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Taxas EquivalentesTaxas NominaisTaxas Efetivas
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Matemática Financeira
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Taxas Equivalentes - Juros Simples• Duas Taxas são Equivalentes se resultarem em Montantes
iguais a partir do mesmo Capital ao final de certo período de tempo.
• Em Juros Simples, a Taxa Equivalente é a própria taxa proporcional da operação.
• Por Exemplo: a taxa de 3% a.m. e 9% a.t (ao trimestre) são ditas proporcionais,
• pois 1/3 = 3/9
• São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.
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Taxas Equivalentes - Juros Simples
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FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00
FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00
FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 12) = $ 87.200,00
FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 4 ) = $ 87.200,00
n = 3 meses
n = 12 meses
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Taxas Equivalentes - Juros Compostos
• O conceito enunciado de Taxa Equivalente permanece válido para o regime de Juros Compostos.
• A diferença fica por conta da fórmula de cálculo da Taxa de Juros.
• Por se tratar de Capitalização Exponencial, a expressão da taxa equivalente composta
• É a média geométrica da Taxa de Juros do período inteiro.
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Taxas Equivalentes - Juros Compostos
• Onde:
• q = número de períodos de capitalização
• Por Exemplo, a Taxa Equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%, ou seja:
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= 0,0166 ou: 1,66% a.m.
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Taxas Equivalentes - Juros Compostos• Para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente
(equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre.
• Exemplo: Um capital de $100mil aplicado por anos produz:
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• Para i = 1,66% e n = 24 meses:
• Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:
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Taxas Equivalentes - Exemplo• Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma
aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês).
• Desta maneira, uma aplicação de $10.000 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ 11.200 (10mil * 1,12).
• Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de Rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e,
• em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de Taxa Equivalente Composta.
• Assim, os 12% de rendimentos determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado.
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ao mês
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Quais as taxas de juros compostos mensal e
trimestral equivalentes a 25% ao ano?
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i 25,00% ao ano
q 1 ano 12 meses = 1,877% a.m.
i 25,00% ao ano
q 1 ano 4 trimestres = 5,737% a.t.
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $
60mil à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.
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Considerando, n = 1 ano
= $ 72.468,00= $ 72.468,00
• Produzindo resultados iguais para um mesmo período,
• Diz-se que as taxas são Equivalentes.
• Portanto, é indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é
equivalente à taxa de 20,4999% para 5 meses.
• Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas.
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• Uma maneira de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento.
• Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas são equivalentes,
• pois produzem, para um mesmo capital, montantes idênticos.
para 15 meses
• As taxas são equivalentes compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento, produzem resultados iguais.
Taxa Equivalente Mensal (descapitalização)
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias.
• Determinar a Taxa Equivalente de retorno para 360 dias.
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= 11,1186% p/ 360 dias
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Calcular a taxa de juro que equivale, em 44 dias, a
uma taxa anual de 11,2%.
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= 1,306% p/ 44 dias
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Taxas Equivalentes - Exemplos• Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7% sobre o
seu preço a prazo.
• Calcular a Taxa Efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo, admitindo um prazo de pagamento de:
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a) 30 dias b) 40 dias
i = 0,0753 (7,53% a.m.) i = 0,0753 (7,53% p/40 dias.)
i = 5,59% a.m.
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• A Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada
durante todo o prazo n,
• sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
• Taxa Efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização.
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• q representa o número de períodos de capitalização dos juros
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante
efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja:
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• Quando se diz, por outro lado, que uma Taxa de Juros é Nominal,
• geralmente, é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.
• Prazo de capitalização dos juros é o período de formação e incorporação dos juros ao principal.
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Seja a Taxa Nominal de Juros de 36% ao ano capitalizada
mensalmente. Os prazos não são coincidentes.
• O prazo de Capitalização é de um mês; e;
• O prazo a que se refere a Taxa de Juros igual a de 1 ano (12 meses).
• Assim, 36% ao ano representa uma Taxa Nominal de juros,
• Expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.
• Quando se trata de Taxa Nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples.
• A Taxa por período de Capitalização seria de 36%/12 = 3% ao mês (Taxa Proporcional ou Linear).
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Ao Capitalizar-se a Taxa Nominal,
• apura-se uma Taxa Efetiva de Juros superior àquela declarada para a operação.
• Sendo assim, no exemplo anterior, temos:
• Taxa Nominal da operação para o período = 36% ao ano.
• Taxa Proporcional Simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês.
• Taxa efetiva de Juros:
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Para que os 36% a.a. fosse considerada a Taxa Efetiva,
a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da Taxa Equivalente Composta.
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Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a.
• Capitalizando-se exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se aos 36% a.a.
Taxa Efetiva Anual
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva - Exercícios1. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de
um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.
2. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.
3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: (a) mensal; (b) trimestral; (c) semestral.
4. Um aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: (a) Taxa Efetiva; (b) Taxa Nominal.
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Para Estudar
• Mathias e Gomes (2010)
• Capítulo 4 - Equivalência de Capitais
• Fazer Exercícios propostos (página 154).
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
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Bibliografia• Bibliografia Básica
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
• SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. Coleção Coppead de Administração. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012.
• Bibliografia Complementar
• BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010.
• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008.
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