Matemática Financeira

Matemática Financeira - Valor do Dinheiro no Tempo

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo A

Módulo A – Introdução a Matemática Financeira

• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser

capaz de :• Compreender a importância do valor do

dinheiro no tempo, da Matemática Financeira na vida das pessoas e das empresas.

• Conceituar Taxa de Juros e Diagrama do Fluxo de Caixa e critérios de capitalização dos juros

Módulo A – Introdução a Matemática Financeira

• - Porque estudar o Valor do Dinheiro no Tempo?

• - Importância de se fazer um Planejamento Financeiro

• - Porque estudar Matemática Financeira?

• - Objetivos da Matemática Financeira

Módulo A – Introdução a Matemática Financeira

• Preparação Prévia:

- Leitura prévia do Texto 1 ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto

Módulo A – Introdução a Matemática Financeira

• Organize sua vida financeira e descubra que possui mais recursos do que pensa ter para investir.

• Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda:

- Para onde vai o meu dinheiro?- Por que investir?- Mantenho minhas aplicações ou pago minhas

dívidas?- Como selecionar meus objetivos?- Quais são as minhas opções de investimentos?

Exemplo:• Se um amigo lhe pedisse $ 1.000,00 para

lhe pagar os mesmos $ 1.000,00 daqui a um ano, o que você acharia ?

• Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos!!!

• Alguns pontos vêm a mente:– Será que ele vai me pagar?– Será o poder de compra dos $ 1.000,00 daqui

a um ano será o mesmo?– Se eu permanecesse com os $ 1.00,00, poderia

aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos?

• Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.

• Ao transportar valores no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em:

– inflação– risco de crédito– taxa real de juros

• Nunca some valores em datas diferentes

• Objetivos da Matemática Financeira

- Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo.

- Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.

• Fluxo de Caixa

- Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de duração.

• As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira.

• As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.

• As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.

0 1 2 3 … n

(-)$

(+)$

(-)$

(-)$

(+)$

(-)$

TEMPO

Convenção de Final de PeríodoValores que ocorrem ao longo dos períodos são representados nos finais dos respectivos períodos.

Unidades de TempoAno; Semestres; Trimestres; Meses e Dias

Fluxo de Caixa - Convenções

Valor do dinheiro no tempo• DEFINIÇÕES DE JUROS• - Remuneração do dinheiro aplicado.• - Custo do dinheiro tomado emprestado.

• REGIMES DE JUROS• - Juros simples (Linear, Progressão Aritmética)• - Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica)

• TAXAS DE JUROS• ___% a.d. (diárias) ___% a.a. (anuais)• ___% a.s. (semestrais) ___% a.t. (trimestrais) • ___% a.m. (mensais)• Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!

Simbologia e Convenções Adotadas

0 1 2 3 … n-1 n

PV FV

PMT

i i i i

TabelasHP

Excel

ii

0 1 2 3 … n-1 n

PV FV

PMT

i i i i i i

HPExcel

• Final de período -Type =0 Início de período - Type = 1

• Série postecipada (END) Série antecipada (BEGIN)

• n - Número de períodos de capitalização de juros;• i - Taxa de juros em cada período, em %;• PV - Valor presente, capital inicial aplicado;• FV - Valor futuro, montante no final de n períodos;• PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor que

ocorrem no final (end) ou no início de cada período (begin)

• “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (PV) e o que é cobrado no período de tempo futuro (FV), quer seja ano, mês ou dia

J = FV – PV J = PV . i

Conceitos Gerais - Juros

Conceitos Gerais - Juros

• A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de:

Juro = 1000 / 100 x 20 = Juro = 10 x 20 = 200 200 = remuneração do capital investido.

Conceitos Gerais - Juros• A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital.

Reflete o rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada.

• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de:

Juro = 1000 x 20 / 100 = Juro = 1000 x 0,20 = 200 200 = remuneração do capital investido.

Regimes de Juros• JUROS SIMPLES• Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital

inicial aplicado (principal).• Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de

ficarem retidos pela instituição financeira.• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em

progressão aritmética

• JUROS COMPOSTOS• Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no

início do respectivo período.• Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela

instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.

• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial ou em progressão geométrica).

Próximo Módulo: Trabalharemos – Juros Simples

• Preparação Prévia:

- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo B

Módulo B – Juros Simples

• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser

capaz de:• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros

simples, através de exercícios.• Conceituar – Montante e Capital • Compreender o significado de taxa

proporcional, juro exato e comercial.

Módulo B – Juros Simples

• Preparação Prévia:

- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples

• As parcelas adicionais são dadas por um valor proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação

• Combinando as equações

Jn = PV . i . n FV = PV + Jn

FV= PV . ( 1+ i . n )

• PV é o capital inicial;• FV é o montante no final do

período n.• Jn são os juros acumulados até

o final de n períodos de capitalização;

• n é o número de períodos capitalizados;

• i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

Módulo B – Juros Simples

• Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00 capitalizados a 8% ao ano em quatro anos?

• Extrai-se do enunciado diretamente que PV = 1.000, i = 8% ao ano e n = 4 anos.

J = PV. i. n

J = 1.000× 0,08× 4 = 320

FV = PV + J

FV = 1.000 + 320 = 1.320

Exemplo - Juros Simples

De outra forma:

FV = PV × (1+ i × n)

FV = 1.000 × (1+0,08× 4)

FV = 1.320,00Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!

Capital inicial aplicado: $1.000,00 Prazo: 4 anosTaxa de juros simples: 8,00% a.a. Juros de cada ano: 8% de $1.000,00 = $80,00

ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no finalinício do ano do ano antes ano do ano após

do ano pagamento pagamento0 1.000,00 1.000,001 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,002 1.080,00 80,00 1.160,00 0,00 1.160,003 1.160,00 80,00 1.240,00 0,00 1.240,004 1.240,00 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00

0 1 2 3 4

(+) $1.320,00(+) $1.000,00

Anos

Fluxo de Caixa

Pagamento dos juros no final do prazo

Capital inicial aplicado: $1.000,00 Prazo: 4 anosTaxa de juros simples: 8,00% a.a. Juros de cada ano: 8% de $1.000,00 = $80,00

1.000

1.100

1.200

1.300

1.400

0 1 2 3 4

Juros simplescresc. linear

Saldo

Anos

EXERCÍCIOS• 1. Que montante receberá um investidor que tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, à taxa

de 3% ao mês?

• SOLUÇÃO:• O problema pede o valor resgatado (montante) e não os juros. Para isso basta adicionar os juros ao

capital inicial. Assim, temos:VP = R$ 280,00 .......capital inicial ou principaln = 15 mesesi = 3% a.m. = 0,03 a.m.

• Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem:VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00, isto é,VF = R$ 406,00

• Solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo:J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00 ou sejaVF = R$ 406,00

• Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:f FIN ...limpa os dados dos registros financeiros f 2 ...estabelece o número de casas decimais280 CHS PV ...muda o valor atual para negativo e armazena em PV 3 ENTER 12 x i ...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12)15 ENTER 30 x n ...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30)f INT ... Com este comando a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: R$ 126,00

EXERCÍCIOS• 1. Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e,

ao resgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00.– a. Quanto recebeu de juros?– b. A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período?

• 2. Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou, antecipadamente, 22% de juros, conforme previa o contrato.– a. Quanto pagou de juros?– b. Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual foi a

quantia efetivamente liberada?

• 3. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples.

• 4. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras:– a. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00

após dois anos.– b. A compra de um objeto, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações

mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra.– c. Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês

durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito.

EXERCÍCIOS

5.Qual o capital inicial para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples?Resp: 86.047,00.

6. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada? Resp: 42% ao ano.

7. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 832.000,00?

Resp: 3 meses.

8.Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16,54 , sendo R$ 4,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resp: 3,5% ao mês.

Taxas de Juros-TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção direta com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

- Juro Exato Calendário do ano civil (365 dias)- Juro Comercial que admite o mês com 30 dias e o ano com

360 diasSendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à fração 1/k do período, temos:

EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano?Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:• i12 = 30/12 = 2,5 isto é 2,5% a . m.

• EXERCÍCIOS PROPOSTOS

• 1. Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em:a . Anos b. meses c. dias Resp:- 2,28 anos; 27,4 meses; 832 dias

• 2. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? Resp:- 16,8% a . a .

• 3. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,00

• 4. Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade. Resp:- 6% a . m.

• 5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? Resp:- R$ 200.000,00

• 6. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m., pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias. Resp:- R$ 263.040,00 e R$ 463.040,00

• 7. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital. Resp:- R$ 300.000,00

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo C

• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser

capaz de:• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros

compostos, através de exercícios.• Conceituar – Taxa Nominal e Efetiva• Compreender o significado de taxas

equivalentes.

Módulo C – Juros Compostos

• Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital

• Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras

FV = PV x (1+i)n

• PV é o capital inicial;

• FV é o capital disponível ou exigível no final do período n, ou

montante;

Juros Compostos

• n é o número de períodos capitalizados;

• i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?

Período(anos)

Saldo devedorinício período

Jurosperíodo

Saldo devedor fim período

0 0 0 100,001 100,00 50,00 150,002 150,00 75,00 225,003 225,00 112,50 337,504 337,50 168,75 506,255 506,25 253,12 759,37

Note que os juros em cada período equivalem a 50% do saldo devedor no início do mesmo

período

Exemplo:

Aplicando a fórmula:•Suponha que você coloque $1.000 (VP) numa aplicação rendendo uma taxa de juros (i) de 10% a.a. A quantia que você terá daqui a cinco anos, assumindo que você não sacou nada da conta antes disso, é chamada valor futuro (VF).

Seu valor futuro no final do ano 5 seria, então:VF = VP x (1 + i)n =

VF = 1.000 x (1 + 0,10)5

VF = 1.000 x 1,61051 => Fator de capitalizaçãoVF = 1.610,51

Taxa ( i ) e Número de Períodos

( n ) devem estar sempre na

mesma base!!

Fórmulas de Juros Compostos

( ) niVPVF += 1

( ) niVFVP+

=1

111

-÷øöç

èæ=-=

nn

VPVF

VPVFi

)1log(

log

iVPVF

n+

÷øöç

èæ

=

Funções Financeiras da HP 12C

[n]: abastece ou calcula o número de períodos

[i]: abastece ou calcula a taxa de juros

[PV]: abastece ou calcula o Valor Presente[PMT]: abastece ou calcula a Prestação

[FV]: abastece ou calcula o Valor Futuro

PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FVExercício 1Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de1% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal de $2.000,00.

Dados:PV = $2.000,00

i = 1,0% a.m. n = 24 meses

Juros Compostos:n i PV PMT FV24 1,00 -2.000,00 0,00 ? 2.539,47

VF = VP x (1 + i)n =VF = 2.000 x (1 + 0,01)24

VF = 2.000 x 1,261973VF = 2.539,47

Exercício 2Determinar o principal necessário para produzir um montante de$1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., no regime de juros compostos.

Dados:FV= $1.000,00

i = 1,25 % a.m.n = 2 ANOS = 24 meses

Juros Compostos:n i PV PMT FV24 1,25 ? 0,00 1.000,00 -742,20

PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV

VP = VF / (1 + 0,0125)24

VP = 1.000 / 1,34735VP = 742,20

PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FVExercício 3Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses,no regime de juros compostos?

Dados :PV = $1.000,00FV= $1.150,00n = 10 meses

Juros Compostos :n i PV PMT FV10 ? 1.000,00 0,00 -1.150,00 1,40743% a.m.

VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n

VP 1.150 = (1 + i)1/10 = 1,151/10 = ((1 +

i)1/10)1/10

1.0001,0140743 = 1 + i

I = 0,0140743 * 100 = 1,40743% a.m.

Exercício 4Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimesde juros compostos?

Dados:PV = $100,00FV = $200,00

i = 6,0% a.a.

Juros Compostos :n i PV PMT FV? 6,00 100,00 0,00 -200,00 11,896 anos

PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV

VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n

VP log VF

n =. VP = log (1 + 0,06)

n = 0,30103. = 11,89 anos 0,02531

Taxas de JurosTaxa efetivaUnidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Ex: 3% ao mês (capitalizados mensalmente)12% ao ano (capitalizados anualmente)

Taxas proporcionais - juros simples No regime de juros simples, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmoprazo, produzem um mesmo montanteEx: 1% a.m. = 3 % a.t. = 6 % a.s. = 12 % a.a.

Taxas equivalentes - juros compostosNo regime de juros compostos, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmoprazo, produzem um mesmo montante.

ia = 2 x is = 4 x it = 12 x im = 360 x id

( 1 + ia ) = ( 1 + is )2 = ( 1 + it )

4 = ( 1 + im )12 = ( 1 + id )360

Taxas de Juros-TAXAS EQUIVALENTES• Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo

capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 à

taxa de 4% ao mês, durante 6 meses à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres

SOLUÇÃO• No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00• No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00• Como os juros são iguais, podemos dizer que:

4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes

Taxas de JurosTaxa nominal ( in )

Unidade de tempo é anual e não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.Ex: 12 % a.a. capitalizados mensalmente; 24% a.a. capitalizados trimestralmente.

A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, que é obtida através de taxas proporcionais, a juros simples, conforme indicado abaixo:

Taxa efetiva implícita

diário id = in / 360

mensal im = in / 12

trimestral it = in / 4

semestral is = in / 2

Outras denominações de taxas :

Taxa Real x Taxa Aparente (inflação)Taxa Bruta x Taxa Líquida (impostos)

Período de capitalização taxa in

Problemas

Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,00% a.m.?n i PV PMT FV12 1,00 -100,00 0,00 112,68 12,682503% a.a.

Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 10,00% a.a.?n i PV PMT FV12 0,80 -100,00 0,00 110,00 0,797414% a.m.

Qual a taxa diária equivalente à taxa de 1,50% a.m.? n i PV PMT FV30 0,05 -100,00 0,00 101,50 0,049641% a.d.

Problemas

Qual a taxa anual equivalente a uma taxa de 3,00% a.t.?n i PV PMT FV 1ª solução: (PV / FV)4 3,00 -100,00 0,00 112,55 12,550881% a.a.

n i PV PMT FV 2ª solução: (PMT / FV)4 3,00 0,00 -3,00 12,55 12,550881% a.a.

Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9,00% a.a.,capitalizados mensalmente? Taxa Efetiva Implícita : 9 % / 12 = 0,75 % a.m.

n i PV PMT FV 1ª solução: ( PV / FV )12 0,75 -100,00 0,00 109,38 9,380690% a.a.

n i PV PMT FV 2ª solução: ( PMT / FV )12 0,75 0,00 -0,75 9,38 9,380690% a.a.

Problemas

Qual o montante acumulado no final de dois anos a partir de um principal de $1.000,00, aplicado a uma taxa de 9% a.a. capitalizadosmensalmente?Taxa efetiva implícita: 9% / 12 = 0,75 % a.m.

Taxa Anual Equivalenten i PV PMT FV12 0,75 -100,00 0,00 109,38 9,380690% a.a.

1ª solução: Tempo em meses e taxa mensaln i PV PMT FV24 0,75 -1.000,00 0,00 1.196,41 $1.196,41

2ª solução: Tempo em anos e taxa anualn i PV PMT FV2 9,38 -1.000,00 0,00 1.196,41 $1.196,41

9,380690

ProblemasDeterminar as taxas efetivas mensais, a juros compostos, de uma aplicação financeira realizada a 1,50% a.m., juros simples, com prazos 15, 30 e 45 dias.Juros Simples

Taxa diária das 3 operações = 1,50% / 30 = 0,05 % a.d.Juros compostos:

n i PV PMT FV0,50 1,51 -100,00 0,00 100,75 1,505625% a.m.15 0,05 -100,00 0,00 100,75 0,049826% a.d.

n i PV PMT FV1,00 1,50 -100,00 0,00 101,50 1,500000% a.m.30 0,05 -100,00 0,00 101,50 0,049641% a.d.

n i PV PMT FV1,50 1,49 -100,00 0,00 102,25 1,494431% a.a45 0,05 -100,00 0,00 102,25 0,049458% a.d.

Prazo de 15 dias

Prazo de 30 dias

Prazo de 45 dias

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo D

• Objetivo do Módulo:

• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:

• Desenvolver e aplicar as fórmulas de desconto Comercial - “por fora” e desconto Racional - “por dentro”

• Definir Valor Nominal e Valor Atual.

Módulo D – Desconto

DESCONTO

• Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

• O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.

• Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

• A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.

• A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

• A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

• As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.

Além disso: dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação;

• valor nominal (VN ) (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);

• valor atual (VA) é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: VA = VN - desconto

• tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro.

DESCONTO (d) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é,

a diferença entre o valor nominal e o valor atual :

d = VN - VA.• O desconto pode ser feito considerando-se como capital o

valor nominal ou valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.

• DESCONTO BANCÁRIO

• Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada.

• Sejam d o valor de desconto comercial, VN o valor nominal do título, VA o valor atual comercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto, então:

d = VN . i . n

• O valor atual bancário é dado por:VA = VN (1 – i . n)

EXERCÍCIOS1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao

mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a . o valor do desconto comercial

b . o valor atual comercial

• Solução

dados : VN = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 dias

• a. d = VN . i . n = 60.000 x 0,021 x 1,5 (um mês e meio) = d = R$ 1.890,00

• b. VA = VN – d VA = 60.000 – 1.890 = R$ 58.110,00 VA = R$ 58.110,00

• DESCONTO RACIONAL

• Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

• VA = . VN . (1 + i . n)

Onde d (desconto racional) é igual :

• d = VN - VA

• EXERCÍCIOS• 1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1%

ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

• a . o valor atual racional• b . o valor do desconto racional

• SOLUÇÃO• VN = R$ 60.000,00 i = 2,1% a .m. = 0,021 a . m. n = 45 dias =

1,5 meses

• a. VA = . 60.000 . ( 1 + 0,021 . 1,5)

VA = 58.167,72

• b. d = VN – VA d = 60.000 – 58.167,72 d = 1.832,28

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo E

• Objetivo do Módulo:

• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:- Desenvolver e entender a importância da

Matemática Financeira nos fluxos de caixa, permitindo o correto entendimento e uso de seus resultados.

- Equivalência de dois ou mais capitais.

Módulo E – Fluxo de Caixa – Série de Pagamentos - PMT

Fluxo de Caixa Representa uma série de pagamentos ou de

recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

- Podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência:

1. Quanto ao número de prestações: Finitas: quando ocorrem durante um período pré-

determinado de tempo

2. Quanto à periodicidade dos pagamentos:Periódicas: quando os pagamentos ocorrem a intervalos

constantesNão periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos

acontecem em intervalos irregulares de tempo

Fluxo de Caixa 3. Quanto ao valor das prestações:

Uniformes: quando as prestações ou anuidades são iguais. Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos

apresentam valores distintos.

Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.

4. Quanto ao prazo de pagamentos:

Postecipadas: quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período

Antecipadas: quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, no início da série

Fluxo de Caixa 5. Quanto ao primeiro pagamento:

Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do

financiamento e a data de pagamento da primeira prestação.

Não Diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou

recebimento

Equivalência Financeira e Fluxos de Caixa

A Equivalência Financeira esta presente nas tomadas de decisões financeiras, pois seus

resultados define os melhores planos de empréstimos; financiamentos mais atraentes; em propostas de refinanciamento e reescalonamento

de dívidas; etc.Definição: dois ou mais fluxos de caixa são

equivalentes quando produzem idênticos valores presentes (PV) num mesmo momento,

convencionando-se determinada taxa de juros.

Fórmula para séries uniformes

PMT = PV i ( 1 + i )n

( 1 + i )n -1

Onde: PMT = Pagamento periódico igual

n = número de pagamentosPV = Valor Presente

i = taxa de juros

Fórmula para séries uniformes

Onde: PMT = Pagamento periódico igual

n = número de pagamentosFV = Valor Futuroi = taxa de juros

FV = PMT [ ( 1 + i )n - 1 ]

i

( )( ) ( ) m n

n

ii

iiPVPMT +×-++= 111

1Fórmula para séries uniformes

Onde: PMT = Pagamento periódico igual

m = carência em número de períodosn = número de pagamentos

PV = Valor Presentei = taxa de juros

- Verificar se os fluxos de caixa dos planos A, B, C e D são equivalentes a 6% a.a.

Anos Plano A Plano B Plano C Plano D Equivalência a 6 % a.a.0 100.000,001 - 20.336,26 28.859,15 - PV do Plano A : $100.000,002 - 20.336,26 28.859,15 -3 - 20.336,26 28.859,15 - PV do Plano B : $100.000,004 20.336,26 28.859,15 -5 20.336,26 - - PV do Plano C : $100.000,006 - 20.336,26 - 141.851,91

Soma 100.000,00 122.017,58 115.436,60 141.851,91 PV do Plano D : $100.000,00

Resp. : Os quatro fluxos de caixa são equivalentes a 6 % a.a.pois os seus valores presentes à essa taxa são iguais

EXERCÍCIOS

- Calcular o valor de Z para que os fluxos de caixa sejam equivalentes a 10 % a.a.Ano Fluxo A Fluxo B

0 -1 1.000,00 -2 1.000,00 Z3 1.000,00 -4 1.000,00 -

SOMA 4.000,00 ZFLUXO A: Valor Futuro no final do 4º ano

n i PV PMT FV4 10,00 0,00 -1.000,00 4.641,00

FLUXO B: Valor Futuro no final do 4º ano para Z=$1,00n i PV PMT FV Z = $4.641,00 / 1,21 =2 10,00 -1,00 0,00 1,21 = $3.835,54

EXERCÍCIOS

- Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m.. Calcular os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.Plano A: 12 prestações mensais iguais (série postecipada);Plano B: 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.

Plano A: Prestações mensaisn i PV PMT FV Prestação Mensal12 1,40 -10.000,00 911,10 0,00 $911,099

Plano B: Prestações trimestrais1ª Solução: Usando a taxa trimestral equivalente

n i PV PMT FV3 1,40 -100,00 0,00 104,26 4,2591% a.t.n i PV PMT FV4 4,26 -10.000,00 2.771,74 0,00 = $2.771,74

EXERCÍCIOS

- Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m. Calcular os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.Plano A: 12 prestações mensais iguais (série postecipada);Plano B: 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.

2ª Solução: Desconto de parcelas trimestrais unitáriasn i PV PMT FV Plano B : Prestações Trimestrais3 1,40 0,95915 0,00 -1,006 1,40 0,91997 0,00 -1,00 =(10.000,00 / 3,60784 =9 1,40 0,88239 0,00 -1,00 = $2.771,7412 1,40 0,84634 0,00 -1,00

Soma 3,607843ª Solução: Usando a prestação trimestral equivalente

n i PV PMT FV3 1,40 0,00 -911,099 2.771,74 = $2.771,74

EXERCÍCIOS

- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista, mas aceita financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m. . Determinar as prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00 .

Plano A: Doze prestações mensais iguais (série postecipada).Plano B: Doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas iguais no final de cada semestre.Plano C: Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze

prestações mensais iguais.n i PV PMT FV Plano A : 12 mensais de :12 1,50 -60.000,00 5.500,80 0,00 $5.500,80

Plano B: - Parcela da prestação mensal a ser transferida para o final de cada semestre: = $5.500,80 - $4.000,00 =$1500,80

- Parcela Semestral Equivalenten i PV PMT FV 12 X $4.000,00 (mensais)6 1,50 0,00 1.500,80 -9.349,31 2 X $9.349,31 (semestrais)

EXERCÍCIOS

- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista,ma aceita financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m.. Determinar as prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00.Plano C: Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze

prestações mensais iguais.n i PV PMT FV PLANO C 6 1,50 9.145,42 0,00 -10.000,0012 1,50 8.363,87 0,00 -10.000,00 PV das Parcelas Semestrais

Soma 17.509,30

- Valor Presente das Prestações Mensais = $60.000,00 - $17.509,30 = $42.490,70 - Valor das Prestações Mensais

n i PV PMT FV 2 X $10.000,00 (semestrais)12 1,50 -42.490,70 3.895,55 0,00 12 X $3.895,55 (mensais)

EXERCÍCIOS

- Um financiamento com principal de $50.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais dede $3.000,00 e mais duas intermediárias. Determinar o valor das intermediárias para que a taxa efetiva de juros seja de 1,5 % ao mês.

n i PV PMT FV - PV das 10 prestações mensais10 1,50 27.666,55 -3.000,00 0,00

- PV das intermediárias = $50.000,00 - $27666,55 = $22.333,45n i PV PMT FV - PV das 2 intermediárias para X= $1,007 1,50 0,9010268 0,00 -1,003 1,50 0,9563170 0,00 -1,00

Soma 1,8573438

X= $22.333,45 / 1,8573438 = = $12.024,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Mês

PV = $50.000,00 X = ?X = ?

PMT = $3.000,00

EXERCÍCIOS

- Determinar o valor da prestação mensal do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa efetiva de 1,2% ao mês.

n i PV PMT FV - PV das parcelas semestrais6 1,20 2.792,79 0,00 -3.000,00

12 1,20 2.599,89 0,00 -3.000,00Soma 5.392,68

PV das parcelas mensais: = $10.000,00 - $5.392,68 = $4.607,32n i PV PMT FV - PV de 10 parcelas para X = $1,0011 1,20 10,24751 -1,00 0,00 X = $4.607,32 / 9,31658 =6 1,20 -0,93093 0,00 1,00

Soma 9,31658 = $ 494,53

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PV = $10.000,00

X = ?X = ?

$3.000,00 $3.000,00

Mês

EXERCÍCIOS

FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS

Até agora temos considerado problemas que

envolvem apenas um único fluxo de caixa, também chamado de pagamentos simples, isto é,

restringimos a nossa atenção ao valor futuro de uma única quantia no presente ou o valor presente

de um único fluxo de caixa futuro.

Obviamente, isso limita bastante. Afinal de contas, a maioria dos investimentos do mundo real envolve

muitos fluxos de caixa ao longo do tempo.

Quando existirem muitos pagamentos, você ouvirá as pessoas de negócios se referirem a uma série de

fluxos de caixa.

FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS

Imagine que você espera comprar um computador em 2 anos depositando hoje numa aplicação que paga 8% a.a. de juros, o valor de $1.200, e outros $ 1.400 daqui a 1 ano. Quanto você

deverá gastar no computador nesses dois anos?

Essas figuras de linha do tempo são muito úteis para resolver problemas complexos. Toda vez que você encontrar dificuldades com um problema, desenhe a linha do tempo, que geralmente

lhe ajudará a entender o que está passando.

EXERCÍCIOS1. Suponhamos que a compra do computador possa ser adiada por mais 1 ano e

que você consiga fazer um terceiro depósito de $ 1.000 no final do segundo ano. Quanto estará disponível para gastar de agora a 3 anos? Resp: $

4.224,61

2. Você acha que será capaz de depositar $ 4.000 ao final de cada um dos três próximos anos em uma aplicação bancária que rende 8% de juros.

Atualmente, você possui $ 7.000 nessa aplicação. Quanto você terá em três anos? E em quatro? Resp: $ 21.803,58 e $23.547,87

3. Considere um investimento de $ 2.000 ao final de cada ano durante os próximos cinco anos. O saldo atual é zero e a taxa é de 10% a.a. Calcule o

valor futuro deste investimento, desenhando a linha do tempo.

4. Se você aplicar $ 100 daqui a um ano, $ 200 daqui a dois anos e $ 300 daqui a três anos, quanto você terá em três anos? Quanto deste montante é

representado por juros? Quanto você terá em cinco anos se não realizar nenhuma aplicação adicional? Suponha uma taxa de juros igual a 7% durante

o período. Resp: $ 628,49; $ 28,49; $ 719,56

5. Monte todos estes exercícios anteriores numa planilha Excel e resolva-os por meio dela.

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo F

Coeficiente de FinanciamentosÉ muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos

qualquer tipo de financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente do financiamento, apura as prestações.

Financiamento x Coeficiente Financeiro = Prestações O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator de

valor presente.

– Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no Arrendamento Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de eletrodomésticos.

• Se quisermos encontrar o coeficiente de financiamento na HP-12C, fazemos assim:

1 CHS PVTaxa iN n

Coeficiente de FinanciamentosEXEMPLOAdmita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente

financeiro a ser liquidado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, atinge 0,189346 (seis casas decimais, geralmente).

a. Qual o valor das prestações de um financiamento de $ 16.000?b. Qual a taxa de juros?

SoluçãoFinanciamento x Coeficiente Financeiro = Prestaçõesa. PMT = 16.000 x 0,189346 = 3.029,54

b. .... 3,77% a.m.16000 CHS PV3029,54 PMT6 nEncontrar i

Coeficiente de FinanciamentosEXERCÍCIOS1. Construir o coeficiente de financiamento de um contrato

envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Resp: 0,086825

2. Uma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento. Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos:

a. Coeficiente = 0,119153, pagamento = 10 prestações mensais, iguais e sucessivas

b. Coeficiente = 0,307932, pagamento = 4 prestações, trimestrais, iguais e sucessivas.

Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal.

Coeficiente de FinanciamentosPerpetuidadesEsta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa

são perpétuos. Por esta razão, obviamente, não podemos avaliá-las

descontando todos os fluxos de caixa e nem tão pouco aplicando a fórmula diretamente.

Felizmente, a avaliação é extremamente simples, e isto pode ser visto com um pouquinho de matemática.

No caso de uma perpetuidade, temos:

Coeficiente de FinanciamentosPerpetuidades – Exemplo:Suponha que a Fellini Co. queira emitir ações preferenciais a um preço de $100

por ação.Uma emissão, já realizada, muito semelhante de ações preferenciais obteve um

preço de$40 por ação, mediante uma oferta de dividendos trimestrais de $ 1. Qual é o dividendo que a Fellini deveria oferecer, se suas ações preferenciaisfossem emitidas?

SoluçãoA emissão que já ocorreu possui um valor presente de $ 40 e um fluxo de caixatrimestral de $ 1 para sempre. Como é uma perpetuidade:

VP = PGTO i = 1 . i = 0,025 * 100 = 2,5% a.t. i 40.Para ser competitiva, a nova emissão da Fellini também deverá oferecer um

rendimentotrimestral de 2,5%; portanto, para que o valor presente seja $ 100, os dividendosprecisam ser iguais a $ 2,5 por trimestre.

• AtividadeResolver Estudo de Caso – material do programa deste módulo

Sistema de Amortização Americano

Sistema de Amortização Francês ou Tabela Price (TP)

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Sistemas de Financiamento

Nem sempre as empresas possuem capital próprio para investir em um dado projeto Oportunidades não esperarão que a empresa poupe o suficiente para investir.Como consequência, as empresas terão de lançar mão de empréstimos.

Debate sobre o texto Sistemas de Amortização

Sistemas de Financiamento

Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente; o valor emprestado é pago no final do prazo estipulado para o empréstimo.

Chamando de VP o valor emprestado à taxa i, os juros pagos em cada período são iguais e calculados como: Juros = VP . i

Terminado o prazo, o devedor, no último pagamento, além dos juros, paga o capital emprestado (VP).

SISTEMA AMERICANO

•EXEMPLO•Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos mensalmente?

SISTEMA AMERICANO

Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00, correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar a dívida.

n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 10.000 - 100.0001 10.000 10.000 - 100.0002 10.000 10.000 - 100.0003 10.000 10.000 - 100.0004 110.000 - - -

•EXEMPLO• Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos mensalmente?

SISTEMA AMERICANO

Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00, correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar a dívida.

n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 10.000 - 100.0001 10.000 10.000 - 100.0002 10.000 10.000 - 100.0003 10.000 10.000 - 100.0004 110.000 - - -

SISTEMA PRICE, FRANCÊS OU DE PRESTAÇÕES CONSTANTESPor esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor.

O número de prestações varia em cada contrato. Suponha-se o empréstimo VP, feito à taxa i para ser pago em n prestações, pelo sistema PRICE- Método mais empregado no Brasil- Pagamento em Parcelas Constantes- Cálculo da Parcela:

- Expressão da Série Anual Uniforme

PMT = PV (( i (1+i)n ) / ((1+i)n – 1))

Tabela Price

•EXEMPLO• Considerando, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Sistema PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor. Consequentemente, as amortizações são cada vez maiores para que, somadas aos juros, totalizem prestações iguais.

n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 - - 100.000,001 31.547,08 10.000,00 21.547,08 78.452,912 31.547,08 7.845,29 23.701,79 54.751,133 31.547,08 5.475,11 26.071,97 28.679,164 31.547,08 2.867,92 28.679,16 -

Tabela Price

Pelo fato de a amortização ser constante, a série de pagamentos não é uniforme!O seguinte procedimento é tomado:Calculam-se inicialmente as amortizações:

Calcula-se o saldo devedor em todos os anos

Calcula-se os juros, sobre o saldo devedor:SD = PV - Amort

Amort = PV / n

Juros = PV . i

Sistema de Amortização Constante - SAC

Considerando, mais uma vez, o mesmo empréstimo de R$100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no sistema SAC, fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor. Consequentemente, as amortizações sendo iguais, que somadas aos juros, totalizem prestações decrescentes.

n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 - - 100.000,001 35.000,00 10.000,00 25.000,00 75.000,002 32.500,00 7.500,00 25.000,00 50.000,003 30.000,00 5.000,00 25.000,00 25.000,004 27.500,00 2.500,0 25.000,00 -

Sistema de Amortização Constante - SAC

Acordo entre tomador de empréstimo e financiador, habilitando que, durante um certo período de tempo, apenas os juros sejam cobrados, sem pagamento de amortização.Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado através de algum método pré-determinado dois tipos de carência são abordados:Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal são devidosCaso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum; nem de juros sobre o saldo devedor, nem de amortização do principal.Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando um saldo devedor maior.

Carência

Financiamento de 60% do valor total de um investimento, no valor de R$ 10 milhões, prazo total de 10 anos, com 2 anos de carência, a juros de 10% ao ano. Fazer a projeção do financiamento utilizando-se o método Francês (Tabela Price) para os casos 1 e 2, anteriormente citados.

Carência

Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, de R$ 10.000.000,00 . (10%) = R$ 1.000.000,00 Tabela Price (em $000)

(A) (B) (C) (D) (E) (F)Parcela Pgto. Juros Amort Acum Saldo

1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,002 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,003 R$ 1.874,44 R$ 1.000,00 R$ 874,44 R$ 874,44 R$ 9.125,564 R$ 1.874,44 R$ 912,56 R$ 961,88 R$ 1.836,32 R$ 8.163,685 R$ 1.874,44 R$ 816,37 R$ 1.058,07 R$ 2.894,40 R$ 7.105,606 R$ 1.874,44 R$ 710,56 R$ 1.163,88 R$ 4.058,28 R$ 5.941,727 R$ 1.874,44 R$ 594,17 R$ 1.280,27 R$ 5.338,54 R$ 4.661,468 R$ 1.874,44 R$ 466,15 R$ 1.408,29 R$ 6.746,84 R$ 3.253,169 R$ 1.874,44 R$ 325,32 R$ 1.549,12 R$ 8.295,96 R$ 1.704,0410 R$ 1.874,44 R$ 170,40 R$ 1.704,04 R$ 10.000,00 R$ 0,00

Totais R$ 16.995,52 R$ 6.995,52 R$ 10.000,00

Como há ausência de pagamentos de juros nos dois primeiros anos, estes são incorporados ao principal.Utilizando-se a fórmula (10) encontra-se Saldo (F) = 12,1 milhõesA partir daí, a resolução é exatamente igual à anterior, obtendo-se a tabela:

Tabela Price (Em $000)(A) (B) (C) (D) (E) (F)

Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo1 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 11.000,002 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 12.100,003 R$ 2.268,07 R$ 1.210,00 R$ 1.058,07 R$ 1.058,07 R$ 11.041,934 R$ 2.268,07 R$ 1.104,19 R$ 1.163,88 R$ 2.221,95 R$ 9.878,055 R$ 2.268,07 R$ 987,80 R$ 1.280,27 R$ 3.502,22 R$ 8.597,786 R$ 2.268,07 R$ 859,78 R$ 1.408,29 R$ 4.910,51 R$ 7.189,497 R$ 2.268,07 R$ 718,95 R$ 1.549,12 R$ 6.459,64 R$ 5.640,368 R$ 2.268,07 R$ 564,04 R$ 1.704,04 R$ 8.163,68 R$ 3.936,329 R$ 2.268,07 R$ 393,63 R$ 1.874,44 R$ 10.038,12 R$ 2.061,8810 R$ 2.268,07 R$ 206,19 R$ 2.061,88 R$ 12.100,00 R$ 0,00

Totais R$ 18.144,58 R$ 6.044,58 R$ 12.100,00

Total Receitas de MontantePlaNO Pagamento Pago Reaplicações Acumulado

($) (8 % a.a.) Final do 4º AnoA 1.360,49 0,00 1.360,49B 1.320,00 40,49 1.360,49C 1.207,68 152,81 1.360,49D 1.200,00 160,49 1.360,49

"PRICE"S.A.C.

Principal : $ 1.000,00 Taxa de Juros : 8% a.a. Prazo : 4 Anos

Forma de

No FinalJuros Anuais

Exercícios

Matemática Financeira

Matemática Financeira Módulo G

Valor presente, Equivalência e Taxa Interna de Retorno

• Objetivos:– Discutir os principais aspectos

relacionados às séries não uniformes– Avaliação de séries com base em:

• VPL• TIR

Valor presente Líquido (VPL), e Taxa Interna de Retorno (TIR)

• Basicamente, toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa . A avaliação desses fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores presentes, calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e entradas de caixa .Como consideração ao conceito do valor do dinheiro no tempo, raciocínio básico da matemática financeira, coloca-se como fundamental avaliar como adequados os métodos que considerem o fluxo de caixa descontado e que são, a saber, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e Valor Presente Líquido (VPL) .

Valor presente Líquido (VPL)• O método do Valor Presente Líquido (VPL)

para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do empréstimo ou do financiamento) .

• Podemos inferir que o critério de decisão do método do VPL é : “ toda vez que o VPL for igual ou superior a zero, o investimento pode ser aceito ; no caso contrário, deverá ser rejeitado” .

Taxa Interna de Retorno (TIR)• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de

juros (desconto) que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa .

• Geralmente, adota-se a data de início da operação (data zero) como a data focal de comparação dos fluxos de caixa .

• Esta data representa a saída de caixa ou valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento . O demais fluxos serão os de retorno ou recebimentos devidos .

Taxa Interna de Retorno - (IRR)É a taxa de desconto ( i ) que anula o valor presente líquido (NPV) do fluxo de caixa e corresponde a uma das raízes de um polinômio de grau n.

FLUXO DE CAIXAVALOR CF0 CF1 CF2 … CFn

PERÍODO 0 1 2 … n

NPV ( i ) = CF0 + CF1 / (1+ i ) + CF2 / ( 1+ i )2 + … + CFn / ( 1 + i )n

Para x = 1 / ( 1 + i ) obtém-se:

NPV ( IRR ) = CF0 + CF1 . x + CF2 . x2 + … + CFn . xn = 0O número de raízes reais positivas de um polinômio de grau n é, nomáximo, igual ao número de inversões de sinal dos seus coeficientes(regra de sinal de Descartes).

Exercícios 1 e 2- Considerar o fluxo de caixa a seguir e determinar:

- valor presente líquido (NPV) para 8%, 10% e 12% a.a.;- taxa interna de retorno (IRR).

Mês $0 -100,001 0,002 121,00

- PV para 8% a.a.n i PV PMT FV2 8,00 103,74 0,00 -121,00

Fluxo de Caixa

NPV (8%) = (-)$100,00 + $103,74 = = (+) $3,74

0 1 2Anos

(+) $121,00

(+) $103,74

NPV = (+) 3,74

(-) $100,00

Exercícios 1 e 2

- PV para 12% a.a. n i PV PMT FV2 12,00 96,46 0,00 -121,00

- PV para 10% a.a. n i PV PMT FV2 10,00 100,00 0,00 -121,00

- Taxa interna de retornon i PV PMT FV TAXA INTERNA DE RETORNO2 10,00 -100,00 0,00 121,00 10,00% a.a.

Taxa NPV%a.a. ($)0% 21,008% 3,74

10% 0,0012% (3,54)

= $,0,00

NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 = = (-) $3,54

NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =

-5

0

5

10

15

20

25

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%

IRR (10,0 %)

NPV ($)

i (% a.a.)

Exercícios 1 e 2

Mês $0 -100,001 0,002 121,00

- PV para 12% a.a. n i PV PMT FV2 12,00 96,46 0,00 -121,00

- PV para 10% a.a. n i PV PMT FV2 10,00 100,00 0,00 -121,00

- Taxa interna de retornon i PV PMT FV Taxa Interna de Retorno2 10,00 -100,00 0,00 121,00 10,00% a.a.

Fluxo de Caixa

= $,0,00

NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 = = (-) $3,54

NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =

0 1 2Anos

(+)$121,00(-) 100,00

Exercícios 1 e 2

Mês $0 -100,001 0,002 121,00

Taxa NPV%a.a. ($)0% 21,008% 3,74

10% 0,0012% (3,54)

Fluxo de Caixa

0 1 2Anos

(+)$121,00(-) 100,00

-5

0

5

10

15

20

25

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%

IRR (10,0 %)

NPV ($)

i (% a.a.)

Exercícios 3 e 4 Considerar os fluxos de caixa indicados a seguir:

MÊS VALOR ($) MÊS VALOR ($)0 (1000,00) 0 (1000,00)1 260,00 1 260,00

Investimento 2 260,00 2 260,00 Financiamento3 260,00 3 260,004 260,00 4 260,00

Soma 40,00 Soma 40,00 - PV para 1% a.m. (Investimento)

n i PV PMT FV NPV ( 1% ) = (-)$1.000,00 + $1.014,51=4 1,00 1.014,51 -260,00 0,00 =(+) $14,51

- PV para 2% a.m. (Investimento)n i PV PMT FV NPV ( 2 % ) = (-)$1.000,00 + $990,01=4 2,00 990,01 -260,00 0,00 =(-) $9,99

- Taxa Interna de Retornon i PV PMT FV Taxa Interna de Retorno4 1,59 -1.000,00 260,00 0,00 1,5875% a.m.

Mês Valor ($) Mês Valor ($)0 (1000,00) Taxa NPV ($) 0 1000,001 260,00 % a.m. Invest. Financ. 1 (260,00)2 260,00 0% 40,00 (40,00) 2 (260,00)3 260,00 1% 14,51 (14,51) 3 (260,00)4 260,00 2% (9,99) 11,50 4 (260,00)

Soma 40,00 Soma (40,00)

Investimento Financiamento

-50

-30

-10

10

30

50

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%

NPV ($)

INVESTIMENTOIRR (1,5875%)

FINANCIAMENTOi ( % A.M. )

Ano Fluxo deCaixa n i PV PMT FV

0 (11.500,00) 0 10,00 -11.500,00 0,00 11.500,001 2.350,00 1 10,00 2.136,36 0,00 -2.350,002 1.390,00 2 10,00 1.148,76 0,00 -1.390,003 3.350,00 3 10,00 2.516,90 0,00 -3.350,004 4.275,00 4 10,00 2.919,88 0,00 -4.275,005 5.350,00 5 10,00 3.321,93 0,00 -5.350,00

Soma 5.215,00 543,84

IRR 11,54% 543,84 (Excel)(Excel)

Desconto das parcelas com 10% a.a.

Soma

NPV

Ano Fluxo de Taxa (% a.a.) NPVCaixa 0% 5.215,00

0 (11.500,00) 4% 3.074,481 2.350,00 6% 2.150,832 1.390,00 8% 1.310,343 3.350,00 10% 543,844 4.275,00 12% (156,65)5 5.350,00 1000000% (11.499,77)

Soma 5.215,00 IRR 11,54%-1.000

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%

NPV ($)

IRR = 11,54%

Taxa (% a.a.)

Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)

Ano Fluxo de SOLUÇÃO COM A HP- 12 C - TECLAS CFO, CFj

Caixa0 (11.500,00) f REG1 2.350,00 11500 CHS g CF0 0 i f NPV $5.215,00 2 1.390,00 2350 g CFj 10 i f NPV $543,843 3.350,00 1390 g CFj 12 i f NPV - $156,654 4.275,00 3350 g CFj

5 5.350,00 4275 g CFj f IRR 11,54%

Soma 5215,00 5350 g CFj

IRR 11,54%(Excel)

Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)

Ano Fluxo deCaixa n i PV PMT FV

0 (40.000,00) 0 8,00 -40.000,00 0,00 40.000,001 3.500,00 1 8,00 3.240,74 0,00 -3.500,002 7.500,00 2 8,00 6.430,04 0,00 -7.500,003 7.500,00 3 8,00 5.953,74 0,00 -7.500,004 7.500,00 4 8,00 5.512,72 0,00 -7.500,005 15.000,00 5 8,00 10.208,75 0,00 -15.000,006 15.000,00 6 8,00 9.452,54 0,00 -15.000,00

Soma 16.000,00 798,54

IRR 8,53% 798,54 (Excel)(Excel)

Soma

Desconto das parcelas com 8% a.a.

NPV

Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)

Ano Fluxo de Taxa (% a.a.) NPVCaixa 0% 16.000,00

0 (40.000,00) 4% 7.561,681 3.500,00 5% 5.731,232 7.500,00 6% 3.997,993 7.500,00 7% 2.355,694 7.500,00 8% 798,545 15.000,00 9% -678,846 15.000,00 1000000% -39.999,65

Soma 16.000,00 IRR 8,53%

-5.000

0

5.000

10.000

15.000

20.000

0% 2% 4% 6% 8%

NPV ( $ )

IRR = 8,53 % a.a.

Taxa (% a.a.)

Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)

Ano Fluxo deCaixa

0 (40.000,00) f REG1 3.500,00 40000 CHS CHS g CF0 0 i f NPV $16.000,002 7.500,00 3500 g CFj 8 i f NPV $798,543 7.500,00 7500 g CFj 9 i f NPV - $678,844 7.500,00 3 g Nj5 15.000,00 15000 g CFj f IRR 8,53%6 15.000,00 2 g Nj

Soma 16.000,00

IRR 8,53%(Excel)

SOLUÇÃO COM HP12C - TECLAS CFO, CFj e Nj

Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)

Datas Dias Mês Valores GRÁFI CO DO NPV x TAXA DE DESCONTO( $ )

1/mar - 0 (20.600,00)31/mar 30 1 7.000,0030/abr 60 2 7.000,0030/mai 90 3 7.000,00Soma 400,00

NPV% a.m. % a.a. XNPV

0% 0,00% 400,000,71082% 9,00% 104,950,93582% 12,00% 13,001,15535% 15,00% -76,06

Taxa de Desconto

-100

0

100

200

300

400

500

0,0% 3,0% 6,0% 9,0% 12,0% 15,0%

NPV ($)

Taxa (% a. a.)

IRR ( 12,432 %a.a. )