Mat

eria

is C

ompó

sito

sLa

min

ados

Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Materiais Compósitos

Propriedades mecânicas dos materiais

Micro - mecânica

Docente: Prof. Manuel Freitas

Departamento de Engenharia MecânicaInstituto Superior Técnico

Materiais Compósitos

Mat

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is C

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min

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Eng

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ria A

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spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Micro / macromecânica

The term “micromechanics” does not refer to

mechanical behavior at the molecular level.

Looks at components of a composite, the matrix

and the fiber, and tries to predict the behavior of

the assumed homogeneous composite material.

The behavior of the lamina is called

“macromechanics”.

Mat

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is C

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Eng

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ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Fibras

• Produção de fibras de carbono

• Apresentação das fibras de vidro e carbono

Mat

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Eng

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Mec

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a

Man

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s

Propriedades mecânicas das fibras (1)

Mat

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Eng

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eroe

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ial e

Mec

ânic

a

Man

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s

Propriedades mecânicas das fibras (2)

Mat

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Fibras em lâminas

• Alguns arranjos típicos de fibras em cada camada de compósito

a - Fibras unidireccionais contínuas

b - Fibras descontínuas orientadas de modo aleatório

c - Fibras unidirecionais tecidas ortogonalmente

Mat

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ial e

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ânic

a

Man

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reita

s

Tipos de tecidos

Mat

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Mec

ânic

a

Man

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reita

s

Tipos de matriz

• 1. Good mechanical properties

• 2. Good adhesive properties

• 3. Good toughness properties

• 4. Good resistance to environmental degradation

Mat

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Eng

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Mec

ânic

a

Man

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s

Tipos de resina (1)

Mat

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Eng

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ânic

a

Man

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s

Tipos de resina (2)

Mat

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Eng

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ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Micro-mecânica - FracçãoVolumica

composite ofvolume total

component ithe ofvolume

component ithe of fractionvolume th

thi

i

i

==

=

=

=∑=

V

V

vVV

v

v

i

i

n

i

11

Mat

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sLa

min

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Eng

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ria A

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spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Micro-mecânica - FracçãoVolumica

f m v

volume fraction of the fiber

volume fraction of the matrix

volume fraction of the voids

ff

mm

vv

v v v 1

Vv

VV

vV

Vv

V

+ + =+ + =+ + =+ + =

= == == == =

= == == == =

= == == == =

Mat

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Eng

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ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Micro-mecânica – Fracção mássica

th

th

weight fraction of the i component

weight of the i component

total weight of composite

n

ii 1

ii

i

i

w 1

Ww

Ww

W

W

====

====

====

====

========

∑∑∑∑

Mat

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ria A

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spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

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reita

s

Micro-mecânica – Fracção mássica

weight fraction of the fiber

weight fraction of the matrix

weight fraction of the voids

f m

f

m

v

w w 1

w

w

w 0

+ =+ =+ =+ ========== == == == =

Mat

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Mec

ânic

a

Man

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s

Micro-mecânica – densidade

composite of weighttotal

component ithe ofvolume

component ithe of weight

component ithe of density weight

i

th

th

thi

====ρρρρ========

====

====

========ρρρρ

∑∑∑∑∑∑∑∑ ii

i

i

i

i

VWW

V

W

V

W

Mat

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ânic

a

Man

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reita

s

Micro-mecânica – densidade

th

i

weight density of the composite

weight of the i component

volume of the composite

weight density of the composite

cc

c

n

c ii 1

WV

W W

V

v====

ρ = =ρ = =ρ = =ρ = =

= == == == =====

ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =∑∑∑∑

Mat

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Mec

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a

Man

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s

Micro-mecânica – densidade

ffmmc vv ρρρ +=

• Autoclave cured: vv = 0.1 – 1%

• No vacuum bagging: vv = 5% (approx.)

– Regra das Misturas (Rule of Mixtures)

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a

Man

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s

Espessura das lâminas / Ply and laminate thichness

n

hh

V

mh

ti

ff

of

i

=

=ρ

mof - Gramagem / Fiber weight (gr/m 2)

h i – espessura da camada / ply thickness (mm)

h t – espessura total / laminate thickness (mm)

n – camadas / nº of layers Plano de Simetria

- 45°

90°

+ 45°

0°

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a

Man

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s

Definitions

Transverse means perpendicular to the fibers or in the T (2) - direction

Longitudinalmeans in the fiber direction or in the L (1) - direction shear

stress transverse

stress allongitudin)(

)(

LT

T

L

τσσ

+

+

strainshear

strain transverse

strain allongitudin

LT

T

L

γεε

Mat

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a

Man

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s

Equações constitutivas

=

2

23

3

32

1

13

3

31

1

12

2

21

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

;;

com

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

EEEEEE

G

G

G

EEE

EEE

EEE

υυυυυυ

τττσσσ

υυ

υυ

υυ

γγγεεε

===

−−

−−

−−

=

Mat

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Man

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s

LTLTLT

T

LLT

TTT

LLL

G

E

E

γτεεν

εσεσ

=

−=

=

=

Assume Linear Behavior

121212

2

112

222

111

γτεεν

εσ

εσ

G

E

E

=

−=

=

=

Mat

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a

Man

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s

Comportamento da Lâmina

LT

LTLT

T

LLT

LL

LT

T

TT

TT

TL

L

LL

G

EE

EE

τγ

εεν

σνσε

σνσε

=

−=

−=

−=

G

EE

E

ν

E

xyxy

y

x

xy

y

yx

x

τγ

εεν

σνσε

σσε

=

−=

−=

−=

Material isotrópico Material ortotrópico

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spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

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s

Micro-mecânica (1)

mLfLL εεε ==

ffmmL VEVEE +=

mmLffLLL AAAF σσσ +==

A

AE

A

AEE

A

A

A

Am

mLmLf

fLfLLLm

mLf

fLL εεεσσσ +=⇔+=

mf AAA +=

f – fibra ; m – matriz

L – direcção das fibras

T – direcção transversal às fibras

Força na direcção das fibras

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Eng

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Mec

ânic

a

Man

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s

Micro-mecânica (1a)

Para o mesmo tipo de carregamento e os mesmos mater iais

( )

( )

( ) LLT

fm

L

L

LTfmT

LfL

f

f

fT

LmL

m

mmT

Efmcompósitomaterialopara

E

E

fibrafematrizmmaterialcadapara

ενσνε

ενσν

ε

ενσνε

−=

−=+

−=−=

−=−=

+

+ )(

)( )(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ffmmLTL

ffTmmTfmT

f

f

f

m

m

m

fm

fm

fmT

VVmatriznaefibranacomumécomo

VV

Vh

hV

h

h

hh

hh

νννε

εεε

ε

+=

+=

∆+

∆=

++∆

=

+

+

Mat

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a

Man

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s

Micro-mecânica (2)

• Força na direcção perpendicular às fibras

mTfTT σσσ ==

m

m

f

f

Tm

m

mTf

f

fT

T

T

mmTffTTc

c

E

V

E

V

EV

EV

EE

VVl

l

+=⇒+=

+==∆

1σσσ

εεε

Mat

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Mec

ânic

a

Man

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s

Micro-mecânica (3)

• Exemplo da variação do modulo de elasticidade de um compósito (Ec) de fibra de vidro e resina poliester em função da % vol. de fibra (Vf) e dos respectivos módulos Ef (fibra) e Em (matriz)

Mat

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Man

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s

Micro-mecânica (4)

mn

mfn

fn

c VEVEE )()()( +=

Mat

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a

Man

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s

Micro-mecânica - Shear modulus

12cσσσσ

∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

f∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

mfc

c

cc

f

ff

m

mm

G

G

G

ττττ====ττττ====ττττ====ττττ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

12c

12c12G

γγγγσσσσ

====

Mat

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Mec

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a

Man

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s

Micro-mecânica - Shear modulus

2

c 2

m m m m m 2

f f f f f

m f

c m m f f

L

L v L

L v L

v v

∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆γ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γ

Shear Modulus of fiber in 12-plane

Shear Modulus of matrix

f m

12 f 12 m

f 12

m

v v1G G G

G

G

= += += += +

========

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Man

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s

Constantes de elasticidade

m

m

f

f

T E

V

E

V

E+=1

mmffLT VV ννν +=

m

m

f

f

LT G

V

G

V

G+=1

Coef. de Poisson

Módulo de elasticidade transversal

Módulo de rigidez ao corte

ffmmL VEVEE +=Módulo de elasticidade longitudinal

Mat

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a

Man

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s

Propriedades da camada ortotrópica

n

hh

V

gramagemh

ti

ffi

=

=ρ

−

−

=

LT

T

L

LT

TL

LT

T

TL

L

LT

T

L

G

EE

EE

τσσ

ν

ν

γεε

100

01

01

Gramagem (gr/m 2)

h i – espessura da camada elementar

h t – espessura total

n - camadas

T

TL

L

LT

EE

νν=

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a

Man

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s

Laminate Orientation Code

• Ply angles given in degrees - 45 or -45• Separated by slashes - 0/90• Listed top to bottom layer• Enclosed in square brackets - [0/90/0]• Subscripts used

– s – symmetric laminate top half given– (0)n – repeat layer n times

• Center layer uses overbar in odd number layer symmetric laminate

Mat

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Eng

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a

Man

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s

[[[[ ]]]]s45/90/0

(((( ))))[[[[ ]]]]230/0 m

o0

o0

o90

o90

o45o45

o0

o0

o30−−−−o30++++

o30++++

o30−−−−

Laminate Stacking Sequence Examples

Mat

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is C

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Eng

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ria A

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

[[[[ ]]]]s2 90/0/45±±±±o45++++

o90

o45−−−−

o0

o0

o90o0o0

o45−−−−o45++++

(((( ))))[[[[ ]]]]s2 45/90/0

o90

o0

o0o90

o0

o0

o90

o90

o45

Laminate Stacking Sequence Examples

Mat

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Mec

ânic

a

Man

uel F

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s

[[[[ ]]]]s90/0/45/0 m [[[[ ]]]]45/90/0/30/45/90

Laminate Stacking Sequence Examples

o45++++

o45−−−−

o0

o0

o45++++o45−−−−

o0

o0

o90 o90

o0

o90

o30

o45

o45

Mat

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

ORIENTAÇÃO DAS FIBRAS

A resistência será máxima quando as fibras estiverem orientadas com o esforço (sendo mínima na direcção perpendicular)

Variação de propriedades com a orientação das fibras para uma liga de Titânio reforçada com fibras de Boro

Constantes segundo qualquer direcção - exemplo

Mat

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a

Man

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s

Propriedades da camada ortotrópica

1

y

x

2

θθθθ++++

Mat

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Mec

ânic

a

Man

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s

Propriedades da camada ortotrópica

1

y2

θθθθ xθθθθ

θθθθσσσσ sindA2

θθθθσσσσ cosdA1

dAxσσσσ

dAxyσσσσ

θθθθσσσσ sindA12

θθθθσσσσ cosdA12

Mat

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Mec

ânic

a

Man

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s

Equilibrium

( ) 0cossin

cossincossin

0cossin2

sincos

2212

21

12

22

21

=θ−θσ+

θθσ+θθσ−σ=

=θθσ+

θσ−θσ−σ=

∑

∑

dA

dAdAdAF

dA

dAdAdAF

xyy

xx

Mat

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

(((( ))))

2 2x 1 2 12

2 2xy 1 2 12

cos sin 2 sin cos

sin cos sin cos cos sin

σ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θ

σ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θ

Stress Transformation

Similar derivation for σy

Mat

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is C

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sLa

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Eng

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ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Transformation in Matrix Form

σσσσ

σσσσ

σσσσ

θθθθ−−−−θθθθθθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

sincossincossincos

sincos2cossin

sincos2sincos

Mat

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Mec

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a

Man

uel F

reita

s

Condensed Matrix Form

and

2 2x 1

2 2y 2

2 26xy

c s 2cs

s c 2cs

cs cs c s

c cos s sin

σ − σσ − σσ − σσ − σ σ = σσ = σσ = σσ = σ − − σ− − σ− − σ− − σσσσσ

= θ = θ= θ = θ= θ = θ= θ = θ

Mat

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min

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Eng

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spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Transformation Matrix: [T]

[ ] [ ]

σ

σ

σ

=

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

σ

σ

σ−

xy

y

x

xy

y

x

TT

12

2

1

12

2

1

1 or

Mat

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is C

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ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

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s

Matrices

[ ]

[ ]

−−

−=

−−

−

=−

22

22

22

22

22

22

1

2

2

2

2

sccscs

cscs

cssc

T

sccscs

cscs

cssc

T

Mat

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ria A

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ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Strain

[[[[ ]]]]

γγγγεεεε

εεεε

====

γγγγεεεε

εεεε

γγγγεεεε

εεεε

−−−−−−−−

−−−−

====

γγγγεεεε

εεεε

−−−−

2

T

2

or

2sccscs

cs2cs

cs2sc

2

12

2

1

1

xy

y

x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

Mat

eria

is C

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min

ados

Eng

enha

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General Stress-Strain Behavior

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εεεε

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Stress-Strain Behavior

γγγγ

εεεε

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σσσσ

σσσσ

σσσσ

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Explicit Relationships

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(((( ))))

4 4 2 211 11 22 12 66

2 2 4 412 11 22 66 12

4 4 2 222 11 22 12 66

Q Q cos Q sin 2 Q 2Q sin cos

Q Q Q 4Q cos sin Q sin cos

Q Q sin Q cos 2 Q 2Q sin cos

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

Mat

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is C

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Explicit Relationships

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θθ−−+

θθ−−=

θθ−−+

θθ−−=

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226612221166

3661222

366121126

3661222

366121116

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sincos22

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sincos2

sincos2

sincos2

Q

QQQQQ

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Mat

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is C

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enha

ria A

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Man

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Constantes segundo qualquer direcção (1)

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T

L

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x

sccscs

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γεε

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22

22

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LT

T

L

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y

x

sccscs

cscs

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τσσ

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2

2

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22

22

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xy

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GEE

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1

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c – cos θθθθ

s – sen θθθθ

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min

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Constantes segundo qualquer direcção (2)

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xy

y

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EEE

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332313

232221

131211

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TLLT

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LTLTLTL

LTLTLTL

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TLLTLTL

LTLTLTL

LTLTLTL

EE

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1 e

1

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222223

222213

442212

222233

224422

224411