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Materiais Compósitos Laminados Engenharia Aeroespacial e Mecânica Manuel Freitas Materiais Compósitos Propriedades mecânicas dos materiais Micro - mecânica Docente: Prof. Manuel Freitas Departamento de Engenharia Mecânica Instituto Superior Técnico Materiais Compósitos

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Materiais Compósitos

Propriedades mecânicas dos materiais

Micro - mecânica

Docente: Prof. Manuel Freitas

Departamento de Engenharia MecânicaInstituto Superior Técnico

Materiais Compósitos

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Micro / macromecânica

The term “micromechanics” does not refer to

mechanical behavior at the molecular level.

Looks at components of a composite, the matrix

and the fiber, and tries to predict the behavior of

the assumed homogeneous composite material.

The behavior of the lamina is called

“macromechanics”.

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Fibras

• Produção de fibras de carbono

• Apresentação das fibras de vidro e carbono

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Propriedades mecânicas das fibras (1)

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Propriedades mecânicas das fibras (2)

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Fibras em lâminas

• Alguns arranjos típicos de fibras em cada camada de compósito

a - Fibras unidireccionais contínuas

b - Fibras descontínuas orientadas de modo aleatório

c - Fibras unidirecionais tecidas ortogonalmente

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Tipos de tecidos

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Tipos de matriz

• 1. Good mechanical properties

• 2. Good adhesive properties

• 3. Good toughness properties

• 4. Good resistance to environmental degradation

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Tipos de resina (1)

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Tipos de resina (2)

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Micro-mecânica - FracçãoVolumica

composite ofvolume total

component ithe ofvolume

component ithe of fractionvolume th

thi

i

i

==

=

=

=∑=

V

V

vVV

v

v

i

i

n

i

11

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Micro-mecânica - FracçãoVolumica

f m v

volume fraction of the fiber

volume fraction of the matrix

volume fraction of the voids

ff

mm

vv

v v v 1

Vv

VV

vV

Vv

V

+ + =+ + =+ + =+ + =

= == == == =

= == == == =

= == == == =

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Micro-mecânica – Fracção mássica

th

th

weight fraction of the i component

weight of the i component

total weight of composite

n

ii 1

ii

i

i

w 1

Ww

Ww

W

W

====

====

====

====

========

∑∑∑∑

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Micro-mecânica – Fracção mássica

weight fraction of the fiber

weight fraction of the matrix

weight fraction of the voids

f m

f

m

v

w w 1

w

w

w 0

+ =+ =+ =+ ========== == == == =

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Micro-mecânica – densidade

composite of weighttotal

component ithe ofvolume

component ithe of weight

component ithe of density weight

i

th

th

thi

====ρρρρ========

====

====

========ρρρρ

∑∑∑∑∑∑∑∑ ii

i

i

i

i

VWW

V

W

V

W

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Micro-mecânica – densidade

th

i

weight density of the composite

weight of the i component

volume of the composite

weight density of the composite

cc

c

n

c ii 1

WV

W W

V

v====

ρ = =ρ = =ρ = =ρ = =

= == == == =====

ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =∑∑∑∑

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Micro-mecânica – densidade

ffmmc vv ρρρ +=

• Autoclave cured: vv = 0.1 – 1%

• No vacuum bagging: vv = 5% (approx.)

– Regra das Misturas (Rule of Mixtures)

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Espessura das lâminas / Ply and laminate thichness

n

hh

V

mh

ti

ff

of

i

=

mof - Gramagem / Fiber weight (gr/m 2)

h i – espessura da camada / ply thickness (mm)

h t – espessura total / laminate thickness (mm)

n – camadas / nº of layers Plano de Simetria

- 45°

90°

+ 45°

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Definitions

Transverse means perpendicular to the fibers or in the T (2) - direction

Longitudinalmeans in the fiber direction or in the L (1) - direction shear

stress transverse

stress allongitudin)(

)(

LT

T

L

τσσ

+

+

strainshear

strain transverse

strain allongitudin

LT

T

L

γεε

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Equações constitutivas

=

2

23

3

32

1

13

3

31

1

12

2

21

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

;;

com

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

EEEEEE

G

G

G

EEE

EEE

EEE

υυυυυυ

τττσσσ

υυ

υυ

υυ

γγγεεε

===

−−

−−

−−

=

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LTLTLT

T

LLT

TTT

LLL

G

E

E

γτεεν

εσεσ

=

−=

=

=

Assume Linear Behavior

121212

2

112

222

111

γτεεν

εσ

εσ

G

E

E

=

−=

=

=

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Comportamento da Lâmina

LT

LTLT

T

LLT

LL

LT

T

TT

TT

TL

L

LL

G

EE

EE

τγ

εεν

σνσε

σνσε

=

−=

−=

−=

G

EE

E

ν

E

xyxy

y

x

xy

y

yx

x

τγ

εεν

σνσε

σσε

=

−=

−=

−=

Material isotrópico Material ortotrópico

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Micro-mecânica (1)

mLfLL εεε ==

ffmmL VEVEE +=

mmLffLLL AAAF σσσ +==

A

AE

A

AEE

A

A

A

Am

mLmLf

fLfLLLm

mLf

fLL εεεσσσ +=⇔+=

mf AAA +=

f – fibra ; m – matriz

L – direcção das fibras

T – direcção transversal às fibras

Força na direcção das fibras

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Micro-mecânica (1a)

Para o mesmo tipo de carregamento e os mesmos mater iais

( )

( )

( ) LLT

fm

L

L

LTfmT

LfL

f

f

fT

LmL

m

mmT

Efmcompósitomaterialopara

E

E

fibrafematrizmmaterialcadapara

ενσνε

ενσν

ε

ενσνε

−=

−=+

−=−=

−=−=

+

+ )(

)( )(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ffmmLTL

ffTmmTfmT

f

f

f

m

m

m

fm

fm

fmT

VVmatriznaefibranacomumécomo

VV

Vh

hV

h

h

hh

hh

νννε

εεε

ε

+=

+=

∆+

∆=

++∆

=

+

+

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Micro-mecânica (2)

• Força na direcção perpendicular às fibras

mTfTT σσσ ==

m

m

f

f

Tm

m

mTf

f

fT

T

T

mmTffTTc

c

E

V

E

V

EV

EV

EE

VVl

l

+=⇒+=

+==∆

1σσσ

εεε

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Micro-mecânica (3)

• Exemplo da variação do modulo de elasticidade de um compósito (Ec) de fibra de vidro e resina poliester em função da % vol. de fibra (Vf) e dos respectivos módulos Ef (fibra) e Em (matriz)

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Micro-mecânica (4)

mn

mfn

fn

c VEVEE )()()( +=

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Micro-mecânica - Shear modulus

12cσσσσ

∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

f∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

mfc

c

cc

f

ff

m

mm

G

G

G

ττττ====ττττ====ττττ====ττττ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

12c

12c12G

γγγγσσσσ

====

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Micro-mecânica - Shear modulus

2

c 2

m m m m m 2

f f f f f

m f

c m m f f

L

L v L

L v L

v v

∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆γ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γ

Shear Modulus of fiber in 12-plane

Shear Modulus of matrix

f m

12 f 12 m

f 12

m

v v1G G G

G

G

= += += += +

========

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Constantes de elasticidade

m

m

f

f

T E

V

E

V

E+=1

mmffLT VV ννν +=

m

m

f

f

LT G

V

G

V

G+=1

Coef. de Poisson

Módulo de elasticidade transversal

Módulo de rigidez ao corte

ffmmL VEVEE +=Módulo de elasticidade longitudinal

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Propriedades da camada ortotrópica

n

hh

V

gramagemh

ti

ffi

=

=

LT

T

L

LT

TL

LT

T

TL

L

LT

T

L

G

EE

EE

τσσ

ν

ν

γεε

100

01

01

Gramagem (gr/m 2)

h i – espessura da camada elementar

h t – espessura total

n - camadas

T

TL

L

LT

EE

νν=

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Laminate Orientation Code

• Ply angles given in degrees - 45 or -45• Separated by slashes - 0/90• Listed top to bottom layer• Enclosed in square brackets - [0/90/0]• Subscripts used

– s – symmetric laminate top half given– (0)n – repeat layer n times

• Center layer uses overbar in odd number layer symmetric laminate

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[[[[ ]]]]s45/90/0

(((( ))))[[[[ ]]]]230/0 m

o0

o0

o90

o90

o45o45

o0

o0

o30−−−−o30++++

o30++++

o30−−−−

Laminate Stacking Sequence Examples

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[[[[ ]]]]s2 90/0/45±±±±o45++++

o90

o45−−−−

o0

o0

o90o0o0

o45−−−−o45++++

(((( ))))[[[[ ]]]]s2 45/90/0

o90

o0

o0o90

o0

o0

o90

o90

o45

Laminate Stacking Sequence Examples

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[[[[ ]]]]s90/0/45/0 m [[[[ ]]]]45/90/0/30/45/90

Laminate Stacking Sequence Examples

o45++++

o45−−−−

o0

o0

o45++++o45−−−−

o0

o0

o90 o90

o0

o90

o30

o45

o45

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ial e

Mec

ânic

a

Man

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s

ORIENTAÇÃO DAS FIBRAS

A resistência será máxima quando as fibras estiverem orientadas com o esforço (sendo mínima na direcção perpendicular)

Variação de propriedades com a orientação das fibras para uma liga de Titânio reforçada com fibras de Boro

Constantes segundo qualquer direcção - exemplo

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Propriedades da camada ortotrópica

1

y

x

2

θθθθ++++

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Mat

eria

is C

ompó

sito

sLa

min

ados

Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Propriedades da camada ortotrópica

1

y2

θθθθ xθθθθ

θθθθσσσσ sindA2

θθθθσσσσ cosdA1

dAxσσσσ

dAxyσσσσ

θθθθσσσσ sindA12

θθθθσσσσ cosdA12

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sLa

min

ados

Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Equilibrium

( ) 0cossin

cossincossin

0cossin2

sincos

2212

21

12

22

21

=θ−θσ+

θθσ+θθσ−σ=

=θθσ+

θσ−θσ−σ=

dA

dAdAdAF

dA

dAdAdAF

xyy

xx

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min

ados

Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

(((( ))))

2 2x 1 2 12

2 2xy 1 2 12

cos sin 2 sin cos

sin cos sin cos cos sin

σ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θ

σ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θ

Stress Transformation

Similar derivation for σy

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sLa

min

ados

Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Transformation in Matrix Form

σσσσ

σσσσ

σσσσ

θθθθ−−−−θθθθθθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

sincossincossincos

sincos2cossin

sincos2sincos

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Eng

enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Condensed Matrix Form

and

2 2x 1

2 2y 2

2 26xy

c s 2cs

s c 2cs

cs cs c s

c cos s sin

σ − σσ − σσ − σσ − σ σ = σσ = σσ = σσ = σ − − σ− − σ− − σ− − σσσσσ

= θ = θ= θ = θ= θ = θ= θ = θ

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enha

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eroe

spac

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Transformation Matrix: [T]

[ ] [ ]

σ

σ

σ

=

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

σ

σ

σ−

xy

y

x

xy

y

x

TT

12

2

1

12

2

1

1 or

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Matrices

[ ]

[ ]

−−

−=

−−

=−

22

22

22

22

22

22

1

2

2

2

2

sccscs

cscs

cssc

T

sccscs

cscs

cssc

T

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Strain

[[[[ ]]]]

γγγγεεεε

εεεε

====

γγγγεεεε

εεεε

γγγγεεεε

εεεε

−−−−−−−−

−−−−

====

γγγγεεεε

εεεε

−−−−

2

T

2

or

2sccscs

cs2cs

cs2sc

2

12

2

1

1

xy

y

x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

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eroe

spac

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Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

[ ]

[ ]

[ ]

=

=

=

22

2

12

2

1

12

2

1

12

2

1

12

2

1

1

xy

y

x

xy

y

x

T

Q

T

γεε

γεε

γεε

σσσ

σσσ

σσσ

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Eng

enha

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eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

General Stress-Strain Behavior

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

γγγγ

εεεε

εεεε

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ−−−−

2

TQT

xy

y

x

1

xy

y

x

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ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

[ ] [ ] [ ][ ]TQTQ 1−=

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eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Stress-Strain Behavior

γγγγ

εεεε

εεεε

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

xy

y

x

662616

262212

161211

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

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eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Explicit Relationships

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

4 4 2 211 11 22 12 66

2 2 4 412 11 22 66 12

4 4 2 222 11 22 12 66

Q Q cos Q sin 2 Q 2Q sin cos

Q Q Q 4Q cos sin Q sin cos

Q Q sin Q cos 2 Q 2Q sin cos

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

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ânic

a

Man

uel F

reita

s

Explicit Relationships

( )( )

( )( )

( )( )θ+θ+

θθ−−+=

θθ−−+

θθ−−=

θθ−−+

θθ−−=

4466

226612221166

3661222

366121126

3661222

366121116

sincos

sincos22

sincos2

sincos2

sincos2

sincos2

Q

QQQQQ

QQQ

QQQQ

QQQ

QQQQ

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eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Constantes segundo qualquer direcção (1)

−−

−=

LT

T

L

xy

y

x

sccscs

cscs

cssc

γεε

γεε

)(22 22

22

22

−−

−=

LT

T

L

xy

y

x

sccscs

cscs

cssc

τσσ

τσσ

)(

2

2

22

22

22

=

xy

y

x

xyy

y

x

x

xy

xy

yx

xy

xy

xy

y

yx

x

xy

y

x

GEE

GEE

GEE

τσσ

µη

µν

ην

γεε

1

1

1

c – cos θθθθ

s – sen θθθθ

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enha

ria A

eroe

spac

ial e

Mec

ânic

a

Man

uel F

reita

s

Constantes segundo qualquer direcção (2)

=

−−−

−−−

−−−

xy

y

x

xy

y

x

EEE

EEE

EEE

γεε

τσσ

332313

232221

131211

TLLT

TT

TLLT

LL

LTLTLTL

LTLTLTL

LTlLTTL

TLLTLTL

LTLTLTL

LTLTLTL

EE

EEque em

GEscEcEscsE

GEscEsEccsE

EscGEEscE

GscEEEscE

GEscEcEsE

GEscEsEcE

νννν

νθ

νθ

νθ

νθ

νθ

νθ

−=

−=

+−+−=

+−−−=

−+−+=

−+−+=

+++=

+++=

−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

1 e

1

))2)((()(

))2)((()(

)()4()(

)()2()(

)2(2)(

)2(2)(

222223

222213

442212

222233

224422

224411