Introdução à Simulação e Teoria das Filas

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO CAETANO DO SUL

TURMAS BACH- 5 E JOGOS-5

Prof. Mário Fernandes Biague21/04/23 1

Simulação

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 2

Definição

A Simulação como ferramenta de suporte à

decisão

Quando utilizar a Teoria das Filas ou a Simulação?

“Uma gama variada de métodos e aplicações que

reproduzem comportamento de sistemas reais,

usualmente utilizando-se de ferramentas

computacionais.”

(Kelton et al., 1998)

Simulação

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“Processo de elaboração de um modelo de um

sistema real (ou hipotético) e a condução de

experimentos com a finalidade de entender o

comportamento de um sistema ou avaliar sua

operação”

(Shannon, 1975)

Simulação

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“O princípio básico é simples. Analistas constroem

modelos do sistema de interesse, escrevem

programas destes modelos e utilizam um

computador para inicializar o comportamento do

sistema e submetê-lo a diversas políticas

operacionais. A melhor política deve ser

selecionada.”

(Pidd, 2000)

Simulação Introdução

Nos estudos de planejamento é comum depararmos com

problemas de dimensionamento ou fluxo cuja solução é

aparentemente complexa.

Cenário pode ser: Uma Fábrica, o Transito de uma cidade,

um escritório, um porto, uma mineração, etc.

O nosso interesse é saber:

Qual a quantidade correta de pessoas e equipamentos

(sejam eles máquinas, ferramentas, veículos, etc.);

Qual o melhor lay-out e o melhor roteiro de fluxo dentro do

sistema que está sendo analisado, ou seja, desejamos que o

nosso sistema tenha um funcionamento OTIMIZADO E

EICIENTE

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Simulação

Prof. Mário Fernandes Biague21/04/23 6

Por otimizado entende-se um custo adequado e

que os usuários estejam satisfeitos com o

ambiente ou com o serviço oferecido.

Também diz-se que o sistema ou processo

adequadamente dimensionado está

balanceado.

Modelagem

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Um sistema é um agrupamento de partes que

operam juntas, visando um objetivo em comum.

(Forrester, 1968)

Um modelo pode ser definido como uma

representação das relações dos componentes de

um sistema, sendo considerada como uma

abstração, no sentido em que tende a se

aproximar do verdadeiro comportamento do

sistema.

Processo de Modelagem

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Sistema

Modelo = representação

Tipos de Modelos

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Modelos Simbólicos

Modelos Analíticos

Modelos de Simulação

Modelo Simbólico

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Símbolos gráficos (fluxogramas, DFD, Layouts etc.)Muito utilizado para comunicação e documentaçãoLimitações:

Modelos estáticosNão fornece elementos quantitativos Não entra no detalhe do sistema

Modelo Simbólico: Fluxograma

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Fluxograma do processo de

atendimento de emergências

de uma central do corpo de

bombeiros

Modelo Simbólico: Teoria das Filas

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Modelo Analítico

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Forte Modelagem Matemática (Modelos de Programação Linear, Teoria de Filas, etc)Limitações:

Modelos, na grande maioria, estáticosA complexidade do modelo pode impossibilitar a

busca de soluções analíticas diretasVantagens: solução exata, rápida e, às vezes, ótima

Modelo de Simulação

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Captura o comportamento do sistema real

Permite a análise pela pergunta:

“E se...?”

Capaz de representar sistemas complexos

de natureza dinâmica e aleatória

Limitações:

Podem ser de construção difícil

Não há garantia do ótimo

Técnicas de Simulação

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Simulação não Computacional

Ex. Protótipo em túnel de vento

Simulação de Acontecimentos

Simulação Computacional

Simulação Estática ou de Monte Carlo

Simulação de Sistemas Contínuos

Simulação de Eventos Discretos

Simulação de Eventos Discretos

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Sistemas dinâmicos: os estados se alteram

com o tempo

Sistemas discretos: os atributos dos estados

só mudam no tempo discreto

Determinística ou Estocástica

Simulação de Eventos Discretos

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Histórico da Simulação

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Utilizada na década de 50 com fins militares. Softwares Textuais e Computadores “lentos”. Fortran IV. HW e SW mais poderosos impulsionou a Tecnologia da Simulação. GPSS Popularidade aumentou

principalmente nesta última década.

Utilização de “Simuladores”.

Por que Simular?

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Analisar um novo sistema antes de sua

implantação

Melhorar a operação de um sistema já existente

Compreender melhor o funcionamento de um

sistema

Melhorar a comunicação vertical entre o pessoal

de operação

Confrontar resultados

Medir eficiências

Por que Simular?

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Pela sua posição média, o bêbado está vivo...

Pela sua posição média, o bêbado está vivo...

Quando Simular?

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Problema Ferramentas Resultados

Planilhas

Calculadora

Lápis e Papel

Intuição

MaiorComplexidade

DinâmicaAleatoriedade

MaiorEsforço

Qualidade

Simulação

Áreas de Aplicação

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Redes Logísticas Manufatura Terminais: portos, aeroportos, estações

rodoviárias e ferroviárias Hospitais Militar Redes de Computadores Reengenharia de Processos Supermercados, Redes de “Fast Food” e franquias Parques de Diversões Tráfego…

O Método da Simulação

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OBJETIVOS E DEFINIÇÃO

DO SISTEMA

MODELO ABSTRATO

MODELO CONCEITUAL (Capítulo 3)

MODELO COMPUTACIONAL

(Capítulo 4)

MODELO OPERACIONAL

RESULTADOS EXPERIMENTAIS

(Capítulo 6)

FORMULAÇÃO DO

MODELO

REPRESENTAÇÃO DO MODELO

IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO

VERIFICAÇÃO E VALIDAÇÃO

(Capítulo 5)

EXPERIMENTAÇÃO DO MODELO

ANÁLISE E REDEFINIÇÃO

DADOS DE ENTRADA (Capítulo 2)

Modelagem

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Estudos de modelagem de sistemas podem

envolver:

Modificações de Lay-Out;

Ampliações de fábricas;

Troca de equipamentos;

Reengenharia;

Automatização;

Dimensionamento de um nova fabrica, etc.

Modelagem

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Para um objetivo o estudo vai procurar definir:

Quantidade atendentes: equipamentos,

ferramentas, veículos, etc;

Pessoas que devem ser colocadas em cada

estação de trabalho;

O melhor lay-out;

O melhor fluxo.

Observação: para dimensionar adequadamente um

sistema o estudo deve dedicar especial atenção aos

gargalos , ou seja, pontos onde ocorrem filas.

Três Etapas da Modelagem

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• Coleta

• Tratamento

• Inferência

Coleta dos Dados

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1. Escolha adequada da variável de estudo

2. O tamanho da amostra deve estar entre 100 e 200 observações. Amostras com menos de 100 observações podem comprometer a identificação do melhor modelo probabilístico, e amostras com mais de 200 observações não trazem ganhos significativos ao estudo;

Coleta dos Dados

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3. Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise de correlação ;

4. Se existe alguma suspeita de que os dados mudam em função do horário ou do dia da coleta, a coleta deve ser refeita para outros horários e dias. Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita deve ser comprovada ou descartada estatisticamente.

Exemplo 1: Filas nos Caixas do Supermercado

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Um gerente de supermercado está preocupado com as filas formadas nos caixas de pagamento durante um dos turnos de operação. Quais seriam as variáveis de estudo para coleta de dados? (S) ou (N).

(N) O número de prateleiras no supermercado(S) Os tempos de atendimento nos caixas(N) O número de clientes em fila (N) O tempo de permanência dos clientes no supermercado

(S) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de pagamento

É resultado!!

Exemplo 1: Coleta de Dados

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11 5 2 0 9 9 1 5 5 11 3 3 3 7 4 12 8 7 55 2 6 1 11 1 2 4 4 22 1 3 9 0 10 3 3 4 51 5 18 4 22 8 3 0 4 48 9 2 3 12 1 3 1 11 97 5 14 7 7 28 1 3 3 42 11 13 2 0 1 6 12 8 1215 0 6 7 19 1 1 9 12 41 5 3 17 10 15 43 2 9 116 1 13 13 19 10 9 20 17 2419 2 27 5 20 5 10 8 728 82 3 1 1 4 3 6 13 12 1210 9 1 1 3 9 9 4 6 30 3 6 3 27 3 18 4 4 76 0 2 2 8 4 5 1 3 14 18 1 0 16 20 2 2 9 32 12 28 0 7 3 18 12 2 13 2 8 3 19 12 5 4 0 36 0 5 0 3 7 0 8 5 8

Exemplo 1: Medidas de Posição e Dispersão

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Medidas de posição

Média 10,44

Mediana 5

Moda 3

Mínimo 0

Máximo 728

Medidas de dispersão

Amplitude 728

Desvio padrão 51,42

Variância da amostra 2.643,81

Coeficiente de Variação 493%

Coeficiente Assimetria 13,80

O 728 é um outlier?c

Exemplo1: Outlier

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Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:

11 5 2 0 9 9 1 5 5 11 3 3 3 7 4 12 8 7 55 2 6 1 11 1 2 4 4 22 1 3 9 0 10 3 3 4 51 5 18 4 22 8 3 0 4 48 9 2 3 12 1 3 1 11 97 5 14 7 7 28 1 3 3 42 11 13 2 0 1 6 12 8 12

15 0 6 7 19 1 1 9 12 41 5 3 17 10 15 43 2 9 116 1 13 13 19 10 9 20 17 24

19 2 27 5 20 5 10 8 728 82 3 1 1 4 3 6 13 12 12

10 9 1 1 3 9 9 4 6 30 3 6 3 27 3 18 4 4 76 0 2 2 8 4 5 1 3 14 18 1 0 16 20 2 2 9 32 12 28 0 7 3 18 12 2 13 2 8 3 19 12 5 4 0 36 0 5 0 3 7 0 8 5 8

Outliers ou Valores Discrepantes

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Erro na coleta de dados. Este tipo de outlier é o mais comum, principalmente quando o levantamento de dados é feito por meio manual.

Eventos Raros. Nada impede que situações totalmente atípicas ocorram na nossa coleta de dados. Alguns exemplos:

Um dia de temperatura negativa no verão da cidade do Rio de Janeiro; Um tempo de execução de um operador ser muito curto em relação aos melhores desempenhos obtidos naquela tarefa; Um tempo de viagem de um caminhão de entregas na cidade de São Paulo, durante o horário de rush, ser muito menor do que fora deste horário.

Exemplo 1: Outlier (valor discrepante)

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Dados

com o outlier

sem o outlier

Média 10,44 6,83

Mediana 5 5

Variância da amostra

2.643,81 43,60

Identificação de Outliers: Box-plot

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 35

0

5

10

15

20

A B C Séries

Valores

mediana

outlier

Q 1

Q 3

Q 1 -1,5( Q 3- Q 1)

Q 3 +1,5( Q 3- Q 1)

Análise de Correlação

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0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50Observação

k

Observação k+1

Diagrama de dispersão dos tempos de atendimento do exemplo de supermercado, mostrando que não há correlação entre as observações da amostra.

Análise de Correlação

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10

12

14

16

18

20

10 12 14 16 18 20Observação

k

Observação k+1

Diagrama de dispersão de um exemplo hipotético em que existe correlação entre os dados que compõem a amostra.

Exemplo 1: Construção do Histograma

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1. Definir o número de classes:nK 10log3,31

nK

2. Definir o tamanho do intervalo:K

Amplitudeh

3. Construir a tabela de freqüências

4. Construir o histograma

O histograma é utilizado para identificar qual a distribuição a ser ajustada aos dados coletados ou é utilizado diretamente dentro do modelo de simulação.

Exemplo 1: Histograma

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Histograma h=4.8

0

20

40

60

80

100

120

4.8 14.3 23.9 33.4 43

Bloco

Freqüência

Exemplo 1: Inferência

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Histograma h=4.8

0

20

40

60

80

100

120

4.8 14.3 23.9 33.4 43

Bloco

Freqüência

x

f(x)

µ =1 σ=1

µ=1 σ=0,5

x

f(x)

1/λ

x

f (x )

µx

f(x)

a bm

Triangular?

Exponencial?

Normal?

Lognormal?

Qual o melhor modelo probabilístico ou distribuição estatística que pode representar a amostra coletada?

Testes de Aderência (não paramétricos)

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Testa a validade ou não da hipótese de aderência (ou hipótese nula) em confronto com a hipótese alternativa:

H0: o modelo é adequado para representar a distribuição da população.

Ha: o modelo não é adequado para representar a distribuição da população.

Se a um dado nível de significância (100)% rejeitarmos H0, o modelo testado não é adequado para representar a distribuição da população. O nível de significância equivale à probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula H0, dado que ela está correta. Testes usuais:

Qui quadrado

Kolmogorov-Sminov

Teste do Qui-quadrado

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Inf Sup Exponencial Teórica (T) Observada (O) (O-T)̂ 2/ T0 4.8 0.5022 100 96 0.16

4.8 9.6 0.2500 50 55 0.559.6 14.3 0.1244 25 25 0.0014.3 19.1 0.0620 12 13 0.0419.1 1.0E+10 0.0614 12 10 0.40

E 1.15

Confiança 5%3

Valor Teórico 7.81

p-value 0.76

Graus de liberdade

Limites Freqüências

Portanto,não

rejeitamos

a hipótese de que os dados aderem ao modelo exponencial

P-value

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 43

Parâmetro usual nos softwares de estatística. Para o teste do qui-quadrado no Excel, utilizar:

=DIST.QUI (valor de E; graus de liberdade)

Valor Critério

p-value<0,01Evidência forte contra a hipótese de aderência

0,01p-value<0,05Evidência moderada contra a hipótese de aderência

0,05p-value<0,10Evidência potencial contra a hipótese de aderência

0,10p-valueEvidência fraca ou inexistente contra a hipótese de aderência

Distribuições discretas: Binomial

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x

f ( x )

Distribuições discretas: Poisson

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x

f (x)

Distribuições contínuas: Beta

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0 0,5 1x

f(x)

α=2 β=1α=3

β =2

α=4 β=4

α=2 β=3

α=1,5 β =5 α=6 β =2

α=2 β =1

Distribuições contínuas: Erlang

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x

f (x)

λ=0,5 k=3

λ=0,5

λ=0,2 k=10

Distribuições contínuas: Exponencial

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 48

x

f(x)

1/λ

Distribuições contínuas: Gama

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x

f (x)

α=0,

α=1

α=2

Distribuições contínuas: Lognormal

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 50

x

f(x)

µ =1 σ=1

µ=1 σ=0,5

Distribuições contínuas: Normal

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 51

f (x)

µ

Distribuições contínuas: Uniforme

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 52

ba

1/(b-a)

x

f(x)

Distribuições contínuas: Triangular

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 53

x

f(x)

a bm

Distribuições contínuas: Weibull

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 54

x

f(x)

α=0,5 β=1

α=1 β=1 α=2 β=1

α=3 β=1

α=3 β=2

Modelagem de dados... Sem dados!

21/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 55

Distribuição

Parâmetros Características Aplicabilidade

Exponencial

MédiaVariância altaCauda para direita

Grande variabilidade dos valoresIndependência entre um valor e outroMuitos valores baixos e poucos valores altosUtilizada para representar o tempo entre chegadas sucessivas e o tempo entre falhas sucessivas

TriangularMenor valor, moda e maior valor

Simétrica ou nãoQuando se conhece ou se tem um bom “chute” sobre a moda (valor que mais ocorre), o menor valor e o maior valor que podem ocorrer

NormalMédia e desvio-padrão

SimétricaForma de sinoVariabilidade controlada pelo desvio-padrão

Quando a probabilidade de ocorrência de valores acima da média é a mesma que valores abaixo da médiaQuando o tempo de um processo pode ser considerado a soma de diversos tempos de sub-processosProcessos manuais

UniformeMaior valor e menor valor

Todos os valores no intervalo são igualmente prováveis de ocorrer

Quando não se tem nenhuma informação sobre o processo ou apenas os valores limites (simulação do pior caso)

Discreta

Valores e probabilidade de ocorrência destes valores

Apenas assume os valores fornecidos pelo analista

Utilizada para a escolha de parâmetros das entidades (por exemplo: em uma certa loja, 30% dos clientes realizam suas compras no balcão e 70% nas prateleiras) Quando se conhecem apenas “valores intermediários” da distribuição ou a porcentagem de ocorrência de alguns valores discretos