UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL – UFMS

FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E URBANISMO E

GEOGRAFIA – FAENG

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

DENISE ESTIGARRIBIA DE FREITAS

MEMORIAL DE CÁLCULO: Projeto de laje de piso de escritório

Trabalho apresentado à disciplina Concreto Armado I do Curso de Graduação em Engenharia Civil da UFMS.

Prof.: Andrés Batista Cheung.

CAMPO GRANDE, MS

2015

ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Planta de fôrma sem escala.......................................................................3

Figura 2 – Corte de uma laje de vão l0.........................................................................4

Figura 3 – Situações de vinculação das placas isoladas constantes nos quadros......6

Figura 4 – Discretização da laje 1................................................................................7

Figura 5 – Discretização da laje 2................................................................................7

Figura 6 – Discretização da laje 3................................................................................8

Figura 7 – Discretização da laje 4................................................................................9

Figura 8 – Discretização da laje 5 (parcialmente engastada)......................................9

Figura 9 – Discretização da laje 5..............................................................................10

Figura 10 – Discretização da laje 6 (parcialmente engastada)..................................10

Figura 11 – Discretização da laje 6............................................................................11

Figura 12 – Discretização da laje 7............................................................................11

Figura 13 – Discretização da laje 8............................................................................12

Figura 14 – Cargas devido a pessoas na laje 1.........................................................16

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Valores de ᴪ2 usados no pré-dimensionamento das lajes.........................6

Tabela 2 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)..............14

Tabela 3 – Coeficientes α para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares

submetidas a carregamento uniformemente distribuído............................................15

Tabela 4 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)..............20

Tabela 5 – Resumo das armaduras de distribuição...................................................27

Tabela 6 – Resumo de aços......................................................................................33

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................3

2 MEMORIAL DE CÁLCULO...............................................................................5

2.1 DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO E PRÉ-DIMENSIONAMENTO.................5

2.1.1 Cálculos do pré-dimensionamento.................................................................6

2.2 CARREGAMENTOS ATUANTES....................................................................12

2.2.1 Carga variável...............................................................................................13

2.2.2 Cargas permanentes....................................................................................13

2.2.3 Resumo dos carregamentos distuibuídos.....................................................14

2.2.4 Verificação da flecha diferida no tempo........................................................14

2.3 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS.....................................................19

2.3.1 Carregamentos usados no dimensionamento das armaduras.....................19

2.3.2 Armadura positiva.........................................................................................20

2.3.3 Armadura positiva de distribuição.................................................................27

2.3.4 Armadura negativa.......................................................................................28

3

1 INTRODUÇÃO

Detalhamento de cálculos referentes ao projeto de uma laje maciça de

concreto, fck de 25 Mpa, agregado graúdo de basalto (brita 1), aço da armadura

CA50. As vigas possuem alvenaria de tijolo furado e o pé direito arquitetônico é de

3,0 (três) metros.

Figura 1 – Planta de fôrma sem escala

Antes de tudo precisamos lembrar que as dimensões das lajes a serem

consideradas nos cálculos correspondem à dimensão da planta acrescida de 15

4

centímetros, valor correspondente à largura da viga, pois, segundo recomendação

adotada na prática a largura efetiva corresponde a:

Figura 2 – Corte de uma laje de vão l0

lef=l0+t 1

2+t 2

2

lef: vão efetivo da laje;

l0: distância entre faces internas dos apoios;

t: largura da viga.

Como:

t 1=t 2=0,15m

lef=l0+0,15

2+ 0,15

2=l0+0,15m

A exceção fica por conta da laje em balanço, onde a dimensão no eixo x é a

nominal, e a dimensão no eixo x é a dimensão da planta acrescida de apenas

metade da largura de uma viga, ou seja, 7,5 centímetros.

5

2 MEMORIAL DE CÁLCULO

2.1 DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO E PRÉ-DIMENSIONAMENTO

Inicialmente, é preciso definir as condições de engastamento das lajes. Para

isso, consideraremos todas as bordas não apoiadas, ou apoiadas em laje em

balanço como sendo de rotação livre, ou simplesmente apoiada. Quanto à laje

rebaixada (laje 3), é usual na prática todos os seus vínculos serem considerados

como apoios. Para as restantes, considerou-se apoio do tipo engaste.

Para fazer o pré-dimensionamento, foi utilizado o critério da esbeltez,

conforme recomendação da NBR 6118:1980 para vigas de seção retangular ou “T” e

lajes maciças retangulares de edifícios, para atender as condições de deformações

limites:

d ≥l

ᴪ 2 .ᴪ 3

d: altura mínima da laje;

l: menor dos dois vãos da laje

ᴪ 2: coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da

laje;

ᴪ 3: coeficiente que depende do tipo de aço (tabelado), que no caso por

usarmos o CA50 e laje maciça, considerou-se como 25.

Inicialmente, classificaram-se as lajes quanto à armação. Foi calculada a

relação lx/ly, onde:

lx: maior vão da laje;

ly: menor vão da laje;

Se lx / l y ≥2→ laje armada em uma direção

Se lx / l y<2→ laje armada em duas direções

Para os coeficientes ᴪ 2 temos:

a) Lajes armadas em uma direção:

simplesmente apoiadas: ᴪ 2=1,0;

contínuas: ᴪ 2=1,2;

duplamente engastadas: ᴪ 2=1,7;

em balanço: ᴪ 2=0,5.

6

b) Lajes armadas em duas direções:

Figura 3 – Situações de vinculação das placas isoladas constantes nos quadros

Fonte: Chust (2014)

Tabela 1 – Valores de ᴪ2 usados no pré-dimensionamento das lajes

Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valor máximo

1,5 1,7 1,7 1,8 1,9 1,9 2 2 2,2

Valor mínimo

1,1 1,1 1,4 1,4 1,2 1,7 1,4 1,7 1,7

Fonte: adaptado de Chust (2014)

2.1.1 Cálculos do pré-dimensionamento

a) Laje 1:

lefx=4,46 m

lefy=1,48+0,075=1,555m

Particularidade: laje em balanço. A laje tem três de suas quatro bordas livres

(sem apoio), e uma necessariamente engastada.

lxly

= 446155,5

=2,868≥2

7

Figura 4 – Discretização da laje 1

(laje armada em uma direção)

Como a laje é em balanço → ᴪ 2=0,50

d= 155,50,5 .25

=12,44 cm

b) Laje 2:

lefx=4,16+0,15=4,31m

lefy=5,84+0,15=5,99m

A laje tem uma borda livre, uma borda engastada, uma apoiada em laje em

balanço, a qual considerou-se livre, e uma apoiada em laje rebaixada, que como

vimos na alínea anterior está engastada, ficando da seguinte maneira:

lxly

=599431

=1,39<2

Figura 5 – Discretização da laje 2

(laje armada em duas direções)

Caso 2

lxl y

=1→ᴪ 2=1,7

lxl y

=2→ᴪ 2=1,1

ᴪ 2=1,7−(0,884 .0,6)→ᴪ 2=1,17

d= 3181,17 .25

=10,87cm

8

c) Laje 3:

Particularidade: laje rebaixada.

lefx=3,03+0,15=3,18m

lefy=5,84+0,15=5,99m

lxl y

=599318

=1,884<2

Figura 6 – Discretização da laje 3

(laje armada em duas direções)

Caso 1

lxl y

=1→ᴪ 2=1,5

lxl y

=2→ᴪ 2=1,1

ᴪ 2=1,5−(0,884 .0,4 )→ᴪ 2=1,15

d= 3181,15 .25

=11,09cm

d) Laje 4:

lefx=3,71+0,15=3,86m

lefy=3,26+0,15=3,41m

A laje possui duas bordas livres, uma apoiada em laje rebaixada (engastada),

e uma apoiada em laje normal (engastada).

lxl y

=386341

=1,132<2

9

Figura 7 – Discretização da laje 4

(laje armada em duas direções)

Caso 3

lxl y

=1→ᴪ 2=1,7

lxl y

=2→ᴪ 2=1,4

ᴪ 2=1,7−(0,132 .0,3 )→ᴪ 2=1,66

d= 3411,66 .25

=8,21cm

e) Laje 5:

lefx=7,34+0,15=7,49m

lefy=2,74+0,15=2,89m

A laje possui uma borda livre, duas bordas engastadas, e uma parcialmente

engastada.

Figura 8 – Discretização da laje 5 (parcialmente engastada)

Portanto, para decidir se esta borda seria considerada livre ou engastada

utilizou-se a seguinte recomendação:

Se, Lengaste<23. L → rotulada;

Se, Lengaste>23. L → engastada.

Como,

10

Lengaste=4,31< 23.7,49=4,99, a parte de cima da laje é considerada como sendo

inteira simplesmente apoiada.

lxly

=749289

=2,592≥2

Figura 9 – Discretização da laje 5

(laje armada em uma direção)

Como a laje é contínua → ᴪ 2=1,20

d= 2891,2 .25

=9,63cm

f) Laje 6:

lefx=3,71+0,15=3,86m

lefy=5,32+0,15=5,47m

A laje possui uma borda livre, duas bordas engastadas, e uma parcialmente

engastada.

Figura 10 – Discretização da laje 6 (parcialmente engastada)

Como,

Lengaste=2,89< 23.5,47=3,65, a parte esquerda da laje é considerada como

sendo inteira simplesmente apoiada.

lxl y

=547386

=1,417<2

11

Figura 11 – Discretização da laje 6

(laje armada em duas direções)

Caso 5

lxl y

=1→ᴪ 2=1,9

lxl y

=2→ᴪ 2=1,2

ᴪ 2=1,9−(0,417 .0,7)→ᴪ2=1,61

d= 3861,61 .25

=9,6cm

g) Laje 7:

lefx=6,21+0,15=6,36m

lefy=2,30+0,15=2,45m

A laje possui duas bordas livres, e duas bordas engastadas.

lxl y

=636245

=2,596≥2

Figura 12 – Discretização da laje 7

(laje armada em uma direção)

Como a laje é contínua → ᴪ 2=1,20

d= 2451,2 .25

=8,17cm

12

h) Laje 8:

lefx=3,71+0,15=3,86m

lefy=2,30+0,15=2,45m

A laje possui duas bordas livres, e duas bordas engastadas.

lxl y

=386245

=1,576<2

Figura 13 – Discretização da laje 8

(laje armada em duas direções)

Caso 4

lxl y

=1→ᴪ 2=1,8

lxl y

=2→ᴪ 2=1,4

ᴪ 2=1,8−(0,576 .0,4 )→ᴪ2=1,57

d= 2451,57 .25

=6,24 cm

Com isso obtiveram-se várias alturas, porém todas as lajes terão a mesma

altura. Então escolheu-se a altura de 10 centímetros por ser a mínima permitida pela

norma para lajes em balanço, e apenas três lajes do pré-dimensionamento terem

superado este valor.

2.2 CARREGAMENTOS ATUANTES

Para prosseguir com o detalhamento é necessário ter os valores dos

carregamentos atuantes na estrutura. Nesta seção são focados os carregamentos

distribuídos, sendo que os carregamentos pontuais da laje em balanço serão

descritos nos cálculos das próximas seções.

p=∑q+ᴪ 2 . g

13

p: carga de combinação de serviço;

q: carga permanente;

ᴪ2: fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite

de serviço, que no caso de escritórios vale 0,4;

g: carga variável.

2.2.1 Carga variável

A tabela 2 da NBR 6120:1980 determina os valores para cargas variáveis a

serem consideradas para cada tipo de empreendimento. Para o caso de escritório, a

carga variável a ser considerada deve ser de:

q=2,0kN /m ²

2.2.2 Cargas permanentes

a) peso específico do concreto armado: 25 kN/m³. Para determinar a carga

multiplica-se este valor pela altura, ou seja: g=25 .h (kN /m ²) (h em metros);

b) peso do revestimento: g=1 ,0kN /m ²

c) peso do enchimento (laje rebaixada): 13 kN/m³. g=13 . h(kN /m ²)

d) peso da alvenaria: o peso específico da alvenaria de tijolo furado, segundo

NBR 6120:1980 é de 13 kN/m³.

2.2.2.1 Carga de alvenaria

a) Laje 2:

(1,36+2,07−0,15 ) .0,15 .2,9 .13 .1,25,99 .4,31

=0,86 kN /m ²

b) Laje 5:

0,15 .2,9 .131,0

=5,66kN

m2

c) Laje 6:

14

2,83 .0,15 .2,9 .13 .1,25,47 .3,86

=0,91kN /m ²

d) Laje 7:

7,34 .0,15 .2,9 .137,34

.1,0m=5,66kN

Obs: Nesta laje, a carga de alvenaria não será distribuída como nas outras

lajes, devido ao fato de a carga ser armada em uma direção, portanto esta

é a carga pontual atuante em 1,0 metro de alvenaria.

2.2.3 Resumo dos carregamentos distuibuídos

Tabela 2 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)

Laje Carga permanente (q)Carga variável

(g)P.

próprioRevest. Alvenaria

Enchimento ∑q ∑ᴪ 2 . g p(total)

1 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30

2 2,50 1,00 0,86 - 2,00 4,67 0,80 5,16

3 2,50 1,00 - 3,25 2,00 6,75 0,80 7,55

4 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,305 (sem

alvenaria)

2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30

5 (comalvenaria

)2,50 1,00 5,66 - 2,00 9,16 0,80 9,96

6 2,50 1,00 0,91 - 2,00 4,41 0,80 5,21

7 2,50 1,00 - - 2,00 9,16 0,80 9,96

8 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30

2.2.4 Verificação da flecha diferida no tempo

f=p . lx

4

E .h ³.α

100

p: carregamento uniformemente distribuído sobre a placa;

α : coeficiente tirado da tabela 3;

λ=l ylx

lx: menor vão da laje;

15

E: módulo de deformabilidade do concreto;

h: altura ou espessura da placa.

Tabela 3 – Coeficientes α para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares submetidas a carregamento uniformemente distribuído

α f=∆ξ

1+50 . ρ '

∆ ξ: coeficiente em função do tempo:

ξ (t )={0,68 .0,996 t .t 0,32 para t ≤70 meses2 para t ≥70 meses

t0: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida, nesse

caso consideramos 21 dias (2130

=0,7 meses);

t: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida (70

meses).

ρ ': depende da área de aço, no caso considerou-se como 0 (zero).

∆ ξ=ξ ( t )−ξ (t 0 )=2−0,68 .0,9960,7 .0,70,32≅ 2−0,60=1,40

α f=1,40

1+50 .0=1,40

16

Ecs=(0,8+0,2 .f ck80 ) . Eci≤Eci

Ecs: módulo de deformação secante;

Eci: módulo de deformação tangente.

Eci=αE .5600 .√ f ckαE: 1,2 para basalto e diabásio.

Eci=1,2 .5600 .√25=33600 MPa=33,6GPa

Ecs=(0,8+0,2 .2580 ).33,6=28980 MPa=2898 kN /cm ²

a) Laje 1:

Além dos carregamentos distribuídos se consideraram as seguintes cargas na

ponta do balanço, para simular a ação de pessoas na sacada do edifício:

Figura 14 – Cargas devido a pessoas na laje 1

Equação da linha elástica:

f= p .L4

8 .EI+ P .L3

3 EI+M . L ²

2E . I⏞↱=0

I=100 .10³12

=8333,33cm4

E . I=2898 .8333,33=24150000kN /cm²

p .L4

8 .EI=0,043.155,54

8 .24150000=0,13

0,043 .155,54

8 .24150000=0,13

P . L3

3 .EI= 0,8 .155,53

3 .24150000=0,042

f=0,13+0,042=0,172

fdif=(1+1,4 ) .0,172=0,413cm< L150

=155,5150

=1,037

17

b) Laje 2:

lx=4,31

l y=5,99

λ=( 5,994,31 )=1,39

Caso 2 :{ λ=1,4→α=6,62λ=1,35→α=6,21

λ=1,39→α=6,21+(1,39−1,35 ) . (6,62−6,21 )

0,05=6,21+0,04 .0,41

0,05=6,538

f=5,16 .10−4 .4314

2898 .103 .( 6,54100 )=0,402 cm

fdif=(1+1,4 ) .0,402=0,965cm< L250

=431250

=1,724

c) Laje 3:

lx=3,18

l y=5,99

λ=( 5,993,18 )=1,884≈1,88

Caso 1 :{ λ=1,9→α=11,21λ=1,85→α=10,96

λ=1,88→α=10,96+(1,88−1,85 ) . (11,21−10,96 )

0,05=10,96+ 0,03 .0,25

0,05=11,11

f=7,55 .10−4 .3184

2898 .103 .( 11,11100 )=0,296cm

f dif=(1+1,4 ) .0,296=0,71cm< L250

=318250

=1,272

d) Laje 4:

lx=3,41

l y=3,86

λ=( 3,863,41 )=1,132≈1,13

Caso 3:{λ=1,15→α=3,82λ=1,1→α=3,63

18

λ=1,13→α=3,63+(1,13−1,1 ) . (3,82−3,63 )

0,05=3,63+ 0,03 .0,19

0,05=3,744

f=4,3 .10−4 .3414

2898 .103 .( 3,74100 )=0,075cm

f dif=(1+1,4 ) .0,075=0,18cm< L250

=341250

=1,364

e) Laje 5:

Equação da linha elástica:

f= p . L4

185E . I

p .L4

185 .EI= 0,0996 .2894

185 .24150000=0,156

f=0,156+0=0,156

f dif=(1+1,4 ) .0,156=0,374cm< L250

=289250

=1,156

f) Laje 6:

lx=3,86

l y=5,47

λ=( 5,473,86 )=1,417≈1,42

Caso 5 :{λ=1,45→α=5,73λ=1,4 →α=5,31

λ=1,42→α=5,31+(1,42−1,4 ) . (5,73−5,31 )

0,05=5,31+ 0,02 .0,42

0,05=5,478

f=5,21.10−4 .3864

2898 .103 .( 5,48100 )=0,219cm

f dif=(1+1,4 ) .0,219=0,526cm< L250

=386250

=1,544

g) Laje 7:

Equação da linha elástica:

f= p .L4

185 .EI+ 7 p .L3

768 .E I

19

p .L4

185 .EI= 0,043 .2454

185 .24150000=0,035

7 .P . L3

768 .EI=7 .0,02264 .2453

768 .24150000=0,0001

f=0,035+0,0001=0,0351

f dif=(1+1,4 ) .0,0351=0,084cm< L250

=245250

=0,98

h) Laje 8:

lx=2,45

l y=3,86

λ=( 3,862,45 )=1,576≈1,58

Caso 4 :{ λ=1,6→α=4,65λ=1,55→α=4,53

λ=1,58→α=4,53+(1,58−1,55 ) . (4,65−4,53 )

0,05=4,53+ 0,03 .0,12

0,05=4,602

f=4,3 .10−4 .2454

2898 .103 .( 4,6100 )=0,025cm

f dif=(1+1,4 ) .0,025=0,06cm< L250

=245250

=0,98

Verificou-se que todas as lajes atenderam ao critério de deformação, portanto

a altura de 10 centímetros pode ser utilizada.

2.3 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

2.3.1 Carregamentos usados no dimensionamento das armaduras

20

Quadro 1 – Taxas mínimas de armadura

Para os cálculos das armaduras foi considerado que as cargas atuavam com

a carga permanente total, ou seja, o equivalente a considerar que na tabela 2 o ᴪ 2

vale 1. Aqui temos um resumo das cargas consideradas.

Tabela 4 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)

Laje Carga permanente (q)Carga variável

(g)P.

próprioRevest. Alvenaria

Enchimento ∑q ∑g p(total)

1 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5

2 2,5 1 0,86 0 2 4,36 2 6,36

3 2,5 1 0 3,25 2 6,75 2 8,75

4 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,55 (sem

alvenaria)

2,5 1 5,66 0 2 9,16 2 11,16

5 (comalvenaria

)2,5 1 0,91 0 2 4,41 2 6,41

6 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5

7 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5

8 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5

2.3.2 Armadura positiva

Primeiramente foram calculados os momentos atuantes, quando a laje é

armada em duas direções os momentos considerados foram calculados através da

tabela de Barés.

m=μ. p .l x

2

100,

lx: menor lado da placa.

21

Os coeficientes μ foram obtidos da tabela de Barés. Já os coeficientes μ',

também fornecidos por Barés, são para o cálculo dos momentos negativos para

cálculo da armadura negativa (seção 2.3.4). O momento calculado com a carga da

tabela 4 foi multiplicado pelo fator de 1,4, ou seja, para cargas normais

desfavoráveis. Em seguida, calculou-se o KMD para encontrar as áreas de aço,

onde:

KMD=M d

bw . d2 .( f cdγ 1

)a) Laje 2:

lx=4,31m

μx=5,95

μy=4,21

μ'x=0

μ'y=−10,86

m xd=1,4 .5,95 .6,36 .4,312

100=9,841kN .

mm

=984,1kN .cmm

m yd=1,4 .5,95 .6,36 .4,312

100=6,963kN .

mm

=696,3kN .cmm

eixo x

KMD= 984,1

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,1125→KMD=0,115→KZ=0,927

As= 984,1

0,927 .7 .( 501,15 )

=3,488cm2

m

S=π .

0,82

43,488

=14,4cm→S=14cm

ϕ 8mmc /14cm

eixo y

KMD= 696,3

100 .62 .( 2,51,4 )

=0,1083→KMD=0,11→KZ=0,9305

22

As= 696,3

0,9305 .6 .( 501,15 )

=2,869cm2

m

S=π .

0,632

42,869

=10,9cm→S=10cm

ϕ 6,3mmc /10cm

b) Laje 3:

lx=3,18m

μx=9,63

μy=3,75

μ'x=0

μ'y=0

m xd=1,4 .9,63 .8,75 .3,182

100=11,929 kN .

mm

=1192,9 kN .cmm

m yd=1,4 .9,63 .8,75 .3,182

100=4,645kN .

mm

=464,5 kN .cmm

eixo x

KMD= 1192,9

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,1363→KMD=0,135→KZ=0,913

As= 1192,9

0,913 .7 .( 501,15 )

=4,293c m2

m

S=π .

0,82

44,293

=11,7cm→S=11cm

ϕ 8mmc /11cm

eixo y

KMD= 464,5

100 .62 .( 2,51,4 )

=0,0723→KMD=0,07→KZ=0,957

As= 464,5

0,957 .6 .( 501,15 )

=1,861cm2

m

23

S=π .

0,632

41,861

=16,8cm→S=16 cm

ϕ 6,3mmc /16cm

c) Laje 4:

lx=3,41m

μx=4,64

μy=2,68

μ'x=−9,63

μ'y=0

m xd=1,4 .4,64 .5,5 .3,412

100=4,154 kN .

mm

=415,4 kN .cmm

m yd=1,4 . 4,64 .5,5 .3,412

100=2,4 kN .

mm

=240kN .cmm

eixo x

KMD= 415,4

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0475→KMD=0,05→KZ=0,9697

As= 415,4

0,9697 .7 .( 501,15 )

=1,408cm2

m

S=π .

0,632

41,408

=22,1cm→S=20cm

ϕ 6,3mmc /20cm

eixo y

KMD= 240

100 .62 .( 2,51,4 )

=0,0373→KMD=0,035→KZ=0,979

As= 240

0,979 .6 .( 501,15 )

=0,94c m2

m<Asmín=1,005cm ²

S=π .

0,632

41,005

=31cm→S=20cm

ϕ 6,3mmc /20cm

24

d) Laje 5 (trecho com alvenaria engastado-apoiado):

Neste trecho, o valor de bw, diferentemente das outras lajes, é dado por:

b=a+h=15+10=25

a1=l2=289

2=144,5

Cálculo do bw para o momento fletor positivo

bw=2 .(a1 .l−a1

l ) .(1−bl )=2 .(144,5 .

289−144,5289 ) .(1− 25

289 )=132cm

Md=1,4 .p .l2

m'

p=1,32 .11,16=14,73kN /m ²

Md=1,4 .14,73 .2,892

14,22=12,113kN .

mm

=1211,3 kN .cmm

eixo x

KMD= 1211,3

132 .72 .( 2,51,4 )

=0,1049→KMD=0,105→KZ=0,9339

As= 1211,3

0,9339 .7 .( 501,15 )

=4,262cm2

m

S=π .

0,82

44,262

=11,8cm→S=11cm

ϕ 8mmc /11cm

e) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-engastado):

Md=1,4 .1,32 .5,5 .2,892

24=2,68kN .

mm

=268 kN .cmm

eixo x

25

KMD= 268

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0306→KMD=0,03→KZ=0,982

As= 268

0,982 .7 .( 501,15 )

=0,897cm2

m<A smín=1,5 cm2/m

S=π .

0,632

41,5

=20,8cm→S=20 cm

ϕ 6,3mmc /20cm

f) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-apoiado):

Md=1,4 .5,5 .2,892

14,22=4,523kN .

mm

=452,3kN .cmm

eixo x

KMD= 452,3

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0517→KMD=0,05→KZ=0,9697

As= 452,3

0,9697 .7 .( 501,15 )

=1,533cm2

m

S=π .

0,632

41,533

=20,3cm→S=20 cm

ϕ 6,3mmc /20cm

g) Laje 6:

lx=3,86m

μx=4,85

μy=4,03

μ'x=0

μ'y=−10

m xd=1,4 .4,85 .6,41 .3,862

100=6,485kN .

mm

=648,5kN .cmm

m yd=1,4 . 4,85.6,41.3,862

100=5,388kN .

mm

=538,8kN .cmm

26

eixo x

KMD= 648,5

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0741→KMD=0,075→KZ=0,9537

As= 648,5

0,9537 .7 .( 501,15 )

=2,234c m2

m

S=π .

0,632

42,234

=14cm→S=13cm

ϕ 6,3mmc /13cm

eixo y

KMD= 538,8

100 .62 .( 2,51,4 )

=0,0838→KMD=0,085→KZ=0,9472

As= 538,8

0,9472 .6 .( 501,15 )

=2,181c m2

m

S=π .

0,632

42,181

=14,3cm→S=14 cm

ϕ 6,3mmc /14cm

h) Laje 7:

Md=1,4 .5,5 .2,452

14,22=3,25kN .

mm

=325kN .cmm

Md=1,4 . (0,156 .P . L )=1,4 . (0,156 .5,66 .2,45 )=3,029kN .mm

=302,9 kN .cmm

Md=3,25+3,029=6,279

eixo x

KMD= 627,9

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0718→KMD=0,07→KZ=0,957

As= 627,9

0,957 .7 .( 501,15 )

=2,156c m2

m

27

S=π .

0,632

42,156

=14,5cm→S=14 cm

ϕ 6,3mmc /14cm

i) Laje 8:

lx=2,45m

μx=5,06

μy=2,31

μ'x=−10,99

μ'y=−8,12

m xd=1,4 .5,06 .5,5 .2,452

100=2,339kN .

mm

=233,9kN .cmm

m yd=1,4 .5,06 .5,5 .2,452

100=1,068kN .

mm

=106,8kN .cmm

eixo x

KMD= 233,9

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,0267→KMD=0,025→KZ=0,9851

As= 233,9

0,9851 .7 .( 501,15 )

=0,78cm2

m<A smín=1,005c m2/m

S=π .

0,632

41,005

=31cm→S=20cm

ϕ 6,3mmc /20cm

eixo y

KMD= 106,8

100 .62 .( 2,51,4 )

=0,0166→KMD=0,015→KZ=0,9911

As= 106,8

0,9911 .6 .( 501,15 )

=0,413c m2

m<A smín=1,005cm2/m

S=π .

0,632

41,005

=31cm→S=20cm

28

ϕ 6,3mmc /20cm

2.3.3 Armadura positiva de distribuição

A armadura de distribuição dada pelo quadro 1 precisa ser maior que:

A smín>0,90c m2/m

A smín>0,5 . ρmín=0,5.1,5=0,075cm2/m

A smín>20 %daarmadura principal

Tabela 5 – Resumo das armaduras de distribuição

Lajearmadura

principal (cm²/m)0,2 . armadura

principal (cm²/m)armadura mínima

(cm²/m)

armadura de distribuição

(cm²/m)1 0 0 0,9 0,9

5 (com alvenaria engastado-

apoiado)4,262 0,8524 0,9 0,9

5 (sem alvenaria engastado engastado)

1,5 0,3 0,9 0,9

5 (sem alvenaria engastado apoiado)

1,533 0,3066 0,9 0,9

7 2,156 0,4468 0,9 0,9

Como todas correspondem ao valor mínimo, adotou-se a mesma bitola e

espaçamento para todas elas, ou seja:

ϕ 6,3mmc /33cm

2.3.4 Armadura negativa

2.3.4.1 Cálculo dos momentos

a) Laje 1:

Xd=−1,45 .1,4 .(0,8+P .L+ p .L2

2 )=−1,4 .(0,8+2 .1,555+(5,5 .1,5552 ))=−21,436kN .mm

=−2143,6 kN .cmm

b) Laje 2:

μ ' y=−10,86

29

xyd=1,4 .−10,86 .6,36 .4,312

100=−17,963kN .

mm

=−1796,3kN .cmm

c) Laje 4:

μ'x=−9,63

xxd=1,4 .−9,63 .5,5 .3,412

100=−8,622kN .

mm

=−862,2kN .cmm

a) Laje 5 (trecho com alvenaria engastado-apoiado):

Neste trecho, o valor de bw, diferentemente das outras lajes, é dado por:

b=a+h=15+10=25

a1=l2=289

2=144,5

Cálculo do bw para o momento fletor negativo:

bw=(a1.2. l−a1

l ).(1−bl )=144,5 .(2 .289−144,5)/289¿. (1− 25

289)=198cm

p=1,98 .11,16=22,1kN /m ²

Xd=−1,4 .p .l2

γ '

Xd=−1,4 .22,1 .2,892

8=−32,301kN .

mm

=−3230,1kN .cmm

b) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-engastado):

Md=−1,4 .5,5 .2,892

12=−5,359kN .

mm

=−535,9kN .cmm

c) Laje 5 (trecho sem alvenaria apoiado):

Md=−1,4 .5,5 .2,892

8=−8,039kN .

mm

=−803,9 kN .cmm

30

d) Laje 6:

μ ' y=−10

xyd=1,4 .−10 .6,41 .3,862

100=−13,371kN .

mm

=−1337,1kN .cmm

e) Laje 7:

Md=1,4 .5,5 .2,452

14,22=3,25kN .

mm

=325kN .cmm

Md=1,4 .(0,156 . P .L)=1,4 . (0,156 .5,66 .2,45)=3,029kN .m /m=302,9kN .cm /m

Md=−5,777+−3,65=−9,427kN .cm /m

2.3.4.2 Compatibilização dos momentos

Para prosseguir com os cálculos faz-se necessários compatibilizar os

momentos negativos entre lajes. Os momentos calculados na seção anterior estão

esquematizados a seguir:

a) Lajes 1 e 2:

31

X=−2143,6+−1796,32

=−1969,95kN .cmm

X=0,8 .−2143,6=−1714,9kN .cm /m

X=−1970kN .cm /m

b) Lajes 2 e 5:

O momento negativo é o maior entre: {X1+X 2

20,8 . X1

X=−1796,3+−535,92

=−1166,1kN .cmm

X=0,8 .−1796,3=−1437kN .cm /m

X=−1437kN .cm /m

c) Lajes 5 e 7:

Neste caso temos três momentos negativos diferentes para a laje 5, portanto

escolheu-se o maior deles para compatibiliza com a laje 7, ou seja:

X=−2153,1+−942,72

=−1547,9kN .cmm

X=0,8 .−3230,1=−2584,1kN .cm /m

X=−1722,5kN .cm /m

d) Lajes 4 e 6:

X=−862,2+−1337,12

=−1099,65kN .cmm

X=0,8 .−1337,1=−1069,7kN .cm /m

X=−1099,7kN .cm /m

e) Lajes 6 e 8:

X=−1337,1+−507,92

=−922,5kN .cmm

X=0,8 .−1337,1=−1069,7kN .cm /m

X=−1069,7kN .cm /m

32

2.3.4.3 Cálculo da armadura negativa

a) Lajes 1 e 2:

KMD= 1970

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,2251→KMD=0,225→KZ=0,843

As= 1970

0,843 .7 .( 501,15 )

=7,678cm2

m

S=π .

12

47,678

=10,2cm→S=10cm

ϕ 10mmc /10cm

b) Lajes 2 e 5:

KMD= 1437

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,1642→KMD=0,165→KZ=0,8911

33

As= 1437

0,8911 .7 .( 501,15 )

=5,299cm2

m

ϕ 10mmc /14cm

c) Lajes 5 e 7:

KMD= 2584,1

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,2953→KMD=0,295→KZ=0,7765

As= 2584,1

0,7765 .7 .( 501,15 )

=10,934c m2

m

S=π .

12

410,934

=7,2cm→S=7cm

ϕ 10mmc /12cm

d) Lajes 4 e 6:

KMD= 1099,7

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,1257→KMD=0,125→KZ=0,9201

As= 1099,7

0,9201 .7 .( 501,15 )

=3,927cm2

m

S=π .

12

43,927

=20cm→S=19cm

ϕ 10mmc /19cm

e) Lajes 6 e 8:

KMD=1069,7 /(100 .72 .(2,5/1,4))=0,1223→KMD=0,12→KZ=0,9236

As= 1069,7

0,9236 .7 .( 501,15 )

=3,805cm2

m

S=π .

12

43,805

=20,6 cm→S=20cm

34

ϕ 10mmc /20cm

f) Lajes 7 e 8:

KMD= 883,2

100 .72 .( 2,51,4 )

=0,1009→KMD=0,1→KZ=0,9372

As= 883,2

0,9372 .7 .( 501,15 )

=3,096cm2

m

S=π .

0,82

43,096

=16,2cm→S=16cm

ϕ 8mmc /16cm

Por fim, calcularam-se todas as larguras de armadura positiva e negativa e se

detalhou na tabela a seguir, que também consta na planta de fôrma em Anexo.

Tabela 6 – Resumo de açosTabela de aço - CA50

Φ (cm) quantidade comprimento unitário (m) comprimento total (m) massa (kg)

N1 6,3 17 3,85 65,45 16,04

N2 8 42 4,32 181,44 71,67

N3 8 54 3,19 172,26 68,04

N4 6,3 42 3,85 161,7 39,62

N5 6,3 12 3,85 46,2 11,32

N6 6,3 62 5,98 370,76 90,84

N7 8 68 2,9 197,2 77,89

N8 6,3 72 2,44 175,68 43,04

N9 6,3 19 3,4 64,6 15,83

N10 6,3 27 5,46 147,42 36,12

N11 8 46 1,32 60,72 23,98

N12 10 44 1,57 69,08 42,62

N13 10 42 1,89 79,38 48,98

N14 10 107 1,43 153,01 94,41

N15 10 20 1,92 38,4 23,69

N16 10 27 1,68 45,36 27,99

TOTAL 732,07

Tabela de aço - CA60

Φ (cm) quantidade comprimento unitário (m) comprimento total (m) massa (kg)

N13 6,3 13 445 5785 1417,33

N14 8 136 2,9 394,4 155,79

TOTAL 1573,11

35