Zeros de Funções Reais

Fase II: Refinamento de Raiz

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Método de Newton-Raphson

(Tangentes)

Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson

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Considerações Iniciais

Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo

método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre

converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial

dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não

muda de sinal, a raiz não é encontrada.

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Considerações Iniciais

Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson.

Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e

encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas

desvantagens:

• Nem sempre converge;

• Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre

é uma tarefa fácil.

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Definição

Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:

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Definição

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Definição

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Definição

Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de

iteração. Veja:

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Interpretação Geométrica do método de Newton

Vejam que a cada

iteração a raiz se

aproxima mais da raiz

real ξ.

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Critérios de Convergência

As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):

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Exemplo

12

6

12

62

12

6

2

1

22

2

1

0

001

x

xx

x

xxxx

x

xxxx

xf

xfxx

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Exemplo

Portanto, temos que:

12

62

1x

xx

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Exemplo

Desta forma, temos:

12

62

1x

xx

132

632

1x 1429,21x

6²3|)(| 0xf Portanto, continua!

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Exemplo

Tomando a nova iteração:

12

6

1

1

2

112

x

xxxx

11429,22

61429,21429,21429,2

2

2x

1429,21x

7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua!

0039,22x

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Exemplo

Continuando...

0039,22x

Quadro!

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Exemplo

Generalizando, temos:

xn xn f(xn) f(x1)

X0 3 6 2,1429

X1 2,1429 0,7349 2,0039

x2 2,0039 0,0195

0039,2x

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Exemplo

Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:

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Exemplo

Então, se:

Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3,

podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua

proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.

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Exemplo

Calcula o erro...

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Exemplo

Calcula o erro...

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Exemplo

Calcula o erro...

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Exemplo

Calcula o erro...

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Exemplo

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Exemplo

Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:

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Exemplo

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Exemplo

Quadro!

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Quando o Método de Newton pode não Convergir?

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A não convergência do método pode ocorrer nos pontos

de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a

concavidade.

Quando o Método de Newton pode não Convergir?

O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não

converge.

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Quando o Método de Newton pode não Convergir?

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Considerações Finais

No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior

da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um

valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método

converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a

função no ponto inicial não representa bem a função naquele

ponto.

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Considerações Finais

O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a

convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número

mínimo de iterações.

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Exercícios

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