Análise espacial de padrões pontuais

Tiago M. Magalhães

Departamento de Estatística - ICE-UFJF

Juiz de Fora, 10 de outubro de 2018

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 1 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 2 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 3 / 46

Introdução

ObjetivoDeterminar a distribuição espacial;

Identificar agrupamentos.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 4 / 46

Introdução

ObjetivoDeterminar a distribuição espacial;

Identificar agrupamentos.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 4 / 46

Introdução

ObjetivoDeterminar a distribuição espacial;

Identificar agrupamentos.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 4 / 46

Introdução

Processo pontualÉ um processo estocástico em que se observa a localização do evento de

interesse em uma região limitada A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 5 / 46

Introdução

Processo pontualÉ um processo estocástico em que se observa a localização do evento de

interesse em uma região limitada A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 5 / 46

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HITANDRUN

DISORDERLY

BURGLARY

Figura 1: Crimes em St. Louis em 2014.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 6 / 46

Exemplos

Numata (1961)Em uma floresta, amostrou-se uma região quadrada em que foi observado

a presença de mudas de pinheiros negros japoneses.

Ripley (1977)

As localizações dos centros de 42 células biológicas observadas sob micros-

cópio óptico em um corte histológico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 7 / 46

Exemplos

Numata (1961)Em uma floresta, amostrou-se uma região quadrada em que foi observado

a presença de mudas de pinheiros negros japoneses.

Ripley (1977)As localizações dos centros de 42 células biológicas observadas sob micros-

cópio óptico em um corte histológico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 7 / 46

Exemplos

Numata (1961)Em uma floresta, amostrou-se uma região quadrada em que foi observado

a presença de mudas de pinheiros negros japoneses.

Ripley (1977)As localizações dos centros de 42 células biológicas observadas sob micros-

cópio óptico em um corte histológico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 7 / 46

Exemplos

Strauss (1975)As localizações de 195 mudas de sequóias da Califórnia em uma região de

amostragem quadrada.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 8 / 46

Exemplos

Strauss (1975)As localizações de 195 mudas de sequóias da Califórnia em uma região de

amostragem quadrada.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 8 / 46

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Figura 2: Três exemplos de padrões pontual.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 9 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 10 / 46

Análise de padrão pontual

O foco é a distribuição espacial do evento de interesse e fazer inferências

sobre o processo gerador.

Em particular, está interessada em:

A distribuição dos pontos no espaço;

E a interação entre eles.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 11 / 46

Análise de padrão pontual

O foco é a distribuição espacial do evento de interesse e fazer inferências

sobre o processo gerador. Em particular, está interessada em:

A distribuição dos pontos no espaço;

E a interação entre eles.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 11 / 46

Análise de padrão pontual

O foco é a distribuição espacial do evento de interesse e fazer inferências

sobre o processo gerador. Em particular, está interessada em:

A distribuição dos pontos no espaço;

E a interação entre eles.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 11 / 46

Análise de padrão pontual

O foco é a distribuição espacial do evento de interesse e fazer inferências

sobre o processo gerador. Em particular, está interessada em:

A distribuição dos pontos no espaço;

E a interação entre eles.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 11 / 46

Análise de padrão pontual

O foco é a distribuição espacial do evento de interesse e fazer inferências

sobre o processo gerador. Em particular, está interessada em:

A distribuição dos pontos no espaço;

E a interação entre eles.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 11 / 46

Aleatoriedade espacial completa (AEC)

DefiniçãoIntuitivamente, significa que os eventos estão distribuídos de forma inde-

pendente, ao acaso, e uniforme dentro da área de estudo.

Pode ser verificada graficamente ou por algumas funções.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 12 / 46

Aleatoriedade espacial completa (AEC)

DefiniçãoIntuitivamente, significa que os eventos estão distribuídos de forma inde-

pendente, ao acaso, e uniforme dentro da área de estudo.

Pode ser verificada graficamente ou por algumas funções.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 12 / 46

Aleatoriedade espacial completa (AEC)

DefiniçãoIntuitivamente, significa que os eventos estão distribuídos de forma inde-

pendente, ao acaso, e uniforme dentro da área de estudo.

Pode ser verificada graficamente ou por algumas funções.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 12 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r ,∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r ,∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r ,∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r , ∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r , ∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

A função G mede a distribuição das distâncias de um evento arbitrário ao

evento mais próximo a ele. Definindo esta distância por

di = minj{dij ,∀j 6= i}, i = 1, . . . , n,

então a função G pode ser estimada por

G(r) = #{di : di ≤ r , ∀i}n ,

i.e., a proporção de distâncias que são menores que r .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 13 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Vizinho mais próximo a uma distância r implica que nenhum outro ponto

está dentro de um círculo com raio r .

Lembrando que, se Y ∼ Poisson(λπr2),

então:

P(Y = 0) = exp{−λπr2}.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 14 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Vizinho mais próximo a uma distância r implica que nenhum outro ponto

está dentro de um círculo com raio r . Lembrando que, se Y ∼ Poisson(λπr2),

então:

P(Y = 0) = exp{−λπr2}.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 14 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Vizinho mais próximo a uma distância r implica que nenhum outro ponto

está dentro de um círculo com raio r . Lembrando que, se Y ∼ Poisson(λπr2),

então:

P(Y = 0) = exp{−λπr2}.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 14 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Vizinho mais próximo a uma distância r implica que nenhum outro ponto

está dentro de um círculo com raio r . Lembrando que, se Y ∼ Poisson(λπr2),

então:

P(Y = 0) = exp{−λπr2}.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 14 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

G(r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 15 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

G(r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 15 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

G(r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 15 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

ExemplosEnvelopes para os dados de Numata (1961), Ripley (1977) e Strauss (1975).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 16 / 46

Função G : distância ao evento mais próximo

ExemplosEnvelopes para os dados de Numata (1961), Ripley (1977) e Strauss (1975).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 16 / 46

0.00 0.05 0.10 0.15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Cells

r

G(r

)

Gobs(r)

Gtheo(r)

Ghi(r)

Glo(r)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Japanese

r

G(r

)

Gobs(r)

Gtheo(r)

Ghi(r)

Glo(r)

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Redwood

r

G(r

)

Gobs(r)

Gtheo(r)

Ghi(r)

Glo(r)

Figura 3: Envelopes da função G para três padrões pontuais.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 17 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

A função F mede a distribuição de todas distâncias de um ponto arbitrário

do plano ao ponto mais próximo a ele.

A função F pode ser estimada por

F (r) = #{di : di ≤ r ,∀i}m .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 18 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

A função F mede a distribuição de todas distâncias de um ponto arbitrário

do plano ao ponto mais próximo a ele. A função F pode ser estimada por

F (r) = #{di : di ≤ r ,∀i}m .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 18 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

A função F mede a distribuição de todas distâncias de um ponto arbitrário

do plano ao ponto mais próximo a ele. A função F pode ser estimada por

F (r) = #{di : di ≤ r ,∀i}m .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 18 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

A função F mede a distribuição de todas distâncias de um ponto arbitrário

do plano ao ponto mais próximo a ele. A função F pode ser estimada por

F (r) = #{di : di ≤ r ,∀i}m .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 18 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

F (r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 19 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

F (r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 19 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

F (r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 19 / 46

Função F : distância de um ponto ao evento mais próximo

Sob AEC, a função G é definida como:

F (r) = 1− exp{−λπr2},

em que λ é o número de eventos médio por unidade de área (intensidade).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 19 / 46

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Cells

r

F(r

)

Fobs(r)

Ftheo(r)

Fh i(r)

Flo(r)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Japanese

r

F(r

)

Fobs(r)

Ftheo(r)

Fh i(r)

Flo(r)

0.00 0.02 0.04 0.06

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Redwood

r

F(r

)

Fobs(r)

Ftheo(r)

Fh i(r)

Flo(r)

Figura 4: Envelopes da função F para três padrões pontuais.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 20 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 21 / 46

Análise espacial de padrão pontual

Descreve o padrão pontual estimando densidade estatística espacial a partir

de dados observados.

A densidade espacial tem as mesmas propriedades de

uma densidade univariada, a diferença é o domínio, no caso, é a área onde

o processo ocorre. A intensidade λ(x) do processo pontual é proporcional

a densidade espacial.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 22 / 46

Análise espacial de padrão pontual

Descreve o padrão pontual estimando densidade estatística espacial a partir

de dados observados. A densidade espacial tem as mesmas propriedades de

uma densidade univariada, a diferença é o domínio, no caso, é a área onde

o processo ocorre.

A intensidade λ(x) do processo pontual é proporcional

a densidade espacial.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 22 / 46

Análise espacial de padrão pontual

Descreve o padrão pontual estimando densidade estatística espacial a partir

de dados observados. A densidade espacial tem as mesmas propriedades de

uma densidade univariada, a diferença é o domínio, no caso, é a área onde

o processo ocorre. A intensidade λ(x) do processo pontual é proporcional

a densidade espacial.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 22 / 46

Análise espacial de padrão pontual

Descreve o padrão pontual estimando densidade estatística espacial a partir

de dados observados. A densidade espacial tem as mesmas propriedades de

uma densidade univariada, a diferença é o domínio, no caso, é a área onde

o processo ocorre. A intensidade λ(x) do processo pontual é proporcional

a densidade espacial.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 22 / 46

Análise espacial de padrão pontual

A intensidade e a densidade espacial fazem parte das propriedades de pri-

meira ordem. São medidas da distribuição dos eventos em uma área de

estudo.

A interação entre dois pontos arbitrários é medida pelas propriedades de

segunda ordem.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 23 / 46

Análise espacial de padrão pontual

A intensidade e a densidade espacial fazem parte das propriedades de pri-

meira ordem. São medidas da distribuição dos eventos em uma área de

estudo.

A interação entre dois pontos arbitrários é medida pelas propriedades de

segunda ordem.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 23 / 46

Análise espacial de padrão pontual

A intensidade e a densidade espacial fazem parte das propriedades de pri-

meira ordem. São medidas da distribuição dos eventos em uma área de

estudo.

A interação entre dois pontos arbitrários é medida pelas propriedades de

segunda ordem.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 23 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Processo pontuais em que todos os eventos são independentes e uniforme-

mente distribuídos em uma região A.

Isto é, a ocorrência de um ponto

não afeta a probabilidade de um outro ponto ocorrer em um vizinhança e

nenhuma região é mais provável do evento de interesse ocorrer.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 24 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Processo pontuais em que todos os eventos são independentes e uniforme-

mente distribuídos em uma região A. Isto é, a ocorrência de um ponto

não afeta a probabilidade de um outro ponto ocorrer em um vizinhança e

nenhuma região é mais provável do evento de interesse ocorrer.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 24 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Processo pontuais em que todos os eventos são independentes e uniforme-

mente distribuídos em uma região A. Isto é, a ocorrência de um ponto

não afeta a probabilidade de um outro ponto ocorrer em um vizinhança e

nenhuma região é mais provável do evento de interesse ocorrer.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 24 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Formalmente (Diggle, 2003), um PPH em uma área A é definido como

1 O número de eventos em A, com área |A|, segue uma distribuição de

Poisson com média λ|A|, em que λ é a intensidade (constante) de um

processo pontual.

2 Os n eventos observados em A estão uniformemente distribuídos.

Adicionalmente, o PPH é estacionário e isotrópico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 25 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Formalmente (Diggle, 2003), um PPH em uma área A é definido como

1 O número de eventos em A, com área |A|, segue uma distribuição de

Poisson com média λ|A|, em que λ é a intensidade (constante) de um

processo pontual.

2 Os n eventos observados em A estão uniformemente distribuídos.

Adicionalmente, o PPH é estacionário e isotrópico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 25 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Formalmente (Diggle, 2003), um PPH em uma área A é definido como

1 O número de eventos em A, com área |A|, segue uma distribuição de

Poisson com média λ|A|, em que λ é a intensidade (constante) de um

processo pontual.

2 Os n eventos observados em A estão uniformemente distribuídos.

Adicionalmente, o PPH é estacionário e isotrópico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 25 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Formalmente (Diggle, 2003), um PPH em uma área A é definido como

1 O número de eventos em A, com área |A|, segue uma distribuição de

Poisson com média λ|A|, em que λ é a intensidade (constante) de um

processo pontual.

2 Os n eventos observados em A estão uniformemente distribuídos.

Adicionalmente, o PPH é estacionário e isotrópico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 25 / 46

Processo Poisson homogêneo (PPH)

Formalmente (Diggle, 2003), um PPH em uma área A é definido como

1 O número de eventos em A, com área |A|, segue uma distribuição de

Poisson com média λ|A|, em que λ é a intensidade (constante) de um

processo pontual.

2 Os n eventos observados em A estão uniformemente distribuídos.

Adicionalmente, o PPH é estacionário e isotrópico.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 25 / 46

Processo Poisson não-homogêneo (PPN)

Em muitas situações um PPH não é considerado realístico. Por exemplo, a

distribuição de uma população é afetada pela habitação, vizinhança etc.

O PPN é uma generalização do PPH. O princípio da independência dos

eventos se mantém, mas a variação espacial é mais diversa.

Algumas regiões têm mais propensão para ocorrências de certo eventos do

que outras.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 26 / 46

Processo Poisson não-homogêneo (PPN)

Em muitas situações um PPH não é considerado realístico. Por exemplo, a

distribuição de uma população é afetada pela habitação, vizinhança etc.

O PPN é uma generalização do PPH. O princípio da independência dos

eventos se mantém, mas a variação espacial é mais diversa.

Algumas regiões têm mais propensão para ocorrências de certo eventos do

que outras.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 26 / 46

Processo Poisson não-homogêneo (PPN)

Em muitas situações um PPH não é considerado realístico. Por exemplo, a

distribuição de uma população é afetada pela habitação, vizinhança etc.

O PPN é uma generalização do PPH. O princípio da independência dos

eventos se mantém, mas a variação espacial é mais diversa.

Algumas regiões têm mais propensão para ocorrências de certo eventos do

que outras.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 26 / 46

Processo Poisson não-homogêneo (PPN)

Em muitas situações um PPH não é considerado realístico. Por exemplo, a

distribuição de uma população é afetada pela habitação, vizinhança etc.

O PPN é uma generalização do PPH. O princípio da independência dos

eventos se mantém, mas a variação espacial é mais diversa.

Algumas regiões têm mais propensão para ocorrências de certo eventos do

que outras.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 26 / 46

Estimação da intensidade

Em um PPH, a intensidade é estimada por:

λ(x) = λ = n|A| .

Observação: A expressão acima garante que o número esperado de pontos

é, de fato, o número de pontos observados.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 27 / 46

Estimação da intensidade

Em um PPH, a intensidade é estimada por:

λ(x) = λ = n|A| .

Observação: A expressão acima garante que o número esperado de pontos

é, de fato, o número de pontos observados.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 27 / 46

Estimação da intensidade

Em um PPH, a intensidade é estimada por:

λ(x) = λ = n|A| .

Observação: A expressão acima garante que o número esperado de pontos

é, de fato, o número de pontos observados.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 27 / 46

Estimação da intensidade

Em um PPH, a intensidade é estimada por:

λ(x) = λ = n|A| .

Observação: A expressão acima garante que o número esperado de pontos

é, de fato, o número de pontos observados.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 27 / 46

Estimação da intensidade

Para um PPN, a estimação da intensidade pode ser feita por métodos não

paramétricos, alisadores de núcleo ou por métodos paramétricos, propõe-

se uma função para intensidade, cujo os parâmetros serão estimados via

maximização da verossimilhança do processo pontual.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 28 / 46

Estimação da intensidade

Para um PPN, a estimação da intensidade pode ser feita por métodos não

paramétricos, alisadores de núcleo ou por métodos paramétricos, propõe-

se uma função para intensidade, cujo os parâmetros serão estimados via

maximização da verossimilhança do processo pontual.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 28 / 46

Estimação da intensidade

Sejam os n pontos observados {xi}ni=1, o estimador por alisamento de núcleo

é da forma:

λ(x) = 1h2

n∑i=1

κ

( ||x − xi ||h

)/q(||x ||),

em que κ(u) é um função núcleo bivariada e simétrica, q(||x ||) é correção

da borda e a largura da janela h mede o nível do alisamento.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 29 / 46

Estimação da intensidade

Sejam os n pontos observados {xi}ni=1, o estimador por alisamento de núcleo

é da forma:

λ(x) = 1h2

n∑i=1

κ

( ||x − xi ||h

)/q(||x ||),

em que κ(u) é um função núcleo bivariada e simétrica, q(||x ||) é correção

da borda e a largura da janela h mede o nível do alisamento.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 29 / 46

Estimação da intensidade

Sejam os n pontos observados {xi}ni=1, o estimador por alisamento de núcleo

é da forma:

λ(x) = 1h2

n∑i=1

κ

( ||x − xi ||h

)/q(||x ||),

em que κ(u) é um função núcleo bivariada e simétrica, q(||x ||) é correção

da borda e a largura da janela h mede o nível do alisamento.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 29 / 46

Estimação da intensidade

Sejam os n pontos observados {xi}ni=1, o estimador por alisamento de núcleo

é da forma:

λ(x) = 1h2

n∑i=1

κ

( ||x − xi ||h

)/q(||x ||),

em que κ(u) é um função núcleo bivariada e simétrica, q(||x ||) é correção

da borda e a largura da janela h mede o nível do alisamento.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 29 / 46

Estimação da intensidade

Como exemplo de função núcleo, a função núcleo quártico é escrita como

κ(u) =

3π (1− ||u||2)2, se u ∈ (−1, 1)

0, caso contrário,

em que ||u||2 denota a norma quadrada, por exemplo u = (u1, u2), ||u||2 =

u21 + u2

2 .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 30 / 46

Estimação da intensidade

Como exemplo de função núcleo, a função núcleo quártico é escrita como

κ(u) =

3π (1− ||u||2)2, se u ∈ (−1, 1)

0, caso contrário,

em que ||u||2 denota a norma quadrada, por exemplo u = (u1, u2), ||u||2 =

u21 + u2

2 .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 30 / 46

Estimação da intensidade

Como exemplo de função núcleo, a função núcleo quártico é escrita como

κ(u) =

3π (1− ||u||2)2, se u ∈ (−1, 1)

0, caso contrário,

em que ||u||2 denota a norma quadrada, por exemplo u = (u1, u2), ||u||2 =

u21 + u2

2 .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 30 / 46

Estimação da intensidade

Como exemplo de função núcleo, a função núcleo quártico é escrita como

κ(u) =

3π (1− ||u||2)2, se u ∈ (−1, 1)

0, caso contrário,

em que ||u||2 denota a norma quadrada, por exemplo u = (u1, u2), ||u||2 =

u21 + u2

2 .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 30 / 46

Verossimilhança de PPN

O logaritmo da verossimilhança de n realizações de eventos independentes

PPN com intensidade λ(x) é definida como:

L(λ) =n∑

i=1log λ(xi)−

∫Aλ(x)dx ,

em que∫

A λ(x)dx é o número esperado de casos de um PPN com intensi-

dade λ(x) em uma região A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 31 / 46

Verossimilhança de PPN

O logaritmo da verossimilhança de n realizações de eventos independentes

PPN com intensidade λ(x) é definida como:

L(λ) =n∑

i=1log λ(xi)−

∫Aλ(x)dx ,

em que∫

A λ(x)dx é o número esperado de casos de um PPN com intensi-

dade λ(x) em uma região A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 31 / 46

Verossimilhança de PPN

O logaritmo da verossimilhança de n realizações de eventos independentes

PPN com intensidade λ(x) é definida como:

L(λ) =n∑

i=1log λ(xi)−

∫Aλ(x)dx ,

em que∫

A λ(x)dx é o número esperado de casos de um PPN com intensi-

dade λ(x) em uma região A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 31 / 46

Verossimilhança de PPN

O logaritmo da verossimilhança de n realizações de eventos independentes

PPN com intensidade λ(x) é definida como:

L(λ) =n∑

i=1log λ(xi)−

∫Aλ(x)dx ,

em que∫

A λ(x)dx é o número esperado de casos de um PPN com intensi-

dade λ(x) em uma região A.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 31 / 46

Verossimilhança de PPN

Como exemplo,

log λ(x) =n∑

i=1βjzj(x),

usando covariáveis zj(x), j = 1, . . . , p medidas na localização x .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 32 / 46

Verossimilhança de PPN

Como exemplo,

log λ(x) =n∑

i=1βjzj(x),

usando covariáveis zj(x), j = 1, . . . , p medidas na localização x .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 32 / 46

Verossimilhança de PPN

Como exemplo,

log λ(x) =n∑

i=1βjzj(x),

usando covariáveis zj(x), j = 1, . . . , p medidas na localização x .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 32 / 46

Verossimilhança de PPN

Como exemplo,

log λ(x) =n∑

i=1βjzj(x),

usando covariáveis zj(x), j = 1, . . . , p medidas na localização x .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 32 / 46

Propriedades de segunda ordem

Mede a força e o tipo de interação entre dois eventos em um processo

pontual. Esta interação pode ser um agrupamento ou uma competição.

Uma maneira de calcular quando o processo PPH é pela média de funções

K . Funções K medem o número de eventos encontrado até uma dada

distância para um particular evento e é definida por:

K (s) = λ−1E[N0(s)],

em que N0(s) é o número de eventos adicionais até a distância s em torno

de um evento arbitrário.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 33 / 46

Propriedades de segunda ordem

Mede a força e o tipo de interação entre dois eventos em um processo

pontual. Esta interação pode ser um agrupamento ou uma competição.

Uma maneira de calcular quando o processo PPH é pela média de funções

K . Funções K medem o número de eventos encontrado até uma dada

distância para um particular evento e é definida por:

K (s) = λ−1E[N0(s)],

em que N0(s) é o número de eventos adicionais até a distância s em torno

de um evento arbitrário.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 33 / 46

Propriedades de segunda ordem

Mede a força e o tipo de interação entre dois eventos em um processo

pontual. Esta interação pode ser um agrupamento ou uma competição.

Uma maneira de calcular quando o processo PPH é pela média de funções

K . Funções K medem o número de eventos encontrado até uma dada

distância para um particular evento e é definida por:

K (s) = λ−1E[N0(s)],

em que N0(s) é o número de eventos adicionais até a distância s em torno

de um evento arbitrário.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 33 / 46

Propriedades de segunda ordem

Mede a força e o tipo de interação entre dois eventos em um processo

pontual. Esta interação pode ser um agrupamento ou uma competição.

Uma maneira de calcular quando o processo PPH é pela média de funções

K . Funções K medem o número de eventos encontrado até uma dada

distância para um particular evento e é definida por:

K (s) = λ−1E[N0(s)],

em que N0(s) é o número de eventos adicionais até a distância s em torno

de um evento arbitrário.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 33 / 46

Propriedades de segunda ordem

Mede a força e o tipo de interação entre dois eventos em um processo

pontual. Esta interação pode ser um agrupamento ou uma competição.

Uma maneira de calcular quando o processo PPH é pela média de funções

K . Funções K medem o número de eventos encontrado até uma dada

distância para um particular evento e é definida por:

K (s) = λ−1E[N0(s)],

em que N0(s) é o número de eventos adicionais até a distância s em torno

de um evento arbitrário.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 33 / 46

Propriedades de segunda ordem

A função K pode ser estimada por:

K (s) = |A|n(n − 1)

n∑i=1

∑i 6=j

w−1ij |{xj : d(xi , xj) ≤ s}|,

em que wij são pesos equivalentes a proporção da área dentro da região A,

de círculo centrado em xi e raio d(xi , xj), a distância entre xi e xj .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 34 / 46

Propriedades de segunda ordem

A função K pode ser estimada por:

K (s) = |A|n(n − 1)

n∑i=1

∑i 6=j

w−1ij |{xj : d(xi , xj) ≤ s}|,

em que wij são pesos equivalentes a proporção da área dentro da região A,

de círculo centrado em xi e raio d(xi , xj), a distância entre xi e xj .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 34 / 46

Propriedades de segunda ordem

A função K pode ser estimada por:

K (s) = |A|n(n − 1)

n∑i=1

∑i 6=j

w−1ij |{xj : d(xi , xj) ≤ s}|,

em que wij são pesos equivalentes a proporção da área dentro da região A,

de círculo centrado em xi e raio d(xi , xj), a distância entre xi e xj .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 34 / 46

Propriedades de segunda ordem

A função K pode ser estimada por:

K (s) = |A|n(n − 1)

n∑i=1

∑i 6=j

w−1ij |{xj : d(xi , xj) ≤ s}|,

em que wij são pesos equivalentes a proporção da área dentro da região A,

de círculo centrado em xi e raio d(xi , xj), a distância entre xi e xj .

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 34 / 46

Propriedades de segunda ordem

1 Em um PPH, K (s) = πs2;

2 Comparar K (s) com K (s);

3 Valores de K (s) maiores que πs2 indicam agrupamentos;

4 Valores de K (s) menores que πs2 indicam competição.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 35 / 46

Propriedades de segunda ordem

1 Em um PPH, K (s) = πs2;

2 Comparar K (s) com K (s);

3 Valores de K (s) maiores que πs2 indicam agrupamentos;

4 Valores de K (s) menores que πs2 indicam competição.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 35 / 46

Propriedades de segunda ordem

1 Em um PPH, K (s) = πs2;

2 Comparar K (s) com K (s);

3 Valores de K (s) maiores que πs2 indicam agrupamentos;

4 Valores de K (s) menores que πs2 indicam competição.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 35 / 46

Propriedades de segunda ordem

1 Em um PPH, K (s) = πs2;

2 Comparar K (s) com K (s);

3 Valores de K (s) maiores que πs2 indicam agrupamentos;

4 Valores de K (s) menores que πs2 indicam competição.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 35 / 46

Propriedades de segunda ordem

1 Em um PPH, K (s) = πs2;

2 Comparar K (s) com K (s);

3 Valores de K (s) maiores que πs2 indicam agrupamentos;

4 Valores de K (s) menores que πs2 indicam competição.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 35 / 46

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Cells

r

K(r

)

Kobs(r)

Ktheo(r)

Khi(r)

Klo(r)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Japanese

r

K(r

)

Kobs(r)

Ktheo(r)

Khi(r)

Klo(r)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.00

0.05

0.10

0.15

Redwood

r

K(r

)

Kobs(r)

Ktheo(r)

Khi(r)

Klo(r)

Figura 5: Envelopes da função K para três padrões pontuais.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 36 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 37 / 46

Aplicação em Epidemiologia

Estudos caso-controleAdicionalmente aos eventos de interesse, indivíduos precisam ser amostrados

para serem usados como controle. Se não for possível, utilizar eventos não

relacionados com o problema em questão.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 38 / 46

Aplicação em Epidemiologia

Estudos caso-controleAdicionalmente aos eventos de interesse, indivíduos precisam ser amostrados

para serem usados como controle. Se não for possível, utilizar eventos não

relacionados com o problema em questão.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 38 / 46

Aplicação em Epidemiologia

Em geral, são tomadas n1 amostras de casos e n0 de controle. Assume-se

um processo PPN com intensidades λ1(x) e λ0(x), respectivamente. Nesta

situação,

λ1(x) = n1n0λ0(x).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 39 / 46

Aplicação em Epidemiologia

Em geral, são tomadas n1 amostras de casos e n0 de controle. Assume-se

um processo PPN com intensidades λ1(x) e λ0(x), respectivamente. Nesta

situação,

λ1(x) = n1n0λ0(x).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 39 / 46

Regressão binária

Kelsall e Diggle (1998) propuseram um estimador de regressão binária para

estimar a probabilidade da ocorrência do evento de interesse em uma dada

localização. Se Y1, . . . ,Yn1+n2 são realizações de uma Bernoulli, temos que:

p(xi) = P(Yi = 1|Xi = xi) = λ1(xi)λ0(xi) + λ1(xi)

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 40 / 46

Regressão binária

Kelsall e Diggle (1998) propuseram um estimador de regressão binária para

estimar a probabilidade da ocorrência do evento de interesse em uma dada

localização. Se Y1, . . . ,Yn1+n2 são realizações de uma Bernoulli, temos que:

p(xi) = P(Yi = 1|Xi = xi) = λ1(xi)λ0(xi) + λ1(xi)

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 40 / 46

Regressão binária

Kelsall e Diggle (1998) propuseram um estimador de regressão binária para

estimar a probabilidade da ocorrência do evento de interesse em uma dada

localização. Se Y1, . . . ,Yn1+n2 são realizações de uma Bernoulli, temos que:

p(xi) = P(Yi = 1|Xi = xi) = λ1(xi)λ0(xi) + λ1(xi)

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 40 / 46

Regressão binária

Um estimador de kernel pode ser usado:

ph(x) =∑n

i=1 h−2κh((x − xi)/h)yi∑ni=1 h−2κh((x − xi)/h) ,

em que κh(u) é uma função kernel.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 41 / 46

Regressão binária

Um estimador de kernel pode ser usado:

ph(x) =∑n

i=1 h−2κh((x − xi)/h)yi∑ni=1 h−2κh((x − xi)/h) ,

em que κh(u) é uma função kernel.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 41 / 46

Regressão binária

Um estimador de kernel pode ser usado:

ph(x) =∑n

i=1 h−2κh((x − xi)/h)yi∑ni=1 h−2κh((x − xi)/h) ,

em que κh(u) é uma função kernel.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 41 / 46

Regressão binária

Note que:

logit(p(x)) = log( p(x)1− p(x)

)= log

(λ1(x)λ0(x)

)= r(x) + log(n1/n0).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 42 / 46

Regressão binária

Note que:

logit(p(x)) = log( p(x)1− p(x)

)= log

(λ1(x)λ0(x)

)= r(x) + log(n1/n0).

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 42 / 46

Roteiro

1 Introdução

2 Análise de padrão pontual

3 Análise espacial de padrão pontual

4 Aplicação em Epidemiologia

5 Bibliografia

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 43 / 46

Bibliografia I

Diggle, P. J. (2003), Statistical Analysis of Spatial Point Patterns, 2 edn,

Arnold, London.

Kelsall, J. E. e Diggle, P. J. (1998), ‘Spatial variation in risk of disease: A

nonparametric binary regression approach’, Journal of the Royal

Statistical Society. Series C: Applied Statistics 47(4), 559–573.

Numata, M. (1961), ‘Forest vegetation in the vicinity of Choshi. Coastal

flora and vegetation at Choshi, Chiba Prefecture IV’, Bulletin of Choshi

Marine Laboratory, Chiba University 3, 28–48. Em japonês.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 44 / 46

Bibliografia II

Ripley, B. D. (1977), ‘Modelling spatial patterns (with discussion)’,

Journal of the Royal Statistical Society. Series B: Methodological

39(2), 172–212.

Strauss, D. J. (1975), ‘A model for clustering’, Biometrika 62(2), 467–475.

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 45 / 46

Obrigado!

B tiago.magalhaes@ice.ufjf.br

Í ufjf.br/tiago_magalhaes

Departamento de Estatística, Sala 307

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Análise espacial de padrões pontuais 10 de outubro de 2018 46 / 46