Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4

J.A.T.B. NAL-4.1

MUDANÇAS DE BASE

Introdução

• Pretende-se tratar, através da álgebra matricial, os problemas

seguintes:

i) Mudança das coordenadas de um elemento de um espaço linear V

de uma base ordenada para uma outra;

ii) Mudança da representação matricial de uma transformação linear

: V WT → , decorrente da alteração das bases ordenadas

seleccionadas para o domínio (V) e para o conjunto de chegada

(W).

Aplicação em espaços lineares

• Seja V um espaço linear sobre um corpo Ω , tal que =dimV n , para o

qual são escolhidas as duas bases ordenadas

= …1 2E , , , ne e e e = …1 2U , , , nu u u

Definição [4.1]: Matriz Mudança de Base (ou de Coordenadas)

Chama-se matriz mudança de base, ou matriz mudança de coordenadas,

da base ordenada U para a base ordenada E, ou, simplesmente, de U

para E, à matriz EUM , ou →U EM , que satisfaz a relação matricial

→= =EE U U U E U X M X M X

ou seja, é a matriz que permite transformar as coordenadas do elemento ∈ Vx em relação à base ordenada U, UX , nas coordenadas desse

mesmo elemento em relação à base ordenada E, EX .

Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4

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• Relativamente ao elemento ∈ Vx , sejam α α α= …E 1 2 E( , , , )nx as suas

coordenadas em relação à base E e β β β= …U 1 2 U( , , , )nx as suas

coordenadas em relação à base U.

α α α β β β+ + + = + + +… …1 1 2 2 1 1 2 2n n n ne e e u u u

• Designando

= =… …1 2( , , , ) com 1,2, ,j j j nje e e e j n

= =… …1 2( , , , ) com 1,2, ,j j j nju u u u j n

resulta

α β

α β

α β↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

=

11 12 1 1 11 12 1 1

21 22 2 2 21 22 2 2

1 2 1 2E U

1

n n

n n

n n nn n n n nn n

e e e u u u

e e e u u u

e e e u u u

e 2 1 2 n ne e u u u

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ou, ainda, usando notação matricial

=E U E X U X

• Dado que E e U são matrizes não singulares, obtém-se

− −→= ⇒ = =1 E 1

E U U U E X E U X M M E U

ou seja,

− −→= ⇒ = =1 U 1

U E E E U X U E X M M U E

Conclui-se, ainda, que

( ) ( )− −− −= = =1 1

U 1 1 EE U M U E E U M

já que UEM e E

UM são, também, matrizes não singulares

− −= = = = ≠U 1 1E E

U

1 0

EM U E U E

U M

• Se E e U são bases ortonormais, então E e U são matrizes

ortogonais, isto é,

− =1 TE E e − =1 T

U U

pelo que

→= =E TU U E M M E U

→= =U TE E U M M U E

( ) ( )= = =T T

U T T EE U M U E E U M

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Exemplo 1 [4.1]: Relativamente aos espaços lineares 3 e 2 , sejam

=

3E , ,i j k e = =

2 1 1E , (1,0),(0,1)i j as respectivas bases canónicas.

Considere ainda as bases para 3 e para 2

= = − − ⊂

3

1 2 3V , , (1, 1,0),(0,1,1),(1,0, 1)v v v

= = − ⊂

2

1 2W , (1,1),(1, 1)w w

Determine:

a) As expressões de mudança de coordenadas, no espaço linear 3 , entre as bases 3E e V.

b) As expressões de mudança de coordenadas, no espaço linear 2 , entre as bases 2E e W.

Solução:

a) Considerando a base canónica para o espaço linear 3 , =

3E , ,i j k ,

sejam =

( , , )x x y z as coordenadas do seu elemento genérico em relação à base 3E e

= = =

3 3 3

1 0 0

0 1 0 com 1

0 0 1

E I E

a matriz que lhe está associada.

Por outro lado, relativamente à base ordenada

= = − − 1 2 3V , , (1, 1,0),(0,1,1),(1,0, 1)v v v , sejam =

V 1 1 1 V( , , )x x y z as

coordenadas desse mesmo elemento e

= − = − −

1 0 1

1 1 0 com 2

0 1 1

V V

a matriz associada à base em causa.

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A matriz mudança de base de V para 3E é

− = = = = − −

3E 13 3V

1 0 1

1 1 0

0 1 1

M E V I V V

pelo que

= ⇔ = − −

3

3

1E

E V 1V

1 V

1 0 1

1 1 0

0 1 1

x x

y y

z z

X M X

As expressões de mudança de coordenadas, da base ordenada V para a base canónica 3E , são

= +

= − + → = −

1 1

1 1 3

1 1

(V E )

x x z

y x y

z y z

De modo análogo, sabendo que

[ ]−− − − − = = − − − = − − −

T

T1

1 1 1 1 1 11 1 1

1 1 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1

V Cof VV

então

− − −−

= = = = −

3

V 1 1 1E 3 3

1 1 11

1 1 12

1 1 1

M V E V I V

é a matriz mudança de base de 3E para V e, portanto,

− = ⇔ = −

3 3

1V

V E E 1

1 V

1 1 11

1 1 12

1 1 1

x x

y y

z z

X M X

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J.A.T.B. NAL-4.6

As expressões de mudança de coordenadas, da base canónica 3E para

a base ordenada V, são

= − +

= + + → = + −

1

1 3

1

( ) / 2

( ) / 2 (E V)

( ) / 2

x x y z

y x y z

z x y z

b) Repita-se, neste caso, o processo atrás apresentado, considerando, no

espaço linear 2 , as bases ordenadas = =

2 1 1E , (1,0),(0,1)i j

(canónica) e = = −

1 2W , (1,1),(1, 1)w w .

Designe-se por =

( , )x x y as coordenadas do elemento genérico de 2

em relação à base 2E e por =

W 1 1 W( , )x x y as suas coordenadas em

relação à base ordenada W.

Sabendo que

= = =

2 2 2

1 0 com 1

0 1E I E

= = − −

1 1 com 2

1 1W W

a matriz mudança de base de W para 2E é

− = = = = −

2E 12 2W

1 1

1 1M E W I W W

pelo que

= ⇔ = −

2

2

E 1E WW

1 W

1 1

1 1

xx

yyX M X

As expressões de mudança de coordenadas, da base ordenada W para a base canónica 2E , são

= +

→= −

1 12

1 1

(W E )x x y

y x y

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Atendendo a

[ ]− − − = = − = − −

TT1 1 1 1 11 1 1

2 21 1 1 1

W Cof WW

obtém-se

− − − = = = = −

2

W 1 1 1E 2 2

1 11

2 1 1M W E W I W

de onde resulta

= ⇔ = −

2 2

1WW E E

1 W

1 11

2 1 1

x x

y yX M X

As expressões de mudança de coordenadas, da base canónica 2E para

a base ordenada W, são

= +

→= −

12

1

( ) / 2 (E W)

( ) / 2

x x y

y x y