UNA

4a Lista de Exercıcios de Equacoes Diferenciais

Professora: Luiza Vidigal Goncalves

1. Um tanque contem 1.000L de agua salgada com 15kg de sal dissolvido.

Agua pura entra no tanque a uma taxa de 10L/min. A solucao e

mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto de

sal ha no tanque:

a) apos t minutos?

b) apos 20 minutos.

Resposta: a) 15e−t/100kg b) 15e−0,2 ≈ 12, 3kg

2. Um tanque contem inicialmente 100 litros de agua e 100 gramas de

sal. Entao uma mistura de agua e sal na concentracao de 5 gramas

de sal por litro e bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros

por minuto. Simultaneamente a solucao bem misturada e retirada do

tanque na mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em

cada instante t.

Resposta: Q(t) = 500− 400e−t/25 gramas

3. Suponha que um tanque contenha uma mistura de agua e sal com um

volume inicial de 100 litros e 10 gramas de sal e que agua pura seja

bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto.

Suponha que a solucao bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por

minuto. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.

Resposta: Q(t) = 10−3(100− t)2 gramas

1

4. Resolva as equacoes diferenciais dadas.

a) xy′ − 2y = x2. Considere x como a variavel independente.

Resposta: y(x) = x2 ln | x|+ cx2

b) (1 + t)du

dt+ u = 1 + t, t > 0 Resposta: u =

t2 + 2t+ 2c

2(t+ 1)

5. Resolva o PVI:

dy

dx+ y = x+ ex

y(0) = 0

Resposta: y = x− 1 + 12(ex + e−x)

6. Resolva o problema de valor inicial:

dv

dt− 2tv = 3t2et

2

v(0) = 5

Resposta: v(t) = t3et2

+ 5et2

7. Resolva o PVI:

xdy

dx= y + x2senx

y(π) = 0

Resposta: y(x) = −x cosx− x

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