Post on 28-Dec-2018
Matemática Financeira Aplicadawww.adrianoparanaiba.com.br
Conceitos Básicos
- Juros Simples- Juros Composto
Juros Simples:J = C x i x nM = C + J
Juros CompostosM = C x (1 + i)n
J = M – C
Exemplo: Aplicação de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime simples/composto de capitalização.
DescontoDesconto Comercial: Conhecido como desconto bancário ou por fora. A Referência é o
valor Nominal do Título.
Fórmulas de Cálculo:
Cálculo do Valor Atual ou Valor Presente do título: A = N x (1 – i x n).
Sendo A o valor atual e N o valor nominal (valor de face) do Título.
Cálculo direto do Desconto Comercial: D = N x i x n.
Desconto Racional: Conhecido como desconto por dentro. A Referência é o Valor Atual
do Título. Fórmula de Cálculo:
A = N / 1 + i x n
Em ambos os exemplos, para calcular o valor do desconto, depois de calculado o valor
atual será: d = N – A
Exemplo: Um Título de R$ 100,00 com vencimento para daqui a
2 meses, taxa de juros de 10% a.m. Qual o valor atual e do
desconto.
Desconto Comercial Desconto Racional
N = 100,00, i = 10% a.m, n = 2 N = 100,00, i = 10% a.m e n = 2
A = 100 x (1 – 0,1 x 2) = 80,00 A = 100 / (1 + 0,1 x 2) = 83,33
d = 100 – 80 = 20,00 d = 100 – 83,33 = 16,67
Taxa EquivalenteDuas taxas de juros são ditas equivalentes se aplicadas sobre um mesmo capital, em certo período de tempo, produzirem o mesmo montante . Por exemplo, 1% ao mês e 12,6825% ao ano, são equivalentes, pois: FV = 1.000(1+0,01)12 =1.126,83FV = 1.000 (1+0,126825)1 =1.126,83
Comparação de taxas:
(a.a.: ao ano; a.t.: ao trimestre; a.q.: ao quadrimestre; a.m.: ao mês; a.d.: ao dia)
4 3 12 360(1+i )=(1+i ) =(1+i ) =(1+i ) =(1+i )a.a a.q a.ma.t a.d
Ou através da fórmula:
Não se esquecendo que tanto o prazo que possui como o prazo que quer possuir, devem estar sempre na mesma unidade de tempo.
prazo que eu queroprazo que eu tenhoi
i = 1+ -1100
Solução:
Veja, o prazo que possuo é 32 dias e o prazo que quero possuir é 1 ano, que deve ser convertido para 360 dias para igualar com o prazo desejado que é menor, ou seja: Na HP 12 C, ficaria:
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
11 ENTER 11,00 introduz a taxa ao ano
100 ÷ 0,11 taxa dividida por 100
1 + 1,11 soma-se 1 a taxa de juros na fórmula
32 ENTER 32 introduz o prazo que quero
360 ÷ 0,088889 divisão pelo prazo que tenho
1,009320 resultado de
1 - 0,009320 subtrai-se 1, que é da fórmula
100 x 0,932 taxa de juros para 32 dias
EXEMPLO A taxa anual de um CDB pré-fixado é de 11% ao ano. Qual seria a taxa
equivalente para uma aplicação de 32 dias?
3236011
i = 1+ -1100
xy 0,088889(1,11)
Taxa Efetiva É o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos. É obtida pela expressão:
Onde: q representa o número de períodos de capitalização dos juros e a taxa efetiva de juros
iq
= 1+ i -1f
fi
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
0.02 ENTER 0,02 introduz a taxa de juros
1 + 1,02 soma-se 1 a taxa de juros na fórmula
12 1,2682 resultado de
1 - 0,2682 subtrai-se 1, que é da fórmula
100 x 26,82 taxa ao ano
Uma taxa de juros de 2% ao mês determina um montante efetivo de juros de 26,82% ao ano, isto é:
Na HP 12 C:
ao ano
Exemplo
12(1,02)xy
12i = 1+ 0,02 -1= 26,82%f
Fluxo de Caixa
Taxa de Juros ( i %)
Valor Futuro
Juros
Valor Presente
Capital Inicial
n
Valor Presente
Juros
+
J
PV
FV
PV = 10.000,00i = 12% ao anoN = 18 meses = 1,5 ano
Exemplo:l Qual o montante de uma aplicação a juros
compostos de 12% ao ano no valor de R$ 10.000,00 pelo prazo de 18 meses?
nFV =PV(1+i)1,5FV =10.000(1+0,12)
FV =11.852,97
Fluxo de CaixaRepresenta uma série de pagamentos ou de
recebimentos, que se estima ocorrer num determinado intervalo de tempo.
Valor Futuro:
Valor Presente:
n(1+i) -1PV = PMT (1+i)×i
n(1+i) -1FV = PMT i
Séries de Pagamentos
0 1 2 3 4 5 .... n-1 n
tempo
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
1o PMT
POSTECIPADA
n
n
(1+i) -1PV =PMT
(1+i) ×i
n(1+i) -1FV =PMT
i
EXEMPLOS
1.Um financiamento de um carro é feito por R$ 12.300,00 em 12 parcelas mensais iguais no valor de R$ 1.272,85, sem entrada. Qual o valor da taxa de juros mensal cobrada?
PV = 12300n = 12PMT = 1.272,85i = ?
f CLX1 CHS PV1272.85 PMT2 ni
n
n
(1+i) -1PV = PMT
(1+i) ×i
12
12
(1+i) -112300 =1272,85
(1+i) ×i
i = 3,5%a.m
2. Uma loja de mercadoria anuncia a venda de um produto a vista por R$ 600,00 ou em 4 (0+4) parcelas mensais iguais sem entrada. Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações?
PV = 600n = 4i = 2%PMT = ?
PMT PMT PMT PMT
1 60 90 120 dias(1) (2) (3) (4) meses
0
PV = 600
f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 4 n / PMT(sem BEGIN)
n
n
(1+i) -1PV =PMT
(1+i) ×i
4
4
(1+0,02) -1600 =PMT
(1+0,02) ×0,02
PMT =157,57
0 1 2 3 4 5 .... n-1 n
tempo
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
1o PMT
ANTECIPADA
n
n-1
(1+i) -1PV =PMT
(1+i) ×i
Exemplo:Uma loja de mercadoria anuncia a venda de
um produto a vista por R$ 600,00 ou em 4 (1+3) parcelas mensais iguais sendo a primeira de entrada. Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações?
PV = 600n = 4i = 2%PMT = ?
PMT PMT PMT
1 60 90 120 dias(1) (2) (3) (4) meses
PMT
0
PV = 600
f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 4 n / g BEGIN / PMT
n
n
(1+i) -1PV = PMT
(1+i) ×i
4
3
(1+0,02) -1600 =PMT
(1+0,02) ×0,02
PMT =154,49
Exemplo – prazo diferidoUma loja de mercadoria anuncia a venda de um produto a vista
por R$ 600,00 ou em 4 (1+3) parcelas mensais iguais sendo uma de entrada. Se a entrada deverá ser paga daqui a 40 dias e as demais de 30 em 30 dias, e a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, qual o valor das prestações?
40 70 100 130 dias(1) (2) (3) (4) meses
PMT PMT PMTPMT
PV = 600
f CLX / 600 CHS PV / 2 i / 40 ENTER 30 n FV
f CLX / 616,05 CHS PV2 I / 4 n / g BEGIN / PMT
n
n
(1+i) -1PV =PMT
(1+i) ×i
4
3
(1+0,02) -1616,05 =PMT
(1+0,02) ×0,02
PMT =158,62n
40
30
FV =PV(1+i)
FV = 600(1+0,02) = 616,05
Em caso contrário, o fluxo será considerado postecipado, pressionando-se:
Quando o intervalo de tempo para pagamento da primeira prestação for menor que os demais prazos do fluxo, a série de caixa é considerada antecipada, devendo previamente serem pressionadas as teclas
Período Singular de Juros É explicado quando o prazo do primeiro fluxo de caixa (PMT) for diferente dos demais prazos
g BEG
g END
EXEMPLO 1. Admita um financiamento de $ 20.000,00 a ser pago em 5 prestações mensais e iguais. A primeira prestação vence em 20 dias, e as demais a cada 30 dias. A taxa de juros é de 2% a.m. Determinar o valor das prestações. Solução:
Com o uso da HP 12 C: Teclas (inserção de dados) Visor Significado
f REG 0,00 limpa todos os registradores
20000 CHS PV -20.000,00 introduz o valor presente
2.00 i 2,00 introduz a taxa mensal de juros
20 ENTER 20,00 introduz o prazo inicial
30 ÷ 0,67 prazo singular
5 + n 5,67 somando com o prazo inteiro
g BEG 5,67 aciona o flag da entrada da 1ª prestação
PMT 4.215,25 valor da prestação
Sistema de Amortização
Encargos: Juros sobre o saldo devedor;
Amortização: Pagamento do principal (capital inicial);
Prestação: amortização + encargos;
Saldo Devedor: Saldo devedor atualizado após o pagamento da prestação;
TABELA PRICEO Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do sistema francês. Esse nome se deve ao matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no Séc XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financiamentos). Em 1771, publicou Observations on Hevertionary Payments (observação sobre pagamentos com direito a devolução). Esta obra lança os fundamentos Científicos dos estudos atuariais, revolucionando a concepção das seguradoras inglesas.
Fluxo de Caixa e Análise de Investimento
a) f FIN ou f REG para zerar os registrosb) g Cfo a parcela da data zero, também conhecido como valor atualc) g Cfj os demais valores, devendo obedecer rigorosamente à ordem cronológica.d) O fluxo máximo terá 20 valores diferentes ( Cfj), sendo que cada valor poderá ser repetido até 99 vezes ( Nj)e) g Nj número de repetiçõesf) Devemos informar apenas um valor para cada data
Fluxo de Caixa na HP 12C
Análise de Investimentos Métodos de avaliação de fluxos de caixa:
É uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos iguais ou diferentes a uma taxa conhecida, e deduzir o valor do fluxo inicial.
n
0j=1
CFjNPV = - CF
j(1+i)
Valor Presente Líquido – NPV ( Net Present Value )
Resumindo:
Se NPV for negativo, a taxa de retorno apresenta-se menor do que a desejada.
Se NPV for igual a zero, a taxa de retorno é igual à desejada.Se NPV for positivo, a taxa de retorno é maior do que a
desejada
Assim, ao analisar a conveniência da compra de um ativo, fixa-se a taxa mínima de retorno desejada, e com base nesta, calcula-se o valor presente das receitas liquidas estimada para os próximos meses ou anos, que são geradas pelo valor de compra do equipamento.
EXEMPLOS
Admita agora, o seguinte fluxo de caixa não periódico:
100,00 100,00 100,00 100,00 0 1 2 3 4 5 6 7
Para uma taxa de juros de 2% ao mês, calcular o valor presente:
= $ 371,71 100 100 100 100
PV = + + +4 71 3 (1+ 0,02) (1+ 0,02)(1+ 0,02) (1+ 0,02)
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
f REG 0,00 limpa todos os registradores
100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 1º mês
0 g CFj 0,00 vlr. do fluxo no 2º mês (vlr. não informado, atribuí-se 0)
100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 3º mês
2 g Nj 2,00 repete o fluxo de caixa acima por 2 meses
0 g CFj 0,00 como o vlr. do fluxo não é informado substitui-se por 0
2 g Nj 2,00 repete o fluxo acima por 2 meses
100 g CFj 100,00 valor do fluxo no 7º mês
2 i 2,00 taxa de juros de 2% ao mês
f NPV 371,71 valor presente na data zero
Taxa Interna de Retorno- IRR ( Internal Rate of Return)
É a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos, com o valor presente de um ou mais recebimentos.
n
j=1
CFjCF =0 j(1+ i)
EXEMPLO Um investidor tem a oportunidade de adquirir uma propriedade por $ 9.900,00 e ele gostaria de ter um retorno de 12%. Ele espera poder vendê-la em 10 anos por $ 12.000,00, e prevê que os fluxos de caixa anuais referentes aos aluguéis anuais e valor de venda são os apresentados na tabela abaixo:
Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de caixa
1 $ 1.700 6 $ 1.210,00
2 $ 1.400 7 $ 1.200,00
3 $ 1.300 8 $ 1.200,00
4 $ 1.300 9 $ 750,00
5 $ 1.300 10 $ 12.000,00
Solução:
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
f REG 0,00 limpa todos os registradores
9900 CHS g CFo -9.900,00 valor do fluxo inicial
1700 g CFj 1.700,00 valor do fluxo no 1º ano
1400 g CFj 1.400,00 valor do fluxo no 2º ano
1300 g CFj 1.300,00 valor do fluxo no 3º ano
3 g Nj 3,00 repete o fluxo de caixa acima
1210 g CFj 1.210,00 valor do fluxo no 6º ano
1200 g CFj 1.200,00 valor do fluxo no 7º ano
2 g Nj 2,00 repete o fluxo de caixa acima
750 g CFj 750,00 valor do fluxo no 9º ano
12000 g CFj 12.000,00 valor do fluxo no 10º ano
12 i 12,00 taxa de juros de 12%
f NPV 997,71 valor presente na data zero
Como o NPV é positivo, $ 997,71, conclui-se o investimento excedeu o retorno de 12% desejado;
f IRR = 13,82%
Alterando as instruções de fluxo de caixa
Com os fluxos de caixa já armazenados na calculadora, admita trocar o valor de CF2 de $ 1.400,00 por $ 130,00 e calcular então
o novo NPV e a nova IRR.
Solução:
=- 14,73f
130 STO 2
12 i
NPV
Como este NPV é negativo, o investimento não alcançou a taxa desejada de 12% , apresentando um retorno de 11,97%.
OBSERVAÇÃO
Há casos em que IRR não existe, ou então possui vários valores simultâneos. Isto geralmente ocorre quando o fluxo possui mais de uma inversão de sinal (os lançamentos do fluxo ora são positivos, ora são negativos). Em tais casos, o cálculo da IRR poderá ocasionar mensagens de erro (ERROR 3). É recomendado não usar a IRR em tais situações. O NPV geralmente constitui o melhor método de análise.
EXEMPLO 1. Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $ 12.690,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e consecutivos de $ 2.500,00, $ 3.800,00, $ 4.500,00 e $ 2.700,00.
A formulação para o problema apresenta-se:
12.690,00
1 2 3 4 (meses)
2.500,00 3.800,00 4.500,00 2.700,00
2.500 3.800 4.500 2.70012.690,00= + + +41 2 3 (1+IRR)(1+IRR) (1+IRR) (1+IRR)
Na HP 12 C:
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
12690 CHS g CFo -12.690,00 valor do fluxo inicial
2500 g CFj 2.500,00 valor do fluxo no 1º mês
3800 g CFj 3.800,00 valor do fluxo no 2º mês
4500 g CFj 4.500,00 valor do fluxo no 3º mês
2700 g CFj 2.700,00 valor do fluxo no 4º mês
f IRR 2,47 2,47% taxa interna de retorno
Custo Equivalente Anual
É uma medida que representa a distribuição uniforme dos fluxos de caixa por todos os anos de vigência do projeto. Essa medida é mais indicada para análise de projetos de investimento com períodos de vigências diferentes.
Para o projeto A, pode-se calcular o NPV equivalente uniforme
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
f REG 0,00 limpa registros
16.93 CHS PV -16,93 NPV do projeto
10 i 10,00 custo de capital
4 n 4,00 prazo do projeto
g END PMT 5,34 custo equivalente anual
Para o projeto B tem-se: NPV equivalente anual igual a $ 5,45. Obviamente quanto maior, mais atrativo é projeto, sendo o B o mais indicado.
Sistema de Prestação Constante -
(PRICE) Adotado quando os períodos das prestações se apresentam menores
que o da taxa de juros
Prestações são constantes, as amortizações variáveis, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo.
Tem como característica básica o uso da taxa proporcional (linear) simples ao invés da taxa equivalente composta de juros.
“Empréstimo: $ 10.000,00Prazo: 4 mesesJuros: 42,576%a.a
”
EXEMPLO 1. Taxa de juros contratada : 18% a.aCondições de pagamento : 4 prestações trimestrais iguaisValor do financiamento : $ 30.000,00
Trimestre Saldo Devedor $ Amortização $ Juros $ Prestação $
0 30.000,00 - - -
1 22.987,69 7.012,31 1.350,00 $ 8.362,31
2 15.659,83 7.327,86 1.034,45 $ 8.362,31
3 8.002,21 7.657,62 704,69 $ 8.362,31
4 - 8.002,21 360,10 $ 8.362,31
TOTAL 30.000,00 3.449,20 $ 33.449,24
Com o uso da HP –12 C:
Teclas (inserção de dados) Visor Significado
f REG 0,00 limpa todos os registradores
30000 CHS PV -30.000,00 valor do financiamento
4.5 i 4,50 taxa de juros nominal
4 n 4,00 prazo do financiamento
PMT 8.362,31 valor da prestação
1 f AMORT 1.350,00 1ª parcela de juros
X<> y 7.012,31 1ª parcela de amortização
RCL PV -22.987,69 Saldo devedor após pagamento da prestação
1 f AMORT 1.034,45 2ª parcela de juros
e assim por diante...
Sistema de Amortização Constante -
SAC Este sistema permite alguns tipos de situações:
Pagamento sem carência Pagamento com carência:
1. Com juros pagos durante a carência; 2. Com juros capitalizados (não pagos) durante a
carência, vindo a pagar no vencimento da primeira prestação;
3. Com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.
CARACTERÍSTICAS
A devolução do principal é feita em “n” parcelas iguais denominadas: parcelas de amortização. O valor da amortização é facilmente obtido através da divisão do capital emprestado pelo número de prestações.
Os juros são calculados sobre o saldo devedor anterior sendo, portanto, de valor decrescente.
A prestação é a soma da amortização com juros, constituindo uma progressão aritmética decrescente.
Taxa efetiva
“
”
Empréstimo: $ 10.000,00Prazo: 4 mesesJuros: 42,576%a.a
n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0
1
2
3
4
10.000,00 - - -
2.500,00
2.500,00
2.500,00
2.500,00
300,00 2.800,007.500,00
225,00 2.725,005.000,00
150,002.500,00
- 75,00 2.575,00
2.650,00
1
12i = (1+0,42576) -1= 3%a.m
10.000AMORTIZAÇÃO = = 2.500
4
JUROS =10.000×0,03 = 300