Movimento oscilatório e Caos

Do mais simples para o mais complicado ...

MHS Amortecimento Não linearidade Caos

Só na aula que vem ...

Movimento Harmônico Simples

Pêndulo simples

Movimento Harmônico Simples

P

TT

Movimento Harmônico Simples

P

T

PRP

T

Decompondo

PR=T

P =-mg sen()

FR=0

F =P

2

2

dts d m P Mas s=l

2

2

dtd ml P

P =-mg sen() -mg

2

2

dtd ml P

Tomando pequeno sen()

0 2

2

lg

dtd

1 equação diferencial ordinária homogênea de 2a ordem

Onde 2=g/l

) cos( ) (0 t t

Solução conhecida

0 e condições iniciais

) ( ) (0 t sendtd t

Também podemos calcular:

Como aplicar o Método de Euler?

Temos1 equação diferencial ordinária

homogênea de 2a ordemMétodo de Euler

equações diferenciais de 1a ordem

Como aplicar o Método de Euler?

lg

dtd

2 equações de 1a ordem

dtd

Iterando

tt t t

dtd

) ( ) (

lg

dtd

tl

t g t tdtd t t t ) ( ) ( ) ( ) (

i+t= i – (g/l)it

Iterando

tt t t

dtd

) ( ) (

dtd

t t t tdtd t t t ) ( ) ( ) ( ) (

i+t= i + it

O programa

i+t= i + it

i+t= i – (g/l)it

Inicializa

Itera(até n)

0=... e 0=...

Imprime Print, write ...

Rodando o programa

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

(ra

d)

t(s)

l =1m g = 9,8 m/s2

0= 0 0=0,2 rad

t= 0,04 s

sgl2 2

Rodando o programa

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

(ra

d)

t(s)

Instável!

Na aula passada (e na lista...)

=1s t=0.05s

Hoje

2s t=0.04s

Diminuindo t

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5 t=0.04s t=0.01s

(ra

d)

t(s)

Melhora, mas não resolve!

Diminuindo t ainda mais ...

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t=0.001s

t=0.04s t=0.01s

(ra

d)

t(s)

Por quê?

Análise da energia

2 2 2

21

21 ml mv T

) cos 1( mgl U

E=T+U

Fazendo t=0.04s

E(t) aumenta com o tempo!

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

T U E=T+U

Ener

gia

t(s)

t=0.01s

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

Ener

gia

t(s)

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 T U E=T+U

Ener

gia

t(s)

t=0.001s

A energia aumenta com t para qualquer valor não nulo de t

A taxa de acréscimo diminui quando t diminui

Instável!

Não há fonte externa de energia

O Método de Euler não conserva a energia!

O método de Euler-Cromer

i+t= i – (g/l)it

i+t= i + itEuler

Euler-Cromer

i+t= i – (g/l)it

i+t= i + i +t t

O método de Euler-Cromer

Euler-Cromer

i+t= i – (g/l)iti+t= i + i +t t

Única diferença

Fazendo a mudança no programa

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5 Euler Euler-Cromer

(ra

d)

t(s)

t= 0,04 s

0= 0 0=0,2 rad

Mesmo aumentando t

t= 0,1 s

0 2 4 6 8 10-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

(ra

d)

t(s)

0= 0 0=0,2 rad

De novo a energia

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

Ener

gia

t(s)

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

Ener

gia

t(s)

t= 0,1 s

t= 0,001 s

Conclusão

O Método de Euler

Euler-Cromer

Decaimento Oscilação Crescimento

Referência

Computational Physics

Nicholas J. Giordano