Matemáticas intuitivas

Max Neumann CotoInstituto de Matemáticas UNAM-Cuernavaca

¿para que enseñamos matemáticas?

• Para enseñar a pensar lógicamente

• Dar herramientas útiles para la vida cotidiana

• Preparar para el futuro

¿para que enseñamos matemáticas?

• Para enseñar a pensar lógicamente

• Dar herramientas útiles para la vida cotidiana

• Preparar para el futuro

¿para que enseñamos matemáticas?

• Para enseñar a pensar lógicamente

• Dar herramientas útiles para la vida cotidiana

• Preparar para el futuro

¿para que enseñamos matemáticas?

• Para enseñar a pensar lógicamente

• Dar herramientas útiles para la vida cotidiana

• Preparar para el futuro

Mas vale pensar que recordar

• Al aplicar fórmulas de memoria los estudiantes no entienden lo que quiere decir el resultado y no saben si está bien.

• No saben aplicarlas a otras situaciones o las aplican a situaciones en que no valen.

Aritmética aproximada

• ¿Que superficie aproximadamente tiene un terreno de 37 x 64 metros?

37 x 64 ≈ 40 x 60 = 2400

Aritmética aproximada

• ¿Que superficie aproximadamente tiene un terreno de 37 x 64 metros?

37 x 64 ≈ 40 x 60 = 2400• ¿Cómo cuánto miden los lados de una cisterna

cúbica de 10 m3? ¿Y una de 20 m3? 3√10 ≈ 2.2 3√20 ≈ 2.7

Aritmética aproximada

• ¿Que superficie aproximadamente tiene un terreno de 37 x 64 metros?

37 x 64 ≈• ¿Cómo cuánto miden los lados de una cisterna

cúbica de 10 m3? ¿Y una de 20 m3? 3√10 ≈ 3√20 ≈

• ¿Mas o menos cuántas canicas caben en una caja de 27 x 34 x 58 cm? Si cabe una por cm3

27 x 34 x 58 ≈ 30 x 30 x 60 = 54,000

A veces una respuesta aproximada dice mas que una respuesta exacta

• Una cifra no significa nada si no la podamos entender.

A veces una respuesta aproximada dice mas que una respuesta exacta

• Una cifra no significa nada si no la podamos entender. ej. A cada rato salen noticias con datos absurdos, ni los reporteros ni los lectores se dan cuenta porque no tienen ninguna idea de lo que significan.

• Para dar una respuesta aproximada no basta recordar, hay que pensar.

• Sumar 7 veces 5 o sumar 5 veces 7

¿Que da mas?

• Sumar 7 veces 5 o sumar 5 veces 7

5+5+5+5+5+5+5 = 7+7+7+7+7

¿Que da mas?

• Sumar 7 veces 5 o sumar 5 veces 7

5+5+5+5+5+5+5 = 7+7+7+7+7

• Multiplicar 7 veces 5 o multiplicar 5 veces 7

¿Que da mas?

• Sumar 7 veces 5 o sumar 5 veces 7

5+5+5+5+5+5+5 = 7+7+7+7+7

• Multiplicar 7 veces 5 o multiplicar 5 veces 7

5x5x5x5x5x5x5 > 7x7x7x7x7

¿Que da mas?

A veces una respuesta aproximada dice mas que una respuesta exacta

• La intuición (la habilidad de adivinar por donde puede estar la respuesta a un problema) es una de las herramientas más útiles en las matemáticas

¿ 6/7 o 7/8 ?

¿Cuál es menor?

¿ 6/7 o 7/8 ?

¿13/42 o 17/55 ?

¿Cuál es menor?

¿ 6/7 o 7/8 ?

¿13/42 o 17/55 ?

La dificultad para adivinar muestra que a veces las fórmulas y las respuestas exactas son importantes

¿Cuál es menor?

Sin calculadora

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

Sin calculadora

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

Sin calculadora

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

Sin calculadora

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

Sin calculadora

• ¿Cuál es el desarrollo decimal de 1/9 ? 0.111111111111111111111111111111…

• ¿Y de 1/99 ? 0.010101010101010101010101010101…

• ¿Y de 1/7 ? 0.142857142857142857142857142857…

Sin calculadora

A veces una respuesta aproximada dice mas que una respuesta exacta

• A cada rato salen noticias con datos absurdos, y ni los reporteros ni los lectores se dan cuenta porque no entienden lo que significan las cifras.

¿Matemáticas o sentido común?

• Si el peso se devalúa 20% y luego vuelve a revaluarse 20% ¿queda igual?

¿Matemáticas o sentido común?

• Si el peso se devalúa 20% y luego vuelve a revaluarse 20% ¿queda igual? 1 x 0.8 x 1.2 = .96 pierde 4%

¿Matemáticas o sentido común?

• Si el peso se devalúa 20% y luego vuelve a revaluarse 20% ¿queda igual? 1 x 0.8 x 1.2 = .96 pierde 4%

• Una mercancía tiene el 20% de descuento y causa un 15 por ciento de IVA. ¿Qué es mejor, que primero hagan el descuento y luego carguen el IVA o al revés?

¿Matemáticas o sentido común?

• Si el peso se devalúa 20% y luego vuelve a revaluarse 20% ¿queda igual?

pierde 4%

• Una mercancía tiene el 20% de descuento y causa un 15 por ciento de IVA. ¿Qué es mejor, que primero hagan el descuento y luego carguen el IVA o al revés?P x 0.8 x 1.15 = P x 1.15 x 0.8 es igual

Engranes y relojes

¿Podrán girar?

¿Podrán girar?

si el número de engranes es impar, no pueden

Engranes

1

32

Engranes

1

32

Engranes

1

32

1

?

Engranes

1?

1

2

3

Engranes

?

2

1

1

¿Podrán girar?

Relojes

?

2

2

1

1

3

Relojes

?

2

2

1

1

34

2

1

1

3 2

41

5

1

¿Puede girar?

2

1

1

3 2

41

5

1

¿Puede girar?

No, porque

1/2 x 1/3 x 5

no es 1

Geometría intuitiva

¿Cuál curva es mas larga, la roja o la azul?

¿Cuál área es mayor, la roja o la azul?

¿Cuál curva es mas larga, la roja o la azul?

¿Cuál área es mayor, la roja o la azul?

¿Qué tan lejos puede pasar la bisectriz del punto medio del lado opuesto?

La bisectriz puede cruzar arbitrariamente lejos del centro

¿Cuál terreno tiene mayor superficie?

49 48

37 38

49

37

48

38

¿De todos los cuadrángulos con el mismo perímetro, cual tendrá mayor área?

¿De todos los triángulos con el mismo perímetro, cual tendrá mayor área?

A partir de un triángulo podemos formar otros triángulos con la misma base y el mismo perímetro

Para la misma base, el de mayor área es el de mayor altura

El de mayor altura es el isósceles

Si ahora tomamos otro lado como base, podemos hacer los otros dos lados iguales

Así que de todos los triángulos con el mismo perímetro, el de mayor área es el equilátero

¿Qué superficie tiene este terreno?

¿Qué área tiene este terreno?

necesitamos una unidad de medida…

El área puede aproximarse usando una cuadrícula

El área puede aproximarse usando una cuadrícula

El área es algo

entre 5 y 35 u

El área puede aproximarse mejor usando una cuadrícula más fina

El área es algo

entre 51/4 y

35/ u

El área también puede estimarse contando puntos

El área también puede estimarse contando puntos

14 puntos en el interior

El área también puede estimarse contando puntos

Área ≈ puntos en el interior = 14

Si la figura es un polígono con vértices en la retícula, el área puede aproximarse mucho mejor

Si la figura es un polígono con vértices en la retícula, el área puede aproximarse mucho mejor

¿Como debemos contar los puntos que están en la orilla?

¿Y si los contamos como que están medio adentro y medio afuera?

Area ≈ Puntos interiores

+ ½ puntos en la orilla ?

¿Qué tan buena aproximación dará esta fórmula?

Area ≈ Puntos interiores

+ ½ puntos en la orilla ?

Area = Puntos interiores + ½ puntos en la orilla - 1

un rectángulo:

Area = Puntos interiores + ½ puntos en la orilla - 1

un paralelogramo:

un triángulo:

• Dos tríangulos iguales forman un paralelogramo

• ¿Cómo podemos obtener la fórmula para el triángulo a partir de la fórmula para el paralelogramo?

un triángulo:

• Los puntos interiores del paralelogramo están en el interior de un triángulo o en la orilla de ambos triángulos.

• Los puntos de la orilla del paralelogramo están en la orilla de los triángulos. 2 esquinas están en ambos triángulos.

Area = Puntos interiores + ½ puntos en la orilla - 1

un triángulo:

Area = Puntos interiores + ½ puntos en la orilla - 1

Todos los poliedros pueden partirse en triángulos

Area = 13 + ½ (15) – 1 = 19.5

Area = 6 + ½ (13) – 1 = 11.5

Area = 6 + ½ (13) – 1 = 11.5

¿Habrá una fórmula similar para los volúmenes de poliedros con vértices en una retícula en el espacio?

FIN