Matemática Financeira
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Matemática Financeira
Matemática Financeira - Valor do Dinheiro no Tempo
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo A
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Módulo A – Introdução a Matemática Financeira
• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser
capaz de :• Compreender a importância do valor do
dinheiro no tempo, da Matemática Financeira na vida das pessoas e das empresas.
• Conceituar Taxa de Juros e Diagrama do Fluxo de Caixa e critérios de capitalização dos juros
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Módulo A – Introdução a Matemática Financeira
• - Porque estudar o Valor do Dinheiro no Tempo?
• - Importância de se fazer um Planejamento Financeiro
• - Porque estudar Matemática Financeira?
• - Objetivos da Matemática Financeira
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Módulo A – Introdução a Matemática Financeira
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Texto 1 ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto
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Módulo A – Introdução a Matemática Financeira
• Organize sua vida financeira e descubra que possui mais recursos do que pensa ter para investir.
• Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda:
- Para onde vai o meu dinheiro?- Por que investir?- Mantenho minhas aplicações ou pago minhas
dívidas?- Como selecionar meus objetivos?- Quais são as minhas opções de investimentos?
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Exemplo:• Se um amigo lhe pedisse $ 1.000,00 para
lhe pagar os mesmos $ 1.000,00 daqui a um ano, o que você acharia ?
• Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos!!!
• Alguns pontos vêm a mente:– Será que ele vai me pagar?– Será o poder de compra dos $ 1.000,00 daqui
a um ano será o mesmo?– Se eu permanecesse com os $ 1.00,00, poderia
aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos?
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• Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.
• Ao transportar valores no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em:
– inflação– risco de crédito– taxa real de juros
• Nunca some valores em datas diferentes
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• Objetivos da Matemática Financeira
- Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo.
- Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.
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• Fluxo de Caixa
- Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de duração.
• As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira.
• As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.
• As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.
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0 1 2 3 … n
(-)$
(+)$
(-)$
(-)$
(+)$
(-)$
TEMPO
Convenção de Final de PeríodoValores que ocorrem ao longo dos períodos são representados nos finais dos respectivos períodos.
Unidades de TempoAno; Semestres; Trimestres; Meses e Dias
Fluxo de Caixa - Convenções
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Valor do dinheiro no tempo• DEFINIÇÕES DE JUROS• - Remuneração do dinheiro aplicado.• - Custo do dinheiro tomado emprestado.
• REGIMES DE JUROS• - Juros simples (Linear, Progressão Aritmética)• - Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica)
• TAXAS DE JUROS• ___% a.d. (diárias) ___% a.a. (anuais)• ___% a.s. (semestrais) ___% a.t. (trimestrais) • ___% a.m. (mensais)• Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!
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Simbologia e Convenções Adotadas
0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i i i i
TabelasHP
Excel
ii
0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i i i i i i
HPExcel
• Final de período -Type =0 Início de período - Type = 1
• Série postecipada (END) Série antecipada (BEGIN)
• n - Número de períodos de capitalização de juros;• i - Taxa de juros em cada período, em %;• PV - Valor presente, capital inicial aplicado;• FV - Valor futuro, montante no final de n períodos;• PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor que
ocorrem no final (end) ou no início de cada período (begin)
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• “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (PV) e o que é cobrado no período de tempo futuro (FV), quer seja ano, mês ou dia
J = FV – PV J = PV . i
Conceitos Gerais - Juros
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Conceitos Gerais - Juros
• A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.
• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de:
Juro = 1000 / 100 x 20 = Juro = 10 x 20 = 200 200 = remuneração do capital investido.
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Conceitos Gerais - Juros• A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital.
Reflete o rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada.
• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de:
Juro = 1000 x 20 / 100 = Juro = 1000 x 0,20 = 200 200 = remuneração do capital investido.
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Regimes de Juros• JUROS SIMPLES• Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital
inicial aplicado (principal).• Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de
ficarem retidos pela instituição financeira.• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em
progressão aritmética
• JUROS COMPOSTOS• Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no
início do respectivo período.• Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela
instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.
• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial ou em progressão geométrica).
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Próximo Módulo: Trabalharemos – Juros Simples
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo B
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Módulo B – Juros Simples
• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser
capaz de:• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros
simples, através de exercícios.• Conceituar – Montante e Capital • Compreender o significado de taxa
proporcional, juro exato e comercial.
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Módulo B – Juros Simples
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples
![Page 22: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/22.jpg)
• As parcelas adicionais são dadas por um valor proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação
• Combinando as equações
Jn = PV . i . n FV = PV + Jn
FV= PV . ( 1+ i . n )
• PV é o capital inicial;• FV é o montante no final do
período n.• Jn são os juros acumulados até
o final de n períodos de capitalização;
• n é o número de períodos capitalizados;
• i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.
Módulo B – Juros Simples
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• Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00 capitalizados a 8% ao ano em quatro anos?
• Extrai-se do enunciado diretamente que PV = 1.000, i = 8% ao ano e n = 4 anos.
J = PV. i. n
J = 1.000× 0,08× 4 = 320
FV = PV + J
FV = 1.000 + 320 = 1.320
Exemplo - Juros Simples
De outra forma:
FV = PV × (1+ i × n)
FV = 1.000 × (1+0,08× 4)
FV = 1.320,00Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!
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Capital inicial aplicado: $1.000,00 Prazo: 4 anosTaxa de juros simples: 8,00% a.a. Juros de cada ano: 8% de $1.000,00 = $80,00
ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no finalinício do ano do ano antes ano do ano após
do ano pagamento pagamento0 1.000,00 1.000,001 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,002 1.080,00 80,00 1.160,00 0,00 1.160,003 1.160,00 80,00 1.240,00 0,00 1.240,004 1.240,00 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00
0 1 2 3 4
(+) $1.320,00(+) $1.000,00
Anos
Fluxo de Caixa
Pagamento dos juros no final do prazo
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Capital inicial aplicado: $1.000,00 Prazo: 4 anosTaxa de juros simples: 8,00% a.a. Juros de cada ano: 8% de $1.000,00 = $80,00
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
0 1 2 3 4
Juros simplescresc. linear
Saldo
Anos
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EXERCÍCIOS• 1. Que montante receberá um investidor que tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, à taxa
de 3% ao mês?
• SOLUÇÃO:• O problema pede o valor resgatado (montante) e não os juros. Para isso basta adicionar os juros ao
capital inicial. Assim, temos:VP = R$ 280,00 .......capital inicial ou principaln = 15 mesesi = 3% a.m. = 0,03 a.m.
• Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem:VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00, isto é,VF = R$ 406,00
• Solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo:J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00 ou sejaVF = R$ 406,00
• Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:f FIN ...limpa os dados dos registros financeiros f 2 ...estabelece o número de casas decimais280 CHS PV ...muda o valor atual para negativo e armazena em PV 3 ENTER 12 x i ...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12)15 ENTER 30 x n ...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30)f INT ... Com este comando a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: R$ 126,00
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EXERCÍCIOS• 1. Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e,
ao resgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00.– a. Quanto recebeu de juros?– b. A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período?
• 2. Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou, antecipadamente, 22% de juros, conforme previa o contrato.– a. Quanto pagou de juros?– b. Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual foi a
quantia efetivamente liberada?
• 3. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples.
• 4. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras:– a. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00
após dois anos.– b. A compra de um objeto, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações
mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra.– c. Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês
durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito.
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EXERCÍCIOS
5.Qual o capital inicial para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples?Resp: 86.047,00.
6. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada? Resp: 42% ao ano.
7. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 832.000,00?
Resp: 3 meses.
8.Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16,54 , sendo R$ 4,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resp: 3,5% ao mês.
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Taxas de Juros-TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção direta com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
- Juro Exato Calendário do ano civil (365 dias)- Juro Comercial que admite o mês com 30 dias e o ano com
360 diasSendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à fração 1/k do período, temos:
EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano?Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:• i12 = 30/12 = 2,5 isto é 2,5% a . m.
![Page 30: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/30.jpg)
• EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• 1. Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em:a . Anos b. meses c. dias Resp:- 2,28 anos; 27,4 meses; 832 dias
• 2. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? Resp:- 16,8% a . a .
• 3. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,00
• 4. Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade. Resp:- 6% a . m.
• 5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? Resp:- R$ 200.000,00
• 6. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m., pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias. Resp:- R$ 263.040,00 e R$ 463.040,00
• 7. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital. Resp:- R$ 300.000,00
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo C
![Page 32: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/32.jpg)
• Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser
capaz de:• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros
compostos, através de exercícios.• Conceituar – Taxa Nominal e Efetiva• Compreender o significado de taxas
equivalentes.
Módulo C – Juros Compostos
![Page 33: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/33.jpg)
• Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital
• Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras
FV = PV x (1+i)n
• PV é o capital inicial;
• FV é o capital disponível ou exigível no final do período n, ou
montante;
Juros Compostos
• n é o número de períodos capitalizados;
• i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.
![Page 34: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/34.jpg)
Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?
Período(anos)
Saldo devedorinício período
Jurosperíodo
Saldo devedor fim período
0 0 0 100,001 100,00 50,00 150,002 150,00 75,00 225,003 225,00 112,50 337,504 337,50 168,75 506,255 506,25 253,12 759,37
Note que os juros em cada período equivalem a 50% do saldo devedor no início do mesmo
período
Exemplo:
![Page 35: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/35.jpg)
Aplicando a fórmula:•Suponha que você coloque $1.000 (VP) numa aplicação rendendo uma taxa de juros (i) de 10% a.a. A quantia que você terá daqui a cinco anos, assumindo que você não sacou nada da conta antes disso, é chamada valor futuro (VF).
Seu valor futuro no final do ano 5 seria, então:VF = VP x (1 + i)n =
VF = 1.000 x (1 + 0,10)5
VF = 1.000 x 1,61051 => Fator de capitalizaçãoVF = 1.610,51
Taxa ( i ) e Número de Períodos
( n ) devem estar sempre na
mesma base!!
![Page 36: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/36.jpg)
Fórmulas de Juros Compostos
( ) niVPVF += 1
( ) niVFVP+
=1
111
-÷øöç
èæ=-=
nn
VPVF
VPVFi
)1log(
log
iVPVF
n+
÷øöç
èæ
=
![Page 37: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/37.jpg)
Funções Financeiras da HP 12C
[n]: abastece ou calcula o número de períodos
[i]: abastece ou calcula a taxa de juros
[PV]: abastece ou calcula o Valor Presente[PMT]: abastece ou calcula a Prestação
[FV]: abastece ou calcula o Valor Futuro
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PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FVExercício 1Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de1% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal de $2.000,00.
Dados:PV = $2.000,00
i = 1,0% a.m. n = 24 meses
Juros Compostos:n i PV PMT FV24 1,00 -2.000,00 0,00 ? 2.539,47
VF = VP x (1 + i)n =VF = 2.000 x (1 + 0,01)24
VF = 2.000 x 1,261973VF = 2.539,47
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Exercício 2Determinar o principal necessário para produzir um montante de$1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., no regime de juros compostos.
Dados:FV= $1.000,00
i = 1,25 % a.m.n = 2 ANOS = 24 meses
Juros Compostos:n i PV PMT FV24 1,25 ? 0,00 1.000,00 -742,20
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
VP = VF / (1 + 0,0125)24
VP = 1.000 / 1,34735VP = 742,20
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PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FVExercício 3Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses,no regime de juros compostos?
Dados :PV = $1.000,00FV= $1.150,00n = 10 meses
Juros Compostos :n i PV PMT FV10 ? 1.000,00 0,00 -1.150,00 1,40743% a.m.
VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n
VP 1.150 = (1 + i)1/10 = 1,151/10 = ((1 +
i)1/10)1/10
1.0001,0140743 = 1 + i
I = 0,0140743 * 100 = 1,40743% a.m.
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Exercício 4Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimesde juros compostos?
Dados:PV = $100,00FV = $200,00
i = 6,0% a.a.
Juros Compostos :n i PV PMT FV? 6,00 100,00 0,00 -200,00 11,896 anos
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n
VP log VF
n =. VP = log (1 + 0,06)
n = 0,30103. = 11,89 anos 0,02531
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Taxas de JurosTaxa efetivaUnidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Ex: 3% ao mês (capitalizados mensalmente)12% ao ano (capitalizados anualmente)
Taxas proporcionais - juros simples No regime de juros simples, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmoprazo, produzem um mesmo montanteEx: 1% a.m. = 3 % a.t. = 6 % a.s. = 12 % a.a.
Taxas equivalentes - juros compostosNo regime de juros compostos, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmoprazo, produzem um mesmo montante.
ia = 2 x is = 4 x it = 12 x im = 360 x id
( 1 + ia ) = ( 1 + is )2 = ( 1 + it )
4 = ( 1 + im )12 = ( 1 + id )360
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Taxas de Juros-TAXAS EQUIVALENTES• Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo
capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 à
taxa de 4% ao mês, durante 6 meses à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres
SOLUÇÃO• No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00• No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00• Como os juros são iguais, podemos dizer que:
4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes
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Taxas de JurosTaxa nominal ( in )
Unidade de tempo é anual e não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.Ex: 12 % a.a. capitalizados mensalmente; 24% a.a. capitalizados trimestralmente.
A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, que é obtida através de taxas proporcionais, a juros simples, conforme indicado abaixo:
Taxa efetiva implícita
diário id = in / 360
mensal im = in / 12
trimestral it = in / 4
semestral is = in / 2
Outras denominações de taxas :
Taxa Real x Taxa Aparente (inflação)Taxa Bruta x Taxa Líquida (impostos)
Período de capitalização taxa in
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Problemas
Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,00% a.m.?n i PV PMT FV12 1,00 -100,00 0,00 112,68 12,682503% a.a.
Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 10,00% a.a.?n i PV PMT FV12 0,80 -100,00 0,00 110,00 0,797414% a.m.
Qual a taxa diária equivalente à taxa de 1,50% a.m.? n i PV PMT FV30 0,05 -100,00 0,00 101,50 0,049641% a.d.
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Problemas
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa de 3,00% a.t.?n i PV PMT FV 1ª solução: (PV / FV)4 3,00 -100,00 0,00 112,55 12,550881% a.a.
n i PV PMT FV 2ª solução: (PMT / FV)4 3,00 0,00 -3,00 12,55 12,550881% a.a.
Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9,00% a.a.,capitalizados mensalmente? Taxa Efetiva Implícita : 9 % / 12 = 0,75 % a.m.
n i PV PMT FV 1ª solução: ( PV / FV )12 0,75 -100,00 0,00 109,38 9,380690% a.a.
n i PV PMT FV 2ª solução: ( PMT / FV )12 0,75 0,00 -0,75 9,38 9,380690% a.a.
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Problemas
Qual o montante acumulado no final de dois anos a partir de um principal de $1.000,00, aplicado a uma taxa de 9% a.a. capitalizadosmensalmente?Taxa efetiva implícita: 9% / 12 = 0,75 % a.m.
Taxa Anual Equivalenten i PV PMT FV12 0,75 -100,00 0,00 109,38 9,380690% a.a.
1ª solução: Tempo em meses e taxa mensaln i PV PMT FV24 0,75 -1.000,00 0,00 1.196,41 $1.196,41
2ª solução: Tempo em anos e taxa anualn i PV PMT FV2 9,38 -1.000,00 0,00 1.196,41 $1.196,41
9,380690
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ProblemasDeterminar as taxas efetivas mensais, a juros compostos, de uma aplicação financeira realizada a 1,50% a.m., juros simples, com prazos 15, 30 e 45 dias.Juros Simples
Taxa diária das 3 operações = 1,50% / 30 = 0,05 % a.d.Juros compostos:
n i PV PMT FV0,50 1,51 -100,00 0,00 100,75 1,505625% a.m.15 0,05 -100,00 0,00 100,75 0,049826% a.d.
n i PV PMT FV1,00 1,50 -100,00 0,00 101,50 1,500000% a.m.30 0,05 -100,00 0,00 101,50 0,049641% a.d.
n i PV PMT FV1,50 1,49 -100,00 0,00 102,25 1,494431% a.a45 0,05 -100,00 0,00 102,25 0,049458% a.d.
Prazo de 15 dias
Prazo de 30 dias
Prazo de 45 dias
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo D
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• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:
• Desenvolver e aplicar as fórmulas de desconto Comercial - “por fora” e desconto Racional - “por dentro”
• Definir Valor Nominal e Valor Atual.
Módulo D – Desconto
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DESCONTO
• Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.
• O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
• Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
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• A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
• A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
• A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
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• As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.
Além disso: dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação;
• valor nominal (VN ) (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
• valor atual (VA) é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: VA = VN - desconto
• tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro.
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DESCONTO (d) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é,
a diferença entre o valor nominal e o valor atual :
d = VN - VA.• O desconto pode ser feito considerando-se como capital o
valor nominal ou valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.
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• DESCONTO BANCÁRIO
• Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada.
• Sejam d o valor de desconto comercial, VN o valor nominal do título, VA o valor atual comercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto, então:
d = VN . i . n
• O valor atual bancário é dado por:VA = VN (1 – i . n)
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EXERCÍCIOS1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao
mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a . o valor do desconto comercial
b . o valor atual comercial
• Solução
dados : VN = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 dias
• a. d = VN . i . n = 60.000 x 0,021 x 1,5 (um mês e meio) = d = R$ 1.890,00
• b. VA = VN – d VA = 60.000 – 1.890 = R$ 58.110,00 VA = R$ 58.110,00
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• DESCONTO RACIONAL
• Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
• VA = . VN . (1 + i . n)
Onde d (desconto racional) é igual :
• d = VN - VA
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• EXERCÍCIOS• 1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1%
ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
• a . o valor atual racional• b . o valor do desconto racional
• SOLUÇÃO• VN = R$ 60.000,00 i = 2,1% a .m. = 0,021 a . m. n = 45 dias =
1,5 meses
• a. VA = . 60.000 . ( 1 + 0,021 . 1,5)
VA = 58.167,72
• b. d = VN – VA d = 60.000 – 58.167,72 d = 1.832,28
![Page 59: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/59.jpg)
Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo E
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• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:- Desenvolver e entender a importância da
Matemática Financeira nos fluxos de caixa, permitindo o correto entendimento e uso de seus resultados.
- Equivalência de dois ou mais capitais.
Módulo E – Fluxo de Caixa – Série de Pagamentos - PMT
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Fluxo de Caixa Representa uma série de pagamentos ou de
recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.
- Podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência:
1. Quanto ao número de prestações: Finitas: quando ocorrem durante um período pré-
determinado de tempo
2. Quanto à periodicidade dos pagamentos:Periódicas: quando os pagamentos ocorrem a intervalos
constantesNão periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos
acontecem em intervalos irregulares de tempo
![Page 62: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/62.jpg)
Fluxo de Caixa 3. Quanto ao valor das prestações:
Uniformes: quando as prestações ou anuidades são iguais. Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos
apresentam valores distintos.
Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.
4. Quanto ao prazo de pagamentos:
Postecipadas: quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período
Antecipadas: quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, no início da série
![Page 63: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/63.jpg)
Fluxo de Caixa 5. Quanto ao primeiro pagamento:
Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do
financiamento e a data de pagamento da primeira prestação.
Não Diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou
recebimento
![Page 64: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/64.jpg)
Equivalência Financeira e Fluxos de Caixa
A Equivalência Financeira esta presente nas tomadas de decisões financeiras, pois seus
resultados define os melhores planos de empréstimos; financiamentos mais atraentes; em propostas de refinanciamento e reescalonamento
de dívidas; etc.Definição: dois ou mais fluxos de caixa são
equivalentes quando produzem idênticos valores presentes (PV) num mesmo momento,
convencionando-se determinada taxa de juros.
![Page 65: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/65.jpg)
Fórmula para séries uniformes
PMT = PV i ( 1 + i )n
( 1 + i )n -1
Onde: PMT = Pagamento periódico igual
n = número de pagamentosPV = Valor Presente
i = taxa de juros
![Page 66: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/66.jpg)
Fórmula para séries uniformes
Onde: PMT = Pagamento periódico igual
n = número de pagamentosFV = Valor Futuroi = taxa de juros
FV = PMT [ ( 1 + i )n - 1 ]
i
![Page 67: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/67.jpg)
( )( ) ( ) m n
n
ii
iiPVPMT +×-++= 111
1Fórmula para séries uniformes
Onde: PMT = Pagamento periódico igual
m = carência em número de períodosn = número de pagamentos
PV = Valor Presentei = taxa de juros
![Page 68: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/68.jpg)
- Verificar se os fluxos de caixa dos planos A, B, C e D são equivalentes a 6% a.a.
Anos Plano A Plano B Plano C Plano D Equivalência a 6 % a.a.0 100.000,001 - 20.336,26 28.859,15 - PV do Plano A : $100.000,002 - 20.336,26 28.859,15 -3 - 20.336,26 28.859,15 - PV do Plano B : $100.000,004 20.336,26 28.859,15 -5 20.336,26 - - PV do Plano C : $100.000,006 - 20.336,26 - 141.851,91
Soma 100.000,00 122.017,58 115.436,60 141.851,91 PV do Plano D : $100.000,00
Resp. : Os quatro fluxos de caixa são equivalentes a 6 % a.a.pois os seus valores presentes à essa taxa são iguais
EXERCÍCIOS
![Page 69: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/69.jpg)
- Calcular o valor de Z para que os fluxos de caixa sejam equivalentes a 10 % a.a.Ano Fluxo A Fluxo B
0 -1 1.000,00 -2 1.000,00 Z3 1.000,00 -4 1.000,00 -
SOMA 4.000,00 ZFLUXO A: Valor Futuro no final do 4º ano
n i PV PMT FV4 10,00 0,00 -1.000,00 4.641,00
FLUXO B: Valor Futuro no final do 4º ano para Z=$1,00n i PV PMT FV Z = $4.641,00 / 1,21 =2 10,00 -1,00 0,00 1,21 = $3.835,54
EXERCÍCIOS
![Page 70: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/70.jpg)
- Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m.. Calcular os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.Plano A: 12 prestações mensais iguais (série postecipada);Plano B: 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.
Plano A: Prestações mensaisn i PV PMT FV Prestação Mensal12 1,40 -10.000,00 911,10 0,00 $911,099
Plano B: Prestações trimestrais1ª Solução: Usando a taxa trimestral equivalente
n i PV PMT FV3 1,40 -100,00 0,00 104,26 4,2591% a.t.n i PV PMT FV4 4,26 -10.000,00 2.771,74 0,00 = $2.771,74
EXERCÍCIOS
![Page 71: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/71.jpg)
- Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m. Calcular os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.Plano A: 12 prestações mensais iguais (série postecipada);Plano B: 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.
2ª Solução: Desconto de parcelas trimestrais unitáriasn i PV PMT FV Plano B : Prestações Trimestrais3 1,40 0,95915 0,00 -1,006 1,40 0,91997 0,00 -1,00 =(10.000,00 / 3,60784 =9 1,40 0,88239 0,00 -1,00 = $2.771,7412 1,40 0,84634 0,00 -1,00
Soma 3,607843ª Solução: Usando a prestação trimestral equivalente
n i PV PMT FV3 1,40 0,00 -911,099 2.771,74 = $2.771,74
EXERCÍCIOS
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- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista, mas aceita financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m. . Determinar as prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00 .
Plano A: Doze prestações mensais iguais (série postecipada).Plano B: Doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas iguais no final de cada semestre.Plano C: Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze
prestações mensais iguais.n i PV PMT FV Plano A : 12 mensais de :12 1,50 -60.000,00 5.500,80 0,00 $5.500,80
Plano B: - Parcela da prestação mensal a ser transferida para o final de cada semestre: = $5.500,80 - $4.000,00 =$1500,80
- Parcela Semestral Equivalenten i PV PMT FV 12 X $4.000,00 (mensais)6 1,50 0,00 1.500,80 -9.349,31 2 X $9.349,31 (semestrais)
EXERCÍCIOS
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- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista,ma aceita financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m.. Determinar as prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00.Plano C: Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze
prestações mensais iguais.n i PV PMT FV PLANO C 6 1,50 9.145,42 0,00 -10.000,0012 1,50 8.363,87 0,00 -10.000,00 PV das Parcelas Semestrais
Soma 17.509,30
- Valor Presente das Prestações Mensais = $60.000,00 - $17.509,30 = $42.490,70 - Valor das Prestações Mensais
n i PV PMT FV 2 X $10.000,00 (semestrais)12 1,50 -42.490,70 3.895,55 0,00 12 X $3.895,55 (mensais)
EXERCÍCIOS
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- Um financiamento com principal de $50.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais dede $3.000,00 e mais duas intermediárias. Determinar o valor das intermediárias para que a taxa efetiva de juros seja de 1,5 % ao mês.
n i PV PMT FV - PV das 10 prestações mensais10 1,50 27.666,55 -3.000,00 0,00
- PV das intermediárias = $50.000,00 - $27666,55 = $22.333,45n i PV PMT FV - PV das 2 intermediárias para X= $1,007 1,50 0,9010268 0,00 -1,003 1,50 0,9563170 0,00 -1,00
Soma 1,8573438
X= $22.333,45 / 1,8573438 = = $12.024,40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Mês
PV = $50.000,00 X = ?X = ?
PMT = $3.000,00
EXERCÍCIOS
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- Determinar o valor da prestação mensal do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa efetiva de 1,2% ao mês.
n i PV PMT FV - PV das parcelas semestrais6 1,20 2.792,79 0,00 -3.000,00
12 1,20 2.599,89 0,00 -3.000,00Soma 5.392,68
PV das parcelas mensais: = $10.000,00 - $5.392,68 = $4.607,32n i PV PMT FV - PV de 10 parcelas para X = $1,0011 1,20 10,24751 -1,00 0,00 X = $4.607,32 / 9,31658 =6 1,20 -0,93093 0,00 1,00
Soma 9,31658 = $ 494,53
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PV = $10.000,00
X = ?X = ?
$3.000,00 $3.000,00
Mês
EXERCÍCIOS
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FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS
Até agora temos considerado problemas que
envolvem apenas um único fluxo de caixa, também chamado de pagamentos simples, isto é,
restringimos a nossa atenção ao valor futuro de uma única quantia no presente ou o valor presente
de um único fluxo de caixa futuro.
Obviamente, isso limita bastante. Afinal de contas, a maioria dos investimentos do mundo real envolve
muitos fluxos de caixa ao longo do tempo.
Quando existirem muitos pagamentos, você ouvirá as pessoas de negócios se referirem a uma série de
fluxos de caixa.
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FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS
Imagine que você espera comprar um computador em 2 anos depositando hoje numa aplicação que paga 8% a.a. de juros, o valor de $1.200, e outros $ 1.400 daqui a 1 ano. Quanto você
deverá gastar no computador nesses dois anos?
Essas figuras de linha do tempo são muito úteis para resolver problemas complexos. Toda vez que você encontrar dificuldades com um problema, desenhe a linha do tempo, que geralmente
lhe ajudará a entender o que está passando.
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EXERCÍCIOS1. Suponhamos que a compra do computador possa ser adiada por mais 1 ano e
que você consiga fazer um terceiro depósito de $ 1.000 no final do segundo ano. Quanto estará disponível para gastar de agora a 3 anos? Resp: $
4.224,61
2. Você acha que será capaz de depositar $ 4.000 ao final de cada um dos três próximos anos em uma aplicação bancária que rende 8% de juros.
Atualmente, você possui $ 7.000 nessa aplicação. Quanto você terá em três anos? E em quatro? Resp: $ 21.803,58 e $23.547,87
3. Considere um investimento de $ 2.000 ao final de cada ano durante os próximos cinco anos. O saldo atual é zero e a taxa é de 10% a.a. Calcule o
valor futuro deste investimento, desenhando a linha do tempo.
4. Se você aplicar $ 100 daqui a um ano, $ 200 daqui a dois anos e $ 300 daqui a três anos, quanto você terá em três anos? Quanto deste montante é
representado por juros? Quanto você terá em cinco anos se não realizar nenhuma aplicação adicional? Suponha uma taxa de juros igual a 7% durante
o período. Resp: $ 628,49; $ 28,49; $ 719,56
5. Monte todos estes exercícios anteriores numa planilha Excel e resolva-os por meio dela.
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo F
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Coeficiente de FinanciamentosÉ muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos
qualquer tipo de financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente do financiamento, apura as prestações.
Financiamento x Coeficiente Financeiro = Prestações O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator de
valor presente.
– Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no Arrendamento Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de eletrodomésticos.
• Se quisermos encontrar o coeficiente de financiamento na HP-12C, fazemos assim:
1 CHS PVTaxa iN n
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Coeficiente de FinanciamentosEXEMPLOAdmita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente
financeiro a ser liquidado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, atinge 0,189346 (seis casas decimais, geralmente).
a. Qual o valor das prestações de um financiamento de $ 16.000?b. Qual a taxa de juros?
SoluçãoFinanciamento x Coeficiente Financeiro = Prestaçõesa. PMT = 16.000 x 0,189346 = 3.029,54
b. .... 3,77% a.m.16000 CHS PV3029,54 PMT6 nEncontrar i
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Coeficiente de FinanciamentosEXERCÍCIOS1. Construir o coeficiente de financiamento de um contrato
envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Resp: 0,086825
2. Uma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento. Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos:
a. Coeficiente = 0,119153, pagamento = 10 prestações mensais, iguais e sucessivas
b. Coeficiente = 0,307932, pagamento = 4 prestações, trimestrais, iguais e sucessivas.
Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal.
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Coeficiente de FinanciamentosPerpetuidadesEsta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa
são perpétuos. Por esta razão, obviamente, não podemos avaliá-las
descontando todos os fluxos de caixa e nem tão pouco aplicando a fórmula diretamente.
Felizmente, a avaliação é extremamente simples, e isto pode ser visto com um pouquinho de matemática.
No caso de uma perpetuidade, temos:
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Coeficiente de FinanciamentosPerpetuidades – Exemplo:Suponha que a Fellini Co. queira emitir ações preferenciais a um preço de $100
por ação.Uma emissão, já realizada, muito semelhante de ações preferenciais obteve um
preço de$40 por ação, mediante uma oferta de dividendos trimestrais de $ 1. Qual é o dividendo que a Fellini deveria oferecer, se suas ações preferenciaisfossem emitidas?
SoluçãoA emissão que já ocorreu possui um valor presente de $ 40 e um fluxo de caixatrimestral de $ 1 para sempre. Como é uma perpetuidade:
VP = PGTO i = 1 . i = 0,025 * 100 = 2,5% a.t. i 40.Para ser competitiva, a nova emissão da Fellini também deverá oferecer um
rendimentotrimestral de 2,5%; portanto, para que o valor presente seja $ 100, os dividendosprecisam ser iguais a $ 2,5 por trimestre.
• AtividadeResolver Estudo de Caso – material do programa deste módulo
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Sistema de Amortização Americano
Sistema de Amortização Francês ou Tabela Price (TP)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistemas de Financiamento
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Nem sempre as empresas possuem capital próprio para investir em um dado projeto Oportunidades não esperarão que a empresa poupe o suficiente para investir.Como consequência, as empresas terão de lançar mão de empréstimos.
Debate sobre o texto Sistemas de Amortização
Sistemas de Financiamento
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Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente; o valor emprestado é pago no final do prazo estipulado para o empréstimo.
Chamando de VP o valor emprestado à taxa i, os juros pagos em cada período são iguais e calculados como: Juros = VP . i
Terminado o prazo, o devedor, no último pagamento, além dos juros, paga o capital emprestado (VP).
SISTEMA AMERICANO
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•EXEMPLO•Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos mensalmente?
SISTEMA AMERICANO
Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00, correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar a dívida.
n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 10.000 - 100.0001 10.000 10.000 - 100.0002 10.000 10.000 - 100.0003 10.000 10.000 - 100.0004 110.000 - - -
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•EXEMPLO• Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos mensalmente?
SISTEMA AMERICANO
Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00, correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar a dívida.
n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 10.000 - 100.0001 10.000 10.000 - 100.0002 10.000 10.000 - 100.0003 10.000 10.000 - 100.0004 110.000 - - -
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SISTEMA PRICE, FRANCÊS OU DE PRESTAÇÕES CONSTANTESPor esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor.
O número de prestações varia em cada contrato. Suponha-se o empréstimo VP, feito à taxa i para ser pago em n prestações, pelo sistema PRICE- Método mais empregado no Brasil- Pagamento em Parcelas Constantes- Cálculo da Parcela:
- Expressão da Série Anual Uniforme
PMT = PV (( i (1+i)n ) / ((1+i)n – 1))
Tabela Price
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•EXEMPLO• Considerando, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Sistema PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.
Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor. Consequentemente, as amortizações são cada vez maiores para que, somadas aos juros, totalizem prestações iguais.
n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 - - 100.000,001 31.547,08 10.000,00 21.547,08 78.452,912 31.547,08 7.845,29 23.701,79 54.751,133 31.547,08 5.475,11 26.071,97 28.679,164 31.547,08 2.867,92 28.679,16 -
Tabela Price
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Pelo fato de a amortização ser constante, a série de pagamentos não é uniforme!O seguinte procedimento é tomado:Calculam-se inicialmente as amortizações:
Calcula-se o saldo devedor em todos os anos
Calcula-se os juros, sobre o saldo devedor:SD = PV - Amort
Amort = PV / n
Juros = PV . i
Sistema de Amortização Constante - SAC
![Page 93: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/93.jpg)
Considerando, mais uma vez, o mesmo empréstimo de R$100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no sistema SAC, fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.
Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor. Consequentemente, as amortizações sendo iguais, que somadas aos juros, totalizem prestações decrescentes.
n Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor0 - - 100.000,001 35.000,00 10.000,00 25.000,00 75.000,002 32.500,00 7.500,00 25.000,00 50.000,003 30.000,00 5.000,00 25.000,00 25.000,004 27.500,00 2.500,0 25.000,00 -
Sistema de Amortização Constante - SAC
![Page 94: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/94.jpg)
Acordo entre tomador de empréstimo e financiador, habilitando que, durante um certo período de tempo, apenas os juros sejam cobrados, sem pagamento de amortização.Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado através de algum método pré-determinado dois tipos de carência são abordados:Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal são devidosCaso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum; nem de juros sobre o saldo devedor, nem de amortização do principal.Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando um saldo devedor maior.
Carência
![Page 95: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/95.jpg)
Financiamento de 60% do valor total de um investimento, no valor de R$ 10 milhões, prazo total de 10 anos, com 2 anos de carência, a juros de 10% ao ano. Fazer a projeção do financiamento utilizando-se o método Francês (Tabela Price) para os casos 1 e 2, anteriormente citados.
Carência
Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, de R$ 10.000.000,00 . (10%) = R$ 1.000.000,00 Tabela Price (em $000)
(A) (B) (C) (D) (E) (F)Parcela Pgto. Juros Amort Acum Saldo
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,002 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,003 R$ 1.874,44 R$ 1.000,00 R$ 874,44 R$ 874,44 R$ 9.125,564 R$ 1.874,44 R$ 912,56 R$ 961,88 R$ 1.836,32 R$ 8.163,685 R$ 1.874,44 R$ 816,37 R$ 1.058,07 R$ 2.894,40 R$ 7.105,606 R$ 1.874,44 R$ 710,56 R$ 1.163,88 R$ 4.058,28 R$ 5.941,727 R$ 1.874,44 R$ 594,17 R$ 1.280,27 R$ 5.338,54 R$ 4.661,468 R$ 1.874,44 R$ 466,15 R$ 1.408,29 R$ 6.746,84 R$ 3.253,169 R$ 1.874,44 R$ 325,32 R$ 1.549,12 R$ 8.295,96 R$ 1.704,0410 R$ 1.874,44 R$ 170,40 R$ 1.704,04 R$ 10.000,00 R$ 0,00
Totais R$ 16.995,52 R$ 6.995,52 R$ 10.000,00
![Page 96: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/96.jpg)
Como há ausência de pagamentos de juros nos dois primeiros anos, estes são incorporados ao principal.Utilizando-se a fórmula (10) encontra-se Saldo (F) = 12,1 milhõesA partir daí, a resolução é exatamente igual à anterior, obtendo-se a tabela:
Tabela Price (Em $000)(A) (B) (C) (D) (E) (F)
Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo1 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 11.000,002 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 12.100,003 R$ 2.268,07 R$ 1.210,00 R$ 1.058,07 R$ 1.058,07 R$ 11.041,934 R$ 2.268,07 R$ 1.104,19 R$ 1.163,88 R$ 2.221,95 R$ 9.878,055 R$ 2.268,07 R$ 987,80 R$ 1.280,27 R$ 3.502,22 R$ 8.597,786 R$ 2.268,07 R$ 859,78 R$ 1.408,29 R$ 4.910,51 R$ 7.189,497 R$ 2.268,07 R$ 718,95 R$ 1.549,12 R$ 6.459,64 R$ 5.640,368 R$ 2.268,07 R$ 564,04 R$ 1.704,04 R$ 8.163,68 R$ 3.936,329 R$ 2.268,07 R$ 393,63 R$ 1.874,44 R$ 10.038,12 R$ 2.061,8810 R$ 2.268,07 R$ 206,19 R$ 2.061,88 R$ 12.100,00 R$ 0,00
Totais R$ 18.144,58 R$ 6.044,58 R$ 12.100,00
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Total Receitas de MontantePlaNO Pagamento Pago Reaplicações Acumulado
($) (8 % a.a.) Final do 4º AnoA 1.360,49 0,00 1.360,49B 1.320,00 40,49 1.360,49C 1.207,68 152,81 1.360,49D 1.200,00 160,49 1.360,49
"PRICE"S.A.C.
Principal : $ 1.000,00 Taxa de Juros : 8% a.a. Prazo : 4 Anos
Forma de
No FinalJuros Anuais
Exercícios
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Matemática Financeira
Matemática Financeira Módulo G
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Valor presente, Equivalência e Taxa Interna de Retorno
• Objetivos:– Discutir os principais aspectos
relacionados às séries não uniformes– Avaliação de séries com base em:
• VPL• TIR
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Valor presente Líquido (VPL), e Taxa Interna de Retorno (TIR)
• Basicamente, toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa . A avaliação desses fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores presentes, calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e entradas de caixa .Como consideração ao conceito do valor do dinheiro no tempo, raciocínio básico da matemática financeira, coloca-se como fundamental avaliar como adequados os métodos que considerem o fluxo de caixa descontado e que são, a saber, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e Valor Presente Líquido (VPL) .
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Valor presente Líquido (VPL)• O método do Valor Presente Líquido (VPL)
para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do empréstimo ou do financiamento) .
• Podemos inferir que o critério de decisão do método do VPL é : “ toda vez que o VPL for igual ou superior a zero, o investimento pode ser aceito ; no caso contrário, deverá ser rejeitado” .
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Taxa Interna de Retorno (TIR)• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de
juros (desconto) que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa .
• Geralmente, adota-se a data de início da operação (data zero) como a data focal de comparação dos fluxos de caixa .
• Esta data representa a saída de caixa ou valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento . O demais fluxos serão os de retorno ou recebimentos devidos .
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Taxa Interna de Retorno - (IRR)É a taxa de desconto ( i ) que anula o valor presente líquido (NPV) do fluxo de caixa e corresponde a uma das raízes de um polinômio de grau n.
FLUXO DE CAIXAVALOR CF0 CF1 CF2 … CFn
PERÍODO 0 1 2 … n
NPV ( i ) = CF0 + CF1 / (1+ i ) + CF2 / ( 1+ i )2 + … + CFn / ( 1 + i )n
Para x = 1 / ( 1 + i ) obtém-se:
NPV ( IRR ) = CF0 + CF1 . x + CF2 . x2 + … + CFn . xn = 0O número de raízes reais positivas de um polinômio de grau n é, nomáximo, igual ao número de inversões de sinal dos seus coeficientes(regra de sinal de Descartes).
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Exercícios 1 e 2- Considerar o fluxo de caixa a seguir e determinar:
- valor presente líquido (NPV) para 8%, 10% e 12% a.a.;- taxa interna de retorno (IRR).
Mês $0 -100,001 0,002 121,00
- PV para 8% a.a.n i PV PMT FV2 8,00 103,74 0,00 -121,00
Fluxo de Caixa
NPV (8%) = (-)$100,00 + $103,74 = = (+) $3,74
0 1 2Anos
(+) $121,00
(+) $103,74
NPV = (+) 3,74
(-) $100,00
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Exercícios 1 e 2
- PV para 12% a.a. n i PV PMT FV2 12,00 96,46 0,00 -121,00
- PV para 10% a.a. n i PV PMT FV2 10,00 100,00 0,00 -121,00
- Taxa interna de retornon i PV PMT FV TAXA INTERNA DE RETORNO2 10,00 -100,00 0,00 121,00 10,00% a.a.
Taxa NPV%a.a. ($)0% 21,008% 3,74
10% 0,0012% (3,54)
= $,0,00
NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 = = (-) $3,54
NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =
-5
0
5
10
15
20
25
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%
IRR (10,0 %)
NPV ($)
i (% a.a.)
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Exercícios 1 e 2
Mês $0 -100,001 0,002 121,00
- PV para 12% a.a. n i PV PMT FV2 12,00 96,46 0,00 -121,00
- PV para 10% a.a. n i PV PMT FV2 10,00 100,00 0,00 -121,00
- Taxa interna de retornon i PV PMT FV Taxa Interna de Retorno2 10,00 -100,00 0,00 121,00 10,00% a.a.
Fluxo de Caixa
= $,0,00
NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 = = (-) $3,54
NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =
0 1 2Anos
(+)$121,00(-) 100,00
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Exercícios 1 e 2
Mês $0 -100,001 0,002 121,00
Taxa NPV%a.a. ($)0% 21,008% 3,74
10% 0,0012% (3,54)
Fluxo de Caixa
0 1 2Anos
(+)$121,00(-) 100,00
-5
0
5
10
15
20
25
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%
IRR (10,0 %)
NPV ($)
i (% a.a.)
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Exercícios 3 e 4 Considerar os fluxos de caixa indicados a seguir:
MÊS VALOR ($) MÊS VALOR ($)0 (1000,00) 0 (1000,00)1 260,00 1 260,00
Investimento 2 260,00 2 260,00 Financiamento3 260,00 3 260,004 260,00 4 260,00
Soma 40,00 Soma 40,00 - PV para 1% a.m. (Investimento)
n i PV PMT FV NPV ( 1% ) = (-)$1.000,00 + $1.014,51=4 1,00 1.014,51 -260,00 0,00 =(+) $14,51
- PV para 2% a.m. (Investimento)n i PV PMT FV NPV ( 2 % ) = (-)$1.000,00 + $990,01=4 2,00 990,01 -260,00 0,00 =(-) $9,99
- Taxa Interna de Retornon i PV PMT FV Taxa Interna de Retorno4 1,59 -1.000,00 260,00 0,00 1,5875% a.m.
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Mês Valor ($) Mês Valor ($)0 (1000,00) Taxa NPV ($) 0 1000,001 260,00 % a.m. Invest. Financ. 1 (260,00)2 260,00 0% 40,00 (40,00) 2 (260,00)3 260,00 1% 14,51 (14,51) 3 (260,00)4 260,00 2% (9,99) 11,50 4 (260,00)
Soma 40,00 Soma (40,00)
Investimento Financiamento
-50
-30
-10
10
30
50
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
NPV ($)
INVESTIMENTOIRR (1,5875%)
FINANCIAMENTOi ( % A.M. )
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Ano Fluxo deCaixa n i PV PMT FV
0 (11.500,00) 0 10,00 -11.500,00 0,00 11.500,001 2.350,00 1 10,00 2.136,36 0,00 -2.350,002 1.390,00 2 10,00 1.148,76 0,00 -1.390,003 3.350,00 3 10,00 2.516,90 0,00 -3.350,004 4.275,00 4 10,00 2.919,88 0,00 -4.275,005 5.350,00 5 10,00 3.321,93 0,00 -5.350,00
Soma 5.215,00 543,84
IRR 11,54% 543,84 (Excel)(Excel)
Desconto das parcelas com 10% a.a.
Soma
NPV
![Page 111: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/111.jpg)
Ano Fluxo de Taxa (% a.a.) NPVCaixa 0% 5.215,00
0 (11.500,00) 4% 3.074,481 2.350,00 6% 2.150,832 1.390,00 8% 1.310,343 3.350,00 10% 543,844 4.275,00 12% (156,65)5 5.350,00 1000000% (11.499,77)
Soma 5.215,00 IRR 11,54%-1.000
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%
NPV ($)
IRR = 11,54%
Taxa (% a.a.)
![Page 112: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/112.jpg)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)
Ano Fluxo de SOLUÇÃO COM A HP- 12 C - TECLAS CFO, CFj
Caixa0 (11.500,00) f REG1 2.350,00 11500 CHS g CF0 0 i f NPV $5.215,00 2 1.390,00 2350 g CFj 10 i f NPV $543,843 3.350,00 1390 g CFj 12 i f NPV - $156,654 4.275,00 3350 g CFj
5 5.350,00 4275 g CFj f IRR 11,54%
Soma 5215,00 5350 g CFj
IRR 11,54%(Excel)
![Page 113: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/113.jpg)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)
Ano Fluxo deCaixa n i PV PMT FV
0 (40.000,00) 0 8,00 -40.000,00 0,00 40.000,001 3.500,00 1 8,00 3.240,74 0,00 -3.500,002 7.500,00 2 8,00 6.430,04 0,00 -7.500,003 7.500,00 3 8,00 5.953,74 0,00 -7.500,004 7.500,00 4 8,00 5.512,72 0,00 -7.500,005 15.000,00 5 8,00 10.208,75 0,00 -15.000,006 15.000,00 6 8,00 9.452,54 0,00 -15.000,00
Soma 16.000,00 798,54
IRR 8,53% 798,54 (Excel)(Excel)
Soma
Desconto das parcelas com 8% a.a.
NPV
![Page 114: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/114.jpg)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)
Ano Fluxo de Taxa (% a.a.) NPVCaixa 0% 16.000,00
0 (40.000,00) 4% 7.561,681 3.500,00 5% 5.731,232 7.500,00 6% 3.997,993 7.500,00 7% 2.355,694 7.500,00 8% 798,545 15.000,00 9% -678,846 15.000,00 1000000% -39.999,65
Soma 16.000,00 IRR 8,53%
-5.000
0
5.000
10.000
15.000
20.000
0% 2% 4% 6% 8%
NPV ( $ )
IRR = 8,53 % a.a.
Taxa (% a.a.)
![Page 115: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/115.jpg)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)
Ano Fluxo deCaixa
0 (40.000,00) f REG1 3.500,00 40000 CHS CHS g CF0 0 i f NPV $16.000,002 7.500,00 3500 g CFj 8 i f NPV $798,543 7.500,00 7500 g CFj 9 i f NPV - $678,844 7.500,00 3 g Nj5 15.000,00 15000 g CFj f IRR 8,53%6 15.000,00 2 g Nj
Soma 16.000,00
IRR 8,53%(Excel)
SOLUÇÃO COM HP12C - TECLAS CFO, CFj e Nj
![Page 116: Matemática Financeira](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102602/56815e06550346895dcc5661/html5/thumbnails/116.jpg)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR)
Datas Dias Mês Valores GRÁFI CO DO NPV x TAXA DE DESCONTO( $ )
1/mar - 0 (20.600,00)31/mar 30 1 7.000,0030/abr 60 2 7.000,0030/mai 90 3 7.000,00Soma 400,00
NPV% a.m. % a.a. XNPV
0% 0,00% 400,000,71082% 9,00% 104,950,93582% 12,00% 13,001,15535% 15,00% -76,06
Taxa de Desconto
-100
0
100
200
300
400
500
0,0% 3,0% 6,0% 9,0% 12,0% 15,0%
NPV ($)
Taxa (% a. a.)
IRR ( 12,432 %a.a. )