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Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4
J.A.T.B. NAL-4.1
MUDANÇAS DE BASE
Introdução
• Pretende-se tratar, através da álgebra matricial, os problemas
seguintes:
i) Mudança das coordenadas de um elemento de um espaço linear V
de uma base ordenada para uma outra;
ii) Mudança da representação matricial de uma transformação linear
: V WT → , decorrente da alteração das bases ordenadas
seleccionadas para o domínio (V) e para o conjunto de chegada
(W).
Aplicação em espaços lineares
• Seja V um espaço linear sobre um corpo Ω , tal que =dimV n , para o
qual são escolhidas as duas bases ordenadas
= …1 2E , , , ne e e e = …1 2U , , , nu u u
Definição [4.1]: Matriz Mudança de Base (ou de Coordenadas)
Chama-se matriz mudança de base, ou matriz mudança de coordenadas,
da base ordenada U para a base ordenada E, ou, simplesmente, de U
para E, à matriz EUM , ou →U EM , que satisfaz a relação matricial
→= =EE U U U E U X M X M X
ou seja, é a matriz que permite transformar as coordenadas do elemento ∈ Vx em relação à base ordenada U, UX , nas coordenadas desse
mesmo elemento em relação à base ordenada E, EX .
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• Relativamente ao elemento ∈ Vx , sejam α α α= …E 1 2 E( , , , )nx as suas
coordenadas em relação à base E e β β β= …U 1 2 U( , , , )nx as suas
coordenadas em relação à base U.
α α α β β β+ + + = + + +… …1 1 2 2 1 1 2 2n n n ne e e u u u
• Designando
= =… …1 2( , , , ) com 1,2, ,j j j nje e e e j n
= =… …1 2( , , , ) com 1,2, ,j j j nju u u u j n
resulta
α β
α β
α β↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
=
11 12 1 1 11 12 1 1
21 22 2 2 21 22 2 2
1 2 1 2E U
1
n n
n n
n n nn n n n nn n
e e e u u u
e e e u u u
e e e u u u
e 2 1 2 n ne e u u u
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ou, ainda, usando notação matricial
=E U E X U X
• Dado que E e U são matrizes não singulares, obtém-se
− −→= ⇒ = =1 E 1
E U U U E X E U X M M E U
ou seja,
− −→= ⇒ = =1 U 1
U E E E U X U E X M M U E
Conclui-se, ainda, que
( ) ( )− −− −= = =1 1
U 1 1 EE U M U E E U M
já que UEM e E
UM são, também, matrizes não singulares
− −= = = = ≠U 1 1E E
U
1 0
EM U E U E
U M
• Se E e U são bases ortonormais, então E e U são matrizes
ortogonais, isto é,
− =1 TE E e − =1 T
U U
pelo que
→= =E TU U E M M E U
→= =U TE E U M M U E
( ) ( )= = =T T
U T T EE U M U E E U M
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Exemplo 1 [4.1]: Relativamente aos espaços lineares 3 e 2 , sejam
=
3E , ,i j k e = =
2 1 1E , (1,0),(0,1)i j as respectivas bases canónicas.
Considere ainda as bases para 3 e para 2
= = − − ⊂
3
1 2 3V , , (1, 1,0),(0,1,1),(1,0, 1)v v v
= = − ⊂
2
1 2W , (1,1),(1, 1)w w
Determine:
a) As expressões de mudança de coordenadas, no espaço linear 3 , entre as bases 3E e V.
b) As expressões de mudança de coordenadas, no espaço linear 2 , entre as bases 2E e W.
Solução:
a) Considerando a base canónica para o espaço linear 3 , =
3E , ,i j k ,
sejam =
( , , )x x y z as coordenadas do seu elemento genérico em relação à base 3E e
= = =
3 3 3
1 0 0
0 1 0 com 1
0 0 1
E I E
a matriz que lhe está associada.
Por outro lado, relativamente à base ordenada
= = − − 1 2 3V , , (1, 1,0),(0,1,1),(1,0, 1)v v v , sejam =
V 1 1 1 V( , , )x x y z as
coordenadas desse mesmo elemento e
= − = − −
1 0 1
1 1 0 com 2
0 1 1
V V
a matriz associada à base em causa.
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A matriz mudança de base de V para 3E é
− = = = = − −
3E 13 3V
1 0 1
1 1 0
0 1 1
M E V I V V
pelo que
= ⇔ = − −
3
3
1E
E V 1V
1 V
1 0 1
1 1 0
0 1 1
x x
y y
z z
X M X
As expressões de mudança de coordenadas, da base ordenada V para a base canónica 3E , são
= +
= − + → = −
1 1
1 1 3
1 1
(V E )
x x z
y x y
z y z
De modo análogo, sabendo que
[ ]−− − − − = = − − − = − − −
T
T1
1 1 1 1 1 11 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
V Cof VV
então
− − −−
= = = = −
3
V 1 1 1E 3 3
1 1 11
1 1 12
1 1 1
M V E V I V
é a matriz mudança de base de 3E para V e, portanto,
− = ⇔ = −
3 3
1V
V E E 1
1 V
1 1 11
1 1 12
1 1 1
x x
y y
z z
X M X
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As expressões de mudança de coordenadas, da base canónica 3E para
a base ordenada V, são
= − +
= + + → = + −
1
1 3
1
( ) / 2
( ) / 2 (E V)
( ) / 2
x x y z
y x y z
z x y z
b) Repita-se, neste caso, o processo atrás apresentado, considerando, no
espaço linear 2 , as bases ordenadas = =
2 1 1E , (1,0),(0,1)i j
(canónica) e = = −
1 2W , (1,1),(1, 1)w w .
Designe-se por =
( , )x x y as coordenadas do elemento genérico de 2
em relação à base 2E e por =
W 1 1 W( , )x x y as suas coordenadas em
relação à base ordenada W.
Sabendo que
= = =
2 2 2
1 0 com 1
0 1E I E
= = − −
1 1 com 2
1 1W W
a matriz mudança de base de W para 2E é
− = = = = −
2E 12 2W
1 1
1 1M E W I W W
pelo que
= ⇔ = −
2
2
E 1E WW
1 W
1 1
1 1
xx
yyX M X
As expressões de mudança de coordenadas, da base ordenada W para a base canónica 2E , são
= +
→= −
1 12
1 1
(W E )x x y
y x y
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Atendendo a
[ ]− − − = = − = − −
TT1 1 1 1 11 1 1
2 21 1 1 1
W Cof WW
obtém-se
− − − = = = = −
2
W 1 1 1E 2 2
1 11
2 1 1M W E W I W
de onde resulta
= ⇔ = −
2 2
1WW E E
1 W
1 11
2 1 1
x x
y yX M X
As expressões de mudança de coordenadas, da base canónica 2E para
a base ordenada W, são
= +
→= −
12
1
( ) / 2 (E W)
( ) / 2
x x y
y x y