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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁCENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃOCURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIAS DACOMPUTAÇÃO
CAMILA CAMPOS COLARES DAS DORES
TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS : ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ
FORTALEZA - CEARÁ2010
CAMILA CAMPOS COLARES DAS DORES
TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS : ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ
Monografia apresentada na defesa do projeto final para obtenção do título de Bacharelado em Ciência da Computação.
Orientador: Prof. A. Clecio F. Thomaz, DSc.
FORTALEZA, CEARÁ2010
CAMILA CAMPOS COLARES DAS DORES
TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS: ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ
Monografia apresentada na cadeira de Projeto Final como exigência para a obtenção do diploma do curso de Bacharelado em Ciências da Computação.
Aprovada em _____ de ______ de 2010
BANCA EXAMINADORA
________________________________________________Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz (Orientador)
Universidade Estadual do Ceará
_________________________________________________Prof. Dr. Gerardo Valdísio R. Viana
Universidade Estadual do Ceará
_________________________________________________Prof. Dr. Renato Craveiro
Universidade Estadual do Ceará
Ao meu orientador, Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz, que após esses anos de convívio, passou a representar para mim bem mais que a figura de um professor. Tornou-se meu Orientador, meu Mestre e, em diversas situações, meu pai, sem medir esforços ou conseqüências para auxiliar-me nesta dura, longa e árdua caminhada que tem sido a minha graduação. Sem sua ajuda, carinho, incentivo, empenho e dedicação, dificilmente teria concluído este capítulo de minha vida.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
A Deus por me ter permitido viver o suficiente para ver esse sonho tornar-se realidade.A meu esposo e minha filha por compreenderem minha ausência do convívio familiar durante todo o período em que desenvolvi este trabalho.Ao meu orientador, Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz, pela paciência, dedicação e disponibilidade.
RESUMO
Analisa um estudo de caso do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará tendo como suporte a Teoria dos Jogos. Propõe um modelo matemático baseado na Teoria Minimax que otimiza a distribuição de documentos e as diligências entre os Juizados Especiais Cíveis e Criminais (JECC) da Comarca de Fortaleza. Analisa a distribuição geográfica das 22 unidades de JECC.
Palavras – chave: Teoria dos Jogos; otimização.
ABSTRACT
Examines a case study of the Court of the State of Ceara with the support of Game Theory.Proposes a mathematical model based on Theory Minimax that optimizes the distribution of documents and the steps between the Special Civil and Criminal Courts (JECC) of the District of Fortaleza. Examines the geographic distribution of 22 units JECC.
Key - words: game theory, optimization.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Matriz de Resultados para o Jogador I..............................................................5Tabela 2- Matriz de Resultados para o Jogador II..............................................................5Tabela 3 – Matriz de pagamentos.........................................................................................5Tabela 4 - Exemplo de estratégia dominada.......................................................................5Tabela 5 - Matriz de Resultados eliminando-se a Estratégia Dominada........................5Tabela 6 - Matriz de Resultados............................................................................................5Tabela 7 - Nível de Segurança para o Jogador I................................................................5Tabela 8 - Nível de Segurança para ambos os jogadores................................................5Tabela 9 - Exemplo de um jogo sem ponto de equilíbrio..................................................5Tabela 10 - Matriz de resultados para o Dilema do Prisioneiro........................................5Tabela 11 - Matriz de Resultados para o Problema das Chuvas.....................................5Tabela 12 - Resultados obtidos através do LINDO............................................................5
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
PPL – Problema de Programação LinearDMU - Decision Make Unit GE- General Electric IBM - International Business Machines TJCE – Tribunal de Justiça do Estado do CearáJECC – Juizados Especiais Cíveis e CriminaisJVDFCM – Juizado da Violência Doméstica e Familiar contra a MulherLINDO - Linear, Interactive and Discrete Optmizer
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO
A programação matemática, um dos ramos da pesquisa operacional,
consiste em estabelecer a teoria, algoritmos e métodos de resolução de problemas
de pontos extremos de funções analíticas sobre conjuntos definidos por restrições
(desigualdades, igualdades) lineares e/ou não lineares.
Os problemas tratados no contexto da programação matemática podem
ser aplicados dentro dos mais diversos domínios do conhecimento humano onde se
desejam encontrar cenários de decisões sobre determinadas regras impostas à um
conjunto de variáveis, onde podemos citar como exemplos, problemas de
transportes, problemas ligados à engenharia de produção industrial, prospecção de
petróleo, engenharia aeroespacial, análise financeira, alocação dinâmica de equipes
em serviços, etc.
A Teoria dos Jogos se constitui num complexo problema de programação
matemática intitulado Minimax onde sua solução está ligada à solução de um
problema de programação linear.
Neste trabalho, descreveremos os métodos e procedimentos de
programação matemática que permitem transformar um problema de Jogos num
problema de programação linear e solucioná-lo através do algoritmo Simplex.
Exploramos ainda a análise de sensibilidade com relação à matriz de estado inicial
das estratégias do Jogo.
1.1 Motivação
Nas décadas de 1920 e 1930 diversos esforços foram feitos no sentido de
resolver problemas de conflito. O trabalho pioneiro de Von Neumann e Morgenstern
(VON NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O., 1944) foi decisivo no sentido de divulgar
e popularizar a chamada Teoria dos Jogos. A investigação à época dedicava-se
muito fortemente ao estudo de jogos puramente competitivos.
A partir do desenvolvimento de Programação Linear e do Algoritmo
Simplex na década de 1950, vários paralelos entre as duas teorias foram
desenvolvidos. O trabalho de John F. Nash, Jr (NASH Jr, J. F., 1949) foi essencial
para a divulgação dos jogos cooperativos e o seu breve faiscar rendeu estudos nas
décadas seguintes culminando com seu prêmio Nobel.
1.2 Objetivo
Espera-se solucionar Problemas de Jogos Corporativos presentes no
Tribunal de Justiça do Estado do Ceará a fim de que este órgão possa funcionar de
modo mais eficaz e eficiente.
1.2.1 Objetivos gerais
Estudar modelos de Teoria dos Jogos para aplicação em Problemas de
Apoio à Decisão.
1.2.2 Objetivos específicos
Pretende-se aplicar esta metodologia em um Problema de Jogos
Corporativos do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará. Os fatores para o processo
decisório serão identificados junto à Secretaria de Planejamento do Tribunal de
Justiça do Estado do Ceará.
1.3 Estrutura do Trabalho
No Capitulo 2 tem-se uma introdução a fundamentação teórica
pesquisada, iniciando com um estudo sobre a Teoria dos Jogos. Após isso é feita
uma introdução sobre tipos de jogos, estratégias e o Equilíbrio de Nash. O Capitulo
3 apresenta a metodologia utilizada para modelar jogos via programação linear. No
Capítulo 4 é analisado o estudo de caso do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará.
Finalmente, no Capítulo 5, há uma conclusão dos resultados obtidos bem como
listam-se as limitações e extensão do trabalho.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Teoria dos Jogos é uma ferramenta matemática modelada para melhor
entendimento e interpretação das formas de como os agentes que tomam decisões
interagem entre si. (LINS, M. P. E.; CALOBA, G. M, 2006)
Definição: Um jogo é uma situação entre N pessoas ou grupos chamados
jogadores, que é conduzido por um conjunto prévio de regras com
pagamentos conhecidos. As regras definem atividades elementares ou
lances do jogo. (GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P.L, 2000)
Cada jogador possui um conjunto de opções que poderá exercer. Estas
opções são conhecidas como Estratégias Puras.
Cada jogador possui também informações sobre as estratégias dos
outros, bem como a conseqüência do cruzamento de estratégias. Como mostrado
mais adiante, em suma, existe uma matriz de resultados na qual o jogador verifica o
resultado do jogo dada uma combinação de estratégias.
2.1 Tipos de Jogos
2.1.1 Jogos de soma zero
Se um jogador ganha o que o outro perde, o jogo é chamado jogo de
soma zero.
Tabela 1 - Matriz de Resultados para o Jogador I
Estratégias do jogador II
Cara Coroa
Estratégias do Cara +10 -10
jogador I
Coroa -10 +10
Ou seja, o jogador I ganhará R$10,00 sempre que o lado que o jogador II
colocar for aquele que o jogador I sugerir. Caso contrário, o jogador I deve pagar
R$10,00 ao jogador II, ou seja, o jogador II ganha sempre que os lados da moeda
sugerido e colocado forem diferentes.
Tabela 2- Matriz de Resultados para o Jogador II
Estratégias do jogador II
Cara Coroa
Estratégias do
jogador I
Cara -10 +10
Coroa +10 -10
Perceba que a soma dos valores nos quadrantes iguais das Tabelas 1 e 2
é exatamente zero; como cada resultado positivo para um jogador representa um
resultado negativo de mesma intensidade para o seu opositor, a soma dos dois
resultados sempre será zero. Esta é a propriedade de soma zero dos jogos, e daí
vem o nome concedido a essa classe de jogos.
Uma conseqüência interessante de os resultados para um jogador serem
exatamente o valor simétrico ao primeiro é que só se necessita de uma matriz de
resultados. Escolher uma estratégia que maximiza o resultado da matriz do jogador I
é otimizar a estratégia desse jogador. Escolher uma estratégia que minimiza o
resultado da matriz do jogador I é o mesmo que maximizar o resultado para o
jogador II, ou seja, otimizar o jogo para o jogador II. Desta forma, o resultado de um
jogo poderá ser encontrado a partir de uma única matriz de resultados.
2.1.2 Jogos simétricos e assimétricos
Um jogo simétrico é aquele no qual os pagamentos para os jogadores em
uma estratégia particular dependem somente da estratégia escolhida, e não de
quem está jogando. Se as identidades dos jogadores puderem ser trocadas sem
alterar os pagamentos obtidos pela aplicação das suas estratégias, então este é um
jogo simétrico. Muitos dos jogos 2×2 comumente estudados são simétricos. As
representações padrões do Jogo da Galinha, do Dilema do prisioneiro, e da caça ao
veado são todos jogos simétricos. Certos acadêmicos estudam variações
assimétricas destes jogos, contudo, a maioria dos pagamentos deste jogos são
simétricos.
Os jogos assimétricos mais comuns são jogos onde existem grupos de
estratégias diferentes para cada jogador. Por exemplo, o jogo do ultimato e seu
similar, o jogo do ditador tem estratégias diferentes para ambos os jogadores. É
possível, contudo, para jogos que tenham estratégicas idênticas para ambos os
jogadores, que ainda assim sejam assimétricos. Por exemplo, o jogo representado
na figura à direita é assimétrico, a despeito de possuir estratégias idênticas para
ambos os jogadores.
2.1.3 Jogos simultâneos e sequenciais
Jogos simultâneos são jogos onde ambos os jogadores movem-se
simultaneamente, ou se eles não se movem simultaneamente, ao menos os
jogadores desconhecem previamente as ações de seus adversários (tornando-
os efetivamente simultâneos). Jogos sequenciais (ou dinâmicos) são jogos onde o
próximo jogador tem conhecimento da jogada de seu antecessor. Isto não necessita
ser conhecimento perfeito a cerca de cada ação do jogador antecessor; ele
necessita de muito pouca informação. Por exemplo, um jogador deve saber que o
jogador anterior não pode realizar uma ação em particular, enquanto ele não sabe
quais das outras ações disponíveis o primeiro jogador ira realmente realizar.
A diferença entre jogos simultâneos e sequenciais é capturada nas
diferentes representações discutidas acima. Forma normal é usada para representar
jogos simultâneos, e a forma extensiva é usada para representar jogos sequenciais.
2.1.4 Jogos de informação perfeita e informação imperfeita
Um importante subconjunto dos jogos seqüenciais consiste dos jogos de
informação perfeita. Um jogo é de informação perfeita se todos os jogadores
conhecem os movimentos prévios feitos por todos os outros jogadores. Portanto,
somente jogos seqüenciais podem ser jogos de informação perfeita, uma vez que
nos jogos simultâneos nenhum jogador conhece a ação do outro. A maioria dos
jogos estudados na teoria dos jogos são de informação imperfeita.
Informação perfeita é freqüentemente confundida com informação
completa, que é um conceito similar. Informação completa requer que cada jogador
conheça as estratégias e pagamentos dos outros jogadores, mas não
necessariamente suas ações.
2.1.5 Jogos infinitamente longos
Por razões óbvias, jogos como estudados por economista e jogadores no
mundo real geralmente terminam em um número finito de movimentos. Matemáticos
puros não estão restritos a isto, e na teoria de conjunto em particular estudam jogos
que se prolongam por um número infinito de movimentos, com os vencedores (ou
prêmios) não são conhecidos até após todos estes movimentos tenham sido
completados.
O foco da atenção é usualmente não tanto qual o melhor caminho para o
jogador em tal jogo, mas simplesmente se um ou outro jogador tem uma estratégia
vencedora. (Isto pode ser provado, usando o axioma da escolha, que há jogos -
mesmo com informação perfeita, e onde as únicas saídas são vencedor ou perdedor
- para o qual nenhum jogador tem uma estratégia vencedora.) A existências de tais
estratégias, para jogos projetados especificamente para este fim, tem
conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos.
2.2 Estratégias
Uma estratégia simples é um plano predeterminado que adota um jogador
para uma sequência de lances e contra-lances no decorrer de um jogo completo.
Cada jogador possui um conjunto finito de estratégias simples, embora este número
possa ser elevado.
Uma caracterização completa do jogo é geralmente fornecida pela matriz
de pagamentos que mostra os ganhos g ij de um jogador I sobre o jogador II,
quando o jogador I utiliza sua i-ésima estratégia A i, e o jogador II utiliza sua j-ésima
estratégia simples Bj, conforme tabela abaixo ou recíprocamente gji:
Tabela 3 – Matriz de pagamentos
Estratégia
s
JOGADOR II
B1 B2 … Bn
JOG
AD
OR
I
A1 g11 g12 … g1n
A2 g21 g22 … g2n
… … … … …
Am gm1 gm2 … gmn
O objetivo da Teoria dos Jogos é determinar a melhor estratégia para um
jogador supondo que o oponente é racional e fará um lance inteligente.
Consequentemente, se um jogador sempre escolhe a mesma estratégia simples ou
a escolhe numa ordem fixa, seu oponente reconhecerá o modelo e anulará o lance,
se possível. Entretanto, geralmente, uma estratégia mais eficiente é a estratégia
mista, definida por uma distribuição de probabilidades sobre o conjunto de
estratégias simples. Uma estratégia mista para o jogador I é especificada pelo vetor
de probabilidade:
X = [x1, x2, ..., xm]T
Onde xi(i = 1, ..., m) é a proporção de vezes em que a estratégia αi é
escolhida.
2.2.1 Estratégias dominadas
Ao se resolver um jogo, deve-se tomar cuidado em eliminar as estratégias
que possam porventura ser dominadas por outras. Uma estratégia dominada será
aquela que, qualquer que seja a escolha do adversário, possui resultado inferior ao
de uma outra estratégia. A matriz representada na Tabela 4 exemplifica.
Tabela 4 - Exemplo de estratégia dominada
Estratégias do jogador II
β1 β2 β3 β4
Estratégias
do jogador I
α1 1 5 2 1
α2 2 1 8 5
α3 6 8 7 9
α4 4 12 3 2
Verifica-se que a estratégia α1 concede resultados inferiores que a
estratégia α4, não importando que estratégia o jogador II escolhe. Assim, pode-se
dizer que α1 é dominada por α4. A matriz de resultados após a exclusão desta
estratégia ficará como a Tabela 5
Tabela 5 - Matriz de Resultados eliminando-se a Estratégia Dominada
Estratégias do jogador II
β1 β2 β3 β4
Estratégias
do jogador I
α2 2 1 8 5
α3 6 8 7 9
α4 4 12 3 2
Verifica-se, então, a ausência de estratégias dominadas para ambos os
jogadores.
2.3 Jogos estáveis
Uma forma de o jogador I tentar maximizar seu resultado é escolher as
estratégias que lhe concedem o melhor resultado possível. Se um jogador souber, a
priori, a estratégia do outro, fica fácil saber que estratégia utilizar. No entanto, na
essência do jogo está a propriedade de simultaneidade. Uma opção interessante é,
então, escolher uma estratégia baseando-se no nível de segurança dela. A idéia por
trás do conceito é simples: dado que o jogador I escolhe uma estratégia α i, existe
uma estratégia βj do jogador II tal que o resultado é o melhor possível para II. (LINS,
M. P. E.; CALOBA, G. M, 2006) Ou seja, considerando-se que há um risco do
jogador II saber qual estratégia o jogador I irá escolher, qual o resultado garantido
pela estratégia do jogador I? O objetivo do jogador I é maximizar este nível de
segurança. Notadamente a seleção de estratégias se dá de forma pessimista e
dispensando a oportunidade de ganhos maiores e incertos em função de um retorno
seguro.
Se o jogador I joga na linha que dá o máximo de ganho (estratégia
chamada maxmin), ele assegura o ganho da quantia αi no máximo. Entretanto,
jogando em outra linha, ele poderia ganhar um valor menor. Analogamente, se o
jogador II joga na coluna que dá um mínimo de perda (estratégia chamada minimax),
ele assegura que sua perda máxima será βj. Dizemos que estas duas estratégias
satisfazem o critério minimax.
Suponha um jogo de soma zero em que a matriz de resultados seja como
a da Tabela 6.
Tabela 6 - Matriz de Resultados
Estratégias do jogador II
β1 β2 β3 β4
Estratégias
do jogador I
α1 5 9 4 3
α2 2 1 8 5
α3 6 8 7 9
α4 4 12 3 2
Incluindo uma coluna que exibe o pior resultado da linha, ou seja, o nível
de segurança para o jogador I dada a estratégia αi. Este resultado é disposto na
Tabela 7.
Tabela 7 - Nível de Segurança para o Jogador I
Estratégias do jogador II Nível de
Segurança
(1)
Β1 β2 β3 β4 Mínimo da
linha
Estratégias
do jogador I
α1 5 9 4 3 3
α2 2 1 8 5 1
α3 6 8 7 9 6
α4 4 12 3 2 2
Dado que o jogador I suspeita que 2 descubra sua estratégia, será melhor
escolher a estratégia α3, garantindo um resultado de 6. Fazendo isso, o jogador I
estará escolhendo a linha que maximiza o valor mínimo que ele poderá receber.
O jogador II poderá enxergar a questão pela mesma ótica. O pior
resultado para ele dada sua escolha será o máximo entre os elementos da coluna
desta estratégia. Repetimos a matriz, acrescentando o nível de segurança do
jogador II.
Tabela 8 - Nível de Segurança para ambos os jogadores
Estratégias do jogador
II
Nível de
Segurança (1)
β1 β2 β3 β4 Mínimo da linha
Estratégias do
jogador I
α1 5 9 4 3 3
α2 2 1 8 5 1
α3 6 8 7 9 6
α4 4 12 3 2 2
Nível de
Segurança (2)
Máximo
da coluna
6 12 8 9
Verifica-se que a escolha de β1 minimiza o valor máximo das quatro
colunas. Assim, é a estratégia que maximiza o nível de segurança do jogador II.
Por definição
αi <= βj
Para qualquer matriz de jogo. Se α i = βj então o jogador I somente pioraria
sua posição pelo abandono da estratégia maxmin. Este jogo é dito estável e as
estratégias prescritas pelo critério minimax são ótimas para os dois jogadores.
Assim, o jogo estará equivalente.
G* = αi = βj
O número G* é chamado valor do jogo (ou ponto de sela), sendo a quantia
paga pelo jogador II ao jogador I quando ambos utilizam estratégias ótimas. Em
resumo, qualquer jogo estável tem um único valor e uma estratégia simples ótima
para cada jogador, sendo esta estratégia ótima não necessariamente única.
2.4 Jogos instáveis
Existem jogos onde a estratégia que maximiza o nível de segurança dos
dois jogadores não constitui um ponto único, ou seja, não há um resultado do jogo
resultante da estratégia minimax e maxmin.
Tabela 9 - Exemplo de um jogo sem ponto de equilíbrio
Estratégias do jogador II Nível de
Segurança (1)
β1 β2 Mínimo da linha
Estratégias do
jogador I
α1 3 5 3
α2 4 1 1
Nível de
Segurança (2)
Máximo
da coluna
4 5
Suponha que o jogador I escolha a estratégia α1. Caso o jogador II
escolha β1, o resultado será 3, e no caso escolha β2, obterá 5. Supondo que o jogo
possa ser repetido diversas vezes, o jogador I poderá ter como opção variar a
estratégia entre α1 e α2. A probabilidade do jogador I escolher a estratégia α1 será
denominada x1, e a de escolher α2, x2.
Se o jogador II escolhe a estratégia β1, o resultado do jogo será o produto
dos elementos da coluna 1 pelas probabilidade de escolha das estratégias: 3x1 +
4x2. Caso a escolha do jogador II for β2, o resultado do jogo será 5x1 + x2.
O jogador I deverá, naturalmente, buscar elevar seu nível de segurança
no jogo. Para tal, pode-se fazer um gráfico dos resultados alcançados pela
estratégia mista dada a estratégia do jogador II.
O nível de segurança do jogador I pode ser obtido pela envoltória inferior
das retas. O valor de x1 que maximiza o nível de segurança é dado pelo encontro
das duas retas:
3 x1 + 4x2 = 5x1 + x2
Sabe-se ainda que x1 + x2 = 100%, uma vez que são as probabilidades de
adotar uma ou outra estratégia pura, exaustivas à unidade.
Uma vez que os resultados do jogador II são simétricos, o nível de
segurança deste jogador é representado pelo envoltório superior das retas.
2.5 Equilíbrio de Nash
O princípio do Equilíbrio de Nash consiste em analisar as soluções de
jogos. Esta noção tenta encontrar um estado estacionário para o jogo estratégico,
onde cada jogador tem a expectativa correta sobre o comportamento dos outros
jogadores e age de forma racional.
Dado um jogo estratégico , o equilíbrio de Nash é a escolha
com a seguinte propriedade:
Logo, para que uma estratégia satisfaça o equilíbrio de Nash, não
pode haver nenhum jogador que faça uma escolha diferente de e obtenha um
resultado melhor que , considerando que os demais jogadores escolheram .
Ou seja, nenhum outro jogador pode obter um ganho maior que este, dadas as
ações dos outros jogadores. (NASH Jr, J. F., 1949)
A solução de um jogo satisfazendo o equilíbrio de Nash é um caso de
otimização onde se procura estabelecer o ponto de Máximo do problema Primal e o
ponto de Mínimo do problema Dual. Ou seja, encontrar o equilíbrio de Nash é
encontrar o ponto ótimo de um problema de otimização denominado MiniMax que
veremos mais adiante. Este tipo de problema de jogos competitivos é caracterizado
como um modelo predador-presa, onde um dos jogadores ganha o que o outro
jogador perde, Nesta competiçao, interpretamos este jogo como uma sequência de
ações onde o jogador A tenta maximizar a perda mínima do jogador B, enquanto que
o jogador B tenta minimizar o ganho máximo do jogador A. Isto caracteriza que a
solução do jogador A é a solução Primal (Max) enquanto que a solução do jogador B
é a solução do Dual (Min), conforme descreveremos a seguir.
2.6 Jogos de duas pessoas, não competitivos e de soma diferente de zero
Uma boa forma de entender o jogo não competitivo e de soma não zero é
colocar algumas hipóteses centrais dos jogos de soma zero que não são
empregadas nos jogos cooperativos de soma distinta de zero. Em um jogo de soma
zero:
Nunca é vantajoso informar ao oponente de sua estratégia;
Nunca é vantajoso ao jogador se comunicar previamente com seu oponente e
propor um plano conjunto de ação;
Se (x, y’) e (x’, y) estão em equilíbrio, então (x, y) e (x’, y’) também estarão;
Se x é uma estratégia Maximin e y é uma estratégia Minimax, então (x, y) é
um par em equilíbrio.
Um jogo não competitivo obviamente necessita a descrição do resultado
para os dois jogadores na matriz de resultados. A matriz para o Dilema do
Prisioneiro segue na Tabela 10.
Tabela 10 - Matriz de resultados para o Dilema do Prisioneiro
Estratégias do suspeito II
Não confessar Confessar
Estratégias do
suspeito I
Não confessar (1,1) (10, 0.25)
Confessar (0.25, 10) (8, 8)
Este é um exemplo clássico da Teoria dos Jogos e vem sendo o usado
desde o princípio. Dois suspeitos são tomados em custódia e separados. O promotor
tem certeza que eles são culpados mas não possui provas suficientes para levá-los
a julgamento.
Ele diz para cada um dos prisioneiros que eles possuem duas
alternativas: confessar o crime que a polícia tem certeza que eles cometeram, ou
não confessar. Se ambos confessarem, ficarão um tempo estimado de 8 anos na
cadeia. Se nenhum dos dois confessarem, eles terão uma pena leve, posse ilegal de
armas, ficando presos durante 1 ano. Entretanto, se um confessar e o outro não, o
que confessar receberá uma pena leve, de 3 meses, e o segundo receberá uma
pena severa, ficando detido por 10 anos.
Examinando o jogo do ponto de vista do Suspeito I, se o Suspeito II
escolher confessar ou não confessar, o resultado da primeira estratégia, confessar,
é melhor para ele. Os valores para não confessar (1, 10) são maiores que os de
confessar (0.25, 8). Logo, não confessar é estratégia dominada por confessar para o
Suspeito I. O mesmo ocorre analogamente para o Suspeito II.
Desejando maximizar o seu nível de segurança, os jogadores tomam as
escolhas racionais de ambos confessarem e cumprem a pena de 8 anos cada,
quando poderiam alcançar a pena de 1 ano apenas.
Não há solução para este problema. Se houver possibilidade de
cooperação, os suspeitos podem escolher por não confessarem. O motivo de não
ser esta a estratégia escolhida é que se um deles “trair” o outro e confessar, ele
melhora o seu resultado no jogo.
3. METODOLOGIAS UTILIZADAS
3.1 Teorema Minimax: solução para o Equilíbrio de Nash
O Teorema Minimax prova que existirá sempre uma estratégia de
equilíbrio baseada nas estratégias puras ou mistas em jogos de duas pessoas de
soma zero.
Em jogos que possuem um par de estratégias puras em equilíbrio, a
solução do jogo é óbvia e o resultado é um valor v.
Considerando-se jogos com números de estratégias puras finito, com ou
sem pares de equilíbrio, se o Jogador 1 possui m estratégias puras a seu dispor,
uma estratégia mista será dada por x1, x2, ..., xm tais que xi ≥ 0, i, e x1 + x2 + ... +
xm = 1.
O teorema chave dos jogos de duas pessoas e soma zero declara que
existe um valor v de equilíbrio para qualquer jogo desde que os jogadores possam
fazer uso de estratégias mistas.
Teorema Minimax: Para qualquer matriz de jogos, existem estratégias
ótimas X* e Y* tais que:
E(X*, Y*) = MI = MII = G* = valor do jogo; onde:
MI = Valor máximo do ganho mínimo esperado do jogador I
MII = Valor mínimo da perda máxima esperada pelo jogador II
As estratégias ótimas garantidas pelo teorema Minimax, assim como o
valor do jogo G* = yn+1* podem ser obtidas através do seguinte modelo de
programação linear:
Considerando a estratégia do jogador II:
Maximizar - yn+1
Sujeito a:
g11y1 + g12y2 +.......+ g1nyn – yn+1 0
g21y1 + g22y2 +.......+ g2nyn - y n+1 0
.......................................................
gm1y1 + gm2y2 +......+ gmnyn – yn+1 0
y1 + y2 + .......+ yn = 1
com todas as variáveis de decisão não negativas.
3.2 Modelando jogos via programação linear
Devido aos desabamentos e às chuvas implacáveis que assolam o estado
do Rio de Janeiro todos os anos, as autoridades decidiram contratar uma
determinada empresa de construção para reformar cerca de 1000 casas que se
encontram em risco. Visando garantir a segurança dos moradores, a empresa em
questão formulou um problema de teoria dos jogos para decidir como utilizar os três
tipos de tijolos existentes no mercado em função dos três tipos de chuva existentes,
caracterizados por sua ação e duração.
Os três tipos de chuva são apresentados abaixo e seus efeitos no que se
refere à resistência estão apresentados na matriz de resultados, indicando a
probabilidade de não desabamento de uma casa reformada com determinado tipo
de tijolo no caso de determinado tipo de chuva.
Chuva Convectiva (C1): Típica chuva de verão, com grande intensidade e
curta duração. Pode produzir ventos locais e muitos raios. Ocorre pela
formação de “corredores” verticais de ar, provocados pela elevação de
massas de ar quente. Apresentam grande atividade elétrica interna, podendo
produzir grandes diferenças de potencial elétrico com a terra, possibilitando
intensa ocorrência de raios;
Chuva Frontal (C2): É uma chuva de menor intensidade, com pingos menores,
e de longa duração. Pode ocorrer por vários dias, apresentando pausas e
chuviscos entre fases mais intensas. Pode produzir ventos fortes e grandes
quantidades de raios. Ocorre em uma área extensa simultaneamente. A
intensidade dos fenômenos (chuvas, ventos, raios) depende da intensidade
dos elementos envolvidos (velocidade dos deslocamentos, umidade e
temperatura das massas de ar);
Chuva Orográfica (C3): Ocorre quando uma nuvem encontra um alto
obstáculo em seu caminho, como uma grande elevação do terreno. Estas
nuvens podem provocar tempestades elétricas perigosas por causa da
proximidade da terra com as nuvens, sobretudo quando ocorre juntamente
com outro tipo de chuva (frontal ou convectiva).
Esta é a matriz de resultados para o problema:
Tabela 11 - Matriz de Resultados para o Problema das Chuvas
Tipos de chuva
C1 C2 C3
Tipos de tijolos T1 80 30 75
T2 60 90 70
T3 80 80 50
Considera-se xi a freqüência de escolha do tijolo i. A formulação do
problema é a seguinte:
Máx(Min{80x1 + 60 x2 + 80 x3 , 30 x1 + 90 x2 + 80 x3 , 75 x1 + 70 x2 + 50 x3})
s.a x1 + x2 + x3 =1
Linearizando o problema, inserindo a variável Z como sendo a
probabilidade para que não ocorra desabamentos das casas, temos:
Max Z
s.a -80 x1 - 60 x2 - 80 x3 + Z ≤ 0
-30 x1 - 90 x2 - 80 x3 + Z ≤ 0
-75 x1 - 70 x2 - 50 x3 + Z ≤ 0
x1 + x2 + x3 = 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
Resolvendo o PPL (APÊNDICE A), temos que a probabilidade esperada
para o não desabamento das casas é de 69,1%. Os valores encontrados para as
freqüências dos tijolos x1, x2, e x3 são respectivamente 32,7%, 54,6% e 12,7%. Das
1000 casas, sugere-se construir 327 com o tijolo 1, 546 com o tijolo 2 e 127 com o
tijolo 3.
Este tipo de jogo pode ser classificado como um jogo “contra a natureza”,
no sentido de que há apenas um jogador, e o estado da natureza pode causar a
ruína ou a fortuna do jogador, no caso o estado do Rio de Janeiro.
4. ESTUDO DE CASO: O PROBLEMA DE JOGOS CORPORATIVOS NO
TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ
4.1 Introdução a Teoria dos Jogos Corporativos
Antes de caracterizarmos o problema de jogos corporativos, vamos
entender melhor as diferenças entre jogos competitivos ou não cooperativos e jogos
cooperativos. Esta diferença está no enfoque sobre o jogador. Nos jogos não
cooperativos o conjunto de ações possíveis está associado á jogadores individuais.
Nos jogos cooperativos, o conjunto de ações possíveis está associado a grupo de
jogadores (ou coalizões)
Um jogo Corporativo ou Programa de Simulação de Competição entre
empresas pode ser definido como um exercício seqüencial de tomada de decisões
estruturado sobre um modelo de uma operação empresarial ou institucional, onde os
participantes assumem o papel de gerentes de operações de decisões
Apesar de a palavra “jogo” dar a idéia de competição, neste caso os jogos
de empresas te por finalidade o treinamento sistemático de equipes. A competição
surge apenas como um estímulo ou criação de uma situação onde esse treinamento
seja feito com interesse.
4.1.1 Classificação dos Jogos Corporativos
Os Jogos Corporativos podem ser classificados da seguinte forma:
a) Quanto à orientação:
Jogo baseado na operação de uma empresa genérica;
Jogo baseado na operação de Unidades de Tomadas de Decisões
(DMU - Decision Make Unit) específicas (construção, têxtil, laticínios,
judiciário, etc);
b) Quanto à natureza:
Jogo englobando todas as atividades de uma Unidade de Tomadas de
Decisões ;
Jogo simulando a operação de uma dada área funcional da empresa
(setor de vendas, marketing, produção industrial, produção processual,
etc);
c) Quanto à estrutura do participante:
A decisão é tomada por uma pessoa ou por um grupo sem hierarquia
ou atribuição;
A decisão é tomada em vários níveis e por pessoas de áreas
específicas, como presidente, juiz, desembargador, vice-presidente de
vendas, tesoureiro, encarregado de compras etc., e a decisão final
pode ser juntada e tomada por uma diretoria ou conselho de
administração ou magistrado, etc.
4.1.2 Finalidades e objetivos dos Jogos Corporativos
Podemos salientar a utilização dos Jogos Corporativos nos seguintes
setores:
a) Treinamento Empresarial
As principais empresas no mundo inteiro (como GE, IBM, Boeing etc.)
usam jogos corporativos como parte dos programas internos de treinamento de
executivos.
Várias dificuldades encontradas no treinamento de um executivo ou
administrador de empresas tais como a possibilidade de se criar uma situação real
para a tomada de decisões ou a dificuldade de oferecer a visão total do conjunto de
operações de uma empresa são superadas através do treinamento com jogos
corporativos.
O Jogo Corporativo pode ser utilizado para testar e pesquisar o
comportamento de uma empresa simulada diante de condições preestabelecidas ou
imprevistas. Desta forma, é possível verificar o comportamento da firma com relação
ao preço do produto, à elasticidade do mercado, à política salarial, etc.
b) Organização de Empresas
Através dos Jogos Corporativos é possível efetuar o teste de diversos
tipos de organização de uma empresa, escolhendo-se aquele que melhor se adapta
a ela.
É possível também, por exemplo, estudar os efeitos da variação do
tamanho do quadro de pessoal sobre o desempenho da empresa, o efeito da
variação hierárquica dos níveis funcionais, as divisões dos departamentos, dentre
outros.
4.2 A Teoria dos Jogos aplicada às rotas realizadas entre os Juizados
Especiais Cíveis e Criminais de Fortaleza
No Ceará, o Tribunal de Justiça do Estado do Ceará (TJCE) está em
parceria com a UECE através de projetos em C&T para viabilizar a Teoria dos Jogos
como ferramentas de apoio ao processo decisório, conforme descrevemos no
estudo de caso a seguir.
A estrutura judiciária do estado do Ceará está formatada em duas
grandes classes: Primeiro Grau e Segundo Grau. O Primeiro Grau compreende
todas as Comarcas (sedes e vinculadas), Varas e Juizados Especiais Cíveis e
Criminais (JECC). Já o Segundo Grau compreende o Tribunal de Justiça. Neste
trabalho, nos concentramos nos JECC da comarca de Fortaleza, que totalizam 21
unidades.O judiciário estadual conta com 421 unidades de atendimento distribuídas
geograficamente na capital e no interior com mais de 1 milhão de processos em
julgamento.
Os serviços judiciais prestados à população formam uma rede de
atendimento em todo o Estado, com características específicas e bastante
diversificadas, envolvendo uma logística inteligente para sua gestão. Assim, decidiu-
se estudar a rede de diligências realizadas entre os 21 JECC da comarca de
Fortaleza.
Com base em dados fornecidos pelo TJCE (ANEXO A), foi construída
uma matriz contendo todas as rotas entre os JECC e um valor aproximado das
distâncias dos trajetos atualmente praticados. Essas distâncias foram calculadas
através da ferramenta Google Maps (APÊNDICE B).
Em seguida, com base nos mesmos dados e utilizando-se novamente a
ferramenta Google Maps, foram calculadas as rotas ótimas entre todos os pontos
(APÊNDICE C).
Verificou-se assim uma diferença de distância (em metros) entre a rota
praticada pelos encarregados das diligências e a rota ótima calculada (APÊNDICE
D). Para fins de simulação, esta foi considerada a Matriz de Resultados do
problema.
A partir dessa matriz de pagamentos, desenvolveu-se um modelo
matemático (APÊNDICE E) utilizando-se o Teorema Minimax e considerando-se a
“estratégia” do “jogador” I, ou seja, utilizando-se as colunas da matriz como
referencial.
Após execução deste modelo no LINDO (Linear, Interactive and Discrete
Optmizer), obteve-se como resultado a porcentagem de diligências originadas em
cada JECC, visitando todos os outros JECC´s, de modo que a economia seja
máxima. Entende-se por economia máxima a utilização das menores rotas possíveis
levando-se em consideração que há a probabilidade de saírem diligências de
qualquer JECC para qualquer outro durante um determinado período de tempo.
A Tabela 12 representa os resultados obtidos no LINDO. Os dados de
saída exatos do programa podem ser vistos no APÊNDICE F.
Tabela 12 - Resultados obtidos através do LINDO
JECC % de saídas
1º JECC 4
2º JECC 4
3º JECC (anexo) 4
3º JECC 3,1
4º JECC 6
5º JECC 3,4
6º JECC 2,7
7º JECC 5,7
8º JECC 6
9º JECC 4
10º JECC 5,7
11º JECC 4,3
12º JECC 4,6
13º JECC 4,5
14º JECC 4,3
15º JECC 3,1
16º JECC 5,8
17º JECC 4,9
18º JECC 3,6
19º JECC 4,7
20º JECC 5,7
Juizado da Violência Doméstica e Familiar contra a mulher 5,9
TOTAL 100
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 Introdução
Muito pouco difundida no Brasil, especialmente entre o meio jurídico, a
Teoria dos Jogos constitui um relevante instrumento estratégico, objetivando a
tomada das melhores decisões e os melhores resultados em negociações.
Entretanto, em quaisquer casos, as tomadas de decisões estratégicas
não podem ser completamente reduzidas a uma ciência; sempre haverá espaço
para “truques”.
A Teoria dos Jogos não pode oferecer respostas definitivas para questões
de como as pessoas devem se comportar em qualquer situação. Também não
almeja dizer a gerentes como tocar os negócios, a juízes como julgar seus
processos ou a engenheiros onde realizar suas construções. Uma tomada de
decisão não pode ser reduzida simplesmente a um programa de computador, da
mesma forma que há mais elementos em negociações que cabem em modelos
matemáticos.
Percebe-se, então, que a Teoria dos Jogos não elimina a necessidade de
conhecimento e intuição adquirida através de longa experiência mas oferece um
atalho para entender os princípios do processo de decisão.
5.2 Limitações
Os resultados encontrados neste trabalho estão limitados a uma
suposição do que deveria ser feito na realidade. Sabe-se que não é possível impor e
fixar a quantidade de diligências e transportes de documentos realizados entre um
JECC e outro, pois isto depende de vários fatores como quantidade de processos
em andamento e disponibilidade de recursos físicos e financeiros.
5.3 Conclusão
Analisando-se os resultados obtidos, observa-se que há uma certa
homogeneidade nas sugestões realizadas pelo LINDO. Calculando-se o desvio
padrão das porcentagens sugeridas, obtém-se 1,02, valor considerado baixo.
Conclui-se, então, que os JECC´s encontram-se geograficamente bem distribuídos,
atendendo toda a área da Comarca de Fortaleza (ANEXO B).
5.4 Trabalhos futuros
Pensa-se numa continuação deste trabalho estendendo-o de modo que
sejam englobadas as demais 400 unidades de atendimento do Judiciário Estadual,
realizando-se assim um estudo global das rotas realizadas e da distribuição
geográfica dessas 421 unidades.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
ARENALES, M., et al. Pesquisa Operacional. Elsevier, 2007.
BAZARAA, M. S. ; SHETTY, C. M. Nonlinear Programming. John Wiley & Sons, 2001.
BRICE, C., et al. Applied Numerical Methods. John Wiley, 1970.
GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P.L. Otimização Combinatória e Programação Linear. Editora Campus, 2000.
JUSTIÇA EM NÚMEROS. Brasília, Distrito Federal: CNJ, 2008 e 2009. Anual.
KARMANOV, V. Programation Mathématique. Editions de Moscou, 1977.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Editora Campus, 2004.
LINS, M. P. E.; CALOBA, G. M. Programação Linear com aplicações em Teoria dos Jogos e Avaliação de Desempenho. Edição 1ª Editora Interciência, Ano 2006
NASH Jr, J. F. Non-cooperative games. 1949.
RARDIN, R.L. Optimization in Operations Research. Prentice Hall, 1998.
ROSS, S. Introduction to Probability Models. Academic Press, 1993.
VON NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O. Theory of games and Economic Behavior. Princeton University Press, 1944.
APÊNDICE A - Resultado do PPL das Chuvas do Rio de Janeiro
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 69.09091
VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 69.090912 0.000000 X1 0.327273 0.000000 X2 0.545455 0.000000 X3 0.127273 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 0.454545 2) 0.000000 0.181818 3) 0.000000 0.363636 4) 0.000000 69.090912 5) 0.327273 0.000000 6) 0.545455 0.000000 7) 0.127273 0.000000
NO. ITERATIONS= 4
APÊNDICE B – Distância dos trajetos percorridos entre as unidades dos JECC
APÊNDICE C – Distâncias dos trajetos ótimos entre as unidades dos JECC
APÊNDICE D – Diferença entre as distâncias percorrida e ótima dos trajetos entre os JECC
APÊNDICE E – Modelo matemático para otimização da escolha das rotas
Max Y23ST
0Y1 - 647Y1 - 965Y1 - 1371Y1 - 685Y1 - 393Y1 - 1344Y1 - 623Y1 - 589Y1 - 1502Y1 - 403Y1 - 1276Y1 - 807Y1 - 347Y1 - 542Y1 - 214Y1 - 564Y1 - 538Y1 - 1149Y1 - 884Y1 - 420Y1 - 561Y1 + Y23 <= 0
-616Y2 - 0Y2 - 1124Y2 - 1623Y2 - 804Y2 - 470Y2 - 914Y2 - 495Y2 - 691Y2 - 1425Y2 - 502Y2 - 974Y2 - 975Y2 - 1086Y2 - 469Y2 - 694Y2 - 596Y2 - 315Y2 - 342Y2 - 317Y2 - 523Y2 - 587Y2 + Y23 <= 0
- 754Y3 - 1092Y3 - 0Y3 - 303Y3 - 824Y3 - 1063Y3 - 880Y3 - 806Y3 - 666Y3 - 472Y3 - 340Y3 - 494Y3 - 189Y3 - 877Y3 - 1397Y3 - 791Y3 - 410Y3 - 1023Y3 - 1219Y3 - 1163Y3 - 354Y3 - 435Y3 + Y23 <= 0
- 915Y4 - 1321Y4 - 268Y4 - 0Y4 - 1142Y4 - 1251Y4 - 977Y4 - 1134Y4 - 981Y4 - 606Y4 - 508Y4 - 638Y4 - 444Y4 - 1190Y4 - 1692Y4 - 949Y4 - 648Y4 - 1330Y4 - 1544Y4 - 1519Y4 - 529Y4 - 680Y4 + Y23 <= 0
- 97Y5 - 546Y5 - 587Y5 - 917Y5 - 0Y5 - 634Y5 - 984Y5 - 232Y5 - 0Y5 - 924Y5 - 79Y5 - 659Y5 - 385Y5 - 400Y5 - 717Y5 - 520Y5 - 115Y5 - 438Y5 - 1035Y5 - 682Y5 - 82Y5 - 92Y5 + Y23 <= 0
- 432Y6 - 499Y6 - 1305Y6 - 1758Y6 - 1003Y6 - 0Y6 - 1337Y6 - 679Y6 - 862Y6 - 1790Y6 - 602Y6 - 1249Y6 - 1113Y6 - 895Y6 - 294Y6 - 510Y6 - 763Y6 - 400Y6 - 877Y6 - 846Y6 - 627Y6 - 779Y6 + Y23 <= 0
- 1093Y7 - 883Y7 - 885Y7 - 1110Y7 - 1499Y7 - 1121Y7 - 0Y7 - 1325Y7 - 1289Y7 - 780Y7 - 785Y7 - 645Y7 - 887Y7 - 1650Y7 - 1489Y7 - 1250Y7 - 898Y7 - 1261Y7 - 825Y7 - 1307Y7 - 817Y7 - 944Y7 + Y23 <= 0
- 386Y8 - 357Y8 - 783Y8 - 1144Y8 - 268Y8 - 487Y8 - 1136Y8 - 0Y8 - 230Y8 - 943Y8 - 220Y8 - 714Y8 - 582Y8 - 478Y8 - 496Y8 - 510Y8 - 288Y8 - 246Y8 - 737Y8 - 423Y8 - 229Y8 - 257Y8 + Y23 <= 0
- 397Y9 - 546Y9 - 580Y9 - 917Y9 - 0Y9 - 634Y9 - 984Y9 - 232Y9 - 0Y9 - 924Y9 - 79Y9 - 659Y9 - 385Y9 - 400Y9 - 717Y9 - 520Y9 - 115Y9 - 438Y9 - 1035Y9 - 682Y9 - 82Y9 - 92Y9 + Y23 <= 0
- 840Y10 - 1018Y10 - 377Y10 - 597Y10 - 844Y10 - 1074Y10 - 568Y10 - 790Y10 - 725Y10 - 0Y10 - 434Y10 - 295Y10 - 364Y10 - 1068Y10 - 1425Y10 - 913Y10 - 474Y10 - 1007Y10 - 1140Y10 - 1086Y10 - 452Y10 - 501Y10 + Y23 <= 0
- 426Y11 - 633Y11 - 486Y11 - 807Y11 - 209Y11 - 746Y11 - 977Y11 - 343Y11 - 179Y11 - 799Y11 - 0Y11 - 652Y11 - 291Y11 - 434Y11 - 846Y11 - 576Y11 - 109Y11 - 584Y11 - 1097Y11 - 759Y11 - 0Y11 - 86Y11 + Y23 <= 0
- 771Y12 - 788Y12 - 551Y12 - 782Y12 - 735Y12 - 945Y12 - 644Y12 - 671Y12 - 632Y12 - 433Y12 - 377Y12 – 0Y12 - 444Y12 - 973Y12 - 1204Y12 - 857Y12 - 404Y12 - 838Y12 - 851Y12 - 759Y12 - 392Y12 - 429Y12 + Y23 <= 0
- 644Y13 - 910Y13 - 181Y13 - 488Y13 - 616Y13 - 975Y13 - 921Y13 - 726Y13 - 529Y13 - 491Y13 - 209Y13 - 467Y13 - 0Y13 - 730Y13 - 1259Y13 - 689Y13 - 308Y13 - 899Y13 - 1097Y13 - 1038Y13 - 218Y13 - 330Y13 + Y23 <= 0
- 230Y14 - 788Y14 - 703Y14 - 1068Y14 - 427Y14 - 593Y14 - 1268Y14 - 431Y14 - 367Y14 - 1165Y14 - 215Y14 - 933Y14 - 553Y14 - 0Y14 - 818Y14 - 281Y14 - 346Y14 - 615Y14 - 1360Y14 - 1086Y14 - 223Y14 - 330Y14 + Y23 <= 0
- 363Y15 - 297Y15 - 1095Y15 - 1505Y15 - 705Y15 - 188Y15 - 1171Y15 - 431Y15 - 606Y15 - 1492Y15 - 445Y15 - 1036Y15 - 895Y15 - 764Y15 - 0Y15 - 469Y15 - 564Y15 - 154Y15 - 667Y15 - 557Y15 - 463Y15 - 574Y15 + Y23 <= 0
- 236Y16 - 856Y16 - 1131Y16 - 1623Y16 - 1112Y16 - 517Y16 - 1676Y16 - 854Y16 - 956Y16 - 1819Y16 - 513Y16 - 1345Y16 - 1069Y16 - 426Y16 - 818Y16 - 0Y16 - 737Y16 - 769Y16 - 1421Y16 - 1173Y16 - 534Y16 - 713Y16 + Y23 <= 0
- 443Y17 - 593Y17 - 493Y17 - 816Y17 - 199Y17 - 710Y17 - 880Y17 - 319Y17 - 171Y17 - 712Y17 - 94Y17 - 549Y17 - 335Y17 - 478Y17 - 846Y17 - 566Y17 - 0Y17 - 538Y17 - 1079Y17 - 740Y17 - 98Y17 - 53Y17 + Y23 <= 0
- 432Y18 - 249Y18 - 972Y18 - 1362Y18 - 536Y18 - 294Y18 - 1074Y18 - 271Y18 - 461Y18 - 1309Y18 - 361Y18 - 906Y18 - 778Y18 - 808Y18 - 175Y18 - 531Y18 - 455Y18 - 0Y18 - 675Y18 - 365Y18 - 376Y18 - 449Y18 + Y23 <= 0
- 829Y19 - 283Y19 - 1102Y19 - 1463Y19 - 1132Y19 - 599Y19 - 679Y19 - 695Y19 - 973Y19 - 1280Y19 - 644Y19 - 741Y19 - 924Y19 - 1416Y19 - 671Y19 - 837Y19 - 750Y19 - 600Y19 - 0Y19 - 461Y19 - 670Y19 - 746Y19 + Y23 <= 0
- 558Y20 - 209Y20 - 943Y20 - 1287Y20 - 705Y20 - 546Y20 - 873Y20 - 351Y20 - 606Y20 - 1068Y20 - 419Y20 - 741Y20 - 771Y20 - 999Y20 - 588Y20 - 643Y20 - 481Y20 - 323Y20 - 386Y20 - 0Y20 - 436Y20 - 468Y20 + Y23 <= 0
- 426Y21 - 633Y21 - 486Y21 - 807Y21 - 209Y21 - 746Y21 - 977Y21 - 343Y21 - 179Y21 - 799Y21 - 0Y21 - 652Y21 - 291Y21 - 434Y21 - 846Y21 - 576Y21 - 109Y21 - 584Y21 - 1097Y21 - 759Y21 - 0Y21 - 86Y21 + Y23 <= 0
- 414Y22 - 580Y22 - 522Y22 - 849Y22 - 139Y22 - 705Y22 - 970Y22 - 287Y22 - 119Y22 - 837Y22 - 52Y22 - 638Y22 - 327Y22 - 434Y22 - 837Y22 - 541Y22 - 54Y22 - 530Y22 - 1026Y22 - 692Y22 - 54Y22 - 0Y22 + Y23 <= 0
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7 + Y8 + Y9 + Y10 + Y11 + Y12 + Y13 + Y14 + Y15 + Y16 + Y17 + Y18 + Y19 + Y20 + Y21 + Y22 = 1
END
ANEXO A – Endereços e Jurisdições dos JECC da Comarca de Fortaleza
Unidade Endereço1ª Rua Dr.João Guilherme,257 - Antônio Bezerra2ª Av. Godofredo Maciel, 3100 – Maraponga3ª(Anexo) Rua Osório Palmella, 260 – Varjota3ª Rua Hermínia Bonavides, 1576 — Vicente Pinzon4ª Av. da Universidade, 3288 – Benfica5ª Rua Setecentos e Vinte e Nove,443,3a Etapa - Conjunto Ceará6ª Rua Santa Efigênia, 305 – Messejana7ª Rua Des. João Firmino, 360 – Montese8ª Av. da Universidade, 3288 – Benfica9ª Av. Almirante Maximiniano da Fonseca, 1395 - Edson Queiroz10ª Rua Senador Pompeu, 1127 – Centro11ª Rua do Lago, 340 - Tancredo Neves12ª Rua Visconde de Mauá, 1940 – Meireles13ª Rua Dr. Almeida Filho, 636 - Monte Castelo14ª Rua Carlos Chagas, 800 - Bom Sucesso15ª Av. C, 421 – Vila Velha16ª Rua Mário Mamede, 130117ª Av. General Osório de Paiva, 1200 – Parangaba18ª Av. K, 130 – 1ª Etapa- José Walter19ª Rua Betel, 1330 – Serrinha20ª Rua Senador Pompeu, 1127 – CentroJVDFCM Rua Barão do Rio Branco, 2922 - Fátima
ANEXO B – Mapa representando a jurisdição dos JECC de Fortaleza