Memorial de Cálculo
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL – UFMS
FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E URBANISMO E
GEOGRAFIA – FAENG
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DENISE ESTIGARRIBIA DE FREITAS
MEMORIAL DE CÁLCULO: Projeto de laje de piso de escritório
Trabalho apresentado à disciplina Concreto Armado I do Curso de Graduação em Engenharia Civil da UFMS.
Prof.: Andrés Batista Cheung.
CAMPO GRANDE, MS
2015
ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Planta de fôrma sem escala.......................................................................3
Figura 2 – Corte de uma laje de vão l0.........................................................................4
Figura 3 – Situações de vinculação das placas isoladas constantes nos quadros......6
Figura 4 – Discretização da laje 1................................................................................7
Figura 5 – Discretização da laje 2................................................................................7
Figura 6 – Discretização da laje 3................................................................................8
Figura 7 – Discretização da laje 4................................................................................9
Figura 8 – Discretização da laje 5 (parcialmente engastada)......................................9
Figura 9 – Discretização da laje 5..............................................................................10
Figura 10 – Discretização da laje 6 (parcialmente engastada)..................................10
Figura 11 – Discretização da laje 6............................................................................11
Figura 12 – Discretização da laje 7............................................................................11
Figura 13 – Discretização da laje 8............................................................................12
Figura 14 – Cargas devido a pessoas na laje 1.........................................................16
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Valores de ᴪ2 usados no pré-dimensionamento das lajes.........................6
Tabela 2 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)..............14
Tabela 3 – Coeficientes α para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares
submetidas a carregamento uniformemente distribuído............................................15
Tabela 4 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)..............20
Tabela 5 – Resumo das armaduras de distribuição...................................................27
Tabela 6 – Resumo de aços......................................................................................33
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................3
2 MEMORIAL DE CÁLCULO...............................................................................5
2.1 DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO E PRÉ-DIMENSIONAMENTO.................5
2.1.1 Cálculos do pré-dimensionamento.................................................................6
2.2 CARREGAMENTOS ATUANTES....................................................................12
2.2.1 Carga variável...............................................................................................13
2.2.2 Cargas permanentes....................................................................................13
2.2.3 Resumo dos carregamentos distuibuídos.....................................................14
2.2.4 Verificação da flecha diferida no tempo........................................................14
2.3 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS.....................................................19
2.3.1 Carregamentos usados no dimensionamento das armaduras.....................19
2.3.2 Armadura positiva.........................................................................................20
2.3.3 Armadura positiva de distribuição.................................................................27
2.3.4 Armadura negativa.......................................................................................28
3
1 INTRODUÇÃO
Detalhamento de cálculos referentes ao projeto de uma laje maciça de
concreto, fck de 25 Mpa, agregado graúdo de basalto (brita 1), aço da armadura
CA50. As vigas possuem alvenaria de tijolo furado e o pé direito arquitetônico é de
3,0 (três) metros.
Figura 1 – Planta de fôrma sem escala
Antes de tudo precisamos lembrar que as dimensões das lajes a serem
consideradas nos cálculos correspondem à dimensão da planta acrescida de 15
4
centímetros, valor correspondente à largura da viga, pois, segundo recomendação
adotada na prática a largura efetiva corresponde a:
Figura 2 – Corte de uma laje de vão l0
lef=l0+t 1
2+t 2
2
lef: vão efetivo da laje;
l0: distância entre faces internas dos apoios;
t: largura da viga.
Como:
t 1=t 2=0,15m
lef=l0+0,15
2+ 0,15
2=l0+0,15m
A exceção fica por conta da laje em balanço, onde a dimensão no eixo x é a
nominal, e a dimensão no eixo x é a dimensão da planta acrescida de apenas
metade da largura de uma viga, ou seja, 7,5 centímetros.
5
2 MEMORIAL DE CÁLCULO
2.1 DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO E PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Inicialmente, é preciso definir as condições de engastamento das lajes. Para
isso, consideraremos todas as bordas não apoiadas, ou apoiadas em laje em
balanço como sendo de rotação livre, ou simplesmente apoiada. Quanto à laje
rebaixada (laje 3), é usual na prática todos os seus vínculos serem considerados
como apoios. Para as restantes, considerou-se apoio do tipo engaste.
Para fazer o pré-dimensionamento, foi utilizado o critério da esbeltez,
conforme recomendação da NBR 6118:1980 para vigas de seção retangular ou “T” e
lajes maciças retangulares de edifícios, para atender as condições de deformações
limites:
d ≥l
ᴪ 2 .ᴪ 3
d: altura mínima da laje;
l: menor dos dois vãos da laje
ᴪ 2: coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da
laje;
ᴪ 3: coeficiente que depende do tipo de aço (tabelado), que no caso por
usarmos o CA50 e laje maciça, considerou-se como 25.
Inicialmente, classificaram-se as lajes quanto à armação. Foi calculada a
relação lx/ly, onde:
lx: maior vão da laje;
ly: menor vão da laje;
Se lx / l y ≥2→ laje armada em uma direção
Se lx / l y<2→ laje armada em duas direções
Para os coeficientes ᴪ 2 temos:
a) Lajes armadas em uma direção:
simplesmente apoiadas: ᴪ 2=1,0;
contínuas: ᴪ 2=1,2;
duplamente engastadas: ᴪ 2=1,7;
em balanço: ᴪ 2=0,5.
6
b) Lajes armadas em duas direções:
Figura 3 – Situações de vinculação das placas isoladas constantes nos quadros
Fonte: Chust (2014)
Tabela 1 – Valores de ᴪ2 usados no pré-dimensionamento das lajes
Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor máximo
1,5 1,7 1,7 1,8 1,9 1,9 2 2 2,2
Valor mínimo
1,1 1,1 1,4 1,4 1,2 1,7 1,4 1,7 1,7
Fonte: adaptado de Chust (2014)
2.1.1 Cálculos do pré-dimensionamento
a) Laje 1:
lefx=4,46 m
lefy=1,48+0,075=1,555m
Particularidade: laje em balanço. A laje tem três de suas quatro bordas livres
(sem apoio), e uma necessariamente engastada.
lxly
= 446155,5
=2,868≥2
7
Figura 4 – Discretização da laje 1
(laje armada em uma direção)
Como a laje é em balanço → ᴪ 2=0,50
d= 155,50,5 .25
=12,44 cm
b) Laje 2:
lefx=4,16+0,15=4,31m
lefy=5,84+0,15=5,99m
A laje tem uma borda livre, uma borda engastada, uma apoiada em laje em
balanço, a qual considerou-se livre, e uma apoiada em laje rebaixada, que como
vimos na alínea anterior está engastada, ficando da seguinte maneira:
lxly
=599431
=1,39<2
Figura 5 – Discretização da laje 2
(laje armada em duas direções)
Caso 2
lxl y
=1→ᴪ 2=1,7
lxl y
=2→ᴪ 2=1,1
ᴪ 2=1,7−(0,884 .0,6)→ᴪ 2=1,17
d= 3181,17 .25
=10,87cm
8
c) Laje 3:
Particularidade: laje rebaixada.
lefx=3,03+0,15=3,18m
lefy=5,84+0,15=5,99m
lxl y
=599318
=1,884<2
Figura 6 – Discretização da laje 3
(laje armada em duas direções)
Caso 1
lxl y
=1→ᴪ 2=1,5
lxl y
=2→ᴪ 2=1,1
ᴪ 2=1,5−(0,884 .0,4 )→ᴪ 2=1,15
d= 3181,15 .25
=11,09cm
d) Laje 4:
lefx=3,71+0,15=3,86m
lefy=3,26+0,15=3,41m
A laje possui duas bordas livres, uma apoiada em laje rebaixada (engastada),
e uma apoiada em laje normal (engastada).
lxl y
=386341
=1,132<2
9
Figura 7 – Discretização da laje 4
(laje armada em duas direções)
Caso 3
lxl y
=1→ᴪ 2=1,7
lxl y
=2→ᴪ 2=1,4
ᴪ 2=1,7−(0,132 .0,3 )→ᴪ 2=1,66
d= 3411,66 .25
=8,21cm
e) Laje 5:
lefx=7,34+0,15=7,49m
lefy=2,74+0,15=2,89m
A laje possui uma borda livre, duas bordas engastadas, e uma parcialmente
engastada.
Figura 8 – Discretização da laje 5 (parcialmente engastada)
Portanto, para decidir se esta borda seria considerada livre ou engastada
utilizou-se a seguinte recomendação:
Se, Lengaste<23. L → rotulada;
Se, Lengaste>23. L → engastada.
Como,
10
Lengaste=4,31< 23.7,49=4,99, a parte de cima da laje é considerada como sendo
inteira simplesmente apoiada.
lxly
=749289
=2,592≥2
Figura 9 – Discretização da laje 5
(laje armada em uma direção)
Como a laje é contínua → ᴪ 2=1,20
d= 2891,2 .25
=9,63cm
f) Laje 6:
lefx=3,71+0,15=3,86m
lefy=5,32+0,15=5,47m
A laje possui uma borda livre, duas bordas engastadas, e uma parcialmente
engastada.
Figura 10 – Discretização da laje 6 (parcialmente engastada)
Como,
Lengaste=2,89< 23.5,47=3,65, a parte esquerda da laje é considerada como
sendo inteira simplesmente apoiada.
lxl y
=547386
=1,417<2
11
Figura 11 – Discretização da laje 6
(laje armada em duas direções)
Caso 5
lxl y
=1→ᴪ 2=1,9
lxl y
=2→ᴪ 2=1,2
ᴪ 2=1,9−(0,417 .0,7)→ᴪ2=1,61
d= 3861,61 .25
=9,6cm
g) Laje 7:
lefx=6,21+0,15=6,36m
lefy=2,30+0,15=2,45m
A laje possui duas bordas livres, e duas bordas engastadas.
lxl y
=636245
=2,596≥2
Figura 12 – Discretização da laje 7
(laje armada em uma direção)
Como a laje é contínua → ᴪ 2=1,20
d= 2451,2 .25
=8,17cm
12
h) Laje 8:
lefx=3,71+0,15=3,86m
lefy=2,30+0,15=2,45m
A laje possui duas bordas livres, e duas bordas engastadas.
lxl y
=386245
=1,576<2
Figura 13 – Discretização da laje 8
(laje armada em duas direções)
Caso 4
lxl y
=1→ᴪ 2=1,8
lxl y
=2→ᴪ 2=1,4
ᴪ 2=1,8−(0,576 .0,4 )→ᴪ2=1,57
d= 2451,57 .25
=6,24 cm
Com isso obtiveram-se várias alturas, porém todas as lajes terão a mesma
altura. Então escolheu-se a altura de 10 centímetros por ser a mínima permitida pela
norma para lajes em balanço, e apenas três lajes do pré-dimensionamento terem
superado este valor.
2.2 CARREGAMENTOS ATUANTES
Para prosseguir com o detalhamento é necessário ter os valores dos
carregamentos atuantes na estrutura. Nesta seção são focados os carregamentos
distribuídos, sendo que os carregamentos pontuais da laje em balanço serão
descritos nos cálculos das próximas seções.
p=∑q+ᴪ 2 . g
13
p: carga de combinação de serviço;
q: carga permanente;
ᴪ2: fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite
de serviço, que no caso de escritórios vale 0,4;
g: carga variável.
2.2.1 Carga variável
A tabela 2 da NBR 6120:1980 determina os valores para cargas variáveis a
serem consideradas para cada tipo de empreendimento. Para o caso de escritório, a
carga variável a ser considerada deve ser de:
q=2,0kN /m ²
2.2.2 Cargas permanentes
a) peso específico do concreto armado: 25 kN/m³. Para determinar a carga
multiplica-se este valor pela altura, ou seja: g=25 .h (kN /m ²) (h em metros);
b) peso do revestimento: g=1 ,0kN /m ²
c) peso do enchimento (laje rebaixada): 13 kN/m³. g=13 . h(kN /m ²)
d) peso da alvenaria: o peso específico da alvenaria de tijolo furado, segundo
NBR 6120:1980 é de 13 kN/m³.
2.2.2.1 Carga de alvenaria
a) Laje 2:
(1,36+2,07−0,15 ) .0,15 .2,9 .13 .1,25,99 .4,31
=0,86 kN /m ²
b) Laje 5:
0,15 .2,9 .131,0
=5,66kN
m2
c) Laje 6:
14
2,83 .0,15 .2,9 .13 .1,25,47 .3,86
=0,91kN /m ²
d) Laje 7:
7,34 .0,15 .2,9 .137,34
.1,0m=5,66kN
Obs: Nesta laje, a carga de alvenaria não será distribuída como nas outras
lajes, devido ao fato de a carga ser armada em uma direção, portanto esta
é a carga pontual atuante em 1,0 metro de alvenaria.
2.2.3 Resumo dos carregamentos distuibuídos
Tabela 2 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)
Laje Carga permanente (q)Carga variável
(g)P.
próprioRevest. Alvenaria
Enchimento ∑q ∑ᴪ 2 . g p(total)
1 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30
2 2,50 1,00 0,86 - 2,00 4,67 0,80 5,16
3 2,50 1,00 - 3,25 2,00 6,75 0,80 7,55
4 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,305 (sem
alvenaria)
2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30
5 (comalvenaria
)2,50 1,00 5,66 - 2,00 9,16 0,80 9,96
6 2,50 1,00 0,91 - 2,00 4,41 0,80 5,21
7 2,50 1,00 - - 2,00 9,16 0,80 9,96
8 2,50 1,00 - - 2,00 3,50 0,80 4,30
2.2.4 Verificação da flecha diferida no tempo
f=p . lx
4
E .h ³.α
100
p: carregamento uniformemente distribuído sobre a placa;
α : coeficiente tirado da tabela 3;
λ=l ylx
lx: menor vão da laje;
15
E: módulo de deformabilidade do concreto;
h: altura ou espessura da placa.
Tabela 3 – Coeficientes α para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares submetidas a carregamento uniformemente distribuído
α f=∆ξ
1+50 . ρ '
∆ ξ: coeficiente em função do tempo:
ξ (t )={0,68 .0,996 t .t 0,32 para t ≤70 meses2 para t ≥70 meses
t0: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida, nesse
caso consideramos 21 dias (2130
=0,7 meses);
t: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida (70
meses).
ρ ': depende da área de aço, no caso considerou-se como 0 (zero).
∆ ξ=ξ ( t )−ξ (t 0 )=2−0,68 .0,9960,7 .0,70,32≅ 2−0,60=1,40
α f=1,40
1+50 .0=1,40
16
Ecs=(0,8+0,2 .f ck80 ) . Eci≤Eci
Ecs: módulo de deformação secante;
Eci: módulo de deformação tangente.
Eci=αE .5600 .√ f ckαE: 1,2 para basalto e diabásio.
Eci=1,2 .5600 .√25=33600 MPa=33,6GPa
Ecs=(0,8+0,2 .2580 ).33,6=28980 MPa=2898 kN /cm ²
a) Laje 1:
Além dos carregamentos distribuídos se consideraram as seguintes cargas na
ponta do balanço, para simular a ação de pessoas na sacada do edifício:
Figura 14 – Cargas devido a pessoas na laje 1
Equação da linha elástica:
f= p .L4
8 .EI+ P .L3
3 EI+M . L ²
2E . I⏞↱=0
I=100 .10³12
=8333,33cm4
E . I=2898 .8333,33=24150000kN /cm²
p .L4
8 .EI=0,043.155,54
8 .24150000=0,13
0,043 .155,54
8 .24150000=0,13
P . L3
3 .EI= 0,8 .155,53
3 .24150000=0,042
f=0,13+0,042=0,172
fdif=(1+1,4 ) .0,172=0,413cm< L150
=155,5150
=1,037
17
b) Laje 2:
lx=4,31
l y=5,99
λ=( 5,994,31 )=1,39
Caso 2 :{ λ=1,4→α=6,62λ=1,35→α=6,21
λ=1,39→α=6,21+(1,39−1,35 ) . (6,62−6,21 )
0,05=6,21+0,04 .0,41
0,05=6,538
f=5,16 .10−4 .4314
2898 .103 .( 6,54100 )=0,402 cm
fdif=(1+1,4 ) .0,402=0,965cm< L250
=431250
=1,724
c) Laje 3:
lx=3,18
l y=5,99
λ=( 5,993,18 )=1,884≈1,88
Caso 1 :{ λ=1,9→α=11,21λ=1,85→α=10,96
λ=1,88→α=10,96+(1,88−1,85 ) . (11,21−10,96 )
0,05=10,96+ 0,03 .0,25
0,05=11,11
f=7,55 .10−4 .3184
2898 .103 .( 11,11100 )=0,296cm
f dif=(1+1,4 ) .0,296=0,71cm< L250
=318250
=1,272
d) Laje 4:
lx=3,41
l y=3,86
λ=( 3,863,41 )=1,132≈1,13
Caso 3:{λ=1,15→α=3,82λ=1,1→α=3,63
18
λ=1,13→α=3,63+(1,13−1,1 ) . (3,82−3,63 )
0,05=3,63+ 0,03 .0,19
0,05=3,744
f=4,3 .10−4 .3414
2898 .103 .( 3,74100 )=0,075cm
f dif=(1+1,4 ) .0,075=0,18cm< L250
=341250
=1,364
e) Laje 5:
Equação da linha elástica:
f= p . L4
185E . I
p .L4
185 .EI= 0,0996 .2894
185 .24150000=0,156
f=0,156+0=0,156
f dif=(1+1,4 ) .0,156=0,374cm< L250
=289250
=1,156
f) Laje 6:
lx=3,86
l y=5,47
λ=( 5,473,86 )=1,417≈1,42
Caso 5 :{λ=1,45→α=5,73λ=1,4 →α=5,31
λ=1,42→α=5,31+(1,42−1,4 ) . (5,73−5,31 )
0,05=5,31+ 0,02 .0,42
0,05=5,478
f=5,21.10−4 .3864
2898 .103 .( 5,48100 )=0,219cm
f dif=(1+1,4 ) .0,219=0,526cm< L250
=386250
=1,544
g) Laje 7:
Equação da linha elástica:
f= p .L4
185 .EI+ 7 p .L3
768 .E I
19
p .L4
185 .EI= 0,043 .2454
185 .24150000=0,035
7 .P . L3
768 .EI=7 .0,02264 .2453
768 .24150000=0,0001
f=0,035+0,0001=0,0351
f dif=(1+1,4 ) .0,0351=0,084cm< L250
=245250
=0,98
h) Laje 8:
lx=2,45
l y=3,86
λ=( 3,862,45 )=1,576≈1,58
Caso 4 :{ λ=1,6→α=4,65λ=1,55→α=4,53
λ=1,58→α=4,53+(1,58−1,55 ) . (4,65−4,53 )
0,05=4,53+ 0,03 .0,12
0,05=4,602
f=4,3 .10−4 .2454
2898 .103 .( 4,6100 )=0,025cm
f dif=(1+1,4 ) .0,025=0,06cm< L250
=245250
=0,98
Verificou-se que todas as lajes atenderam ao critério de deformação, portanto
a altura de 10 centímetros pode ser utilizada.
2.3 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
2.3.1 Carregamentos usados no dimensionamento das armaduras
20
Quadro 1 – Taxas mínimas de armadura
Para os cálculos das armaduras foi considerado que as cargas atuavam com
a carga permanente total, ou seja, o equivalente a considerar que na tabela 2 o ᴪ 2
vale 1. Aqui temos um resumo das cargas consideradas.
Tabela 4 – Resumo dos carregamentos distribuídos em cada laje (kN/m²)
Laje Carga permanente (q)Carga variável
(g)P.
próprioRevest. Alvenaria
Enchimento ∑q ∑g p(total)
1 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5
2 2,5 1 0,86 0 2 4,36 2 6,36
3 2,5 1 0 3,25 2 6,75 2 8,75
4 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,55 (sem
alvenaria)
2,5 1 5,66 0 2 9,16 2 11,16
5 (comalvenaria
)2,5 1 0,91 0 2 4,41 2 6,41
6 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5
7 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5
8 2,5 1 0 0 2 3,5 2 5,5
2.3.2 Armadura positiva
Primeiramente foram calculados os momentos atuantes, quando a laje é
armada em duas direções os momentos considerados foram calculados através da
tabela de Barés.
m=μ. p .l x
2
100,
lx: menor lado da placa.
21
Os coeficientes μ foram obtidos da tabela de Barés. Já os coeficientes μ',
também fornecidos por Barés, são para o cálculo dos momentos negativos para
cálculo da armadura negativa (seção 2.3.4). O momento calculado com a carga da
tabela 4 foi multiplicado pelo fator de 1,4, ou seja, para cargas normais
desfavoráveis. Em seguida, calculou-se o KMD para encontrar as áreas de aço,
onde:
KMD=M d
bw . d2 .( f cdγ 1
)a) Laje 2:
lx=4,31m
μx=5,95
μy=4,21
μ'x=0
μ'y=−10,86
m xd=1,4 .5,95 .6,36 .4,312
100=9,841kN .
mm
=984,1kN .cmm
m yd=1,4 .5,95 .6,36 .4,312
100=6,963kN .
mm
=696,3kN .cmm
eixo x
KMD= 984,1
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,1125→KMD=0,115→KZ=0,927
As= 984,1
0,927 .7 .( 501,15 )
=3,488cm2
m
S=π .
0,82
43,488
=14,4cm→S=14cm
ϕ 8mmc /14cm
eixo y
KMD= 696,3
100 .62 .( 2,51,4 )
=0,1083→KMD=0,11→KZ=0,9305
22
As= 696,3
0,9305 .6 .( 501,15 )
=2,869cm2
m
S=π .
0,632
42,869
=10,9cm→S=10cm
ϕ 6,3mmc /10cm
b) Laje 3:
lx=3,18m
μx=9,63
μy=3,75
μ'x=0
μ'y=0
m xd=1,4 .9,63 .8,75 .3,182
100=11,929 kN .
mm
=1192,9 kN .cmm
m yd=1,4 .9,63 .8,75 .3,182
100=4,645kN .
mm
=464,5 kN .cmm
eixo x
KMD= 1192,9
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,1363→KMD=0,135→KZ=0,913
As= 1192,9
0,913 .7 .( 501,15 )
=4,293c m2
m
S=π .
0,82
44,293
=11,7cm→S=11cm
ϕ 8mmc /11cm
eixo y
KMD= 464,5
100 .62 .( 2,51,4 )
=0,0723→KMD=0,07→KZ=0,957
As= 464,5
0,957 .6 .( 501,15 )
=1,861cm2
m
23
S=π .
0,632
41,861
=16,8cm→S=16 cm
ϕ 6,3mmc /16cm
c) Laje 4:
lx=3,41m
μx=4,64
μy=2,68
μ'x=−9,63
μ'y=0
m xd=1,4 .4,64 .5,5 .3,412
100=4,154 kN .
mm
=415,4 kN .cmm
m yd=1,4 . 4,64 .5,5 .3,412
100=2,4 kN .
mm
=240kN .cmm
eixo x
KMD= 415,4
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0475→KMD=0,05→KZ=0,9697
As= 415,4
0,9697 .7 .( 501,15 )
=1,408cm2
m
S=π .
0,632
41,408
=22,1cm→S=20cm
ϕ 6,3mmc /20cm
eixo y
KMD= 240
100 .62 .( 2,51,4 )
=0,0373→KMD=0,035→KZ=0,979
As= 240
0,979 .6 .( 501,15 )
=0,94c m2
m<Asmín=1,005cm ²
S=π .
0,632
41,005
=31cm→S=20cm
ϕ 6,3mmc /20cm
24
d) Laje 5 (trecho com alvenaria engastado-apoiado):
Neste trecho, o valor de bw, diferentemente das outras lajes, é dado por:
b=a+h=15+10=25
a1=l2=289
2=144,5
Cálculo do bw para o momento fletor positivo
bw=2 .(a1 .l−a1
l ) .(1−bl )=2 .(144,5 .
289−144,5289 ) .(1− 25
289 )=132cm
Md=1,4 .p .l2
m'
p=1,32 .11,16=14,73kN /m ²
Md=1,4 .14,73 .2,892
14,22=12,113kN .
mm
=1211,3 kN .cmm
eixo x
KMD= 1211,3
132 .72 .( 2,51,4 )
=0,1049→KMD=0,105→KZ=0,9339
As= 1211,3
0,9339 .7 .( 501,15 )
=4,262cm2
m
S=π .
0,82
44,262
=11,8cm→S=11cm
ϕ 8mmc /11cm
e) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-engastado):
Md=1,4 .1,32 .5,5 .2,892
24=2,68kN .
mm
=268 kN .cmm
eixo x
25
KMD= 268
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0306→KMD=0,03→KZ=0,982
As= 268
0,982 .7 .( 501,15 )
=0,897cm2
m<A smín=1,5 cm2/m
S=π .
0,632
41,5
=20,8cm→S=20 cm
ϕ 6,3mmc /20cm
f) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-apoiado):
Md=1,4 .5,5 .2,892
14,22=4,523kN .
mm
=452,3kN .cmm
eixo x
KMD= 452,3
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0517→KMD=0,05→KZ=0,9697
As= 452,3
0,9697 .7 .( 501,15 )
=1,533cm2
m
S=π .
0,632
41,533
=20,3cm→S=20 cm
ϕ 6,3mmc /20cm
g) Laje 6:
lx=3,86m
μx=4,85
μy=4,03
μ'x=0
μ'y=−10
m xd=1,4 .4,85 .6,41 .3,862
100=6,485kN .
mm
=648,5kN .cmm
m yd=1,4 . 4,85.6,41.3,862
100=5,388kN .
mm
=538,8kN .cmm
26
eixo x
KMD= 648,5
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0741→KMD=0,075→KZ=0,9537
As= 648,5
0,9537 .7 .( 501,15 )
=2,234c m2
m
S=π .
0,632
42,234
=14cm→S=13cm
ϕ 6,3mmc /13cm
eixo y
KMD= 538,8
100 .62 .( 2,51,4 )
=0,0838→KMD=0,085→KZ=0,9472
As= 538,8
0,9472 .6 .( 501,15 )
=2,181c m2
m
S=π .
0,632
42,181
=14,3cm→S=14 cm
ϕ 6,3mmc /14cm
h) Laje 7:
Md=1,4 .5,5 .2,452
14,22=3,25kN .
mm
=325kN .cmm
Md=1,4 . (0,156 .P . L )=1,4 . (0,156 .5,66 .2,45 )=3,029kN .mm
=302,9 kN .cmm
Md=3,25+3,029=6,279
eixo x
KMD= 627,9
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0718→KMD=0,07→KZ=0,957
As= 627,9
0,957 .7 .( 501,15 )
=2,156c m2
m
27
S=π .
0,632
42,156
=14,5cm→S=14 cm
ϕ 6,3mmc /14cm
i) Laje 8:
lx=2,45m
μx=5,06
μy=2,31
μ'x=−10,99
μ'y=−8,12
m xd=1,4 .5,06 .5,5 .2,452
100=2,339kN .
mm
=233,9kN .cmm
m yd=1,4 .5,06 .5,5 .2,452
100=1,068kN .
mm
=106,8kN .cmm
eixo x
KMD= 233,9
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,0267→KMD=0,025→KZ=0,9851
As= 233,9
0,9851 .7 .( 501,15 )
=0,78cm2
m<A smín=1,005c m2/m
S=π .
0,632
41,005
=31cm→S=20cm
ϕ 6,3mmc /20cm
eixo y
KMD= 106,8
100 .62 .( 2,51,4 )
=0,0166→KMD=0,015→KZ=0,9911
As= 106,8
0,9911 .6 .( 501,15 )
=0,413c m2
m<A smín=1,005cm2/m
S=π .
0,632
41,005
=31cm→S=20cm
28
ϕ 6,3mmc /20cm
2.3.3 Armadura positiva de distribuição
A armadura de distribuição dada pelo quadro 1 precisa ser maior que:
A smín>0,90c m2/m
A smín>0,5 . ρmín=0,5.1,5=0,075cm2/m
A smín>20 %daarmadura principal
Tabela 5 – Resumo das armaduras de distribuição
Lajearmadura
principal (cm²/m)0,2 . armadura
principal (cm²/m)armadura mínima
(cm²/m)
armadura de distribuição
(cm²/m)1 0 0 0,9 0,9
5 (com alvenaria engastado-
apoiado)4,262 0,8524 0,9 0,9
5 (sem alvenaria engastado engastado)
1,5 0,3 0,9 0,9
5 (sem alvenaria engastado apoiado)
1,533 0,3066 0,9 0,9
7 2,156 0,4468 0,9 0,9
Como todas correspondem ao valor mínimo, adotou-se a mesma bitola e
espaçamento para todas elas, ou seja:
ϕ 6,3mmc /33cm
2.3.4 Armadura negativa
2.3.4.1 Cálculo dos momentos
a) Laje 1:
Xd=−1,45 .1,4 .(0,8+P .L+ p .L2
2 )=−1,4 .(0,8+2 .1,555+(5,5 .1,5552 ))=−21,436kN .mm
=−2143,6 kN .cmm
b) Laje 2:
μ ' y=−10,86
29
xyd=1,4 .−10,86 .6,36 .4,312
100=−17,963kN .
mm
=−1796,3kN .cmm
c) Laje 4:
μ'x=−9,63
xxd=1,4 .−9,63 .5,5 .3,412
100=−8,622kN .
mm
=−862,2kN .cmm
a) Laje 5 (trecho com alvenaria engastado-apoiado):
Neste trecho, o valor de bw, diferentemente das outras lajes, é dado por:
b=a+h=15+10=25
a1=l2=289
2=144,5
Cálculo do bw para o momento fletor negativo:
bw=(a1.2. l−a1
l ).(1−bl )=144,5 .(2 .289−144,5)/289¿. (1− 25
289)=198cm
p=1,98 .11,16=22,1kN /m ²
Xd=−1,4 .p .l2
γ '
Xd=−1,4 .22,1 .2,892
8=−32,301kN .
mm
=−3230,1kN .cmm
b) Laje 5 (trecho sem alvenaria engastado-engastado):
Md=−1,4 .5,5 .2,892
12=−5,359kN .
mm
=−535,9kN .cmm
c) Laje 5 (trecho sem alvenaria apoiado):
Md=−1,4 .5,5 .2,892
8=−8,039kN .
mm
=−803,9 kN .cmm
30
d) Laje 6:
μ ' y=−10
xyd=1,4 .−10 .6,41 .3,862
100=−13,371kN .
mm
=−1337,1kN .cmm
e) Laje 7:
Md=1,4 .5,5 .2,452
14,22=3,25kN .
mm
=325kN .cmm
Md=1,4 .(0,156 . P .L)=1,4 . (0,156 .5,66 .2,45)=3,029kN .m /m=302,9kN .cm /m
Md=−5,777+−3,65=−9,427kN .cm /m
2.3.4.2 Compatibilização dos momentos
Para prosseguir com os cálculos faz-se necessários compatibilizar os
momentos negativos entre lajes. Os momentos calculados na seção anterior estão
esquematizados a seguir:
a) Lajes 1 e 2:
31
X=−2143,6+−1796,32
=−1969,95kN .cmm
X=0,8 .−2143,6=−1714,9kN .cm /m
X=−1970kN .cm /m
b) Lajes 2 e 5:
O momento negativo é o maior entre: {X1+X 2
20,8 . X1
X=−1796,3+−535,92
=−1166,1kN .cmm
X=0,8 .−1796,3=−1437kN .cm /m
X=−1437kN .cm /m
c) Lajes 5 e 7:
Neste caso temos três momentos negativos diferentes para a laje 5, portanto
escolheu-se o maior deles para compatibiliza com a laje 7, ou seja:
X=−2153,1+−942,72
=−1547,9kN .cmm
X=0,8 .−3230,1=−2584,1kN .cm /m
X=−1722,5kN .cm /m
d) Lajes 4 e 6:
X=−862,2+−1337,12
=−1099,65kN .cmm
X=0,8 .−1337,1=−1069,7kN .cm /m
X=−1099,7kN .cm /m
e) Lajes 6 e 8:
X=−1337,1+−507,92
=−922,5kN .cmm
X=0,8 .−1337,1=−1069,7kN .cm /m
X=−1069,7kN .cm /m
32
2.3.4.3 Cálculo da armadura negativa
a) Lajes 1 e 2:
KMD= 1970
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,2251→KMD=0,225→KZ=0,843
As= 1970
0,843 .7 .( 501,15 )
=7,678cm2
m
S=π .
12
47,678
=10,2cm→S=10cm
ϕ 10mmc /10cm
b) Lajes 2 e 5:
KMD= 1437
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,1642→KMD=0,165→KZ=0,8911
33
As= 1437
0,8911 .7 .( 501,15 )
=5,299cm2
m
ϕ 10mmc /14cm
c) Lajes 5 e 7:
KMD= 2584,1
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,2953→KMD=0,295→KZ=0,7765
As= 2584,1
0,7765 .7 .( 501,15 )
=10,934c m2
m
S=π .
12
410,934
=7,2cm→S=7cm
ϕ 10mmc /12cm
d) Lajes 4 e 6:
KMD= 1099,7
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,1257→KMD=0,125→KZ=0,9201
As= 1099,7
0,9201 .7 .( 501,15 )
=3,927cm2
m
S=π .
12
43,927
=20cm→S=19cm
ϕ 10mmc /19cm
e) Lajes 6 e 8:
KMD=1069,7 /(100 .72 .(2,5/1,4))=0,1223→KMD=0,12→KZ=0,9236
As= 1069,7
0,9236 .7 .( 501,15 )
=3,805cm2
m
S=π .
12
43,805
=20,6 cm→S=20cm
34
ϕ 10mmc /20cm
f) Lajes 7 e 8:
KMD= 883,2
100 .72 .( 2,51,4 )
=0,1009→KMD=0,1→KZ=0,9372
As= 883,2
0,9372 .7 .( 501,15 )
=3,096cm2
m
S=π .
0,82
43,096
=16,2cm→S=16cm
ϕ 8mmc /16cm
Por fim, calcularam-se todas as larguras de armadura positiva e negativa e se
detalhou na tabela a seguir, que também consta na planta de fôrma em Anexo.
Tabela 6 – Resumo de açosTabela de aço - CA50
Φ (cm) quantidade comprimento unitário (m) comprimento total (m) massa (kg)
N1 6,3 17 3,85 65,45 16,04
N2 8 42 4,32 181,44 71,67
N3 8 54 3,19 172,26 68,04
N4 6,3 42 3,85 161,7 39,62
N5 6,3 12 3,85 46,2 11,32
N6 6,3 62 5,98 370,76 90,84
N7 8 68 2,9 197,2 77,89
N8 6,3 72 2,44 175,68 43,04
N9 6,3 19 3,4 64,6 15,83
N10 6,3 27 5,46 147,42 36,12
N11 8 46 1,32 60,72 23,98
N12 10 44 1,57 69,08 42,62
N13 10 42 1,89 79,38 48,98
N14 10 107 1,43 153,01 94,41
N15 10 20 1,92 38,4 23,69
N16 10 27 1,68 45,36 27,99
TOTAL 732,07
Tabela de aço - CA60
Φ (cm) quantidade comprimento unitário (m) comprimento total (m) massa (kg)
N13 6,3 13 445 5785 1417,33
N14 8 136 2,9 394,4 155,79
TOTAL 1573,11
35