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Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos
Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal
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Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:
quais são os resultados possíveis;
qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
Variável discreta: pares valores – probabilidade.
Variável contínua: função densidade de probabilidades
Modelo de Bernoulli
Modelo teórico discreto
Apenas dois resultados possíveis: “sucesso”, “fracasso”.
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x p(x)
0
1
1 – p
p
Total 1
E(X) = p
V(X) = p × (1 – p)
1 se
1 0 se
0 se
1
1
0
)(
x
x
x
p-xF
Modelo Binomial
Modelo teórico discreto
X terá distribuição binomial se:
X = X1 + X2 + ... + Xn
X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias discretas INDEPENDENTES com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p CONSTANTE.
X: número de “sucessos” em n realizações de um experimento de Bernoulli
Com probabilidade de “sucesso” p constante (0 < p < 1)
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Exemplo 1
Lançamento de moeda honesta 4 vezes, identificação face voltada para cima: registro do número de caras (C).
“Sucesso” = Cara; p = 0,5; 1 – p = 0,5
Independência
P(X=0) = P(K1 K2 K3 K4) = P(K1)×P(K2)×P(K3)×P(K4)
P(X=0) = (1 – p)4 = 0,0625
P(X=1) = P[(C1 K2 K3 K4) (K1 C2 K3 K4) [(K1 K2 C3 K4) [(K1 K2 K3 C4) ]
Cada sub-evento é M.E. com os outros.
P(X=1) = 4×p×(1-p)3 = 0,25
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Modelo binomial
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xnxpp
x
n xXP
1)( (x = 0, 1, ..., n)
!!
!,
xxn
n =
x
nC xn
E(X) = n×p V(X) = n×p×(1 – p)
Exemplo 1 – pelo modelo binomial
n = 4; p = 0,5; 1 – p = 0,5
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0625,00625,0115,05,00
4)0(
040
XP
25,0125,05,045,05,01
4)1(
141
XP
Exemplo 1 – pelo modelo binomial
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0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4
Pro
bab
ilid
ade
s
X = Número de caras em 4 lançamentos da moeda
Distribuição binomial (n = 4; p = 0,5)
E(X) = n×p = 4 × 0,5 = 2 V(X) = n×p×(1 – p) = 4 × 0,5 × 0,5 = 1
Modelo de Poisson
Modelo teórico discreto.
Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável.
Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos:
chamadas telefônicas por minuto,
mensagens que chegam a um servidor por segundo
acidentes por dia,
defeitos por m2, etc..
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Modelo de Poisson
X = núm. de ocorrências em [t, t+1]
t t+1 n intervalos de amplitude 1/n, com n
p = probab. de ocorrência em cada intervalo
xnx ppx
nxXP
)1()(
n
p 0
n × p > 0
!)(
x
etxXP
tx
(x =0, 1, 2, ...)
Modelo de Poisson
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!
)(x
texXP
xt
(x = 0, 1, 2, ...)
tXE )( tXV )(
Exemplo 2
Estudos de tráfego mostram que cerca de 3 mensagens chegam a um servidor a cada milissegundo.
Calcule a probabilidade de que pelo menos 4 mensagens cheguem em 1 milissegundo.
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...)5()4()4( XPXPXP
)4(1)4( XPXP
)3()2()1()0()4( XPXPXPXPXP
Exemplo 2
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x P(X=x) Resultado
0 0,0498
1 0,1494
2 0,224
3 0,224
!0
13)0(
013
eXP
!1
13)1(
113
eXP
!2
13)2(
213
eXP
!3
13)3(
313
eXP
3528,00,64721)4( XP
Modelo Uniforme Modelo teórico contínuo.
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f(x)
x
f(x) = 1
1
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Modelo Uniforme
P(a < X < b) = b - a
f(x)
x a b
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)(
2)(
2
XVar
XE
Modelo Exponencial
Relação com a Poisson.
X: variável aleatória discreta com distribuição de Poisson – número de ocorrências em um intervalo finito com uma taxa λ.
T: variável aleatória contínua – tempo entre as ocorrências seguirá uma distribuição exponencial com valor esperado 1/λ
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t0
P(T > t0) = e - t0
Modelo Exponencial
f(t) = e - t, λ e t > 0
f(t)
t
2
1)(
1)(
TVar
TE
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Exemplo 3
O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?
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Exemplo 3
= 0,75
P(T > t) = e - t
P(T > 1) = e -()1 = 0,4724 ou 47,24%
Modelo Normal
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Muitas variáveis aleatórias tem distribuições como:
Alturas (m)
Fre
qu
ên
cia
s
2,01,91,81,71,61,51,4
200
150
100
50
0
Alturas de homens adultos
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Modelo Normal
f(x)
x
f x e
x
( )( )
1
2
1
2
2
: média
: desvio padrão
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Características
x
Área = 1
A variável aleatória pode assumir valores de - ∞ a + ∞ .
Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade) .
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Características
Simetria em relação à média.
x
50%
24 + -
área = 68,3%
Exemplo
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+2 -2
Exemplo
área = 95,4%
26
Exemplo
+3 -3
área = 99,7%
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Normal Padronizada
z = x -
z - variável normal padronizada
x - variável normal
- média
- desvio padrão
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Normal Padronizada
x
- + -2 +2
0 z
-1 1 -2 2
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Aproximação da Binomial pela Normal
Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média n×p e variância n×p×(1- p).
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Exemplo 4
Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas.
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Exemplo 4
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(X)
número de respostas corretas (X)
Distribuição binomial:
n=10 p=0,5
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Exemplo 4
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?
P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,044 0,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(X>6) = 0,172
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Exemplo 4 (de novo)
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X>6,5)
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Exemplo 4 (de novo)
x 5 6,5
P(X>6,5)
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Exemplo 4 (de novo)
z = x -
6,5 - 5
1,581139 = = 0,95
= 5 = 1,581139 x = 6,5
z 0 0,95
0,1711 Lembrando:
a probabilidade.
Exata (pela
binomial)
era de 0,1720