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Nesse texto apresentamos o Software GeoGebra em linhas gerais. Fazemos uma breve abordagem

de seu desenvolvimento, apresentamos sua interface, algumas funcionalidades e os passos necessários

para construção de alguns objetos.

APRESENTAÇÃO

O GeoGebra é um software com finalidades didáticas para ser utilizado em situações de ensino e

aprendizagem de matemática. Com ele é possível realizar cálculos aritméticos, algébricos e utilizar

múltiplas representações gráficas de objetos matemáticos.

Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo foi quem idealizou o projeto do software

GeoGebra e é um de seus principais desenvolvedores em conjunto com Yves Kreis da Universidade de

Luxemburgo.

Os desenvolvedores do GeoGebra permitem que ele seja baixado do site oficial (www.geogebra.org)

e instalado em computadores com sistemas operacionais diversos.

INTERFACE

A interface do GeoGebra ao ser carregado apresenta a seguinte configuração padrão.

Barra de Menus A Barra de Menus disponibiliza opções para salvar o projeto em arquivo (.ggb) e para controlar configurações gerais.

Barra de Ferramentas A Barra de Ferramentas concentra todas as ferramentas úteis para construir pontos, retas, figuras geométricas, obter medidas de objetos construídos, entre outros. Cada ícone dessa barra esconde outros ícones que podem ser acessados clicando com o mouse em seu canto inferior direito.

Janela de Álgebra Área em que é exibida as coordenadas, equações, medidas e outros atributos dos objetos construídos.

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Entrada Campo de entrada para digitação de comandos.

Janela de Visualização Área de visualização gráfica de objetos que possuam representação geométrica e que podem ser desenhados com o mouse usando ícones da Barra de Ícones ou comandos digitados na Entrada.

Lista de Comandos Listagem de comandos predefinidos. Entre eles há comandos relacionados aos ícones da Barra de Ferramentas.

JANELA DE VISUALIZAÇÃO VERSUS JANELA DE ÁLGEBRA

O GeoGebra recebeu esse nome pela possibilidade de operar com as representações aritmética,

álgebrica e geométrica conjuntamente. Isso significa que um objeto construído com o mouse ou digitando

sua sintaxe na Entrada pode possuir mais de uma representação: geométrica e aritmética ou algébrica.

Veja na Janela de Visualização representada na figura abaixo exibe um triângulo construído em um

plano cartesiano.

Janela de Álgebra e Janela de Visualização

Observe que na Janela de Visualização está representado

geometricamente um triângulo com vértices A, B e C e lados a, b e c.

Observe também que no lado esquerdo da tela, na Janela de Álgebra,

são exibidas as coordenadas de cada vértice desse triângulo, a medida de

cada um dos lados a, b e c e a área do triângulo (11cm2) que foi nomeado

automaticamente pelo GeoGebra de “pol1”.

BARRA DE FERRAMENTAS

A Barra de Ferramentas localizada na parte superior do GeoGebra é composta de doze conjuntos de

ícones com as ferramentas necessárias para o usuário construir, movimentar, obter medidas e modificar

atributos de objetos construídos.

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Ao abrir o GeoGebra a Barra de Ferramentas apresenta a seguinte configuração visual.

Para ativar uma ferramenta clique em seu ícone. No entanto, para cada conjunto de ícones há

apenas um visível, veja a seguir como acessar os ícones ocultos.

Clique no canto inferior esquerdo do ícone que contenha a ferramenta que deseja utilizar.

Selecione a ferramenta.

A ferramenta selecionada fica ativa e seu ícone ocupa o lugar de destaque do conjunto que ela pertence.

Na imagem da Barra de Ferramentas abaixo está indicado como é nomeado nesse texto cada

conjunto de ferramentas.

CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA

Para realizar uma construção selecione a ferramenta necessária na Barra de Ícones e clique na

Janela de Visualização ou digite os valores de entrada solicitados pelo GeoGebra. Considere os seguintes

problemas.

Construir um círculo de Centro A que passe por um ponto B.

Selecione a ferramenta Círculo Definido pelo Centro e um de seus Pontos.

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Clique em qualquer região da Janela de Visualização para marcar o centro A do círculo. Depois, arraste o mouse e clique em um local distinto do ponto A, marcando assim o ponto B pertencente a circunferência.

Construir um círculo de centro A com raio r = 3 cm

Selecione a ferramenta Círculo dados centro e raio.

Clique em qualquer região da Janela de Visualização para marcar o centro A do círculo. Após marcar o ponto A o GeoGebra exibe a seguinte janela.

Digite a medida do raio (3) na caixa de texto. Em seguida, clique em OK para que o GeoGebra construa o circulo.

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Nesse texto abordamos a construção de linhas retas: rretas, semirretas, segmentos de reta e

vetores. Abordamos também a construção de caminhos poligonais. Essas ferramentas estão disponíveis

no conjunto de ícones que nomeamos de Linhas Retas (terceiro conjunto de ícones da esquerda para

direta).

RETAS

O terceiro ícone da barra de ferramentas reúne as ferramentas necessárias para a construção de

linhas retas, entre elas, retas, semirretas, segmentos de retas e vetores.

Para construir uma reta basta clicar em Reta definida por Dois Pontos e, em seguida, clicar em dois

pontos na Janela de Visualização. Os pontos são construídos no momento em que se clica na Janela de

Visualização, ou ainda podem ser utilizados pontos construídos anteriormente.

Uma reta pode ainda ser construída por meio do comando Reta[ <Ponto>, <Ponto>] ao digitá-lo na

Entrada. Por exemplo, para construir uma reta pelos pontos (1,2) e (3, 5), basta digitar o seguinte comando

na Entrada.

Na figura abaixo apresentamos duas retas construídas e exibidas na Janela de Visualização.

A reta r, de cor vermelha, foi

construída selecionando a ferramenta

Reta definida por Dois Pontos e, em

seguida, clicando-se em dois pontos na

Janela de Visualização. A reta s, de cor

azul, foi construída digitando o

comando Reta[(0,0), (2,2)] na Entrada.

No primeira construção o

GeoGebra exibe a reta e os pontos

pelos quais ela é definida. Na segunda

é construída e exibida apenas a reta.

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SEMIRRETA

O processo para construção de semirretas com o mouse é semelhante ao de construção de retas.

Deve-se clicar na opção Semirreta definida por dois pontos e, em seguida, clicar em dois pontos na Janela

de Visualização.

Ao digitar o comando Semirreta na Entrada o GeoGebra apresenta duas possibilidades de sintaxe.

Na primeira sintaxe, Semirreta[<Ponto Inicial>, <Ponto>], é necessário apenas digitar dois pontos

para obter uma semirreta. Por exemplo, digitando Semirreta[(0,0), (1,1)], constrói-se uma semirreta com

origem em (0,0) passando por (1,1).

Na segunda sintaxe, Semirreta[ <Ponto Inicial>, <Vetor Diretor>], é preciso construir um vetor

previamente ou aninhar o comando Vetor no comando Semirreta. Por exemplo, digitando-se

Semirreta[(0,0) , u] constrói-se uma semirreta com origem em (0,0) e paralela ao vetor u previamente

construído. Já, com o comando Semirreta[(0,0), Vetor[(2,3),(4,5)]], constrói-se uma semirreta com origem

em (0,0) e paralela ao vetor definido pelos pontos (2,3) e (4,5).

SEGMENTOS

Há duas opções para construção de segmentos no GeoGebra: Segmento definido por Dois Pontos e

Segmento com Comprimento Fixo.

Ao selecionar a opção Segmento definido por Dois Pontos basta, em seguida, clicar em dois pontos

na Janela de Visualização.

Na segunda opção, Segmento com Comprimento fixo, clica-se em um ponto na Janela de

Visualização. Em seguida, deve-se inserir um valor em uma caixa aberta automaticamente pelo software e,

por último, clicar em OK para que o segmento seja construído.

Segmentos também podem ser construídos por meio de comandos. Para isso, basta utilizar uma das

seguintes sintaxes:

Segmento[ <Ponto>, <Ponto>] constrói um segmento a partir de dois pontos;

Segmento[ <Ponto>, <Comprimento>] constrói um segmento com comprimento fixo.

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VETORES

No caso de vetores o GeoGebra oferece duas opções no ícone de construção de linhas retas: Vetor

Definido por Dois Pontos e Vetor a partir de Um Ponto. Utilizou-se cada uma dessas opções para a

construção dos vetores u e v.

Para construir o vetor u selecionou-se Vetor Definido por Dois Pontos e, em seguida, clicou-se em

dois pontos na Janela de Visualização. Obtém-se resultado semelhante digitando o seguinte comando na

Entrada:

Vetor[<Ponto Inicial>, <Ponto Final>]

O vetor v foi construído a partir de um ponto C e do vetor u. Nessa construção foi selecionada a

opção Vetor a partir de um ponto, clicou-se no ponto C e, por último, no vetor u.

Na Entrada ainda é possível construir um vetor tendo como parâmetro um único ponto:

Vetor[ <Ponto>]

Nesse caso, o vetor tem como origem o ponto (0,0) e ponto final o ponto dado como parâmetro. Por

exemplo, digitando o comando Vetor[(5,3)] constrói-se o seguinte vetor.

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CAMINHO POLIGONAL

Um caminho poligonal é um conjunto de segmentos consecutivos e para construí-lo no GeoGebra

basta clicar na opção Caminho Poligonal e clicar em pontos da Janela de Visualização. Para concluir a

construção deve-se clicar no ponto inicial da poligonal.

A construção abaixo foi realizada a partir da sequência de cliques: A B C D E A.

A sintaxe desse comando digitável na Entrada é:

CaminhoPoligonal[ <Ponto>, ..., <Ponto>]

CaminhoPoligonal[ <Lista de Pontos>]

Na primeira sintaxe obtém-se um caminho poligonal tendo como parâmetros pontos já existentes,

CaminhoPoligonal[A, B, C, D, E], ou pontos que são definidos juntamente com o comando,

CaminhoPoligonal[(1,2), (3,1), (4,0), (3,4)].

É possível ainda construir um caminho poligonal a partir de uma lista de pontos. Por exemplo, digita-

Em seguida, digita-se o comando para obter o caminho poligonal a partir de L, ou seja,

CaminhoPoligonal[ L].

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Nesse texto abordamos a construção de retas perpendiculares, retas paralelas, bissetrizes e

mediatrizes. Para isso utilizamos as ferramentas reunidas no quarto ícone, da esquerda para direita, da

Barra de Ferramentas.

RETAS PERPENDICULARES

Com a utilização da ferramenta Reta Perpendicular podemos construir retas perpendiculares a uma

reta, a uma semirreta, a um segmento de reta e a um vetor. Para construir uma reta perpendicular a uma

reta, basta clicar em Reta Perpendicular e, em seguida, clicar na reta e por último clicar em um ponto sobre

a reta ou não pertencente a ela.

Na figura abaixo a reta s é perpendicular a reta r por um ponto A não pertencente a r. A reta t é

perpendicular a reta r por um ponto B pertencente a r.

O processo de construção de retas perpendiculares a semirretas, segmentos de retas e vetores é

semelhante ao processo de construção descrito anteriormente.

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É possível ainda construir uma reta perpendicular digitando comandos na Entrada. Para isso,

utilizamos uma das seguintes sintaxes:

Perpendicular[ <Ponto>, <Reta>]

Perpendicular[ <Ponto>, <Segmento> ]

Perpendicular[ <Ponto>, <Vector> ]

RETAS PARALELAS

Para construir retas paralelas, primeiramente clicamos no ícone Reta Paralela, em seguida, clicamos

em um dos objetos para o qual se deseja construir uma reta paralela, ou seja, em uma reta, semirreta,

segmento de reta ou vetor. Por último, clicamos sobre um ponto não pertencente a esses objetos para que

seja construída e exibida a reta paralela.

Na imagem abaixo aparece apenas uma reta na Janela de Visualização, mas observando

atentamente a Janela de Álgebra é possível perceber que as retas r e s possuem a mesma equação. Ao

construir uma reta s paralela a r clicamos sobre um ponto na reta r. Assim, as retas r e s são paralelas e

coincidentes.

BISSETRIZES

No GeoGebra é possível construir

bissetrizes a partir de duas retas ou de

três pontos. As retas de cor vermelha na

imagem ao lado são bissetrizes

construídas com a ferramenta Bissetriz.

Na primeira construção que

aparece mais a esquerda na Janela do

GeoGebra construímos duas bissetrizes,

clicando na Ferramenta Bissetriz e, em

seguida, clicando em cada uma das retas

r e s.

Na segunda construção, após

selecionar Bissetriz, clicamos em A, B e C

e foi obtida uma bissetriz passando por

B (o segundo ponto clicado).

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Note que na primeira construção o GeoGebra construiu e exibiu duas bissetrizes cada uma relativa a

um dos ângulos formados entre as retas r e s. Já na segunda construção foi construída apenas uma

bissetriz passando pelo segundo ponto clicado. Podemos interpretar que esse ponto seja o vértice entre

duas retas: uma por AB e outra por BC.

O mesmo resultado seria obtido usando as seguintes sintaxes na Entrada:

Bissetriz[ <Reta>, <Reta> ]

Bissetriz[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

MEDIATRIZES

Uma mediatriz pode ser construída a partir de dois pontos ou de um segmento. Para isso, basta

clicar na ferramenta Mediatriz e, em seguida, clicar no segmento ou em dois pontos.

Mediatriz construída a partir de um segmento.

Mediatriz construída a partir de dois pontos.

O mesmo resultado pode ser obtido digitando-se os seguintes comandos na Entrada.

Mediatriz[ <Ponto>, <Ponto> ]

Mediatriz[ <Segmento> ]

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Quando construímos um objeto no GeoGebra, um polígono, uma reta, um ponto, por exemplo, eles

são exibidos na Janela de Visualização com atributos como cor, espessura da linha,

transparência/opacidade predefinidos pelo software. Abordaremos nesse texto como modificar esses

atributos acessando a Janela de Propriedades.

JANELA DE PROPRIEDADES

Clicando com o botão direito do mouse sobre um objeto na Janela de Visualização ou sobre seu

nome na Janela de Álgebra podemos acessar a Janela de Propriedades.

Na Janela de Propriedades visualizamos cinco abas: Básico, Cor, Estilo, Avançado e Programação.

Na aba Básico é possível modificar atributos de um ou mais objetos selecionados.

Em nossa imagem exemplo acima selecionamos o triângulo ABC (pol1). Ao acessar as propriedades

desse objeto que são exibidas na Janela de Propriedades abaixo, visualizamos as definições e atributos

desse polígono.

A opção Fixar Objeto quando selecionada fixa o objeto na Janela de Visualização não permitindo que

ele seja movido com o ponteiro do mouse. A opção Definir como Objeto Auxiliar faz com que o nome do

objeto componha uma lista de objetos que não são exibidos por padrão na Janela de Álgebra.

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O triângulo DEF, representado na cor azul na imagem abaixo, foi definido como objeto auxiliar. Como

podemos notar pol2 é exibido na Janela de Visualização, mas não é exibido na Janela de Álgebra.

Esse recurso do GeoGebra permite que nomes de objetos que foram úteis na construção, mas que

não são úteis ao utilizar o GeoGebra em uma aula ou em uma apresentação, não desviem a atenção do

usuário. No entanto, caso necessitarmos, é possível exibir as nomenclaturas dos objetos auxiliares na

Janela de Álgebra. Para isso, realizamos os seguintes passos.

Clicamos no ícone que aparece ao lado de Janela de Álgebra.

Clicamos em Objetos Auxiliares.

Na aba Cor é possível modificar a cor do objeto

selecionado a partir de uma palheta de cores predefinidas

no software. Clicando em outro é possível ainda acrescentar

cores que não são apresentadas na palheta. Para isso,

devemos modificar os valores dos controles deslizantes.

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Para controlar a transparência ou opacidade do objeto modificamos os valores do controle de

transparência para valores de 0 a 100. Sendo que no valor zero a figura é totalmente transparente e no 100,

totalmente opaca.

Na aba Estilo são disponibilizadas opções que permitem modificar a espessura e o estilo da linha. E

além disso, modificar o preenchimento de objetos.

As imagens abaixo são exemplos de aplicação da opção preenchimento.

A opção Inverter Preenchimento permuta o

preenchimento do objeto com o plano de fundo.

No exemplo ao lado, antes de selecionarmos

Inverter Preenchimento, o plano de fundo era de cor

branca e o polígono estava preenchido com a malha

hexagonal.

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Nesse texto abordamos a construção de polígonos com a utilização do mouse e por meio da

digitação de comandos na Entrada.

POLÍGONOS

A ferramenta Polígono possibilita construir polígonos a partir de pontos já construídos na Janela de

Visualização ou mesmo a partir de pontos criados no momento do uso da ferramenta. Assim, para

construir um polígono basta clicar na ferramenta Polígono e clicar em pontos a sua escolha na Janela de

Visualização. A construção deve ser finalizada clicando novamente no ponto em que a construção foi

iniciada.

É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma

das seguintes sintaxes:

Polígono[ <Ponto>, ..., <Ponto>]

Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos, por exemplo,

Polígono[(0,0), (2,3), (1,5)] constrói um polígono de vértices (0,0), (2,3) e (1,5) que são os

parâmetros do comando. Supondo que os pontos A = (0,0), B=(2,3) e C=(1,5) estivessem

construídos no GeoGebra. Nesse caso, digitando Polígono[A, B, C] na Entrada obtemos o mesmo

resultado descrito anteriormente.

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Polígono[ <Lista de Pontos> ]

Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista de pontos. Assim, dada

uma lista de pontos L = {(0,0), (2,3), (1,5)}, basta digitar Polígono [L] na Entrada para obter um

polígono.

POLÍGONO REGULAR

Com a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e de um número

natural que indica a quantidade de lados ou vértices. Para construir um polígono regular basta clicar em

Polígono Regular, escolher dois pontos e, em seguida, o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se

digitar um número ou o nome de uma variável que representa a quantidade de vértices.

Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um polígono regular.

O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada:

Polígono[ <Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>]

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POLÍGONOS RÍGIDOS

O GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não deformáveis, ou

seja, polígonos cuja forma não é afetada ao movimentar um vértice ou um lado. Essa ferramenta é

chamada Polígono Rígido. Clicando na ferramenta Polígono Rígido podemos construir um polígono de

cinco lados conforme exibido abaixo.

Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos clicados, A e B, e um

polígono rígido. Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono é movido juntamente. Se movermos o

ponto B, o polígono é girado em torno do ponto A. Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado.

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Isometrias no plano é um tópico de estudo da Geometria das Transformações e sua abordagem visa

propiciar conceituações de congruência e de semelhança, procurando desenvolver a capacidade de

perceber se duas figuras têm ou não a mesma forma e o mesmo tamanho independente da posição que

elas ocupam no plano.

Nesse texto vamos abordar algumas isometrias no GeoGebra.

SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO

Na simetria de translação obtém uma imagem da figura original deslocada uma medida c dada, a

qual pode ser representada por um vetor.

No GeoGebra é possível obter um polígono (pol2) a partir de um polígono (pol1), por exemplo.

Inicialmente construímos um polígono (pol1) e um vetor (u).

Clicando em Translação por um Vetor e, em seguida, clicando no polígono e no vetor obtemos a

figura transladada. O mesmo resultado pode ser obtido digitando Transladar[<Objeto>, <Vetor>] com os

seguintes parâmetros e obtemos outro polígono (pol2) transladado por u.

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Utilizando o comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor Inicial>,<Valor Final>], juntamente

com o comando Transladar podemos obter uma sequência de polígonos transladados por múltiplos do

vetor u.

O comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor inicial>,<Valor final>] possibilita criar

sequências de números, de pontos, de segmentos, de polígonos, entre outros. O comando deve ser digitado

uma expressão em uma variável a sua escolha, por exemplo:

Para obter os seis primeiros números pares Sequência[2*n, n, 0, 5]

Para obter dez pontos da função f(x) = 2^x: Sequência[(n, f(n)), n, 1, 10]

Nos comandos acima o “n” é a variável do comando e os dois próximos valores determinam os

limites mínimo e máximo em que o comando deve ser executado.

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SIMETRIA DE ROTAÇÃO

Na simetria de rotação, obtemos a imagem de um objeto por meio de um giro em torno de um ponto

fixo, chamado de centro de rotação.

A ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo permite obter uma figura B girando uma

figura A.

Assim, com a ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo ativa, clica-se na figura e no

ponto. O GeoGebra exibe uma caixa com um campo para ser preenchido com a medida do Ângulo. Além

disso, há opções para escolha do sentido do giro.

Definida a amplitude do ângulo e o sentido do giro, clica-se em OK para que seja obtida a imagem

girada pelo ponto O (centro de rotação).

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É possível ainda obter a imagem girada de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para isso,

utiliza-se uma das seguintes sintaxes:

Girar[ <Objeto>, <Ângulo>]

Girar[ <Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>]

As duas sintaxes acima apresentam diferenças quanto aos resultados obtidos. Na primeira a

imagem girada é obtida em relação à origem, ou seja, o ponto (0,0), já que não é especificado o centro de

rotação. E na segunda, a imagem girada é obtida em relação a um centro escolhido arbitrariamente.

Da mesma forma que fizemos com o comando Transladar, podemos utilizar o comando

Girar[<Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>] aninhado ao comando Sequência para obter uma série de polígonos que

correspondem a giros de pol1 em torno do ponto O.

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SIMETRIA DE REFLEXÃO

Na simetria de reflexão há um segmento passando pela figura ou fora dela que atua como espelho,

refletindo a imagem desenhada. Esse segmento recebe o nome de eixo de simetria.

O eixo e divide a figura em duas partes iguais ou congruentes. A figura A e sua simétrica, a figura B,

estão a mesma distância do eixo e.

No GeoGebra podemos obter imagens refletidas utilizando as ferramentas Reflexão em Relação a

uma Reta ou Reflexão em Relação em Relação a um Ponto. Com uma das ferramentas selecionadas, clica-

se na figura a qual deseja-se obter a imagem refletida e clica-se na reta (ou ponto).

É possível ainda obter a imagem refletida de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para

isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes:

Reflexão[ <Objeto>, <Ponto> ]

Reflexão[ <Objeto>, <Reta> ]

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Nesse texto apresentamos algumas noções de como explorar funções no GeoGebra.

COMANDO FUNÇÃO

Entre os diversos comandos que o GeoGebra possui, há o comando Função que tem a seguinte

sintaxe:

Função[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]

Com esse comando obtemos uma função representada graficamente na Janela de Visualização e

algebricamente na Janela de Álgebra. Por exemplo, ao digitarmos f(x) = Função[x^2, -1, 2] na Entrada

obtemos.

Como podemos observar na figura, a partir do comando f(x) = Função[x^2, 1, 2], o GeoGebra

construiu f(x) = x2 na Janela de Álgebra e plotou o gráfico dessa função de (1, f(1)) a (2, f(2)).

É possível construir uma função no GeoGebra sem utilizar o comando Função. Por exemplo, para

construir a função g(x) = 2x3, podemos digitar uma das duas sintaxes a seguir:

g(x) = 2*x^3

2*x^3

Nesses casos não é possível delimitar o intervalo conforme fizemos com f(x) = Função[x^2, 1, 2]

para obter a função f(x) no intervalo [1, 2].

FUNÇÕES COM PARÂMETROS MODIFICÁVEIS

O uso de controles deslizantes permite analisar funções de forma dinâmica, pois, podemos utilizá-

los para definir vários parâmetros de uma função: limites de intervalos em que a função é definida,

coeficientes da função, expoentes de uma função polinomial, entre outros.

Vamos construir uma função f(x) = ax2 + bx + c e plotar seu gráfico em um intervalo I =[x1, x2]. Para

isso, siga os passos abaixo.

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Construa cinco controles deslizantes na Janela de Visualização.

Na Entrada digite o comando f(x)=Função[a*x^2+b*x+c,x_1,x_2].

.

Após realizar esses passos obtém-se uma função f(x), polinomial do 2º grau, em que é possível

controlar o intervalo de plotagem de seu gráfico e os valores dos coeficientes a, b e c.

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

Em Matemática é comum operarmos funções para obtenção de novas funções, por exemplo, dadas

duas funções f = f(x) e g = g(x), podemos obter outras operando com f e com g.

h(x) = f(x) + g(x)

p(x) = f(x).g(x)

q(x) = f(x)/g(x)

e(x) = f(x)g(x)

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No GeoGebra é possível fazer essas operações com funções. Para isso, considere duas funções no

GeoGebra f(x) = x e g(x) = x2.

Digitando h(x) = f(x) + g(x), p(x) = f(x)*g(x), q(x) = f(x)/g(x) e e(x) = f(x)^g(x) na caixa de entrada,

obtém-se funções por meio de cálculos realizados com f e g e que depende diretamente dessas funções.

Na imagem abaixo, foram ocultadas as funções f e g e aparece somente o gráfico de q(x) = f(x)/g(x) na

Janela de Visualização.

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FUNÇÕES COMPOSTAS

Assim como operação entre funções, no GeoGebra é possível fazer obter funções compostas.

No exemplo ilustrado abaixo, construímos duas funções f(x) = (x+1)² e g(x) = sqrt(x).

Para compor a função h(x), que corresponde a g(f(x)), digitamos na caixa de entrada o seguinte

comando: h(x) = g(f(x)). O GeoGebra exibe o gráfico da função h(x) na Janela de Visualização e, na Janela

de Álgebra, é exibida a expressão da função.

Nesse caso, a função g(f(x)) está descrita na Janela de Álgebra como ( ) √( ) . Para obter

uma expressão mais simplificada da função h(x), basta dar um duplo clique na expressão da função. Abrirá

uma caixa Redefinir.

Antes da definição da função deve-se digitar o comando expandir. O GeoGebra me devolve a

expressão da função simplificada. Nesse caso a expressão torna-se ( ) | |. Não haverá nenhuma

modificação no gráfico da função, apenas em sua expressão.

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Nesse texto abordamos como construir objetos utilizando comandos digitáveis na ENTRADA. Além

disso, abordamos como realizar transformações e ações com comandos simples e compostos.

CAMPO DE ENTRADA

Na parte inferior do software GeoGebra é exibido o campo de Entrada, uma caixa de texto em que

podemos digitar comandos para construir objetos, executar transformações, obter medidas, entre outras

possibilidades. Há ainda, ao lado da Entrada, dois ícones, um para inserção de símbolos especiais e outro

para abrir a Janela Ajuda de comandos.

CARACTERES ESPECIAIS

Para inserir um símbolo que pode ser uma letra grega ou um sinal de operação, por exemplo, siga os

passos abaixo.

Enquanto digita um comando clique no ícone de carateres especiais.

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Clique no símbolo especial.

O símbolo especial é inserido no comando.

AJUDA

Clicando no ícone indicado na figura é aberta uma listagem de comandos do software.

Cada um dos itens da listagem corresponde a um título de uma categoria de comandos e, cada

categoria, reúne uma quantidade de comandos. Clicando no sinal ao lado do título do tópico abre-se uma

persiana com os comandos relacionados àquele tópico.

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SINTAXE DE COMANDOS

A sintaxe de um comando diz respeito aos parâmetros necessários para o comando executar sua

função. Vejamos alguns exemplos.

CírculoInscrito[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

Comando para construção de um círculo inscrito a partir de três pontos. Os parâmetros

necessários para o funcionamento correto desse comando são três pontos, dois a dois não

coincidentes.

Na Janela de Visualização foram construídos três pontos: A=(2, 1), B=(5,4) e C=(1,5).

Digitando CírculoInscrito[A,B,C] ou CírculoInscrito[(2,1), (5, 4), (1, 5)], obtém-se o círculo abaixo.

Bissetriz[ <Reta>, <Reta> ]

Bissetriz[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

O comando Bissetriz possui duas sintaxes, ou seja, podemos escrever como parâmetros o nome,

a equação ou a referência a duas retas na primeira forma. Na segunda sintaxe, podemos fazer

referência a três pontos.

Comprimento[ <Vetor> ]

Comprimento[ <Ponto> ]

Comprimento[ <Lista> ]

Comprimento[ <Texto> ]

Comprimento[ <Lugar Geométrico> ]

Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]

Comprimento[ <Função>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ]

Comprimento[ <Curva>, <Valor de t Inicial>, <Valor de t Final> ]

Comprimento[ <Curva>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ]

Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]

Comprimento[ <Curva>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]

Comprimento[ <Função>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ]

Comprimento[ <Curva>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ]

O comando Comprimento, na versão 4.4.34.0 do GeoGebra, possui 13 sintaxes com as quais são

realizadas ações diferentes. Digitando na Entrada Comprimento[ <Vetor> ] é retornado o comprimento do

30

vetor dado como parâmetro. Digitando Comprimento[ <Ponto> ] é retornado a distância de um ponto a (0,

0). Digitando Comprimento[ <Lista> ] é retornada a quantidade de elementos de uma lista.

Na imagem abaixo aparecem três pontos (A, B, C), um vetor u e uma lista construída a partir dos três

pontos, Lista={A, B, C}.

Digitando C_1=Comprimento[Lista], obtemos a quantidade de elementos da Lista, ou seja, C1 = 3.

Digitando C_2=Comprimento[u], obtemos C2=2,24, ou seja, o comprimento do vetor u. E, por último,

digitando C_3=Comprimento[A] o GeoGebra retorna C3 = 1,41, ou seja, a distância de A a (0, 0).

AJUDA ONLINE

O site oficial do GeoGebra disponibiliza um canal de ajuda para

muitos comandos do software.

É possível acessar essa ajuda de duas maneiras. Na primeira delas é

selecione (na janela Ajuda que exibe os comandos do GeoGebra) o

comando para o qual você deseja ajuda, em seguida, clique no botão Exibir

Ajuda Online, que fica na parte interior da janela Ajuda. Isso fará com que

seu navegador carregue a página de ajuda do comando selecionado.

Vale destacar que há muitos textos de ajuda escritos em português,

mas, em sua maioria, os textos estão escritos em inglês.

A outra possibilidade para exibir a ajuda online consiste em acessar o site www.geogebra.org e

clicar na aba Ajuda (canto superior direito da tela). Em seguida, clicar em Comandos (também no canto

superior direito do tela). O site exibirá uma lista dos comandos do GeoGebra na qual é possível clicar no

nome daquele comando para o qual se quer obter mais informações.

31

A partir da digitação de alguns parâmetros no Comando Sequência é possível produzir sequências

numéricas e geométricas, e é o que propomos nesse texto. Para isso, abordamos as sintaxes do comando

e sua utilização na construção de sequências numéricas e de sequências de objetos transformados a partir

de uma figura inicial.

SINTAXE DO COMANDO SEQUÊNCIA

O GeoGebra apresenta três sintaxes diferentes para o comando sequência. Na primeira delas

devemos dar como parâmetro apenas um valor final: Sequência[ <Valor Final> ]. A partir dessa entrada o

software retorna uma lista de números naturais de 1até o Valor Final.

Se o valor final for 10

O GeoGebra exibe a seguinte sequência na Janela de

Álgebra.

A expressão Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ] corresponde a

segunda sintaxe disponível no GeoGebra.

Como parâmetros essa sintaxe exige uma expressão, a explicitação de uma variável, um valor inicial

e um valor final. Por exemplo, se determinarmos que a expressão da nossa sequência é n+1

A variável deverá ser a mesma que foi declarada na expressão. Como na expressão a variável é n, no

parâmetro Variável também devemos declarar a variável como n. Caso contrário, n seria interpretada como

um valor numérico.

O valor inicial e o valor final delimitam os limites da sequência obtida.

No exemplo ilustrado abaixo o valor inicial é 2 e o valor final 8.

Teclando ENTER o GeoGebra exibirá a seguinte lista na Janela de Álgebra.

32

Como o valor inicial é 2 e a expressão n + 1, o GeoGebra retorna 3 como primeiro elemento da lista,

ou seja, somando 1 ao valor do primeiro valor de n (2 + 1 = 3). Essa operação é realizada com n variando de

1 a 8. Assim, o último valor calculado é 9 (8 + 1 = 9).

A terceira sintaxe do Comando Sequência é muito parecida com a segunda. Nessa, é apenas

acrescentado o parâmetro incremento.

Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Incremento> ]

Caso seja escolhida como expressão n +1 na variável n, valor inicial 1, valor final 30 e incremento 5,

devemos digitar a seguinte expressão na ENTRDA.

O GeoGebra opera, nesse caso, com o primeiro n valendo 1, o segundo valendo 6, o terceiro 11, ou

seja, soma 5 (incremento) ao valor do n anterior. Com isso o software retorna a seguinte lista de valores na

Janela de Álgebra.

É importante observar que 27 é o último valor da lista numérica que o GeoGebra exibe ao digitarmos

os parâmetros acima. Ele foi calculado a partir de n = 26. O próximo valor de n seria 26 + 5 = 31 que

aplicado na expressão n + 1 resultaria em 32, que é maior que 30, valor estipulado com limite.

COMANDO SEQUÊNCIA E CONTROLE DESLIZANTE

A segunda e a terceira sintaxe do comando sequência, permitem que determinemos alguns de seus

parâmetros com os valores de controles deslizantes. Dessa forma, ao movimentarmos o slide do controle

deslizante os valores da lista são alterados.

Podemos determinar como parâmetro Valor Final de uma sequência o valor de um controle

deslizante a. O GeoGebra retorna uma lista que dependente do valor do controle deslizante.

Ao movermos o slide do controle deslizante a, os valores da lista são alterados e o GeoGebra

recalcula automaticamente os valores sequência.

33

No exemplo acima, o valor do controle deslizante foi alterado para 7 e, como era o parâmetro Valor

Final da sequência, a lista de valores foi alterada na Janela de Álgebra, exibindo, assim, os 7 primeiros

valores.

Esse é apenas um exemplo de como relacionar os valores de um controle deslizante aos parâmetros

de uma sequência. Nesse caso, definimos que o parâmetro Valor Final seria definido pelos valores do

controle deslizante mas, ao invés desse, poderíamos definir Valor Inicial ou Incremento como parâmetros

dependentes do valor do controle deslizante. Cada um desses casos torna a sequência dependente do

valor do controle deslizante de uma maneira particular a cada caso.

ELEMENTOS DE UMA SEQUÊNCIA

Dada uma sequência, podemos fazer operações com cada elemento dessa sequência

separadamente. Isso é possível com o comando Elemento[<Lista>, <Posição do Elemento>]. Com esse

comando é possível aplicar um determinada ação em um elemento específico de uma lista.

Considere duas sequências numéricas construídas com comando Sequência.

Podemos obter uma lista3, que seja uma lista dos pares ordenados formados pelo elemento 1

da lista1 com o elemento 1 da lista2; elemento 2 da lista1 com elemento 2 da lista2 e assim

sucessivamente, com o seguinte comando

O GeoGebra retorna a seguinte lista da Janela de Álgebra.

Além de obter a lista3 na Janela de Álgebra, o GeoGebra exibe, na Janela de Visualização, a

representação gráfica desses pares ordenados.

34

SEQUÊNCIA E COMANDO GIRAR

No exemplo anterior, mostramos uma possibilidade de usar o comando Sequência em conjunto com

o comando Elemento. Nesse exemplo exploramos uma maneira de usar o comando Sequência em

conjunto com o comando Girar.

Construímos um polígono qualquer na Janela de Visualização do GeoGebra.

Construímos um controle deslizante α, variando entre 0° e 360°, com incremento 1°.

Na entrada digitamos o comando sequência aninhado com comando Girar. Como no exemplo

do comando Elemento, o comando Girar ficará no lugar do parâmetro Expressão no comando

sequência.

Nesse caso, vamos aplicar o comando Girar no polígono que obtemos (pol1) anteriormente e

como parâmetro Ângulo, iremos declarar α*i, ou seja ângulo controlado pelo controle

deslizante multiplicado pela variável i da sequência

Os parâmetros Valor Inicial e Valor Final foram declarados 1 e 10, respectivamente. A partir

desse comando é possível obter, na Janela de Visualização, uma sequência de 11 polígonos

(o polígono original e os outros 10, derivados do comando sequência) que giram de acordo

com o ângulo α, valor atribuído ao controle deslizante

35

Conforme alteramos o valor do controle deslizante, a posição dos polígonos são alterados na Janela

de Visualização. Na imagem acima aparecem apenas 8 polígonos pois estão sobrepostos uns sobre os

outros.

36

Nesse texto abordamos como construir círculos, arcos e setores circulares no GeoGebra a partir de

comandos digitados na caixa de Entrada.

CÍRCULO

O GeoGebra apresenta quatro sintaxes para o comando Círculo. A primeira delas é a seguinte:

Círculo[<Ponto>, <Medida do Raio>]

Nessa sintaxe devemos digitar, como parâmetros, o centro e o comprimento do raio (não é

necessário que o ponto esteja previamente construído). Quanto ao parâmetro Medida do Raio, podemos

digitar um valor numérico, que determinará um raio de comprimento fixo para o círculo. Podemos ainda,

por exemplo, digitar o nome de um controle deslizante. Assim, é possível modificar a medida do raio por

meio do controle deslizante.

Com um ponto A = (1,1) construído na Janela de Visualização e digitando o comando Círculo[A, 2] na

Entrada, obtemos o seguinte círculo.

A segunda sintaxe do comando círculo apresenta os seguintes parâmetros

Círculo[<Ponto>, <Segmento>]

Para construir um círculo a partir do ponto A e do segmento BC digitamos o comando Círculo[A, a] na

Entrada.

37

Caso não houvesse nem o ponto A e nem o segmento BC construídos previamente na Janela de

Visualização, o mesmo resultado poderia ser obtido por meio do comando:

Círculo[(1,1), Segmento[(-3,2),(-1,3)]].

Na terceira sintaxe, Círculo[<Ponto>, <Ponto>], devemos digitar dois pontos como parâmetros: o

primeiro determina o centro do círculo e, o segundo, um ponto sobre a circunferência. A medida do raio,

nesse caso, é determinada pela distância entre esses pontos. O procedimento para obter o círculo usando

esse comando é semelhante aos que apresentamos nos exemplos anteriores.

A quarta e última sintaxe do comando Círculo é a seguinte:

Círculo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>]

Na entrada digitamos o comando determinando quais são os pontos que estarão sobre a

circunferência. Por exemplo, digitamos Círculo[(1, 1), (3, 1), (2, 4)] para construir um círculo cuja

circunferência passa pelos pontos (1, 1), (3, 1) e (2, 4).

ARCO

As sintaxes a seguir são úteis para a construção de arcos no GeoGebra:

Arco[ <Círculo>, <Ponto>, <Ponto> ]

Arco[ <Elipse>, <Ponto>, <Ponto> ]

Arco[ <Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ]

Arco[ <Elipse>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ]

ArcoCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ]

ArcoCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

38

As duas primeiras sintaxes são uteis para construir arcos tendo como suporte um círculo ou uma

elipse e dois pontos. Veja como construir um arco sobre uma elipse nos passos a seguir.

Considere uma elipse e e dois pontos A e B. Note que A pertence a curva da elipse e e B não pertence a curva da elipse e.

Digitamos o seguinte comando na Entrada:

Arco[e, A, B]

e obtemos um arco sobre a elipse e delimitado pelo ângulo de vértice em (0,0) e semirretas por A e B.

As sintaxes Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] e Arco[<Elipse>, <Valor do

Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>], são utilizadas para obter arcos sobre círculos e elipses,

respectivamente. Os valores dos parâmetros são úteis para definir os giros dos pontos inicial e final desse

arco.

Na imagem a seguir aparece uma circunferência c e semirretas consecutivas formando ângulos de

15º. Além disso, foram construídos dois pontos A e B.

Observe o resultado de Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] em cada caso.

caso 1: Arco[c, 15°, 45°]

39

caso 2: Arco[c, A, B]

caso 3: Arco[c, B, A]

caso 4: Arco[c, π, 2π]

SETOR

Para construir setores utilizando comandos devemos utilizar uma das sintaxes a seguir:

Setor[ <Cônica>, <Ponto>, <Ponto> ]

Setor[ <Cônica>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ]

SetorCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ]

SetorCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

Essas sintaxes são utilizadas de modo semelhante ao que apresentamos para arcos.

40

No texto que segue apresentamos como construir parábolas, elipses e hipérboles utilizando

ferramentas disponíveis no GeoGebra.

PARÁBOLA

A ferramenta para construir parábolas, elipses e hipérboles está localizada no sétimo ícone da barra

de ferramentas, da esquerda para a direita. Além dessas três possibilidades, nesse menu ainda

encontramos a ferramenta Cônica por Cinco Pontos, que abordaremos mais adiante.

Ao escolhermos a ferramenta parábola, o GeoGebra exibe uma mensagem de ajuda como mostra a

figura abaixo.

Assim, para construir parábolas utilizando essa ferramenta, devemos construir previamente um

ponto (foco) e uma reta, semirreta ou um segmento (diretriz). Com a ferramenta Parábola selecionada,

basta clicar no ponto e, em seguida, na reta, ou seja, no foco e na diretriz. Para realizar a construção que

aparece na imagem a seguir selecionamos a ferramenta Parábola, clicamos no ponto C e, por último,

clicamos no segmento AB.

Na Janela de Álgebra o GeoGebra exibiu a equação da parábola

A parábola construída desse modo fica dependente da posição da reta diretriz e do ponto (foco).

Assim, se a posição desses objetos for modificada os parâmetros da parábola também serão modificados.

41

No GeoGebra é possível construir parábolas digitando o comando Parábola[ <Ponto>, <Reta>] na

Entrada com os devidos parámetros. Por exemplo, para construir, a parábola exibida na imagem acima,

podemos digitar o seguinte comando na Entrada.

ELIPSE

Para construir elipses no GeoGebra utilizando o mouse, basta selecionar a ferramenta e clicar em

três pontos distintos na Janela de Visualização. Os dois primeiros pontos serão os focos e o terceiro será

um ponto que ficará sobre a curva da elipse. Diferente da parábola, para construir elipses com o mouse

não é necessário que os pontos estejam construídos antes de utilizar a ferramenta.

Após concluir a construção, o GeoGebra exibe a elipse e os três pontos na Janela de Visualização e,

na Janela de Álgebra, são exibidas a equação da elipse e as coordenadas dos pontos.

Podemos construir elipses digitando comandos na Entrada.

Elipse[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ]

Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ]

Ao digitar o comando Elipse[(2,0),(6,0),(3,2)] o GeoGebra exibe a elipse na Janela de Visualização,

sem pontos que indicam os focos, e na Janela de Álgebra exibe apenas a equação da elipse.

42

Os outros dois comandos para construir elipses possuem parâmetros para determinar o tamanho do

semieixo maior da elipse. Na sintaxe Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ] o

tamanho do semieixo é determinado por um valor numérico. Em Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ], o

comprimento do semieixo depende do comprimento de um segmento.

Podemos criar um controle deslizante e determinar como valor do comprimento o nome do controle

deslizante. Assim, conforme alteramos o valor desse controle deslizante os parâmetros da elipse serão

modificados. O mesmo acontece com a sintaxe, na qual o comprimento fica dependente de um segmento,

se alterarmos o tamanho do segmento os parâmetros da elipse são redefinidos.

HIPÉRBOLE

O procedimento para obter hipérboles com o mouse é semelhante ao usado para obter elipses. Com

a ferramenta Hipérbole ativa, clicamos em três pontos distintos na Janela de Visualização. Esses pontos

podem ser construídos enquanto utiliza a ferramenta: os dois primeiros pontos serão os focos e o terceiro

será um ponto pelo qual a hipérbole irá passar.

Para construir hipérboles por meio de comandos na Entrada, utilizamos uma das seguintes sintaxes

com os devidos parâmetros.

Hipérbole[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ]

Hipérbole[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ]

Hipérbole[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

43

Nesse texto apresentamos a Janela Planilha do GeoGebra e alguns de seus recursos para trabalhar

em conjunto com as janelas de Álgebra e de Visualização.

PLANILHA, CÉLULAS E CONTEÚDO

Para abrir a planilha no GeoGebra basta clicar no menu Exibir e acessar a opção Planilha.

Essa ação faz carregar a Planilha no lado direito do GeoGebra conforme a figura abaixo.

Em uma célula da planilha é possível digitar valores numéricos, coordenadas de pontos, funções,

segmentos, polígonos, entre outros. Nas células A1 a A5 foram digitados as seguintes entradas:

A1: -3

A2: (1, 1)

A3: 3x

A4: Segmento[(2, 2), (4, 3)]

A5: Polígono[(-1, 1), (-3, 2), (-2, 3)]

44

A partir dessas entradas o GeoGebra exibiu um valor numérico em A1, as coordenadas de um ponto

em A2, a expressão da função em A3, o comprimento do segmento em A4 e a área do polígono em A5.

Exibiu ainda a representação gráfica desses objetos na Janela de Visualização.

Note que o ponto (1,1) não foi exibido na Janela de Visualização. Para exibi-lo basta clicar com o

botão direto do mouse na célula A2 e, em seguida, clicar em Exibir Objeto.

ÍCONES DE CÁLCULOS

Na imagem ao lado são apresentados alguns valores que

foram digitados nas células A1 a A5 da Planilha. Utilizando as

ferramentas da Barra de Ícones da Planilha podemos calcular a

soma, a média, o máximo, o mínimo e a quantidade de números

desse intervalo.

Apresentamos, a seguir, o processo para calcular a soma das

células do intervalo A1:A5.

Clique com o mouse na célula A1 e arraste até a célula A5. Isso faz com que o intervalo A1:A5 fique selecionado.

Na Barra de Ícones da Planilha clique em Soma.

45

Esse procedimento têm como resultado a soma do

conteúdo das células selecionadas. O GeoGebra apresenta a

soma na célula imediatamente abaixo da seleção.

LISTAS E TABELAS

Na imagem abaixo aparece a Planilha do GeoGebra e o intervalo de células A1:C3 preenchido com

valores de 1 a 9.

Utilizando as opções do terceiro ícone da Barra de Ícones da Planilha podemos compor listas,

matrizes, tabelas e caminhos poligonais a partir do conteúdo de uma Planilha.

Veja o processo para obter uma lista a partir de um intervalo de células da Planilha.

Com o mouse selecione o intervalo de células.

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Na Barra de ícones clique em Criar Lista. É exibida uma janela com as seguintes opções.

A opção Objetos Dependentes cria uma lista vinculada a planilha. Assim, se o valor de uma célula for modificado, esse valor é atualizado na lista. Selecionando a opção Objetos Livres é criada uma lista desvinculada da planilha.

A partir dos dados exibidos no item 1 e escolhendo Ordem das Linhas, o GeoGebra cria:

lista1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Escolhendo a opção Ordem da Coluna, o GeoGebra retorna a seguinte lista:

Lista2 = {1, 4, 7, 2, 5, 8, 3, 6, 9}

Com os mesmos valores selecionados podemos clicar em Matriz. Com esse procedimento criamos

uma matriz a partir da planilha que é exibida na Janela de Álgebra.

O GeoGebra possui um conjunto de comandos que permite operar com matrizes. Veja alguns

comandos a seguir:

Determinante[ <Matriz> ]

MatrizInversa[ <Matriz> ]

MatrizTransposta[ <Matriz> ]

Posto[ <Matrix> ]

47

ESTATÍSTICA

A Barra de Ícones de Planilha oferece ainda recursos de estatística. Veja as opções na imagem a

seguir.

Nos passos abaixo mostramos como obter uma Análise Univariada a partir de um conjunto de doze

valores em uma planilha.

Preencha uma coluna da tabela com os valores que deseja analisar e selecione o intervalo.

Na Barra de Ícones, clique em Análise Univariada. O GeoGebra apresenta a seguinte caixa de diálogo para conferência dos valores. Você deve confirmar a análise clicando em Analisar.

O GeoGebra exibe a seguinte janela com um resumo estatísticos dos dados e um histograma.

Clicando no ícone são exibidos os valores sobre os quais os cálculos foram realizados. E, com tais valores exibidos, é possível excluir aqueles que desejar do resumo estatístico.

48

Nesse texto abordamos o uso da ferramenta Lugar Geométrico a partir da realização de algumas

construções.

FERRAMENTA LUGAR GEOMÉTRICO

A ferramenta Lugar Geométrico pode ser encontrada no quarto ícone da Barra de Ferramentas (da

esquerda para a direta)

Segundo a ajuda dessa ferramenta devemos selecionar o ponto do lugar geométrico e, depois, o

ponto sobre o objeto ou o controle deslizante. Devemos observar que o ponto do lugar geométrico deve ser

dependente do ponto sobre o objeto ou do controle deslizante. Se não houver relação entre esses objetos,

o GeoGebra não constrói o lugar geométrico.

LUGAR GEOMÉTRICO E CONTROLE DESLIZANTE

Veja a seguir um exemplo de como obter um lugar geométrico usando um ponto dependente de um

controle deslizante.

Construímos um controle deslizante a, com valor inicial -5, valor final 5 e incremento 0.1.

Construímos um ponto A digitando o seguinte comando na ENTRADA.

Desse modo o ponto fica dependente do controle deslizante a. Se alterarmos os valores do controle deslizante, esse ponto se moverá na horizontal de x = -5 a x = 5.

Habilitando o rastro do ponto A animando o controle deslizante a, obtemos.

49

O rastro é o conjunto formado por alguns pontos que possuem coordenadas (a, 2). Se aplicarmos a

ferramenta Lugar Geométrico nesse caso, o GeoGebra exibe na Janela de Visualização um segmento que

ocupa a mesma posição do rastro do ponto A. Com a ferramenta Lugar Geométrico selecionada, devemos

clicar sobre o ponto A (ponto sobre o lugar geométrico) e, depois, no controle deslizante “a”.

PARÁBOLA

A parábola é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de um ponto, o foco, e de uma reta

diretriz. Assim, para construirmos a parábola precisamos construir um ponto que, ao ser movimentado, se

mantenha sempre a mesma distância do foco e da diretriz.

Construímos uma reta a por AB e um ponto C sobre a reta.

O ponto assim construído, quando movimentado com o ponteiro do mouse, desliza somente sobre a reta.

Construímos um ponto D não pertencente a reta.

Com a ferramenta Mediatriz selecionada clicamos nos pontos C e D.

Traçamos a perpendicular a reta a por C e marcamos a interseção da mediatriz e da reta perpendicular.

50

Ao movimentarmos o ponto C sobre a reta diretriz, com o rastro de E habilitado, obtemos um

conjunto de pontos equidistantes de D e da reta AB, ou seja, pontos sobre uma parábola.

Com a ferramenta Lugar Geométrico selecionada, clicando em E e, em seguida, em C, obtemos uma

parábola como lugar geométrico.

EQUAÇÃO DO LUGAR GEOMÉTRICO

Para obter a equação de um lugar geométrico podemos digitar na ENTRADA o comando

EquaçãoDoLugarGeométrico[<Lugar Geométrico>].

Por exemplo, para obter a equação da parábola construída anteriormente, basta digitar

EquaçãoDoLugarGeométrico[lg1] na ENTRADA. O GeoGebra retorna sua equação na Janela de Álgebra.

51

Esse comando ainda tem uma segunda sintaxe:

EquaçãoDoLugarGeométrico[<Ponto do Lugar Geométrico>, <Ponto Móvel>].

Nessa sintaxe digitamos as coordenadas do ponto que estará sobre a curva do lugar geométrico e

do ponto que deslizará sobre uma reta ou curva.

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O GeoGebra oferece em sua instalação padrão um conjunto de ferramentas acessíveis por meio da

Barra de Ferramentas e um conjunto com comandos que permitem construir objetos, realizar

transformações, executar ações. Além disso, oferece a possibilidade de o usuário criar suas próprias

ferramentas, exibi-las na Barra de Ferramentas e usá-las por meio de comandos na Entrada. Nesse texto

abordamos o processo de construção de uma nova ferramenta no GeoGebra e de como integrá-la a outras

ferramentas e à planilha.

CÍRCULO DADO O DIÂMETRO

É possível construir um círculo no GeoGebra a partir de três pontos, a partir do centro e da medida do

raio, a partir do centro e de um ponto pertencente a circunferência. No entanto, não há uma ferramenta que

possibilite construir um círculo a partir de dois pontos cuja distância determine a medida de seu diâmetro.

Apresentamos a seguir como construir essa ferramenta.

Construa dois pontos na Janela de Visualização.

Encontre o ponto médio desses pontos. O que pode ser feito utilizando a ferramenta Ponto Médio ou digitando, na Entrada, o comando PontoMédio[A, B].

Utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e um de seus Pontos, clique em M e, em seguida, clique em A ou B e obtenha um círculo.

Tecle ESC para ativar o ponteiro e clique no nome ou no objeto final de sua construção, ou seja, no círculo.

Clique no menu Ferramentas. E, depois, clique em Criar uma Nova Ferramenta.

Abre-se uma janela com três abas: Objetos Finais, Objetos Iniciais e Nome e Ícone. Na aba Objetos Finais selecione os objetos que deseja como resultado do uso da ferramenta que está construindo.

Como selecionamos o círculo antes de acessar a opção Criar uma Nova Ferramenta, o GeoGebra lista o círculo como o único objeto final.

53

Na aba Objetos Iniciais devem ser escolhidos os objetos que são fundamentais para a construção do objeto final. Nesse caso devem ser os pontos A e B que determinam a medida do diâmetro do círculo.

Na aba Nome e Ícone você deve digitar um nome para sua ferramenta. Enquanto digita, o GeoGebra sugere uma sintaxe para o comando relacionado a essa ferramenta. Você pode aceitar ou modificar essa sintaxe.

Em Ajuda digite os procedimentos que o usuário deve executar após clicar nessa ferramenta. Nesse caso, o usuário deve clicar em dois pontos. Clicando em Ícone é possível selecionar uma imagem de seu computador para ser usada como imagem do ícone na Barra de Ferramentas.

Por último, clique em Concluído para finalizar a construção da nova ferramenta.

Após concluir a construção da ferramenta Círculo dado o Diâmetro a Barra de Ferramentas passa a

exibi-la como o último ícone, conforme mostra a imagem abaixo.

Deletar a circunferência e os pontos que foram úteis para a construção dessa ferramenta não afeta

seu funcionamento. Para utilizar a ferramenta Círculo dado o Diâmetro você pode:

clicar em seu ícone e depois clicar em dois pontos A e B e obter um círculo; este foi o processo

de construção do círculo c por A e B.

clicar em seu ícone e construir o círculo clicando em diferentes pontos da Janela de Visualização

sem que existam pontos pré-construídos; processo utilizado na construção do círculo d.

digitar o comando CírculoDiâmetro [ <Ponto>, <Ponto> ] na Entrada; mudando os parâmetros

para (12,2) e (15,4), ou seja, CírculoDiâmetro[(12,2),(15,4)], obtém-se o círculo e.

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UMA NOVA FERRAMENTA USADA COM O COMANDO SEQUÊNCIA

A ferramenta Círculo dado o Diâmetro tem como objeto final um círculo, ou seja, ao utilizá-la de uma

das formas abordadas anteriormente você obterá como produto a construção de apenas um objeto. No

entanto é possível construir ferramentas que resultam em mais de um objeto final, por exemplo, uma

ferramenta que a partir de três pontos construa um triângulo com seu círculo inscrito como mostra a figura

abaixo.

Ferramentas que produzem apenas um objeto podem ser facilmente utilizadas em conjunto com o

comando Sequência. Por exemplo, suponha que você tenha que construir círculos cujos diâmetros são

dados pelas distâncias de pares de pontos consecutivos que foram construídos sobre uma reta como

exibido na imagem abaixo.

Na Entrada digite o seguinte comando.

Isso terá como resultado uma lista de pontos na ordem em que aparecem sobre a reta (da esquerda para a direita)

Digite na Entrada Sequência[CírculoDiâmetro[Elemento[P,i],Elemento[P,i+1]],i,1,9]. Esse comando constrói uma sequência de círculos com o comando CírculoDiâmetro tomando como parâmetros pares de pontos consecutivos da lista P.

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UMA NOVA FERRAMENTA USADA EM PLANILHA

Agora vamos abordar como utilizar uma nova ferramenta em conjunto com a planilha do GeoGebra.

Para tanto, tomamos como exemplo a ferramenta Círculo dado o Diâmetro que construímos anteriormente.

Vamos utilizá-la para construir círculos cujos diâmetros sejam delimitados por pontos sobre a curva de

uma espiral de Arquimedes.

Clique na ferramenta Controle Deslizante e construa um controle deslizante para determinar a medida de um ângulo com os parâmetros que aparecem na figura abaixo.

Construa outro controle deslizante n para selecionar valores naturais de 1 a 20.

Na Entrada digite o comando Curva[t cos(t), t sen(t), t, 0, 20α]. Com esse comando o GeoGebra retornará a expressão da Espiral de Arquimedes na Janela de Álgebra e seu gráfico na Janela de Visualização. Além disso, nomeará essa função paramétrica de a.

Na Entrada digite o seguinte comando:

O GeoGebra retornará uma sequência de vinte pontos sobre a curva a.

Clique no menu Exibir e acesse a opção Planilha para que seja exibida a planilha do GeoGebra. Na célula A1, digite 1 e, na célula A2, digite = A1 + 1.

Em seguida, clique com o mouse no canto direito inferior da célula A2 e arraste até a célula A20.

A fórmula de A2 será copiada para as demais células exibindo números de 1 a 20 no intervalo de A1 a A20.

56

Na célula B1 digite o comando:

Esse comando tem como resultado um círculo cujas extremidades do diâmetro são os elementos 1 e 2 da lista Pontos, pois A1 = 1 e n = 1 (A1 é a primeira célula da coluna A e n é o controle deslizante).

A equação do círculo é exibida na célula B1 e seu gráfico na Janela de Visualização.

Clique no canto inferior direito da célula B1 e arraste até a célula B20. Isso fará com que o GeoGebra copie e cole a expressão de B1 nas células de B2, B3, B4, ..., B20.

Por último, selecione as células A1, A5, A9 e A17. Para isso, clique em uma delas, segure a tecla Ctrl e clique nas demais. Depois, com a tecla Ctrl ainda pressionada, clique com o botão direto do mouse sobre uma das células selecionadas e acesse a opção Propriedades: mude a cor para vermelha e a transparência para 25. Realize o mesmo processo para os blocos (A2, A6, A10, A18), (A3, A7, A11, A19) e (A4, A8, A12 e A20), escolhendo as cores verde, amarela e azul.

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Modificando os controles deslizantes para valores específicos obtemos as seguintes imagens.

COMPARTILHANDO FERRAMENTAS COM OUTROS USUÁRIOS DO GEOGEBRA

É possível salvar uma ferramenta construída por você em um arquivo com extensão .ggt e

compartilhá-la com outros usuários do GeoGebra para que ele possa inseri-la e usá-la em sua instalação

do GeoGebra. Abordamos a seguir como compartilhar a ferramenta Círculo dado o Diâmetro que

construímos anteriormente.

Clique em Ferramentas e acesse a opção Gerenciar Ferramentas.

Selecione a ferramenta Círculo dado o Diâmetro na caixa Ferramentas e, em seguida, clique em Gravar Como.

Por último, clique em Gravar. O arquivo será gravado em uma pasta de sua escolha com a extensão “.ggt”.

58

No processo acima obtivemos um arquivo cujo nome é circulodiametro.ggt que está disponível em

www.ogeogebra.com.br/permanente/circulodiametro.zip. Clicando nesse link é possível salvar essa

ferramenta em seu computador e utilizá-la em sua instalação do GeoGebra.

Após baixar o arquivo em seu computador, abra o GeoGebra e clique em Arquivo e acesse a opção Abrir.

Em seguida, escolha o arquivo circulodiametro.ggt e clique em Abrir.

A ferramenta Círculo dado o Diâmetro será incluída no GeoGebra e será exibida na Barra de Ferramentas. Essa ferramenta poderá ser usada a partir da Entrada por meio do comando:

CírculoDiâmetro[ <Ponto>, <Ponto> ]

Para ferramenta ficar acessível no programa e, não apenas, no arquivo aberto. após realizar o

processo descrito acima, clique em Opções e, em seguida, Gravar Configurações.

59

No texto que segue abordamos algumas possibilidades de construção de formas tridimensionais no

GeoGebra. Para isso, discutimos inicialmente rotação com vetores em R3 para, em seguida, obtermos suas

projeções no plano. Depois abordamos como construir um arquivo base no GeoGebra sobre o qual faremos

construções em três dimensões e, como exemplo, a construção de formas obtidas por revoluções.

ROTAÇÃO EM R3 E PROJEÇÃO NO PLANO

Considere um sistema ortogonal com os eixos x, y e z. Esses eixos tomados dois a dois determinam

planos.

A partir de um objeto plotado nesse sistema ortogonal é possível obter outro girando o primeiro em

torno do eixo x, y ou z.

Para obter a imagem rotacionada de um objeto um ângulo em torno do eixo x, por exemplo, é preciso

rotacionar cada um de seus vértices Vn = (xn, yn, zn). Para tanto deve ser realizado o seguinte cálculo.

n

n

n

Rx

1 0 0 x

0 cos( ) sen( ) . y

0 sen( ) cos( ) z

A matriz Rx é a matriz de rotação em

torno do eixo x. Neste texto fica designada

como Ry a matriz de rotação em um ângulo

em torno do eixo y e de Rz a matriz de rotação

um ângulo em torno do eixo z, e são elas:

y

cos( ) 0 sen( )

R 0 1 0

sen( ) 0 cos( )

e z

cos( ) sen( ) 0

R sen( ) cos( ) 0

0 0 1

60

Um ponto Vn = (xn, yn, zn) pode ser rotacionado em relação ao eixo x, em seguida em relação ao eixo y

e, depois, em relação ao eixo z. Nesse caso, as coordenadas da imagem rotacionada podem ser calculadas

por meio da seguinte expressão:

x y z nR R R V

n

n

n

1 0 0 cos( ) 0 sen( ) cos( ) sen( ) 0 x

0 cos( ) sen( ) . 0 1 0 . sen( ) cos( ) 0 . y

0 sen( ) cos( ) sen( ) 0 cos( ) 0 0 1 z

cos( ).cos( ) cos( ).sen( ) sen( )

sen( ).sen( ).cos( ) cos( ).sen( ) sen( ).sen( ).sen( ) cos( ).cos( ) sen( ).cos( )

cos( ).sen( ).cos( ) sen( ).sen( ) cos( ).sen( ).sen( ) sen( ).cos( ) cos( ).cos( )

n

n

n

Rxyz

x

. y

z

A partir da matriz Rxyz obtemos três submatrizes:

Essas matrizes correspondem a projeções dos vetores coluna no plano yz e serão usadas nas

construções das próximas seções.

sen( ).sen( ).cos( ) cos( ).sen( )x'

cos( ).sen( ).cos( ) sen( ).sen( )

, sen( ).sen( ).sen( ) cos( ).cos( )

y'cos( ).sen( ).sen( ) sen( ).cos( )

sen( ).cos( )z'

cos( ).cos( )

CONSTRUÇÃO DO ARQUIVO BASE

O arquivo que construímos a seguir é utilizado para realizar as demais construções que propomos

nesse texto. Assim, após concluirmos essa construção salvaremos com o nome base para ser utilizado em

cada construção que iniciarmos.

Com o GeoGebra aberto exibindo os eixos e a malhas construa três círculos de raio 1 com centro nos pontos: O1 = (-3, 2), O2 = (-3, 5) e O3 = (-3, 8).

Construa os pontos P1 = (-2, 2), P2 = (-2, 5) e P3 = (-2, 8) e três pontos sobre as circunferências como mostra a figura abaixo.

61

Construa os segmentos para determinar os lados dos ângulos = P1O1A, = P2O2A e = P3O3A e, utilizando a ferramenta Ângulo, marque esses ângulos.

Defina as circunferências, os segmentos e os pontos O1, O2, O3, P1, P2, P3 como objetos auxiliares. Em seguida, oculte os eixos e os objetos construídos de maneira que fiquem exibidos somente os objetos que aparecem na imagem abaixo.

Clique no menu Exibir e acesse a opção de Janela de Visualização 2 e, na Entrada digite os comandos abaixo para construir um ponto e três vetores:

O = (0, 0)

x' = (cos(α) sen(γ), -cos(α) sen(β) cos(γ) + sen(α) sen(γ))

y’ = (-sen(α) sen(β) sen(γ) + cos(α) cos(γ), cos(α) sen(β) sen(γ) + sen(α) cos(γ))

z’ = (-sen(α) cos(β), cos(α) cos(β))

Com isso ficam construídos os vetores que definem o espaço R3 rotacionado segundo os ângulos , e e projetado no plano yz. Na imagem acima é apresentada uma projeção de R3 em xy para = 0°, = 45° e = 315°.

Salve o arquivo nomeando-o de base. Utilizamos cópias desse arquivo nas construções que seguem.

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FIGURAS POR REVOLUÇÃO

Abordamos a seguir como construir um objeto no arquivo produzido na seção anterior para obter

formas tridimensionais por meio de revoluções.

Abra o arquivo base e construa dois controles deslizantes: comprimento e largura. Sugerimos que o comprimento tenha valor mínimo 0, valor máximo 10 e incremento 0.1; e o largura tenha valor mínimo 0, valor máximo 5 e incremento 0.1. Em seguida, na Entrada, digite o seguinte comando:

Com isso, obtemos um retângulo cuja largura e comprimento são determinadas pelos valores dos controles deslizantes.

Com a ferramenta Ponto em Objeto construa quatro pontos no polígono. Em seguida, construa um polígono com vértices nesses pontos.

Construa um controle deslizante n com valor mínimo 0, valor máximo 60 e incremento 1. Em seguida, na Entrada digite o seguinte comando

Como é possível ver na imagem abaixo, esse comando retorna um conjunto de 30 pontos girados 6°, 12°, 18°, ..., 180° em torno de (0, 0), pois n = 30 e o ponto girado corresponde a projeção ortogonal de D sobre o eixo x.

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Na Entrada digite os comandos abaixo

L_2=Sequência[Girar[(x(E),0), (i 6)°], i, 0, n]

L_3=Sequência[Girar[(x(F),0), (i 6)°], i, 0, n]

L_4=Sequência[Girar[(x(G),0), (i 6)°], i, 0, n]

para obter as sequências de giros em torno de (0, 0) das projeções ortogonais de E, F e G no eixo x.

Fazendo n = 60 você obtém a figura ao lado.

Digitando o comando L_5 = Sequência[x(Elemento[L_1, i]) x' + y(Elemento[L_1, i]) y' + y(D) z', i, 1, n], você obtém a representação em 3D dos pontos da sequência L1, ou seja, os 60 pontos dessa sequência correspondentes a giros da projeção de D em torno de (0, 0) são plotados no plano x’y’ e transladados pelo vetor y(D) . z’.

Na Janela de Visualização aparecem os pontos em uma representação plana e, na Janela de Visualização 2, as imagens desses pontos em uma representação tridimensional.

A partir dos comandos abaixo você obtém a representação tridimensional das sequências de pontos L2, L3 e L4.

L_6 = Sequência[x(Elemento[L_2, i]) x' + y(Elemento[L_2, i]) y' + y(E) z', i, 1, n]

L_7 = Sequência[x(Elemento[L_3, i]) x' + y(Elemento[L_3, i]) y' + y(F) z', i, 1, n]

L_8 = Sequência[x(Elemento[L_4, i]) x' + y(Elemento[L_4, i]) y'+ y(G) z', i, 1, n]

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Digitando o seguinte comando

L_9 = Sequência[Polígono[Elemento[L_5, i], Elemento[L_6, i], Elemento[L_7, i], Elemento[L_8, i]], i, 0, n]

na Entrada você obtém os polígonos formados por elementos das listas L5, L6, L7 e L8. Veja na imagem abaixo o resultado para n = 1, n= 25 e n = 60.

n = 25

n=60

O polígono verde exibido na Janela de Visualização 2 é obtido por meio do seguinte comando:

Polígono[Elemento[L_5, n], Elemento[L_6, n], Elemento[L_7, n], Elemento[L_8, n]]

Reposicionando os pontos D, E, F e G é possível obter cilindros, cones e troncos de cone.

cilindro

65

cone

tronco de cone

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Nesse texto vamos abordar como construir dois jogos utilizando os recursos gráficos, funções

matemáticas e comandos internos do GeoGebra.

COMANDO SE

O comando Se, ou condicional, será muito útil no momento de construirmos os comandos para que

os objetos do GeoGebra (polígonos e pontos) passem a funcionar como peças de um jogo.

O condicional Se[<Condição>, <Então>] é um comando que realiza um teste lógico de uma expressão:

<Condição>. Caso o teste retorne um valor verdadeiro é executada a segunda parte do comando: <Então>.

Em uma sintaxe mais completa, o comando Se possui três parâmetros:

Se[ <Condição>, <Então>, <Senão> ]

Caso o valor de <Condição> seja verdadeiro é executada a expressão <Então>. Se a <Condição> for

falsa, é executada a expressão <Senão>. Por exemplo, é possível obter uma sequência digitando o seguinte

comando na Entrada.

A condição do comando Se é Resto[1, 3] ≟ 0. Em outras palavras, se ao dividir o valor de i que varia

de 1 a 20 por 3 o resto for 0, retorna o valor de i, caso contrário, retorna 0.

Veja a seguir a lista construída e exibida na Janela de Álgebra ao executar esse comando.

O comando Se pode ainda ser utilizado para construir funções definidas por partes. Por exemplo,

digitando f(x) = Se[x>=0, x, x^2] na Entrada, o GeoGebra retorna a expressão e o gráfico exibidos abaixo.

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JOGO DAS CORES

O Jogo das Cores é formado por 15 quadrados e uma célula vazia dispostos em um arranjo 4 x 4. O

objetivo do jogo consiste em a partir de uma disposição inicial obter uma disposição final a escolha do

jogador.

Disposição inicial

Disposições finais

Uma peça pode se movimentar na vertical ou na horizontal quando estiver adjacente a célula vazia.

Para realizar uma jogada basta clicar sobre uma peça.

Siga os passos descritos abaixo para construir o Jogo das Cores.

Construa 17 pontos e nomeie-os de P_1 a P_{15}, o penúltimo de V e o último de Q.

Os pontos P1 a P15 servirão como âncoras das peças, o ponto V marcará a célula vazia e Q servirá para reservar coordenadas do ponto âncora da peça clicada, o que será abordado no item 7. Após renomear os pontos, oculte o ponto Q.

Na Entrada digite o comando a seguir

O resultado desse comando é a construção de um quadrado ancorado somente no ponto P1, pois o segundo ponto do comando Polígono é obtido em função de P1.

Ao mover o ponto P1, o polígono é redefinido a partir desse ponto. O polígono está ancorado em P1.

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Na Entrada digite o comando do passo anterior substituindo P_1 por P_2, P_3, ... P_{15}.

Polígono[P_2, (x(P_2)+1,y(P_2)),4] a Polígono[P_{15}, (x(P_{15})+1,y(P_{15}),4]

Ao final desse processo você constrói15 quadrados ancorados nos pontos de P1 a P15.

Construa um controle deslizante com valor mínimo: 0; valor máximo: 1 e incremento: 0.1. Esse controle será utilizado para definir a transparência de cada quadrado. Em seguida, modifique a cor dos polígonos conforme exibido na imagem abaixo.

Selecione os polígonos da primeira coluna. Em seguida, acesse Propriedades e, na aba Avançado, preencha Transparência com o nome do controle deslizante. Modificando o valor do controle deslizante para 1 o resultado será o seguinte.

Com o valor do controle deslizante zero os quadrados ficam completamente transparentes.

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O movimento de uma peça é realizado permutando as coordenadas de seu ponto âncora (P1, P2, ..., P15) com as coordenadas do ponto V. Para realizar essa troca de coordenadas é necessário que o ponto Q reserve as coordenadas do ponto Âncora (Pn) da peça clicada. Assim, ao clicar em uma peça, Q recebe as coordenadas de Pn,

Em seguida, Pn recebe as coordenadas de V.

E, por último, V recebe as coordenadas de Q.

Esse artifício é utilizado, porque não é possível realizar a permutação direta das coordenas de Pn e V.

Ao clicar em uma peça, ela é movimentada para a célula vazia se estiver adjacente a célula vazia. As únicas peças que podem ser movimentadas na disposição abaixo são: pol7, pol10, pol11 e pol12.

O critério acima deve ser traduzido em comandos para o GeoGebra. Logo, uma peça pode ser movimentada para a célula vazia se seu ponto âncora (Pn) possuir distância igual a 1 do ponto V:

Distância[P_n,V] ≟ 1

Na disposição acima, os pontos P7, P10, P11 e P12 (âncoras de pol7, pol10, pol11 e pol12) atendem a esse critério.

Para que cada polígono se comporte como uma peça e o arranjo 3 x 3 seja um jogo, em cada polígono devem ser escritas três linhas de comandos.

O comando da primeira linha reserva as coordenadas de P10 em Q. O comando da segunda linha verifica se a distância de P10 a V é igual a 1 (Q guarda as coordenadas de P10) e. se for verdadeiro, P10 recebe as coordenadas de V para que a peça 10 ocupe a célula vazia. Por último, a célula vazia, cujo ponto V determina seu endereço, recebe as antigas coordenadas de P10 armazenadas em Q e, com isso, é realizada a troca de coordenadas de P10 e V.

Essas três linhas de comandos devem ser escritas na aba Programação, em Ao Clicar, das peças 1, 2, 3,...,15. Deve-se ter atenção especial em modificar P_{10} para P_1, P_2, P_3, ... , P_9, P_{11}, ..., P_{15}.

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Oculte os pontos e os rótulos dos polígonos. Em seguida, selecione todos os polígonos, acesse propriedades e, na aba Básico, altere Fixar Objeto para ativo. Na aba Avançado, desabilite a descrição. Por último oculte o controle deslizante e jogo estará pronto para disputar uma partida.

JOGO DO 15

Aproveitando a estrutura do Jogo das Cores é possível construir o Jogo do 15.

O “15-puzzle” ou “Jogo do 15” é um antigo jogo de translações composto por um arranjo de 15

peças. Nesse jogo o objetivo consiste em organizar as peças em ordem crescente conforme indicado na

figura abaixo.

Uma peça pode ser deslocada na vertical

ou na horizontal de modo semelhante ao que

acontece com o Jogo das Cores. Para construir

o Jogo do 15 a partir da estrutura do Jogo das

Cores é necessário construir quadrados

numerados de 1 a 15 com medidas iguais aos

quadrados do Jogo das Cores. Para isso, você

pode utilizar um software gráfico ou construir

no GeoGebra e exportar como imagem no

formato jpg ou png.

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Em seguida, exiba os pontos âncoras das peças do Jogo das Cores e modifique a transparência no

controle deslizante para zero. Utilizando a ferramenta Inserir Figura, clique nos pontos P1 a P15 e insira as

figuras.

Após inserir todas as figuras, oculte os pontos e o controle deslizante o. Por último, modifique a cor

de todos os segmentos para branca, misture as peças e jogo estará finalizado.