1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Aulas Introdutórias

Profaª Msc. Érica Siqueira

Mini Currículo Professora: Érica Siqueira

• Formação:

Doutoranda em Administração pela FGV.

Mestre em Administração pela FEA USP (2014),

Especialista em Administração pela FGV (2011) e

Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie.

• Professora convidada para cursos de pós graduação.

• Foi professora nos cursos de Administração nas faculdades

Unisant´anna e Estácio.

• Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de

projetos de inovação.

• Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão

empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de

suprimentos, etc..

Profaª Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender

• Fazer contas utilizando a regra de três eporcentagens

• Entender os princípios de Matemática Financeira• Calcular valores futuros e presente em juros simples• Entender operação de desconto de duplicata

4 Profa. Msc. Érica Siqueira

Agenda do Curso

Data Conteúdo

27/08/2018

Apresentação da Disciplina

Revisão de Porcentagens

Juros Simples: Montante

Exercícios

03/09/2018

Juros Simples: Capital, Taxa, Prazo

Desconto de Duplicata

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples

Exercícios

10/09/2018Juros Compostos

Exercícios

17/09/2018

Taxa Equivalente em Juros Compostos

Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente

Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Exercícios

24/09/2018

Pagamentos e Depósitos Constantes

Fluxo de Caixa

Payback Simples e Descontado, VPL, TIR

Sistema de Amortização: SAC e PRICE

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Observações

• Usar HP12C

• Para estudar:

• Slides como grandes tópicos

• Livros indicados na bibliografia

• Lista de Exercícios

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Aplicações

• Gestão Financeira

• Planejamento Financeiro

• Investimentos

• Finanças Pessoais

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Revisão: Início

8 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre

as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis.

• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de

primeiro grau, com uma incógnita.

• Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais,

ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o

outro também aumente, mantendo a proporção

• Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um

aumenta o outro diminui.

Regra de Três Simples

9 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto

de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?

Porcentagens com Regra de Três

Reais (R$) Porcentagem

400,00 100%

30,00 X

10 Profa. Msc. Érica Siqueira

• (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios

solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a

energia solar consegue produzir 400 watts por hora

de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2,

qual será a energia produzida?

Diretamente Proporcional

Área Energia

1,2 400

1,5 X

11 Profa. Msc. Érica Siqueira

• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de

8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão.

Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma

constante, quanto tempo ele levará para percorrer

esse mesmo quarteirão?

Inversamente Proporcionais

Velocidade (km/h) Tempo (minutos)

8 50

16 X

12 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Enquanto a regra de três simples envolve até 2

grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra

de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta

ou indiretamente.

• A forma de resolução é montar uma série de regra de

três simples

Regra de Três Composta

13 Profa. Msc. Érica Siqueira

• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias,

trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia

que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em

20 dias.

Exemplo Regra de Três Composta

14 Profa. Msc. Érica Siqueira

• A porcentagem é uma maneira de expressar um

número como parte de um todo.

• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.

• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais

(=100%).

• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100% =

20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%

Revisão de Porcentagem

15 Profa. Msc. Érica Siqueira

Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual

0,05 = 5%

0,5 = 50%

0,8 = 80%

1 = 100%

Taxas Unitárias e Percentuais

16 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05

• Para achar o valor correspondente, basta multiplicar

pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra

de 3

• Por exemplo: 10% de R$ 1.000

• 0,10 * 1000 = R$ 100,00

O percentual de um valor

17 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo

todo, também sem necessidade de usar regra de três.

• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são

universitárias, qual o percentual de universitários?

• Parte = 485

• Todo = 1000

• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo

• 485 / 1000 = 0,485

• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual

• 0,485 x 100 = 48,5%

• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias

Para calcular o percentual

18 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Para somar uma porcentagem ao número original, por

exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1

+ 0.40) = 280

• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de

lucro, comissão ou taxas

Acrescentar um Percentual

19 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Ex: Achar valor final após conceder descontos

• Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela

porcentagem restante, por exemplo:

• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão

cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e

que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60%

nesse caso).

• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias

Subtrair um Percentual

20 Profa. Msc. Érica Siqueira

Calcule as porcentagens correspondentes:

• 2% de R$ 700

• 40% de 48 m

• 38% de 200 Kg

• 6% de R$ 50

• 37,6% de R$200

• 22,5% de R$60

Exercícios de Porcentagem

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a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?

c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

Exercício de Porcentagem

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Matemática Financeira usando HP12C

(e fórmulas)

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• Notação Parentizada (infixa)

• 3*5+6*8+2 (depende do PEMDAS)

• Notação Polonesa Reversa (pós-fixa)

• 3 5 * 6 8 * 2 + +

RPN

24 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Estudar o valor do dinheiro no tempo

• Conceitos de juro, capital e tempo

• Habilidades matemáticas prévias:

• Porcentagem

• Frações, Potências, Raiz, Log

Observações

25 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Sistema Americano: Ponto para separador decimal

• Sistema Europeu (e brasileiro): Vírgula para

separador decimal

• HP12C vem configurada de fábrica no sistema

americano

• Para ajustar (se preferir, não necessário):

• Calculadora desligada

• Com a tecla “.” (ponto) pressionada ligue a calculadora

Ajustando Casas Decimais na HP12C

26 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma

quantia maior amanhã (Valor Futuro);

• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber

uma quantia menor hoje (Valor Presente).

• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja

"taxa de juros" representa o fator de correção no

tempo.

Dinheiro no Tempo

27 Profa. Msc. Érica Siqueira

• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou

emprestado através de alguma operação financeira.

• Também conhecido como: Principal, Valor Atual,

Valor Presente ou Valor Aplicado.

• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla

PV nas calculadoras financeiras).

• Excel: Valor Presente

Capital

28 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Remuneração do Capital

• O juro existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.

• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

• Representação nas calculadoras financeiras: i

Juro

29 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate,

também chamado de prazo ou período de

capitalização

• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das

vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360

dias (12 meses de 30 dias).

• Notação nas calculadoras financeiras: n

• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao

quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. =

ao trimestre a. s. = ao semestre

• Conversão? Pode?

Tempo

30 Profa. Msc. Érica Siqueira

• É a soma do Capital inicial com juro produzido em

determinado tempo

• O montante é calculado apenas no fim da

capitalização.

• Outras representações: S (de Saldo); VF

(de Valor Futuro); FV (de Future Value)

• VF = VP + J

Montante

31 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Os juros podem ser capitalizados segundo dois

regimes: simples ou compostos.

• JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é

calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

• JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é

calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou

seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital

inicial e passa a render juros também.

• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros

compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo,

compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as

aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e

aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos

uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de

curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Juro Simples e Composto

32 Profa. Msc. Érica Siqueira

• J = C * i * n

• Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00

aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de

2 anos?

• Qual o montante ao final de 2 anos?

Calculando Juros Simples

33 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Determinar o montante, ao fim de 5 meses,

correspondente a uma aplicação no valor de R$

6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros

simples.

• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses

• S = P(1 + in)

• S = 6.000 (1 + 0,04×5)

• S = R$ 7.200,00

Cálculo do Montante em Juros Simples

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• Lançar “n” sempre em DIAS (360 dias por ano)

• Lançar “i” sempre em AO ANO

• Capital no PV (sinal negativo)

• Seguir lançamento para o problema anterior:

-6000 PV

48 i

150 n

F i (disparar a função INT) -> Isso vai exibir o juros

+ (isso vai exibir o montante)

Juros Simples HP12C

35 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o

montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de

juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:

• P = S/(1+ in)

Cálculo do Valor Atual Juros Simples

36 Profa. Msc. Érica Siqueira

•

Cálculo da Taxa em Juros Simples

37 Profa. Msc. Érica Siqueira

•

Cálculo do Tempo em Juro Simples

38 Profa. Msc. Érica Siqueira

• Duas taxas são proporcionais quando seus valores

formam uma proporção com os tempos a elas

referidos, reduzidos à mesma unidade

• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e

“Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coi

sa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de

juros como proporcionais

ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito

ao regime de juros compostos.

Taxas Proporcionais e Equivalente em JS

39 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo 1

40 Profa. Msc. Érica Siqueira

Exemplo 2

41 Profa. Msc. Érica Siqueira

Desconto de Duplicata

• Operação conhecida no Brasil como Desconto

comercial ou bancário (por fora).

• Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre

um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto

incide sobre o valor futuro.

• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de

face ou valor nominal

• Abate-se o desconto para conhecer o valor presente,

ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata

(antecipação de recebíveis)

42 Profa. Msc. Érica Siqueira

Desconto de Duplicata Juros Simples

• Fórmulas para cálculo:

• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n

• Valor presente, abatendo o desconto

• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto

• Exemplo:

• Qual o valor do desconto comercial simples de um

título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias,

á taxa de 3% ao mês?

43 Profa. Msc. Érica Siqueira

Resolução

• Dados retirados do problema

• VF = 1.600,00

• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)

• d = 2,5% ao mês

• Valor do Desconto (D) =?

• Solução:

• Fórmula D = VF . d . n

• D = 1.600,00 . 0,03 . 4 = 192,00