GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA PLANA

Prof. FabianoProf. Fabiano

POLÍGONOS REGULARES

O O ORR Ra a a

...

R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice

a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado

POLÍGONOS REGULARES

O O ORR Ra a a

...

R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice

a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

R

a.O

h = —— 32

QUADRADO

Ra

.O

2d =

HEXÁGONO REGULAR

Ra

O.

6 triângulos equiláteros

ÁREAS PLANASRETÂNGULO

b.hS = PARALELOGRAMO

bh

bh

ÁREAS PLANAS

QUADRADO

2S =TRAPÉZIO

S = 2————(B+b).h

b

B

h

ÁREAS PLANAS

TRIÂNGULO

b

h S = 2———b.h

CIRCUNFERÊNCIA

C = RO. 2πR

πR2S =

MEDIANA Mediana é o segmento que vai de um vértice qualquer de um triângulo até o ponto médio do lado oposto. Veja o exemplo:

No triângulo ABC acima, o ponto "D" é o ponto médio do lado CB. Portanto, o segmento AD é a mediana relativa ao lado "A" do triângulo ABC.Como o triângulo possui três lados e três vértices, possui também três medianas (uma para cada vértice).

MEDIATRIZConsideremos um segmento AB  e seja M o ponto médio do segmento. A reta r perpendicular ao segmento AB e que passa por M e denominada mediatriz do segmento AB.

Todo o triângulo tem três mediatrizes ( cada uma relativa a um lado), e se encontram no mesmo ponto C denominado circuncentro.

ALTURAÉ o segmento cujas as extremidades  são vértice do triângulo e a intersecção da perpendicular com o lado oposto ( ou seu prolongamento).

É interessante observar que,quando se trata de um triângulo obtusângulo, AH é a altura relativa ao lado BC.Todo o triângulo possui três alturas ( cada uma relativa a um lado), que se encontram num mesmo ponto O, denominado ortocentro

BISSETRIZÉ a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.

Todo o triângulo tem três bissetrizes (cada uma relativa a um ângulo), que se encontram num mesmo ponto I, denominado incentro.

Pontos notáveis de um triângulo:

•1 - Incentro

•2 - Circuncentro

•3 - Baricentro

•4 - Ortocentro

. 1. O incentro Chama-se bissetriz de um ângulo à reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Ao ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um triângulo chamamos incentro. Este ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

2. O circuncentroCom os três vértices do triângulo pode-se traçar um circunferência na qual o triângulo fica inscrito. O centro desta circunferência é o circuncentro - ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

3. O baricentro Unindo o ponto médio de cada lado do triângulo ao vértice oposto obtém-se um segmento de reta designado mediana. O ponto onde se interceptam as medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo.

4. O ortocentro O ortocentro é o ponto onde se interceptam as alturas do triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos).

ÂNGULOS

AGUDO

OBTUSO

30º

30º

30º

30º

150º

150º150º

150º

Si =

Si =

180º

360ºSi = 180º(n-2)

QUALQUER POLÍGONO:

ÂNGULOS

(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70

ÂNGULOS

40º20º

ÂNGULOS

40º20º

20º+90º+X=180º110º+X=180º

X=70º

(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70

ÂNGULOS

120º120º

60º 120º

OO

OO..

90º

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87

Exercício resolvido

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87

90º 36º

90º 36º

76º

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87

90º 36º

76º

90º + 36º + 76º + x = 360º

202º + x = 360º

x = 158º

x

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87

90º 36º

76º

90º + 36º + 76º + x = 360º

202º + x = 360º

x = 158º

x = 158º

79º

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87

80º

60º

60º

40º

40º

80º

A

E

F

D

C

B

≈

ÂNGULOS IGUAIS

SEMELHANÇA

LADOS PROPORCIONAIS

∆ABC ∆DBE≈A C

B

ED

DE // AC

SEMELHANÇA

TRIÂNGULO RETÂNGULOA

CB

b.

a

c h.

a2 = b2 + c2 ah = bc

Exercício proposto(UFES-99) Na figura, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas dos ângulos indicados na figura éa) 180°b) 270°c) 360°d) 480°e) 540°

Resposta: eResposta: e

(UEL-97) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunferência de centro O.Se med do ângulo XOW=80°, então med do ângulo XYW +med do ângulo XZW +med do ângulo XTW é igual aa) 160° b) 150°c) 140° d) 120°e) 100°

Resposta: dResposta: d

Exercício proposto