Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.
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Geometria e Álgebra
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MGattass
Motivação:Geometria de objetos gráficos
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MGattass
Motivação: algoritmo de Traçado de Raios
xo
yo
zo
Luz
Objetos
Câmara
Pixel(RGB)
Iluminação
xe
ye
ze
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MGattass
x
y
Coordenadas CartesianasPlano ou R2
y
x
y
xp
0
Ryxquetal
y
xR ,2
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MGattass
Coordenadas CartesianasEspaço ou R3
Rzyxquetal
z
y
x
R ,,3
y
x
z
0
z
y
x
p
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MGattass
Soma de vetores
y
2
22 y
xp
xx2
y2
0 x1+x2x1
1
11 y
xp
y1
y1+y2
p 1+p 2
21
21
2
2
1
121 yy
xx
y
x
y
xpp
1221 pppp
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MGattass
Produto de vetor por escalar
y
xp
y
x0 x
y
a < 0
ya
xa
y
xaap
0 < a < 1 a > 1
ax
ay
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MGattass
Distância entre vetores
212
2121221 )()(),( yyxxdist pppp
12
12
1
1
2
212 yy
xx
y
x
y
xpp
y
xx1
y1
0 x2
y2
p2
12 pp
p 2-p
1
-p1
(x2-x1)
(y2-y1)
p1
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MGattass
Aplicação: Esfera
rdist ),( cp
rzzyyxx cc 2220 )()()(cp
220
20
20 )()()( rzzyyxx
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MGattass
Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais
1. Comutatividade: p + q = q + p
2. Associatividade:(p + q)+r = p + ( q + r)
3. Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p
4. Inverso aditivo: p + (- p) = 0
5. Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
6. Multiplicação por 1: 1. p = p
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MGattass
Espaço Vetorial Funções de [a,b]R
Comutatividade: p + q= q + p
Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r)
Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p
Inverso aditivo: p + (- p) = 0
Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
Multiplicação por 1: 1. p = p
F(x)
G(x) (F+G)(x)=F(x)+G(x)
(aF)(x)=aF(x)
a bb
a
dxxFF 2)(x
F, G
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MGattass
Espaço Vetorial Matrizes Rnm
nmnn
m
m
ij
ccc
ccc
ccc
c
21
22221
11211
C
nmnn
m
m
ij
ddd
ddd
ddd
d
21
22221
11211
D
nmnmnnnn
mm
mm
ijij
dcdcdc
dcdcdc
dcdcdc
dc
2211
2222222121
1112121111
DC
Soma:
nmnn
m
m
ij
acacac
acacac
acacac
aca
21
22221
11211
C
Produto por escalar:
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MGattass
Matrizes especiais
000
000
000
0
100
010
001
I
n
n
d
d
d
ddddiag
000
0
00
00
),,,( 2
1
21
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MGattass
Matrizes especiais (cont)
nnn
n
n
sss
sss
sss
simétricas
211
22212
11211
0
0
0
21
212
112
nn
n
n
aa
aa
aa
simétricasanti
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MGattass
Combinação Linear
m
iiinn aaaa
12211 ppppp
00 212211 nnn aaaaaa ppp
Independência linear:
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MGattass
Base Canônica ijk
0
1
0
j
1
0
0
k
0
0
1
001 kjii
x
y
z
ij
k
xi yj
zk
z
y
x
zyx kjip
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MGattass
Aplicações: retas e planos
0p
ddpp t 0
0pud
vd
vu vu ddpp 0
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MGattass
Aplicação: Série de Fourier
mxbnxaaxfm
mn
n sincos)(11
0
x
f(x)
-
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MGattass
Combinação Convexa
4321 )1(),,( ppppp cbacbacba p1
p2
p3
p4
p1 p2
21 )1()( ppp aaa
p(a)
321 )1(),( pppp bababa
p1 p2
p3
p(a,b)
0,,0,0
1
21
21
n
n
aaa
eaaa
m
iiia
1
pp
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MGattass
Generalização de Norma
0p para todo Vp
0p se e somente se 0p
qpqp para todo Vqp,
pp aa para todo VRa p,
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MGattass
Outras normas no Rn
222
21 nxxx p
n
iix
11
p
i
n
ix
0max
p
pn
i
p
ipx
/1
0
p
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MGattass
Norma: aplicações
1221 ),( pppp dist
pp
p1
ˆ Unitário:
Distância:
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MGattass
Normas de função
F(x)
a b
b
a
dxxFab
F 2
2)(
1
x
F
)(max xFFb
ax
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MGattass
Distância e erro
F(x)
a b x
F, GG(x)
G(x) -F(x)
)()(max xGxFGFb
ax
b
a
dxxGxFab
GF 2
22 )()(1
2
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MGattass
Distância entre superfícies
SSd qqpp ,min)(
1221 ),(max)( SSdSds pp
)(,)(max),( 1212121 SdSdSSd ssH
distância de Hausdorff
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MGattass
Produto interno:definição geomética
20cos ppppp
2p
1p
2121 pppp desigualdade de Schwarz
cos2121 pppp
ppp
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MGattass
Produto interno:expressão algébrica
1p
212121 yyxx pp
2p
21212121 zzyyxx pp
kjikjipp 22211121 zyxzyx
kkjkik
kijiiipp
212121
21212121
zzyzxz
zxyxxx
ij
k
0
1
jkkjikkiijji
kkjjii
no R2
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MGattass
Produto interno:definição algébrica
1p
212121 yyxx pp
2p
xzyx 001ip
x
p
x
xi
21212121 zzyyxx pp
kjikjipp 22211121 zyxzyx
kkjkik
kijiiipp
212121
21212121
zzyzxz
zxyxxx
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MGattass
Aplicações do produto interno:cálculo de ângulos
2p
1p
21
21cospp
pparc
cos2121 pppp
21 ˆˆcos uu arc 1u
2u
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MGattass
Aplicações do produto interno: projeção na direção ...
np ppp
nnppp ˆ)ˆ( p
np ppp p
pp
np
n
n
p
cospnp nnpp ˆ)ˆ( n
Projeção na direção de :n
Projeção na direção perpendicular a :n
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MGattass
Aplicação do produto internoreflexão de um vetor
p r
pph n
h h
pn
hpr n
n nnpp ˆ)ˆ( n
ppr n2
pnnpr ˆ)ˆ(2
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MGattass
0
Aplicações do produto interno:equação de um plano normal a
que dista d da origem
x
y
zd
c
b
a
n
z
y
x
p
ppnp
dczbyax
np ppp
)(ˆˆ np ppnpn
dn pnpn ˆˆ
0 dczbyax
n
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MGattass
Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a um plano
dpn
dczbyax
0 dczbyax0
x
y
zd
z
y
x
p
c
b
a
n
lado positivo
0 dczbyax lado negativo
dczbyaxplanodist ),(p
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MGattass
Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a
uma reta no R2
x
y
0),( yxF
F x y( , ) 0
0),( yxF
b
an
dbyaxdyxF pn),(
y
xp
d
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MGattass
Produto interno:generalização
qpqpqpp ,',,'
qpqp ,, aa
',,', qpqpqqp
qpqp ,, aa
Comutatividade (simetria): pqqp ,,
Positividade: ,0, pp só é igual a zero se p=0
RVV :,
Bilinearidade:
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MGattass
Produto interno e norma de funções
b
a
dxxGxFab
GF )()()(
1,
2
b
a
dxxFab
FFF 2)(1
,
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MGattass
Ortogonaliadade das funções da base de Fourier
0)cos()sin(
,0)cos()cos(
,0)sin()sin(
dxnxmx
nmsedxnxmx
nmsedxnxmx
mxbnxaaxfm
mn
n sincos)(11
0
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MGattass
Bases ortonormais
{p1, p2, ...,pn}
jise
jiseijji 1
0, pp
Seja
tal que
00 212211 nnn aaaaaa ppp
então:
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MGattass
Produto Vetorial
p1
sen21 ppp
p2
21 ppp
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MGattass
Produto Vetorial
kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy
0
0
0
ij
ik
jki j ki k
ijk
×
kjikjippp 22211121 zyxzyx
kkjiiippp 21212121 zzyxxx
p1
sen21 ppp
p2
21 ppp
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MGattass
Produto Vetorialforma de lembrar
kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy
222
11121
zyx
zyx
kji
pp
kjipp22
11
22
11
22
1121 yx
yx
zx
zx
zy
zy
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MGattass
Matriz do produto vetorial
xaya
zaxa
yaza
yx
xz
zy
pa
z
y
x
aa
aa
aa
xaya
zaxa
yaza
xy
xz
yz
yx
xz
zy
0
0
0
pa
0
0
0
xy
xz
yz
aa
aa
aa
a
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MGattass
Produto vetorial aplicados 2 vezes
z
y
x
aa
aa
aa
a
a
a
xy
xz
yz
z
y
x
0
0
0
paa
z
y
x
aa
aa
aa
aa
aa
aa
xy
xz
yz
xy
xz
yz
0
0
0
0
0
0
paa
22
22
22
yxzyzx
zyzxyx
zxyxzy
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aa
22
22
22
a
a
a
aa
zzyzx
zyyyx
zxyxx
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a ppa
paa
![Page 44: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/44.jpg)
MGattass
Aplicações do produto vetorial:movimento de um corpo rígido
)()()()( tttt BAAB pvv
e
BAp
p
||p
t
A
B
B’
e
rv p
p sinp
t
p B
B’ Bv
Bv
![Page 45: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/45.jpg)
MGattass
Aplicações do produto vetorial:áreas e normais
21
21
pp
ppsenarc
p1
h hárea 122
1v
Cálculo de ângulos
Cálculo de áreas e normais
p2
p3
v13
v12
1312 vvn normal
senárea 13122
1vv
13122
1vv área
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MGattass
Aplicações do produto vetorial:interior e exterior
p1
0)( 112 ppvn i
p2
p3
2312 vvn
v31
v12
v23
pe
pi
0)( 112 pppn e
![Page 47: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/47.jpg)
MGattass
Aplicações do produto vetorial:orientação e consistência de malha
p1
p2
p3
v31
v12
2312 vvn
v23
p4
p7
p5 = p6
p1 p2 p3
p1 p3 p7
p1 p2 p4
p4 p5 p6
p4 p5 p2
0
0
0
0
5245
5645
2412
3713
vvn
vvn
vvn
vvn
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MGattass
Produto misto
u
v
w
wv
h
wvbasedaárea
wv
wvu
altura
wvu alturabaseV
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MGattass
Produto Misto e Determinante
Mostre que:
yx
yxz
zx
zxy
zy
zyx ww
vvu
ww
vvu
ww
vvu detdetdetwvu
zyx
zyx
zyx
www
vvv
uuu
wvu
T
yx
yx
zx
zx
zy
zyTzyx ww
vv
ww
vv
ww
vvuuu
detdetdetwvu
c.q.d.
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MGattass
Produto Mistopropriedade
wvuwvu Mostre que:
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
www
vvv
uuu
vvv
www
uuu
vvv
uuu
www
wvu
![Page 51: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/51.jpg)
MGattass
FIM
![Page 52: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/52.jpg)
MGattass
Revisão do 2o grau que não entrou no capítulo
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MGattass
Produto de Matrizes
q
kkjikij bac
1
qmqq
m
m
nqnn
q
q
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
21
22221
11211
ABC
100
010
001
Ineutro:
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MGattass + + +
Determinante
'11A '
12A '13A
2221
1211
aa
aaA
22212211det aaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222113
3331
232112
)21(
3332
232211
)11( )1()1()1(detaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa AA
223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
- - -
3231
2221
1211
aa
aa
aa
![Page 55: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/55.jpg)
MGattass
Determinante
'11A '
12A '13A
O(n!)
223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA
nicacacaA ininiiii ,1,det 2211
ijji
ji Mc det)1( )(,
caso geral:
2221
1211
aa
aaA
12212211det aaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222113
3331
232112
)21(
3332
232211
)11( )1()1()1(detaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa AA
![Page 56: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/56.jpg)
MGattass
Inversa
IAAAAA 111
jiji
ij MA
a )1(11
O(n!)
BAXBAX 1
inversa:
solução de sistemas de equações lineares:
2221
1211
aa
aaA
1121
1222
12212211
1 1
aa
aa
aaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2221
1211
3331
1311
3231
2121
3331
1311
3331
1311
3331
2321
1312
1312
3332
1312
3332
2322
1 1
aa
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
AA
![Page 57: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/57.jpg)
MGattass
Exercício: inversa
2302
10102
1023
M ?1 M
adjMM
M)det(
11
1)00121
21(002
3123)det( M
2302
1010
2102
3
adjM
2302
1010
2102
3
adjM
![Page 58: Geometria e Álgebra. MGattass Motivação: Geometria de objetos gráficos.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c25af/html5/thumbnails/58.jpg)
MGattass
Decomposição de matrizes
Decomposição LDU:LDUA O(n3)
i
iidDUDLA 11 O(n3)
Ou seja para n pequenos (≤4) podemos utilizar as fórmulas diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma decomposição tipo LDU.
c
b
a
cbadiagD
00
00
00
),,(
1**
01*
001
L
100
*10
**1
U
Determinante: