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Fernando Nogueira Teoria de Filas 1
Teoria de FilasTeoria de Filas
Agner Krarup Erlang(*1878, Lonborg, Dinamarca; 1929, Copenhagen, Dinamarca).

Introduo
O estudo de Teoria de Filas trata com o fenmeno de aguardar em fila usando medidas representativas da performance do sistema, tais como comprimento mdio da fila, tempo mdio de espera na fila, utilizao mdia do sistema, entre outros.
USA (2001) estimativa de 37.000.000.000 horas gastas em filas pela populao/ano.
Pesquisa realizada nos E.U.A. em 1988, com 6000 pessoas. Fonte: Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000).

Exemplo de como calcular com incertezas
Dois trens vo ocupar um mesmo terminal de carga. Os horrios de chegada, de sada e de permanncia dos trens no terminal so tratados como variveis aleatrias.
7 .6 8 .4 9 .2 1 0 1 0 .8 1 1 .6 1 2 .4 1 3 .2 1 4 1 4 .8 1 5 .6 1 6 .4 1 7 .2
1 2
G a n tt
h o ra
term
inal
( )( ) ( ) ( ) =
dtgftgf
( )( ) ( ) ( ) =n
nmgnfmgf
A soma de 2 variveis aleatrias, f e g, realizada pela convoluo de f e g:
Contnuo
Discreto
Termin
al

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 1 chegar no terminal: Tc1=8.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: Ts1 = Tc1 + Pt => Ts1 = conv(Tc1,Pt)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 chegar no terminal: Tc2=12.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal: Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)=12.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.05
0.1
0.15
0.2
distribuio de probabilidade do horario de haver 2 trens (FILA) no terminal: P(fila)=0.37333 E(h.fila)=11.9482

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)==12.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal (SEM FILA): Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.2
0.4
0.6
0.8
1distribuio de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal + FILA: TsF2 = Ts2 + f => TsF2 = conv(Ts2,f)=16.9553

Estrutura Bsica de um Modelo de Fila
Fonte de Entrada onde gera-se os clientes.
1)Tamanho da Populao: finita ou infinita.
2)Distribuio de Probabilidade que os clientes so gerados sobre o tempo (Poisson).
3)Distribuio de Probabilidade do tempo entre chegadas (Exponencial).
obs: 2) 3) se 2) Poisson e 3) Exponencial
Fonte de
Entrada
Fila
Mecanismo de
Atendimento
Clientes Clientes Atendidos
Sistema de Fila
Disciplina da Fila

Fila onde os clientes aguardam antes de serem atendidos.
1)Nmero mximo de clientes que a fila pode conter (buffer): finito ou infinito.
Disciplina da Fila ordem que os clientes em fila so selecionados para atendimento.
First In First Out (FIFO) = First Come First Served (FCFS), Last In First Out (LIFO), Randmica, Prioridade, entre outras.
Mecanismos de Atendimento (Servio) onde o cliente atendido.
1)Nmero de instalaes de atendimento em srie (no necessariamente).
2)Numero de canais de atendimento (servidores) em paralelo para cada inst. de atend.
3)Distribuio de Probabilidade para cada servidor (Exponencial).
instalao de atendimento 1
Clientes
Clientes Atendidos
Sistema de Fila
444 8444 76 FilaCCCCCC
CCCC
14
13
12
11
SSSS
44 844 76 FilaCCCC
instalao de atendimento 2
CCC
23
22
21
sss
Clientes Atendidos

t
f(t):d
ensi
dade
de
prob
abilid
ade
pdf - Exponencial
0 E(t)=1/ 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tf(t
):pro
babi
lidad
e ac
umul
ada
PDF - Exponencial
Distribuio Exponencial
As variveis aleatrias Tempo Entre Chegadas e Tempo de Atendimento so modeladas geralmente pela Distribuio Exponencial. Seja t um v.a. com Distribuio Exponencial com parmetro , ento:
( )
=1tE ( ) 2
1tvar
=
{ }
{ }
( )0t
edteTtP
e1dteTtP
T
T
t
TT
0
t
==>
==
( )
===>
+>=
>>+>
=>+>
>=>+>
+
Se agora so 8:20hs e a ltima chegada ocorreu 8:00hs, a probabilidade que a prxima chegada ir ocorrer aps 8:30hs funo apenas do intervalo entre 8:20hs e 8:30hs (T), ou seja, independente do intervalo entre 8:00hs (quando ocorreu a ltima chegada) e 8:20hs (t). Exemplo:
Uma mquina quebra a cada 40 minutos em mdia com distribuio exponencial. Assim, a taxa mdia de quebra :
A funo densidade :
Se agora so 8:20hs, a probabilidade que a prxima quebra seja at 8:30hs :
Porm, se agora so 7:00hs, a probabilidade que a prxima quebra seja at 8:30hs :
hora/quebra5.14060
==( ) 0t,e5.1tf t5.1 >=
22.0e16010tP 60
105.1=
89.0e16090tP 60
905.1=
{ } { }APBAP =
B A =
B contm A
A
t t
t >t+T t >t
t >t+T t >t

Processos de Nascimento e Morte: relao entre Poisson e Exponencial
Processo de Nascimento Puro somente chegadas so permitidas. Ex: emisso de certido de nascimento.
Processo de Morte Puro somente sadas so permitidas. Ex: retirada aleatria de itens de um estoque.
Tempo entre Chegadas e Tempo entre Sadas possuem distribuio exponencial com parmetros n e n, respectivamente Cadeia de Markov em Tempo Contnuo.
Processo de Nascimento Puro
Seja p0(T) a probabilidade de nenhuma chegada durante um perodo T. Dado que o Tempo entre Chegadas t exponencial e que a taxa de chegada clientes por unidade de tempo, ento:
Expandindo p0(T) em Taylor, para um intervalo de tempo h > 0 , porm pequeno, fica:
Considerando que em um intervalo pequeno, no mximo um evento pode ocorrer, ento para h 0:
( ) { } { } ( ) TT0 ee11TtP1TtPTp ====
( ) ( ) ( )22
h0 hOh1...!2
hh1ehp +=+==
( ) ( ) h)h1(1hp1hp 01 ==

Este resultado mostra que a probabilidade de uma chegada durante h diretamente proporcional h com taxa de chegada (constante de proporcionalidade).
A distribuio do nmero de chegadas pn(T) durante um perodo T, pode ser deduzida por:
Na primeira equao, n chegadas sero percebidas durante T + h se h n chegadas durante T e nenhuma chegada durante h, ou n-1 chegadas durante T e uma chegada durante h. Todas as outras combinaes so impossveis para a distribuio exponencial (no mximo um evento pode ocorrer para um intervalo de tempo pequeno). Uma vez que chegadas so eventos independentes, o produto das probabilidades pode ser aplicado no lado direito das 2 equaes acima. Na segunda equao, zero chegadas durante T + h podem ocorrer somente se nenhuma chegada ocorrer durante T e h. As derivadas das 2 equaes dadas acima so:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n,h1.Tphp.TphTp
0n,h.Tph1.Tphp.Tphp.TphTp
0000
1nn11n0nn
==+>+=++
( ) ( ) ( ) (

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