Lembre-se que as medidas estarão em centímetros e para calcular em
quilômetros é só multiplicar por 100. Para facilitar, abra , na célula A1,
digite CIDADES, nas células A2, A3 e A4, digite A ⟶ C, C ⟶ B e B ⟶ A, na célula
B1, digite DISTÂNCIA cm, na célula B2, digite = AC, tecle Enter, selecione e arraste
o mouse até a célula B4, solte, os valores aparecerão nas células. Na célula C1,
digite DISTÂNCIA km, na célula A2, digite = B2 * 100, dê Enter, selecione e arraste o
mouse até a célula C4, solte, os valores aparecerão nas células. Na célula A6, digite
DISTÂNCIA, na célula B6, digite = B2 + B3, dê Enter, na célula C6, digite = C2 + C3,
63
dê Enter, na célula A8, digite DISTÂNCIA TOTAL, na célula B8, digite = B2 + B3 +
B4, dê Enter, na célula C8, digite = C2 + C3 + C4, dê Enter. Para incrementar a
tarefa, digite um texto com a distância percorrida pelo avião, em quilômetro da
cidade A até a cidade C, de C até a cidade B, de B até A e a distância total
percorrida pelo avião. Pronto, a tarefa está concluída, conforme figura abaixo.
Figura 41– Percurso Avião cidades A, C, B e retorno de B a A. Fonte: Autor
Tarefa 3 – Geometria Plana e Espacial – Calcular diâmetro, altura e volume de um
cilindro. (Descritor 11 e 1425)
(Adaptado UFPR, 2002) Uma fábrica produz tubos de concreto com o formato
de cilindro circular reto, oco, de 1 m de comprimento e raios interno e externo de 38
cm e 50 cm, respectivamente. No pátio da fábrica, esses tubos ficam depositados
em pilhas, conforme ilustração abaixo. Considere que as seguintes letras designem
as medidas, relativas a uma dessas pilhas: h – altura, em cm; d – distância, em cm,
entre os dois suportes verticais que sustentam os tubos empilhados; r – raio, em cm;
v – volume, em cm³, de todo o concreto contido nos tubos. Assim:
a) Encontre a distância e a altura desta pilha em centímetros e metros.
b) Encontre a expressão que representa o volume de concreto de cada tubo
e da pilha toda.
c) Pesquise o valor aproximado da massa (Kg) de cada tubo de concreto e
da pilha toda, de acordo com as dimensões especificadas no enunciado.
25
D14 – Resolver o problema envolvendo noções de volume.
64
Fonte: http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2002/matematica/q05.html
Análise
Esta questão é um clássico que permite absorver com facilidade os
conhecimentos de geometria plana e espacial. Para início, os grupos precisam
pesquisar sobre área e volume de um cilindro, suas fórmulas, a expressão que
representa a altura de um triângulo equilátero e fazer as aplicações conforme
interpretação do problema nas alternativas solicitadas.
Resolução:
A distância pode ser encontrada, interpretando que se o raio externo de cada
tubo é 50 cm, então o seu diâmetro será de 100 cm ou 1 m, como são cinco tubos
na primeira fileira, então:
A altura “h” se encontra, analisando a figura 43. É possível visualizar entre as
pilhas de tubo a projeção de um triângulo equilátero que tem os vértices A, B e C no
centro de três tubos, conforme se visualiza abaixo. Partindo desta analise e
lembrando que todos os tudo têm raio externo de 50 cm (0,5 m) e diâmetro externo
de 100 cm (1,0 m), observa-se que os lados deste triângulo passam por um tubo
inteiro e metade de dois, concluindo que a distância entre os pontos é de 200 cm
(2,0 m). Outro detalhe importante a ser interpretado é que não basta encontrar a
altura do triângulo equilátero apenas, é necessário acrescentar os dois raios que
faltam para completar a pilha de tubos de concreto. Para montar a expressão que
permite encontrar a altura desta pilha, é necessário saber a fórmula que permite
calcular a altura de um triângulo equilátero. Caso os grupos não recordem desta
fórmula é aconselhável que o professor faça uma demonstração simples no quadro,
auxiliando os alunos na resolução da alternativa a, parte b.
Figura 42 – Pilha de Tubos de Concreto
d = 5 * 100 → d = 500 cm → d = 5 m
65
Figura 43 – Representação do triângulo equilátero na pilha de tubos. Fonte: Autor
Para facilitar o trabalho do docente, segue abaixo um modelo simples que
estabelece uma expressão geral para cálculo da altura de um triângulo retângulo,
utilizando o Teorema de Pitágoras, já contemplado na etapa anterior.
Figura 44 – Demonstração para encontrar altura de um triângulo equilátero. Fonte: http://www.mundoeducacao.com/matematica/teorema-pitagoras-altura-area-triangulo-quilatero.htm
Lembrando que a altura desta pilha de tubos se encontra pela soma da altura
do triângulo equilátero e os dois raios externos → h = 𝒍 √𝟑
𝟐+ 2r
Resolução:
Se os grupos acharem melhor extrair a √𝟑 e deixarem a resposta em forma
decimal, então √𝟑 ≅ 1,73.
A
B C
h = 𝟐𝟎𝟎 √𝟑
𝟐 + 2 * 50 → h = 100√𝟑+ 100 → h = 100 * (√𝟑+ 1) cm → (√𝟑+ 1) m
h ≅ 100 * (1,73 + 1) → h ≅ 100 * 2,73→ h ≅ 273 cm → h ≅ 2,73m
66
Para encontrar a expressão que representa o volume de cada tubo de
concreto é necessário saber a fórmula do volume de um cilindro, lembrando que
precisa deduzir o volume da parte oca do tubo.
Ver o link
http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php,
para auxiliar os alunos nesta pesquisa e demonstração.
A fórmula é V = 𝝅r²h
O cálculo para encontrar o Volume de Concreto de cada tubo é Volume externo
menos Volume interno, lembrando que neste caso, a altura representa o
comprimento do tubo.
Resolução:
O símbolo Vc significa Volume de Concreto de cada tubo e Vt é o Volume
total da pilha de tubo.
Para encontrar a massa, isto é, o “peso” em quilograma de cada tubo é só
realizar uma pesquisa junto algumas fábricas ou pesquisar na internet, lembrando-se
das dimensões expostas no enunciado do problema.
Figura 45 – Tubo de Concreto Fonte: http://www.mcpremoldados.com.br/manilhas.php#
Dica
Estimule os grupos a
pesquisarem e
demonstrarem a fórmula
que representa o volume
de um cilindro.
Vc = (𝝅 * 50² * 100) – (𝝅 * 38² * 100) → Vc = 105.600𝝅 cm³ → Vt = 105.600𝝅 * 14 cm³
Pela pesquisa realizada, verifica-se que todos
os tudo de concreto têm massa de 1000 Kg,
multiplicando por 14 tubos, dá 14.000 Kg ou 14
toneladas.
67
Tarefa 4 – Modelagem e Função Afim/ Dependência entre duas variáveis – atividade
do táxi. (Descritor 3026)
Atividade 1
Figura 46 – Táxis em Curitiba Fonte: http://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/150-novos-taxistas-ja-fizeram-pedido-de-cadastro-na-urbs/32652
Quadro 5- Valor a pagar dado o percurso táxi Curitiba
Percurso
(km) Valor a pagar (R$)
Percurso
(km) Valor a pagar (R$)
1 10
2 11
3 12
4 13
5 14
6 15
7 16
8 17
9 18
Fonte: Autor
26
D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
Na cidade de Curitiba, um taxista cobra R$
4,60 a bandeirada e R$ 2,30 por
quilometro rodado (bandeira 1). Preencha
o quadro abaixo e responda:
a) Esse quadro representa uma função?
Qual?
b) Monte a lei de formação (equação) que
representa o enunciado desta atividade.
68
Atividade 2 – Utilizando a equação obtida responda:
a) Se o passageiro A pagou 25,30 reais pela corrida, quantos quilômetros ele
percorreu?
b) Se o passageiro B pagou 43,70 reais pela corrida, quantos quilômetros ele
percorreu?
Atividade 3
Figura 47 – Táxis em Londrina Fonte: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=740654&page=237
Quadro 6- Valor a pagar dado o percurso táxi Londrina
Percurso
(km) Valor a pagar (R$)
Percurso
(km) Valor a pagar (R$)
1 10
2 11
3 12
4 13
5 14
6 15
7 16
8 17
9 18
Fonte: Autor
Na cidade de Londrina, um taxista cobra
R$ 3,70 a bandeirada e R$ 2,40 por
quilometro rodado (bandeira 1). Preencha
o quadro abaixo e responda:
a) Esse quadro representa uma função?
Qual?
b) Monte a lei de formação (equação) que
representa o enunciado desta atividade.
69
Atividade 4 – Utilizando a equação obtida responda:
a) Se o passageiro A pagou 25,30 reais pela corrida, quantos quilômetros ele
percorreu?
b) Se o passageiro B pagou 44,50 reais pela corrida, quantos quilômetros ele
percorreu?
Atividade 5 – Faça a representação da reta para as duas funções, analisando os
Quadros 5 e 6 e na sequência responda:
a) Descreva as vantagens de corrida de cada taxista (Curitiba e Londrina) em
relação à tarifa cobrada.
b) Qual valor a pagar e quilometragem são comuns aos dois taxistas?
c) Represente pelo Plano Cartesiano as respostas das alternativas acima.
Análise
Esta questão tem várias atividades que devem ser resolvidas por etapas e
para facilitar a resolução é necessário que o grupo compreenda o problema,
interpretando de maneira adequada. Devem iniciar lendo a atividade 1 e para
responder as alternativas a e b desta atividade, precisam preencher o quadro 5.
Preenchido o quadro, verificarão que se trata de uma função polinomial do 1º grau
(função afim) e terão que encontrar a expressão . Com esta lei de
formação é possível responder as alternativas a e b da atividade 2.
O mesmo procedimento deve ocorrer com as atividades3 e 4. Neste caso
devem preencher o quadro 6, encontrando a expressão .
Para a atividade 5 é necessário conhecimento do plano cartesiano, uso de
escalas apropriadas para percurso (km) e para valor a pagar (R$), uso de
instrumentos como régua, papel milimetrado e lápis ponta fina para a representação
das retas. Analisando os Quadros 5 e 6 preenchidos é possível responder as
alternativas desta atividade.
y = 2,3x + 4,6
y = 2,4x + 3,7
Dica ao professor:
Para esta questão ficar mais
atrativa e prática, utilizar o
software GeoGebra para resolução das atividades propostas. Agende o
laboratório de informática e bom trabalho.
70
É interessante e aconselhável que professor e alunos acessem alguns links
com tutoriais para conhecer e aprender a usar o Software GeoGebra.
Após ler e analisar os sites com tutoriais indicados, abrir o software GeoGebra
e seguir as etapas para resolução das atividades propostas.
Resolução atividades do taxista de Curitiba:
Analisando o problema do taxista de Curitiba, conclui-se que a função
solicitada na atividade1 é
Com o GeoGebra aberto, vá no Menu Principal clique em Exibir
, abrindo a planilha, digite os dados do
Quadro 5.O procedimento é simples, clique na célula A1
e digite Percurso (km), na célula A2 digite o km 1, na
célula A3 digite A2 + 1, selecione e no canto inferior
direito arraste com o mouse até a célula A10 para copiar a fórmula, após dê Enter,
pronto os quilômetros de 1 a 9 aparecerão na sequência. Na célula B1, digite Valor
a pagar (R$), na célula B2 digite a função = 2.3*A2 + 4.6, selecionar e arrastar da
mesma maneira que foi realizada anteriormente e dar Enter para que os valores
apareçam. Na célula C1 digitar Pontos, na célula C2 digitar = (A2,B2), selecionar,
arrastar até célula C10, conforme procedimentos anteriores. Têm-se os pontos (x, y)
formados pela função .
Na sequência, analisando os dados que se apresenta na tela, verifica-se que
na Janela Planilha, célula , a alternativa a da
atividade 2, já aparece resolvida, significando que o passageiro A, pagando R$
25,30, andará um percurso de 9 quilômetros. E para ficar mais incrementado, são
necessários alguns procedimentos que auxiliarão no aspecto visual desta questão. Ir
à Menu Principal, clique em Exibir, abrirá uma janela, clique em
, abrirá na parte inferior da tela o campo entrada, digite o ponto
(0, 25.3) dê Enter e aparecerá na Janela de Álgebra (canto superior esquerdo)o
http://facitec.br/revistamat/download/paradidaticos/Manual_Geogebra.pdf
http://static.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html
http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf
f(x) = 2,3x + 4,6 com x ˃ 0
f(x) = 2,30x + 4,60
Lembre-se:
Digitar = antes da expressão;
O símbolo * (asterisco) significa multiplicação;
A separação das casas decimais
é por ponto e não por vírgula.
71
ponto A = (0, 25.3) e na Janela de Visualização (Plano Cartesiano), o ponto A.
Proceda da mesma forma para incluir o ponto (9, 0).Este procedimento é para unir
os pontos A e B ao ponto C10 através de segmento de reta, neste caso clicar na
janela , ir até a Janela de Visualização e com o mouse lado esquerdo
clicar em cima do ponto A e arrastar até o ponto C10, aparecerá uma linha que
representa o segmento (A, C10), proceder da mesma forma para o ponto B,
aparecendo a linha que representa o segmento (B, C10). É possível alterar a forma
e a cor da linha, dê dois cliques em cima da linha, abrirá a janela Redefinir, clique
em Propriedades, Cor para alterar a cor e Estilo para alterar o tracejado da linha.
Caso queira tirar as letras a e b, dê um clique com o lado direito do mouse em cima
das linhas, abrindo uma janela, clique em , desaparecendo as letras
indicadas. Caso queiram incluir a lei de formação, vá em Exibir,
digitar a expressão f(x) = 2.3x + 4.6, dar Enter e aparecerá na Janela de Álgebra. É
interessante digitar um título referente a esta atividade, proceda direcionando o
mouse na Barra de Ferramentas, clique em , direcione o mouse no Plano
Cartesiano, dê um clique e abrirá a janela A, digite Atividade 2 dê Enter e na linha
de baixo digite a) O passageiro A, pagando R$ 25,30 percorreu 9 Km, clique em
Ok, pronto aparecerá na Janela de Visualização.Com este recurso é possível
visualizar a representação da reta, solicitada na Atividade 5.
Figura 48 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade a da alternativa 2. Fonte: Autor
72
Para resolver a alternativa b da atividade 2, na qual o passageiro B pagou
43,70 reais deve-se reconhecer que este valor representa a variável y. Proceda
digitando no campo Entrada y = 43.7, não esqueça que na separação da casa
decimal se digita o ponto e não a vírgula. Agora e só analisar o gráfico e verificar
qual o valor de x. Para confirmar, vá ate a planilha, digite 43.7 na célula B18 e na
célula A18 digite 43.7 = 2.3x + 4.6, aparecerá o valor de x correspondente, que e 17.
Figura 49 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade b da alternativa 2. Fonte: Autor
Resolução atividades do taxista de Londrina:
Analisando do problema do taxista de Londrina, indica que a função solicitada
na atividade 3 é
Para preencher o Quadro 6 e resolver as alternativas a e b da atividade 4,
proceder da mesma maneira descrita na Resolução atividades do taxista de
Curitiba.
Ver as figuras 41 e 42 já resolvidas com uso do software GeoGebra.
f(x) = 2,4x + 3,7 com x ˃ 0
73
Figura 50 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade a da alternativa 4. Fonte: Autor
Figura 51 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade b da alternativa 4. Fonte: Autor
Para resolução da atividade 5, abra o software GeoGebra, aproveite os passo
a passo das atividades anteriores, inicie selecionando no Menu Principal a opção
Exibir, clicar em , separar as células A, B e C para lançar dados da
planilha da figura 39 (taxista de Curitiba), pular a célula D, separar as células E, F e
G para lançar dados da planilha da figura 41 (taxista de Londrina). Para melhor
visualização lançar dados até a célula 18, na sequência, abra a janela
74
, digitar as funções que representam as tarifas de cada taxista.
Para que a reta de cada função seja representada, tomar o cuidado de não usar a
mesma letra algébrica, proceda digitando f(x) = 2.3x + 4.6 para tarifa do taxista de
Curitiba e g(x) = 2.4x + 3.7 para a tarifa do taxista de Londrina. Selecione cores
diferentes para cada reta criada, selecionando em cima da reta, clicar em cor,
escolher e clicar, ir a tracejado e escolher um formato a gosto. Para digitar um título
ir até a Barra de Ferramentas, abrir janela , direcione o mouse no plano
cartesiano, clique e na janela que abrir digitar os textos necessários conforme
exemplo da figura 42. Para que o quadro com as vantagens de corrida de cada
taxista apareça na Janela de Visualização, selecione as células de E2 até F8 que
representa as vantagens do taxista de Londrina, clique com o lado direito do mouse,
abrirá uma janela, clique em Criar, arraste até Lista, de um clique e a parte
selecionada aparecerá na Janela de Visualização. Proceda da mesma forma com
as células A2 até B8 que representa as vantagens do taxista de Curitiba. Para uma
melhor visualização dos quadros, com o mouse arraste para uma parte mais visível
da Janela de Visualização. Pronto, a tarefa está resolvida e visível na tela.
Figura 52 – Analise de percurso dos taxistas com vantagens, valor e quilometragem comum a ambos. Fonte: Autor
75
Tarefa 5 – Calcular perímetro e raio de uma circunferência. (Descritores1127 e 1228)
Como Eratóstenes calculou o comprimento da
Terra?
Figura 53 – Ilustração de Eratóstenes e sua descoberta. Fonte: http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm
Análise
Estão envolvidas nesta questão, três tendências: História da Matemática,
Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. Exigirá dos grupos, estratégia
de ação, muita pesquisa e um modelo para a sua resolução. Para iniciar a tarefa, os
grupos precisam pesquisar e conhecer quem foi Eratóstenes, sua nacionalidade,
seus conhecimentos e profissão, em que época da história ele viveu,
contemporâneos influentes, qual foi a sua contribuição para a humanidade, quais
foram os instrumentos e estratégias que colaboraram para que ele calcula-se o
comprimento e o raio da Terra. É interessante que as equipes confiram se o valor
que ele encontrou se aproxima dos dados atuais.
Professor aproveite o embalo dos grupos, agende o laboratório de informática
e estimule os grupos a pesquisar sobre Eratóstenes.
27
D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. 28
D12 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
Dicas de sites que contam um pouco da história de Eratóstenes e como ele calculou a circunferência e o raio da Terra.
http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php
http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm
http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice3/erast.htm
http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-
Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf
http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf
76
Provavelmente os alunos ficarão empolgados e queiram na prática, provar o
experimento de Eratóstenes, neste caso, há a necessidade de negociação de no
mínimo duas instituições de ensino num raio mínimo de 400 km que queiram
participar deste experimento real.
O link para se registrar e participar deste projeto
é: https://sites.google.com/site/projetoerato/
Após o levantamento histórico, os grupos precisam criar um modelo
matemático para registrar o experimento de Eratóstenes. Pode ser um passo a
passo de como ele, através dos dados disponíveis da época, calculou a
circunferência e o raio da Terra.
Para o êxito desta tarefa é importante retomar alguns conteúdos
preestabelecidos, tais como: o comprimento da circunferência, raio, diâmetro, a letra
grega π, grau e ângulo.
Passo a passo de Eratóstenes segundo LUIZ et al (?).
Ele tinha ideia de superfície esférica da Terra;
Reuniu dados na biblioteca de Alexandria (antigo Egito);
Sabia que uma circunferência tem 360°;
Talvez tenha imaginado a Terra cortada ao meio e separada em diversas
frações iguais e se soubesse a quantidade de frações e o comprimento do arco de
uma dessas frações, bastaria multiplicar pelo nº de frações para obter o
comprimento total da Terra.
Figura 54 – Terra cortada ao meio e divida em frações Fonte: http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf
Imaginou uma dessas frações, com as distâncias de Alexandria e Siena
(cidade ao sul do Egito – hoje Assuã) para medir o ângulo interno que as duas
cidades formavam. Siena e Alexandria situavam-se praticamente sobre o mesmo
meridiano (linha equivalente à circunferência da Terra). Siena ficava sobre o Trópico
Professores e alunos, já ouviram falar do Projeto
Eratóstenes na
América?
77
de Câncer. Ele percebeu que o Sol seria de grande ajuda para solucionar o
problema do ângulo.
Há controvérsia em relação de como Eratóstenes sabia a distância entre as
duas cidades, alguns defendem que era pelas caravanas com camelos que se
realizou o calculo, outros dizem que Eratóstenes pediu ajuda ao rei, solicitando
ajuda de bamatistas29 para medir a distância entre as duas cidades. A distância
encontrada era de 5000 estádios30, aproximadamente 800 quilômetros.
Figura 55 – Ilustração da incidência dos raios solares sobre Alexandria e Siena. Fonte: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf
Ele ouvira falar que no dia 21 de junho, aconteceria o Solstício de verão e
precisamente ao meio dia o Sol brilharia direto dentro de um poço em Siena e
iluminaria o seu fundo sem que nenhuma sombra se projetasse em suas paredes.
Entretanto em Alexandria, a mesma hora, havia sombras sendo projetadas. Sabia
que é possível medir o ângulo do Sol pela sombra projetada pelos objetos.
Figura 56– Ilustração poço em Siene e estaca em Alexandria (Antigo Egito) Fonte: http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php
29
Agrimensores treinados para caminhar com passos sempre do mesmo tamanho. 30
Unidade de medida. O estádio que Eratóstenes usou tinha pouco mais de 157 metros.
78
Com os dados e informações conseguiu calcular o ângulo interno entre as
duas cidades.
Eratóstenes mediu o comprimento da sombra de uma coluna vertical em
Alexandria. Com o comprimento da sombra e a altura da coluna vertical (na
realidade um “gnômon”31, ou indicador, de um relógio
de Sol), Eratóstenes obteve dois lados de um
triângulo retângulo. Pôde, então, resolver o triângulo
e calcular o ângulo entre o topo da coluna vertical e
os raios de Sol incidentes, tendo determinado o valor
de 07º 12', ou 1/50 de uma circunferência.
Figura 57 – Gnômon, parte triangular deste relógio de sol. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gn%C3%B4mon
Depois, dividiu 360 por 07º 12' (≅ 7,2°), o que dá 50. Agora, sabia que eram
necessárias 50 frações iguais à medida da distância entre Alexandria e Siena para
formar a circunferência da Terra.
Ele usou uma regra de três simples para efetuar o cálculo e encontrar o
comprimento da Terra.
Resultados de Eratóstenes: • Ângulo: 7,2º = 360/50
• Circunferência da Terra → 250.000 estádios → 40.000 km
• Raio da Terra → 39.800 estádios → 6247 km
• Distância entre Alexandria e Siena → 5000 estádios → 800 Km
Eratóstenes tinha conhecimento que a Terra era redonda e demonstrou com
pequena margem de erro o tamanho de sua circunferência. Conseguiu usando a sua
inteligência, algumas informações colhidas de maneira empírica e instrumentos
31
É a parte do relógio solar que possibilita a projeção da sombra. O gnômon deve ter sido o mais antigo instrumento astronômico construído pelo homem. Em sua forma mais simples, consistia apenas de uma vara fincada, geralmente na vertical, no chão. A observação da sombra dessa vara, provocada pelos raios solares, permitia materializar a posição do Sol no céu ao longo do tempo.
7,2° = 5.000 estádios
360,0° = X estádios
X = 250.000 estádios
7,2° = 800 Km
360,0° = X Km
X = 40.000 Km
79
rudimentares da época. Tal descoberta se deu muitas centenas de anos antes das
Idades Média e Moderna, quando a discussão sobre a esfericidade terrestre voltou à
tona.
Além de pesquisar a medida da circunferência da Terra e complementar a
questão, outras informações são relevantes para os dias atuais.
Figura 58 – Informações do planeta Terra. Fonte: https://www.google.com.br/search?q=circunferencia+da+Terra&ie=utf-8&oe=utf-
8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a&channel=nts&gfe_rd=cr&ei=4qRkVKXuKIGX8QejyoHICQ
Tarefa 6 – Função Afim/Calcular grandezas entre duas variáveis. (Descritor 30)
Figura 59 – Moda Infantil Fonte: http://www.mariavitrine.com.br/2011/09/recados-de-vitrine-41-noticias-e.html
TABELA 2
VALORES DE VENDA DA VENDEDORA – R$
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul
655,00 1.738,00 2.657,00 2.100,00 3.783,00 4.594,00 ?
Fonte: Autor
Sua meta para o sétimo mês (julho) é de conseguir vender R$ 6.000,00. Com
esses dados determine:
a) A função que define o seu salário.
b)O seu o salário no sétimo mês, caso ela conseguir atingir a sua meta.
c) Construa um gráfico (histograma) referente aos salários mensais.
Uma vendedora em uma loja de moda infantil
tem seu salário composto de uma parte fixa
no valor de R$ 1.324,00, mais uma comissão
de 10% sobre o valor de suas vendas no mês.
Nos primeiros seis meses de trabalho os
valores das suas vendas foram de acordo
com a tabela abaixo:
80
Análise
O primeiro passo do grupo é definir a lei de formação que permite calcular o
seu salário, respondendo assim a alternativa a. É necessário que o grupo tenha
pleno conhecimento de conteúdos apropriados em séries anteriores e que possam
aplicar nesta tarefa (porcentagem, equação do 1º grau e função afim). Um fator
indispensável para iniciar a resolução é uma leitura detalhada do problema. O texto
aborda que a vendedora tem um salário fixo no valor de R$ 1.324,00 mais um valor
que varia de acordo com as vendas realizadas, isto é, uma comissão de 10% sobre
as vendas realizadas. Independente das vendas o seu salário normal é o mesmo,
um valor fixo, mas para que o salário seja mais rentável, ela precisa vender, dizer
que há uma dependência de dois fatores diretamente proporcionais, quer dizer,
quanto maior forem as suas vendas, maior será o seu salário mensal. Para facilitar a
compreensão os grupos podem atribuir a letra Sm para salário mensal, Vm para
vendas mensal e converter o percentual de comissão em número decimal para
facilitar o cálculo (10% = 10
100= 0,1), então a função ficará assim:
Para a resolução da alternativa b vamos utilizar o software GeoGebra. No
GeoGebra, na barra de ferramentas clique em exibir planilha. Na planilha que se
abre ao lado da janela de visualização clique na célula A1 e digite “Meses”, na célula
B1 “Salário”, na célula C1 “Vendas” e na célula A2 digite “1” (referente ao primeiro
mês). Dê a sequencia dos meses nas células seguintes ate A8 na mesma coluna.
Na célula B2 digite o valor referente ao total de vendas do primeiro mês conforme a
tabela 2, na célula B3 digite o valor correspondente do total de vendas no mês de
fevereiro, na célula B4 o valor de março e assim por diante até a célula B7. Na célula
B8 digite “6000” que é o valor da meta que ela pretende alcançar. Na célula C2
digite a função que vai gerar o salário do mês = 0.10 * C3 + 1.324. Você poderá
copiar esta fórmula arrastando-a até a célula C8, selecionando na planilha as células
A2 ate C8. Pronto, a previsão de salário no valor de R$ 1.924,00 aparecerá na
planilha. É conveniente aproveitar a mesma tela para dar início na resolução da
alternativa c, clicando com o botão direito do mouse em “criar” e, depois em “lista”,
na janela de álgebra aparecerá à lista 1 com os valores. Selecione as células B2 até
a B8, clique com o botão direito do mouse em “criar” e depois em “lista”, aparecerá à
Sm = 0,1 * Vm + 1.324,00
81
lista 2 com os valores, proceder da mesma forma para as células C2 a C8,
aparecerá a lista 3 com os valores, conforme figura 60.
Figura 60 – Janela de álgebra e planilha no GeoGebra. Fonte: Autor
O grupo pode aproveitar para inserir a janela de visualização, clicando no
ícone Exibir, Janela de Visualização, abrindo a janela de visualização. Também
pode alterar a escala do eixo x e eixo y, facilitando a visualização do histograma
(gráfico de barras), proceder da seguinte forma, clicar em no corpo da janela de
visualização com o lado direito do mouse, abrirá a janela com vários ícones, clicar
em , após em , alterando assim a escala de 1: 200,
conforme figura 61 abaixo.
Figura 61 – Janela de Visualização e alteração da escala no GeoGebra. Fonte: Autor
82
Para encontrar a alternativa c – construir o gráfico (histograma), ir até o
campo entrada, digite histograma e escolha a 1ª opção que se abre na persiana,
conforme ilustrado na figura 62.
Figura 62 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra. Fonte: Autor
No campo de entrada apague tudo que estiver entre os colchetes e escreva
lista1, lista3, mostrada na figura 63, e de um enter.
Figura 63 – Campo de entrada, histograma [lista1,lista2]. Fonte: Autor
Assim obterá o gráfico da função, conforme figura 64.
Figura 64 – Gráfico da função f(x) = 0,10x+ 1.324, no GeoGebra. Fonte: Autor
83
Tarefa 7 – Modelagem da água. (Descritor 29)
TEMA GERADOR
“Uso consciente da água”
QUESTÃO MATRIZ
Figura 65 – Torneira Aberta. Fonte: http://site.sanepar.com.br/sustentabilidade/consumo-responsavel
PROBLEMATIZAÇÃO
Como otimizar o consumo da água em nosso cotidiano?
Análise
Esta é uma tarefa aberta e se faz necessário o uso da modelagem
matemática para a resolução de possíveis levantamentos a serem feitos pelos
grupos. Nesta tarefa não há uma resposta pronta e acabada, pois cada residência,
unidade escolar, comércio, indústria ou outros, têm a sua forma de consumo e uma
tarifa específica (caso seja fornecida por uma empresa de tratamento e distribuição).
Esta tarefa foi elaborada para que os grupos, após pesquisa, tenham
consciência de como o ser humana vem tratando este bem tão precioso.
São vários fatores e dados a serem pesquisados, tais como:
A água que se consume no município, bairro, escola, residência, comércio,
indústria, outros, é tratada?
Se existindo, quem faz o tratamento e distribuição?
A empresa que fornece água é particular, pública ou de economia mista32?
Da onde é extraída esta água?
Na região, há algum aquífero? Se houver, qual é o nome? Há poços
artesianos? E rede de esgoto?
Há componentes químicos no tratamento da água?
Como se mede o consumo da água e qual o nome do aparelho medidor?
32
Sociedade criada pela administração pública, junto com pessoas ou entidades de direito privado, para exercer fins de interesse público.
“Como a água pode ser consumida
de forma consciente?”
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Como é feito o cálculo para cobrança da água consumida?
A empresa que presta o serviço, disponibiliza “tarifa social”33? E quem tem
direito a este subsídio?
Quais são os “vilões” no consumo da água?
Uma torneira pingando, consome quantos litros de água por hora?
E um chuveiro ligado por 5 minutos, consome quantos litros de água?
Uma máquina de lavar roupa consome quanto de água em média?
E a descarga do vaso sanitário consome quanto, se for:
I. Descarga Hidráulica?
II. Caixa acoplada ao vaso sanitário?
III. Caixa não acoplada com corda de descarga?
E a mangueira de jardim, consome quanto em uma hora? E as máquinas de
lavar a pressão?
Numa pia de cozinha se consome em média, quantos litros de água por dia?
O ser humano é consciente na utilização e no consumo da água?
E a agroindústria e as grandes indústrias quanto consomem ao dia?
E os irrigadores de verduras, legumes, frutas e grãos, quanto consomem por
dia?
A água é um bem escasso? É um bem renovável?
Qual o percentual de água potável existente no planeta?
É possível aproveitar a água do mar? É possível tratar? O custo de
tratamento é viável? Há alguma empresa no Brasil que faz este tipo de tratamento?
Ainda há mais indagações a serem feitas, mas as que estão descritas acima,
são suficientes para analisar, interpretar e responder a questão matriz e a
problematização.
Nesta questão está envolvida a interdisciplinaridade34. Há vários conteúdos a
serem explorados, não só na matemática, mas nas ciências, na geografia, na
história, na língua portuguesa, nas artes e até na língua estrangeira.
33
Beneficia as famílias carentes com preço subsidiado para os serviços de abastecimento com água tratada e coleta e tratamento de esgoto. 34
Relação entre duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento; ou, algo que é comum a duas ou mais disciplinas. Fonte: Dicionário Eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa 3.0.
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Figura 66 – Interdisciplinaridade. Fonte: Blog “Os Muros da Escola”
Em matemática, os conteúdos a serem relembrados são:
Unidade de medida, tais como, volume, metro cúbico (m³), litro e capacidade;
Unidade Monetária em Reais;
Média aritmética;
Equação do 1º grau e função afim;
Tabela e gráfico.
É interessante incentivar os alunos a verificarem as faturas de água de suas
residências e da própria escola para análise e comparativo de consumo, também da
média de consumo dos últimos cinco meses, do período de leitura (intervalo entre
uma leitura e outra), do volume mínimo de consumo e do volume excedente.
Provavelmente os alunos questionarão porque o volume mínimo para cobrança da
água tratada ser de 10 m³ e porque há a cobrança da taxa da coleta de lixo na fatura
da água. Nestes casos é bom instigar os grupos a realizarem uma pesquisa junto à
empresa que detêm a concessão de fornecimento de água para esclarecer do
porque do mínimo de cobrança (10 m³) e junto à prefeitura municipal para pesquisar
os motivos da cobrança da taxa da coleta de lixo estar na fatura de água.
Para exposição desta tarefa, os grupos poderão confeccionar cartazes (com
imagens, ilustrações, textos, cálculos, tabelas e gráficos), produzir vídeos com o
tema “Uso consciente da água” e expor para toda a comunidade escolar através do
projetor ou da TV multimídia.
Professores:
Para a resolução consciente desta tarefa é interessante uma parceria com todas as
disciplinas da Educação
Básica.
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11.2 QUESTIONÁRIO 3ª ETAPA
Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada
grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/iNd3bsVhSW
Professores, alunos, pesquisadores e colaboradores desta obra, só teremos
melhorias na qualidade de ensino, quando soubermos articular o tradicional com o
moderno. Não haverá avanço se não houver empenho, não haverá melhoria se não
houver dedicação. O processo de reprodução e repetição deve fazer parte do
passado, o presente deve coadunar com práticas criativas, modernas e inovadoras
para que no futuro ela continue sempre atual e prática.
Figura 67 – Superdotado. Fonte: http://papoentrepais.blogspot.com.br/2013/01/superdotacao-escolar-x-superdotacao.html
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