Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)

( ) baxxf += baxy +=

x

( )xf

x

y

0>a 0<a

CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente

30/01/15 1Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)

( ) baxxf += baxy +=

x

( )xf

x

y

bb

ab−

ab−

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

30/01/15 2Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 1º Grau – Linear (b = 0) Função de 1º Grau – Linear (b = 0)

( ) xxf = xy −=

x

( )xf

IdentidadeIdentidade

B.Q.I.B.Q.I.

x

y

B.Q.P.B.Q.P.

30/01/15 3Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)

( ) baxxf += baxy +=

x

( )xf

x

y0=a

ConstanteConstante ConstanteConstante

( ) byxf ==

b

b

0>b

0=a0<b

30/01/15 4Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)

( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2

x

( )xf 0>a 0<a

Concavidade voltada Concavidade voltada para cimapara cima

x

y

Concavidade voltada Concavidade voltada para baixopara baixo

30/01/15 5Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)

( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2

x

( )xf

x

yc

cRaiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

30/01/15 6Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízescbxaxy ++= 2

0=ycbxax ++= 2002 =++ cbxax

acb 42 −=∆a

bx

2

∆±−=

30/01/15 7Professor: Osmar da Silva Pereira

0∆ <

0∆ =

0∆ >

não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).

possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).

possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.

30/01/15 8Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º GrauFunção de 2º Grau

x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21

0>a0>∆

0>a0=∆

0>a0<∆

x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21

0<a0>∆ 0<a

0=∆0<a0<∆

Raízes reais Raízes reais distintasdistintas

Raízes reais Raízes reais iguaisiguais

Não existem Não existem raízes reaisraízes reais

30/01/15 9Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice

x

y

VérticeVértice

eixo de eixo de simetriasimetria

ayV 4

∆−=

a

bxV 2

−=( )VV yxV ,=

∆−−=

aa

bV

4,

2

30/01/15 10Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice

x

y

VérticeVértice

x

yPonto de Ponto de máximomáximo

VérticeVértice

Ponto de Ponto de mínimomínimo

0>a

0<a

30/01/15 11Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis

x

y

c

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

VérticeVérticeayV 4

∆−=

a

bxV 2

−=

30/01/15 12Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem

x

y

VérticeVértice

x

yVérticeVértice

Se a >0, então:

{ }vyyRy ≥∈= /Im

Se a < 0, então:

{ }vyyRy ≤∈= /Im30/01/15 13Professor: Osmar da Silva Pereira

Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada

( ) cbxaxxf ++= 2

( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅=

raízessãoxex 2130/01/15 14Professor: Osmar da Silva Pereira

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

INJETORAINJETORAPara uma função ser classificada como injetora, devemos Para uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para lembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerar diferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja: diferentes, ou seja:

( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf

( ) ( )( )( ) 91

631

6131

−=−−−=−

−−=−

f

f

f ( ) ( )( )( ) 60

600

6030

−=−=

−=

f

f

f

30/01/15 15Professor: Osmar da Silva Pereira

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

Para uma função ser classificada como sobrejetora, Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igual deve ser igual a a IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja: da função dada, ou seja:

Im=CDEx.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2xxf =

x

y

SOBREJETORASOBREJETORA

30/01/15 16Professor: Osmar da Silva Pereira

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

Para uma função ser classificada como bijetora, devemos Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser lembrar que ela deve ser INJETORA INJETORA e e SOBREJETORASOBREJETORA ao ao mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja:

Im=CDEx.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2xxf =

x

y

BIJETORABIJETORA

30/01/15 17Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

-2-2 22

- 4- 4

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

44

30/01/15 18Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

-2-2 22-2-2 22

44f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

f : D → CDxx

30/01/15 19Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

2222

44

22

44

f : D → CD

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é Injetora

Não é Injetora

30/01/15 20Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

00

Im(f) = [0, +∞)CD = R

Não é Sobrejetora

Não é Sobrejetora

Im(f) ≠ CD

f : D → CD

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

xx yy

30/01/15 21Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D → CD

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

30/01/15 22Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D → CD

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

30/01/15 23Professor: Osmar da Silva Pereira

x

y

2222

44

22

44

É uma função SimplesÉ uma função Simples

Não é Injetora Não é Injetora

f : D → CD

f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

30/01/15 24Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa

( ) 12 −= xxf

A

4

3

2

1 B

7

5

3

1

{ }4,3,2,1=A{ }7,5,3,1=B

BAf →:

30/01/15 25Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta

{ }4,3,2,1=AFunção inversaFunção inversa

{ }7,5,3,1=BABg →: ( )

2

1+= xxg

A

4

3

2

1 B

7

5

3

1

( ) ( )xfxg 1−=30/01/15 26Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa

A inversa de uma função f só existirá se f for A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora. bijetora.

Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa

1º – Troca 1º – Troca xx por por yy e e yy por por xx..

2º – Isola a variável 2º – Isola a variável yy..

30/01/15 27Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa

( ) 12 −= xxf

12 −= xy

12 −= yxyx 21=+

yx =+2

1

2

1+= xy

2

11 +=− xy

( )2

11 +=− xxf

30/01/15 28Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversa Função inversa

(representação gráfica)(representação gráfica)

2−= xy

21 +=− xy

x

y

2

2

2−

2−

B.Q.I.B.Q.I.30/01/15 29Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversa Função inversa

(representação gráfica)(representação gráfica)f

1−f

x

y

B.Q.I.B.Q.I.30/01/15 30Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta

A

4

3

2

1 B

6

5

4

3

( ) 2+= xxf

BAf →:

B

6

5

4

3 C

11

9

7

5

( ) 12 −= xxg

CBg →:

30/01/15 31Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta

( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →:

( ) ( ) 12 −⋅= xfxh

( ) ( ) 122 −+⋅= xxh

( ) 142 −+= xxh

( ) 32 += xxh

( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf

( ) ( ) 32 +== xxfgxh

30/01/15 32Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta

A

4

3

2

1 B

6

5

4

3

( ) 2+= xxf

BAf →:

B

6

5

4

3 C

11

9

7

5

( ) 32 += xxh( ) 32 += xxfg

( ) 12 −= xxg

CBg →:

30/01/15 33Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta

A

B

Cfg

fgh =

( ) ( )[ ]xfgxh =

( ) ( )xfgxh =

fgh =

x f

30/01/15 34Professor: Osmar da Silva Pereira

Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta

A composta de uma função com sua inversa é a A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (função identidade. (foffof-1-1 = f = f-1-1of = xof = x))

2−= xy21 +=− xy

( ) 221 −+=− xff

xff =−1

( ) 221 +−=− xff

xff =− 1

30/01/15 35Professor: Osmar da Silva Pereira

Função ExponencialFunção Exponencial

RRf →:

DefiniçãoDefinição

RDomínioDomínio

( ) ] [+∞= ,0Im f

ImagemImagem

( ) xaxf = 10 ≠< a

*+R

( ) ( )+∞= ,0Im f( ) RfD =

30/01/15 36Professor: Osmar da Silva Pereira

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

( ) xxf 2=x

1

2

3

4

... ..

x

xy 2=221 ==y422 ==y823 ==y1624 ==y

xy 2=

y

1 21−2−3− x

1

2

4

0

30/01/15 37Professor: Osmar da Silva Pereira

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

( )x

xg

=

2

1

1 22− x

y

1

4

0

30/01/15 38Professor: Osmar da Silva Pereira

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

( ) xxf 2=

1 21−2−3− x

y

1

2

4

1 22− x

y

1

4

( )x

xg

=

2

1

1−

1>aCrescente

10 << aeDecrescent

00

30/01/15 39Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação exponencialEquação exponencial

322 =x

819

1 =

x

171333 112 =−+ +−+ xxx

093109 =+⋅− xx

30/01/15 40Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação exponencialEquação exponencial

kxaa kx =⇔=

322 =x522 =x

5=x ( ) 42 33 =− x

42 33 =− x

819

1 =

x

42 =− x 2−=x30/01/15 41Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação exponencialEquação exponencial

63933 1212 =−+ −+ xxx

( ) 6333

333 2

22 =−+⋅ x

xx

6333

333 2

22 =−+⋅ x

xx

yx =23

633

3 =−+ yy

y

3

18939 =−+ yyy

1897 =y 27=y

32 33 =x2

3=∴ x

30/01/15 42Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação exponencialEquação exponencial

224 =− xx

( ) 02222 =−− xx

( ) 02222 =−− xx

yx =2

11 −=y

12 −=x

1=x

022 =−− yy

22 =y

22 =x

30/01/15 43Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação exponencialInequação exponencial

322 >x

819

1 ≤

x

64,08,0 2 <+x

093109 ≤+⋅− xx

30/01/15 44Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação exponencialInequação exponencial

kx aa ≥

322 >x522 >x

5>x ( ) 21 99 ≤− x

299 ≤− x

2≤− x

2−≥x

1 , >≥ asekx

10 , <<≤ asekx

819

1 ≤

x

30/01/15 45Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação exponencialInequação exponencial

1−>x

64,08,0 2 <+x

100

648,0 2 <+x

100

648,0 2 <+x

10

88,0 2 <+x

8,08,0 2 <+x

12 >+x

30/01/15 46Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmos

xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

0>a 01 >≠ bCondição de ExistênciaCondição de Existência

30/01/15 47Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmos

xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

xab =log ⇔ ab x =

30/01/15 48Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmos

xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

x=8log2 ⇔ 82 =x3=x

8log2

38log2 =30/01/15 49Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmosSistema de LogaritmosSistema de Logaritmos

aa loglog10 =

2100log100log10 ==

30/01/15 50Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)

bae =log

...718281828,2=e

2log ee 2ln 2 =e5logee 55ln =e

ba =ln

30/01/15 51Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmosPropriedades operátóriasPropriedades operátórias

( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒

bab

aP ccc logloglog2 −=

⇒

( ) anaP bn

b loglog3 ⋅=⇒

30/01/15 52Professor: Osmar da Silva Pereira

LogaritmosLogaritmosMudança de BaseMudança de Base

b

aa

c

cb log

loglog =

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog −≠=

30/01/15 53Professor: Osmar da Silva Pereira

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaDefiniçãoDefinição

RRf →+*: ( ) xxf blog=

*+RDomínioDomínio

( ) Rf =Im

ImagemImagem R

( ) *+= RfD

30/01/15 54Professor: Osmar da Silva Pereira

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

( ) xxf 2log=

1 x

y

1

2

1−

2

1

0

30/01/15 55Professor: Osmar da Silva Pereira

Representação GráficaRepresentação Gráfica

( ) xxg2

1log=

12

x

y

1−

1

0

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

30/01/15 56Professor: Osmar da Silva Pereira

Representação GráficaRepresentação Gráfica

( ) xxg2

1log=

12

x

y

1−

1

1 x

y

1

2

1−

2

1

0 0

( ) xxf 2log=1>b

Crescente10 << beDecrescent

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

30/01/15 57Professor: Osmar da Silva Pereira

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

( ) xxf blog=

1

1

( ) xbxf =

1>bCrescente

xy =

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

30/01/15 58Professor: Osmar da Silva Pereira

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

( ) xxf blog=

1

1

( ) xbxf = 10 << beDecrescent

xy =

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

30/01/15 59Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog

( ) 53log2 =−x

325 −= xx=+ 332

35=x

03 >−x3>x

{ }35=S30/01/15 60Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog

( ) ( ) 295log 1 =−− xx

( ) 951 2 −=− xx

95122 −=+− xxx

095 >−x5

9>⇒ x

01>−x 1>⇒ x

11≠−x 2≠⇒ x

01072 =+− xx21 =x 51 =x { }5=S

30/01/15 61Professor: Osmar da Silva Pereira

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog

( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx

03 >−x 3>⇒ x

04 >+x 4−>⇒ x

41 =x

3>⇒ x

{ }4=S

( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx

8122 =−+ xx0202 =−+ xx 52 −=x

0202 =−+ xx

30/01/15 62Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

( ) ( )xgxf bb loglog ≥

1>b( ) ( )xgxf ≥

10 << b( ) ( )xgxf ≤

( ) 5log3log 22 >−x

53 >−x8>x

03 >−xC.EC.E

3>x{ }8/ >∈= xRxS

] [+∞= ,8S30/01/15 63Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

( ) ( )xgxf bb loglog ≥

1>b( ) ( )xgxf ≥

10 << b( ) ( )xgxf ≤

( ) ( )2log82log3

2

3

2 −<− xx

282 −>− xx6>x

082 >−xC.EC.E

4>x02 >−x

2>x

I II

4>=∩ xIII30/01/15 64Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx

8122 <−+ xx

( ) ( ) 322 2log43log <+⋅− xx

( ) ( ) 322 2log43log <+⋅− xx

0202 <−+ xx

51 −=x42 =x

x5− – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 <<− x30/01/15 65Professor: Osmar da Silva Pereira

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx

x5− – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 <<− x

03 >−xC.EC.E

3>x04 >+x

4−>x

3>∴ x

{ }43/ <<∈= xRxS

0202 <−+ xx

30/01/15 66Professor: Osmar da Silva Pereira

30/01/15 67Professor: Osmar da Silva Pereira