Post on 11-Feb-2019
Geo (Terra) + Metria (Medida)
Geometria e Natureza
1) Como a história da Geometria tem sido moldada pelas formas observadas... na natureza?2) Como a Geometria tem contribuído para o conhe-cimento e descoberta das formas “escondidas”?
Ramo da Matemática que estuda a forma, medida, estrutura e posição relativa de figuras no espaço
As formas na geometria euclidiana
A lua cheia tem a forma de uma circunferência As margens do rio correm paralelamente
Os raios de luz propagam-se em linha recta e as árvores crescem perpendicularmente ao solo
Os Elementos de Euclides (IV a.C.- III a.C.)
1) Apresentam uma vasta colecção de resultados geo-métricos conhecidos à data. 2) Estabelecem o paradigma axiomático-dedutivo que viria a marcar, ao longo dos tempos e até hoje, o desenvolvimento da Matemática.
• Não significa isto que a Matemática se resuma ao fastidioso processo de axiomatização e dedução formal de teoremas – essa é a última etapa!
• A intuição e... uma boa figura são essenciais.
Aplicações da Geometria de Euclides
• Eratóstenes (III a.C.- II a.C.) estimou o raio da Terra com notável precisão.
• A óptica geométrica.
Teoria da perspectiva: cada ponto no espaço define com o ponto de observação uma recta; esta recta inter-secta a tela num ponto.
A forma e o tamanho variam com a posição do plano de incidência.
A Geometria Projectiva estuda as propriedades que, pelo contrário, são preservadas quando se varia a posição do plano de incidência (Girard Desargues 1591-1661).
A Ciclóide
É a solução para os problemas da Tautócrona (C. Huygens 1629-1695) e da Braquistrócrona (J. Bernoulli 1667-1748).
A Geometria Diferencial (C. Gauss 1777-1855) usa técnicas do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral para estudar problemas sobre curvas e superfícies
Por exemplo, dados dois pontos sobre uma superfície, qual é o caminho mais curto (geodésica) sobre a superfície que une esses dois pontos?
Vivemos num espaço euclidiano (curvatura nula) tri-dimensional? A forma como medimos ângulos e comprimentos é a mais indicada?
B. Riemann (1826-1866) intuiu a importância de generalizar a Geometria Diferencial das curvas e superfícies para espaços ambiente com procedimentos bem diversos de medição de ângulos e distâncias: a Geometria Riemanniana.
A Relatividade de Einstein
• Albert Einstein (1879-1955) ensinou-nos que a relação entre o espaço e o tempo é bem mais subtil do que julgávamos.
A Relatividade de Einstein
• Vivemos num mundo a quatro dimensões “curvado” por acção do campo gravítico!
Cloreto de Sódio Imagem por difracção de raio-x do cloreto de Sódio
E. Fedorov (1853-1919) e A. Schoeflies (1853-1928) provaram que existem essencialmente 17 padrões periódicos planares e 219 padrões periódicos espaciais possíveis.
Cristalografia
Quase-Cristalografia Em 1982, D. Shechtman (Prémio Nobel da Química em 2011) observou padrões de difracção com centros de simetria de ordem 10.
Quase-Cristalografia Tais padrões não podem ser gerados por estruturas periódicas, e portanto não correspondem a cristais: os quase-cristais. Numa estrutura periódica, existe uma distância mínima a separar quaisquer dois centros de simetria de ordem igual.
Quase-Cristalografia Roger Penrose, em 1974, descobriu uma pavimentação do plano exibindo um (e necessariamente único) centro de simetria de ordem 5.
Pavimentação de Penrose
Compreender as estruturas aperiódicas geradas por um número finito de “peças” e que exibem um grande número de (quase)simetrias.