Post on 09-Jul-2020
Medidas resumo
Tiago M. Magalhães
Departamento de Estatística - ICE-UFJF
Juiz de Fora, 13 de março de 2020
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 1 / 47
Roteiro
1 Definições
2 Tipos de variáveis
3 Distribuição de frequências
4 Medidas resumo
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 2 / 47
Roteiro
1 Definições
2 Tipos de variáveis
3 Distribuição de frequências
4 Medidas resumo
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 3 / 47
Definições
Estatística (Fisher)É o ramo da matemática aplicada que cuida da coleta, análise e interpreta-
ção dos dados.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 4 / 47
Definições
Estatística (Fisher)É o ramo da matemática aplicada que cuida da coleta, análise e interpreta-
ção dos dados.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 4 / 47
Definições
Observações:
População: é um conjunto de indivíduos ou objetos que possuem pelo
menos uma característica em comum.
Amostra: é um subconjunto da população.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 5 / 47
Definições
Observações:
População: é um conjunto de indivíduos ou objetos que possuem pelo
menos uma característica em comum.
Amostra: é um subconjunto da população.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 5 / 47
Definições
Observações:
População: é um conjunto de indivíduos ou objetos que possuem pelo
menos uma característica em comum.
Amostra: é um subconjunto da população.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 5 / 47
Divisão
Estatística descritivaTem com o intuito de apresentar as observações de maneira resumida, atra-
vés de tabelas, gráficos e/ou medidas.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 6 / 47
Divisão
Estatística descritivaTem com o intuito de apresentar as observações de maneira resumida, atra-
vés de tabelas, gráficos e/ou medidas.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 6 / 47
Divisão
Inferência estatísticaTira resultados e conclusões de uma amostra (significativa da população) e
estende a população.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 7 / 47
Divisão
Inferência estatísticaTira resultados e conclusões de uma amostra (significativa da população) e
estende a população.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 7 / 47
Séries estatísticas
É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-
ponda a três questionamentos básicos:
O quê? Se refere ao fenômeno estudado.
Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-
meno.
Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 8 / 47
Séries estatísticas
É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-
ponda a três questionamentos básicos:
O quê? Se refere ao fenômeno estudado.
Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-
meno.
Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 8 / 47
Séries estatísticas
É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-
ponda a três questionamentos básicos:
O quê? Se refere ao fenômeno estudado.
Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-
meno.
Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 8 / 47
Séries estatísticas
É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-
ponda a três questionamentos básicos:
O quê? Se refere ao fenômeno estudado.
Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-
meno.
Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 8 / 47
Séries estatísticas
É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-
ponda a três questionamentos básicos:
O quê? Se refere ao fenômeno estudado.
Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-
meno.
Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 8 / 47
Tipos de séries
Temporal;
Geográfica;
Especificativa;
Mista.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 9 / 47
Tipos de séries
Temporal;
Geográfica;
Especificativa;
Mista.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 9 / 47
Tipos de séries
Temporal;
Geográfica;
Especificativa;
Mista.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 9 / 47
Tipos de séries
Temporal;
Geográfica;
Especificativa;
Mista.
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Tipos de séries
Temporal;
Geográfica;
Especificativa;
Mista.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 9 / 47
Tipos de séries
Observações:
Fonte primária: o pesquisador é responsável pela coleta de informações.
Fonte secundária: quando as informações são retiradas de estatísticas
já existentes.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 10 / 47
Tipos de séries
Observações:
Fonte primária: o pesquisador é responsável pela coleta de informações.
Fonte secundária: quando as informações são retiradas de estatísticas
já existentes.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 10 / 47
Tipos de séries
Observações:
Fonte primária: o pesquisador é responsável pela coleta de informações.
Fonte secundária: quando as informações são retiradas de estatísticas
já existentes.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 10 / 47
Roteiro
1 Definições
2 Tipos de variáveis
3 Distribuição de frequências
4 Medidas resumo
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 11 / 47
Tipos de variáveis
QuantitativasÉ o resultado de contagem (variável discreta) ou mensuração (variável con-
tínua).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 12 / 47
Tipos de variáveis
QuantitativasÉ o resultado de contagem (variável discreta) ou mensuração (variável con-
tínua).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 12 / 47
Tipos de variáveis
QualitativasQuando se refere a qualidade ou atributo de um indivíduo. Se não hou-
ver ordem em suas realizações, é dita qualitativa nominal, caso contrário,
qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 13 / 47
Tipos de variáveis
QualitativasQuando se refere a qualidade ou atributo de um indivíduo. Se não hou-
ver ordem em suas realizações, é dita qualitativa nominal, caso contrário,
qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 13 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Exemplos
No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;
No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;
Temperatura - variável quantitativa contínua;
Peso - variável quantitativa contínua;
Sexo - variável qualitativa nominal;
Região de procedência - variável qualitativa nominal;
Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;
Patente militar - variável qualitativa ordinal.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 14 / 47
Roteiro
1 Definições
2 Tipos de variáveis
3 Distribuição de frequências
4 Medidas resumo
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 15 / 47
Distribuição de frequências
Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos
dias eles estudaram na semana anterior.
As respostas foram:
0 3 3 0 2 4 1 1 2
3 2 2 2 4 3 5 1 5
4 1 5 3 2 5 4 0 0
O que podemos observar/comentar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 16 / 47
Distribuição de frequências
Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos
dias eles estudaram na semana anterior. As respostas foram:
0 3 3 0 2 4 1 1 2
3 2 2 2 4 3 5 1 5
4 1 5 3 2 5 4 0 0
O que podemos observar/comentar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 16 / 47
Distribuição de frequências
Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos
dias eles estudaram na semana anterior. As respostas foram:
0 3 3 0 2 4 1 1 2
3 2 2 2 4 3 5 1 5
4 1 5 3 2 5 4 0 0
O que podemos observar/comentar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 16 / 47
Distribuição de frequências
Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos
dias eles estudaram na semana anterior. As respostas foram:
0 3 3 0 2 4 1 1 2
3 2 2 2 4 3 5 1 5
4 1 5 3 2 5 4 0 0
O que podemos observar/comentar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 16 / 47
Distribuição de frequências
Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos
dias eles estudaram na semana anterior. As respostas foram:
0 3 3 0 2 4 1 1 2
3 2 2 2 4 3 5 1 5
4 1 5 3 2 5 4 0 0
O que podemos observar/comentar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 16 / 47
Distribuição de frequências
Distribuição de frequênciasUma maneira de se dispor um conjunto de dados para se ter uma ideia
global sobre eles, ou seja, de sua distribuição.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 17 / 47
Distribuição de frequências
Distribuição de frequênciasUma maneira de se dispor um conjunto de dados para se ter uma ideia
global sobre eles, ou seja, de sua distribuição.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 17 / 47
Distribuição de frequências
Para os dados anteriores:
Dias Freq. obs.
0 4
1 4
2 6
3 5
4 4
5 4
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 18 / 47
Distribuição de frequências
Para os dados anteriores:
Dias Freq. obs.
0 4
1 4
2 6
3 5
4 4
5 4
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 18 / 47
Distribuição de frequências
ObservaçãoEm algumas situações, é conveniente adicionar informações extras a distri-
buição de frequências, como a frequência acumulada, relativa ou relativa
em porcentagem.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 19 / 47
Distribuição de frequências
ObservaçãoEm algumas situações, é conveniente adicionar informações extras a distri-
buição de frequências, como a frequência acumulada, relativa ou relativa
em porcentagem.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 19 / 47
Distribuição de frequências
Para os dados anteriores:
Dias f fR fR(%) fac
0 4 4/27 400/27 4
1 4 4/27 400/27 8
2 6 6/27 600/27 14
3 5 5/27 500/27 19
4 4 4/27 400/27 23
5 4 4/27 400/27 27
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 20 / 47
Distribuição de frequências
Para os dados anteriores:
Dias f fR fR(%) fac
0 4 4/27 400/27 4
1 4 4/27 400/27 8
2 6 6/27 600/27 14
3 5 5/27 500/27 19
4 4 4/27 400/27 23
5 4 4/27 400/27 27
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 20 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
Em que:
f é a frequência observada;
fR é a frequência relativa;
fR(%) é a frequência relativa percentual;
fac é a frequência relativa acumulada;
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 21 / 47
Distribuição de frequências
se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e
i a posição da linha, temos que
f1 + f2 + · · ·+ fn = n;
fRi = fi/n;
fRi (%) = 100× fi/n;
faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;
i = 1, 2, . . . , l
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 22 / 47
Distribuição de frequências
se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e
i a posição da linha, temos que
f1 + f2 + · · ·+ fn = n;
fRi = fi/n;
fRi (%) = 100× fi/n;
faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;
i = 1, 2, . . . , l
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 22 / 47
Distribuição de frequências
se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e
i a posição da linha, temos que
f1 + f2 + · · ·+ fn = n;
fRi = fi/n;
fRi (%) = 100× fi/n;
faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;
i = 1, 2, . . . , l
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 22 / 47
Distribuição de frequências
se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e
i a posição da linha, temos que
f1 + f2 + · · ·+ fn = n;
fRi = fi/n;
fRi (%) = 100× fi/n;
faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;
i = 1, 2, . . . , l
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 22 / 47
Distribuição de frequências
se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e
i a posição da linha, temos que
f1 + f2 + · · ·+ fn = n;
fRi = fi/n;
fRi (%) = 100× fi/n;
faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;
i = 1, 2, . . . , l
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 22 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Em situações com muitas observações ou para o caso de variáveis quantita-
tivas contínuas, o procedimento para a construção de uma distribuição de
frequências é o seguinte:
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 23 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Em situações com muitas observações ou para o caso de variáveis quantita-
tivas contínuas, o procedimento para a construção de uma distribuição de
frequências é o seguinte:
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 23 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Definir:
1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.
2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).
3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).
4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 24 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Definir:
1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.
2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).
3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).
4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 24 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Definir:
1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.
2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).
3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).
4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 24 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Definir:
1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.
2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).
3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).
4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 24 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Definir:
1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.
2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).
3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).
4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 24 / 47
Construção de uma distribuição de frequências
Classe Freq. obs.
1: min (inclusive) |- min +h f1
2: min +h (inclusive) |- min +2h f2...
...
c: min +(c − 1)h (inclusive) |- min +ch fc
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 25 / 47
Roteiro
1 Definições
2 Tipos de variáveis
3 Distribuição de frequências
4 Medidas resumo
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 26 / 47
Exemplo
Marcio é aluno da disciplina de Estatística Avançada I, com prova marcada
para as 8h, sem a possibilidade de entrada após este horário.
Às 7h44, ele chega no Terminal Butantã e, neste exato momento, os dois
ônibus das linhas que lhe serve, 8012 e 8022, estão prestes a partir.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 27 / 47
Exemplo
Marcio é aluno da disciplina de Estatística Avançada I, com prova marcada
para as 8h, sem a possibilidade de entrada após este horário.
Às 7h44, ele chega no Terminal Butantã e, neste exato momento, os dois
ônibus das linhas que lhe serve, 8012 e 8022, estão prestes a partir.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 27 / 47
Exemplo
Marcio é aluno da disciplina de Estatística Avançada I, com prova marcada
para as 8h, sem a possibilidade de entrada após este horário.
Às 7h44, ele chega no Terminal Butantã e, neste exato momento, os dois
ônibus das linhas que lhe serve, 8012 e 8022, estão prestes a partir.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 27 / 47
Figura 1: Terminal Butantã, São Paulo/SP (Créditos: Google imagens).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 28 / 47
Exemplo
Desesperado, ele pergunta para o fiscal quanto tempo cada um deles leva
até chegar ao Departamento de Estatística. O fiscal responde: “nestas
mesmas condições, eu observei, em minutos:”
8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15
8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15
Qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 29 / 47
Exemplo
Desesperado, ele pergunta para o fiscal quanto tempo cada um deles leva
até chegar ao Departamento de Estatística. O fiscal responde: “nestas
mesmas condições, eu observei, em minutos:”
8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15
8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15
Qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 29 / 47
Exemplo
Desesperado, ele pergunta para o fiscal quanto tempo cada um deles leva
até chegar ao Departamento de Estatística. O fiscal responde: “nestas
mesmas condições, eu observei, em minutos:”
8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15
8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15
Qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 29 / 47
Exemplo
Desesperado, ele pergunta para o fiscal quanto tempo cada um deles leva
até chegar ao Departamento de Estatística. O fiscal responde: “nestas
mesmas condições, eu observei, em minutos:”
8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15
8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15
Qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 29 / 47
Medidas de posição
Média (X̄ )Se temos as observações X1, X2, . . . , Xn, a média aritmética desses valores
é o quociente entre a soma deles e o total de observações.
X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =
∑ni=1 Xin .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 30 / 47
Medidas de posição
Média (X̄ )Se temos as observações X1, X2, . . . , Xn, a média aritmética desses valores
é o quociente entre a soma deles e o total de observações.
X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =
∑ni=1 Xin .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 30 / 47
Medidas de posição
Média (X̄ )Se temos as observações X1, X2, . . . , Xn, a média aritmética desses valores
é o quociente entre a soma deles e o total de observações.
X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =
∑ni=1 Xin .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 30 / 47
Medidas de posição
Propriedades da média1 Se somarmos uma constante a todos os elementos do conjunto, a nova
média ficará somada desta constante.
2 Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma cons-
tante, a nova média ficará multiplicada por esta constante.
3 A soma dos desvios tomados em relação a média é nula.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 31 / 47
Medidas de posição
Propriedades da média1 Se somarmos uma constante a todos os elementos do conjunto, a nova
média ficará somada desta constante.
2 Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma cons-
tante, a nova média ficará multiplicada por esta constante.
3 A soma dos desvios tomados em relação a média é nula.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 31 / 47
Medidas de posição
Propriedades da média1 Se somarmos uma constante a todos os elementos do conjunto, a nova
média ficará somada desta constante.
2 Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma cons-
tante, a nova média ficará multiplicada por esta constante.
3 A soma dos desvios tomados em relação a média é nula.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 31 / 47
Medidas de posição
Propriedades da média1 Se somarmos uma constante a todos os elementos do conjunto, a nova
média ficará somada desta constante.
2 Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma cons-
tante, a nova média ficará multiplicada por esta constante.
3 A soma dos desvios tomados em relação a média é nula.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 31 / 47
Medidas de posição
Isto é,
1.(X1 + c) + (X2 + c) + · · ·+ (Xn + c)
n = X̄ + c;
2.(X1 × c)× (X2 + c)× · · · × (Xn + c)
n = X̄ × c;
3. (X1 − X̄ ) + (X2 − X̄ ) + · · ·+ (Xn − X̄ ) = 0.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 32 / 47
Medidas de posição
Isto é,
1.(X1 + c) + (X2 + c) + · · ·+ (Xn + c)
n = X̄ + c;
2.(X1 × c)× (X2 + c)× · · · × (Xn + c)
n = X̄ × c;
3. (X1 − X̄ ) + (X2 − X̄ ) + · · ·+ (Xn − X̄ ) = 0.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 32 / 47
Medidas de posição
Mediana (Md)É o valor que divide exatamente no meio um conjunto de dados, isto é, o
número de observações a sua direita é o mesmo a sua esquerda.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 33 / 47
Medidas de posição
Mediana (Md)É o valor que divide exatamente no meio um conjunto de dados, isto é, o
número de observações a sua direita é o mesmo a sua esquerda.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 33 / 47
Mediana
Se X1, X2, . . . , Xn é um conjunto de dados não ordenados com n observações
e X(1), X(2), . . . , X(n) o conjunto de dados anterior ordenado, então
X(1), X(2), . . . , X( n2 ), Md , X( n
2 +1), X( n2 +2), . . . , X(n)
50%←− 50%−→.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 34 / 47
Mediana
Se X1, X2, . . . , Xn é um conjunto de dados não ordenados com n observações
e X(1), X(2), . . . , X(n) o conjunto de dados anterior ordenado, então
X(1), X(2), . . . , X( n2 ), Md , X( n
2 +1), X( n2 +2), . . . , X(n)
50%←− 50%−→.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 34 / 47
Cálculo da mediana
Se n é ímpar, a mediana é o valor da observação que está na posiçãon2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md = X( n2 +1).
Se n é par, a mediana é a média dos valores das observações que estão
nas posições n2 e n
2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md =X( n
2 ) + X( n2 +1)
2 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 35 / 47
Cálculo da mediana
Se n é ímpar, a mediana é o valor da observação que está na posiçãon2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md = X( n2 +1).
Se n é par, a mediana é a média dos valores das observações que estão
nas posições n2 e n
2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md =X( n
2 ) + X( n2 +1)
2 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 35 / 47
Cálculo da mediana
Se n é ímpar, a mediana é o valor da observação que está na posiçãon2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md = X( n2 +1).
Se n é par, a mediana é a média dos valores das observações que estão
nas posições n2 e n
2 + 1 do conjunto de dados ordenados,
Md =X( n
2 ) + X( n2 +1)
2 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 35 / 47
Medidas de posição
Moda (Mo)É o valor mais frequente de um conjunto de observações.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 36 / 47
Medidas de posição
Moda (Mo)É o valor mais frequente de um conjunto de observações.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 36 / 47
Medidas de posição
Relações entre X̄ , Md e Mo
Se X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.
Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.
Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 37 / 47
Medidas de posição
Relações entre X̄ , Md e MoSe X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.
Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.
Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 37 / 47
Medidas de posição
Relações entre X̄ , Md e MoSe X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.
Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.
Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 37 / 47
Medidas de posição
Relações entre X̄ , Md e MoSe X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.
Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.
Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 37 / 47
Medidas de posição
Relações entre X̄ , Md e MoSe X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.
Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.
Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 37 / 47
Medidas de posição
QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.
Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.
Q2: deixa 50% dos elementos abaixo dele e 50% acima.
Q3: deixa 75% dos elementos abaixo dele e 25% acima.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 38 / 47
Medidas de posição
QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.
Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.
Q2: deixa 50% dos elementos abaixo dele e 50% acima.
Q3: deixa 75% dos elementos abaixo dele e 25% acima.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 38 / 47
Medidas de posição
QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.
Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.
Q2: deixa 50% dos elementos abaixo dele e 50% acima.
Q3: deixa 75% dos elementos abaixo dele e 25% acima.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 38 / 47
Medidas de posição
QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.
Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.
Q2: deixa 50% dos elementos abaixo dele e 50% acima.
Q3: deixa 75% dos elementos abaixo dele e 25% acima.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 38 / 47
Medidas de posição
QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.
Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.
Q2: deixa 50% dos elementos abaixo dele e 50% acima.
Q3: deixa 75% dos elementos abaixo dele e 25% acima.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 38 / 47
Quartis
Se X1, X2, . . . , Xn é um conjunto de dados não ordenados com n observações
e X(1), X(2), . . . , X(n) o conjunto de dados anterior ordenado, então
X(1), . . . , X( n4 ), Q1, X( n
4 +1), . . . , X( n2 ), Q2, X( n
2 +1), . . . , X( 3n4 ), Q3, X( 3n
4 +1), . . . , X(n)25%←− 25%−→
50%←− 50%−→
.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 39 / 47
Quartis
Se X1, X2, . . . , Xn é um conjunto de dados não ordenados com n observações
e X(1), X(2), . . . , X(n) o conjunto de dados anterior ordenado, então
X(1), . . . , X( n4 ), Q1, X( n
4 +1), . . . , X( n2 ), Q2, X( n
2 +1), . . . , X( 3n4 ), Q3, X( 3n
4 +1), . . . , X(n)25%←− 25%−→
50%←− 50%−→
.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 39 / 47
Cálculo dos quartis
Q2: é a mediana de todas as observações (Md);
Q1: é mediana das observações que são menores que Md;
Q3: é mediana das observações que são maiores que Md.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 40 / 47
Cálculo dos quartis
Q2: é a mediana de todas as observações (Md);
Q1: é mediana das observações que são menores que Md;
Q3: é mediana das observações que são maiores que Md.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 40 / 47
Cálculo dos quartis
Q2: é a mediana de todas as observações (Md);
Q1: é mediana das observações que são menores que Md;
Q3: é mediana das observações que são maiores que Md.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 40 / 47
Cálculo dos quartis
Q2: é a mediana de todas as observações (Md);
Q1: é mediana das observações que são menores que Md;
Q3: é mediana das observações que são maiores que Md.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 40 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de posição, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16
Agora, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 41 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de posição, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16
Agora, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 41 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de posição, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16
Agora, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 41 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de posição, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16
Agora, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 41 / 47
Medidas de dispersão
Variância (S2)Mede o grau de dispersão dos valores em torno da média. Quanto menor a
variância, maior a homogeneidade. É calculada da seguinte forma
S2 = Var(X ) =∑n
i=1 X 2i − nX̄ 2
n − 1 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 42 / 47
Medidas de dispersão
Variância (S2)Mede o grau de dispersão dos valores em torno da média. Quanto menor a
variância, maior a homogeneidade. É calculada da seguinte forma
S2 = Var(X ) =∑n
i=1 X 2i − nX̄ 2
n − 1 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 42 / 47
Medidas de dispersão
Variância (S2)Mede o grau de dispersão dos valores em torno da média. Quanto menor a
variância, maior a homogeneidade. É calculada da seguinte forma
S2 = Var(X ) =∑n
i=1 X 2i − nX̄ 2
n − 1 .
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 42 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:
1 Var(c) = 0;
2 Var(X ± c) = Var(X );
3 Var(cX ) = c2Var(X );
4 Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 43 / 47
Medidas de dispersão
Desvio padrão (S)É a raiz quadrada da variância, isto é,
S =√
S2
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 44 / 47
Medidas de dispersão
Desvio padrão (S)É a raiz quadrada da variância, isto é, S =
√S2
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 44 / 47
Medidas de dispersão
Desvio padrão (S)É a raiz quadrada da variância, isto é, S =
√S2
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 44 / 47
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação (CV )
É o quociente entre o desvio padrão e a média, em porcentagem,
CV = SX̄× 100.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 45 / 47
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação (CV )É o quociente entre o desvio padrão e a média, em porcentagem,
CV = SX̄× 100.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 45 / 47
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação (CV )É o quociente entre o desvio padrão e a média, em porcentagem,
CV = SX̄× 100.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 45 / 47
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação (CV )É o quociente entre o desvio padrão e a média, em porcentagem,
CV = SX̄× 100.
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 45 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de dispersão, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max S CV
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19 2,9 20,5
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16 0,8 5,2
Finalmente, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 46 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de dispersão, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max S CV
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19 2,9 20,5
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16 0,8 5,2
Finalmente, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 46 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de dispersão, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max S CV
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19 2,9 20,5
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16 0,8 5,2
Finalmente, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 46 / 47
Medidas resumo
Com o conhecimento de medidas de dispersão, o fiscal obteve:
Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max S CV
8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19 2,9 20,5
8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16 0,8 5,2
Finalmente, qual o ônibus Marcio deveria pegar?
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 46 / 47
Obrigado!B tiago.magalhaes@ice.ufjf.br
Í ufjf.br/tiago_magalhaes
Departamento de Estatística, Sala 319
T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 47 / 47