Geometria e Natureza

Rui Pacheco - MPT2013-UBI

Geo (Terra) + Metria (Medida)

Geometria e Natureza

1) Como a história da Geometria tem sido moldada pelas formas observadas... na natureza?2) Como a Geometria tem contribuído para o conhe-cimento e descoberta das formas “escondidas”?

Ramo da Matemática que estuda a forma, medida, estrutura e posição relativa de figuras no espaço

As formas na geometria euclidiana

A lua cheia tem a forma de uma circunferência As margens do rio correm paralelamente

Os raios de luz propagam-se em linha recta e as árvores crescem perpendicularmente ao solo

Os Elementos de Euclides (IV a.C.- III a.C.)

1) Apresentam uma vasta colecção de resultados geo-métricos conhecidos à data. 2) Estabelecem o paradigma axiomático-dedutivo que viria a marcar, ao longo dos tempos e até hoje, o desenvolvimento da Matemática.

Porque a nossa intuição às vezes engana-nos...

Porque os nossos sentidos às vezes enganam-nos...

• Não significa isto que a Matemática se resuma ao fastidioso processo de axiomatização e dedução formal de teoremas – essa é a última etapa!

• A intuição e... uma boa figura são essenciais.

Aplicações da Geometria de Euclides

• Eratóstenes (III a.C.- II a.C.) estimou o raio da Terra com notável precisão.

• A óptica geométrica.

•Latitude de um ponto sobre a superfície terrestre.

Geometria Projectiva

• A forma percepcionada dos objectos depende do pon-to de observação.

Teoria da perspectiva: cada ponto no espaço define com o ponto de observação uma recta; esta recta inter-secta a tela num ponto.

A forma e o tamanho variam com a posição do plano de incidência.

A Geometria Projectiva estuda as propriedades que, pelo contrário, são preservadas quando se varia a posição do plano de incidência (Girard Desargues 1591-1661).

Secções Cónicas Teorema de Desargues

Geometria Diferencial

• Curvas na Natureza.

A Ciclóide

É a solução para os problemas da Tautócrona (C. Huygens 1629-1695) e da Braquistrócrona (J. Bernoulli 1667-1748).

Pêndulo de Huygens

A evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide

• Superfícies na natureza: películas de sabão (superfícies mínimas).

A Geometria Diferencial (C. Gauss 1777-1855) usa técnicas do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral para estudar problemas sobre curvas e superfícies

Por exemplo, dados dois pontos sobre uma superfície, qual é o caminho mais curto (geodésica) sobre a superfície que une esses dois pontos?

Vivemos num espaço euclidiano (curvatura nula) tri-dimensional? A forma como medimos ângulos e comprimentos é a mais indicada?

B. Riemann (1826-1866) intuiu a importância de generalizar a Geometria Diferencial das curvas e superfícies para espaços ambiente com procedimentos bem diversos de medição de ângulos e distâncias: a Geometria Riemanniana.

A Relatividade de Einstein

• Albert Einstein (1879-1955) ensinou-nos que a relação entre o espaço e o tempo é bem mais subtil do que julgávamos.

A Relatividade de Einstein

• Vivemos num mundo a quatro dimensões “curvado” por acção do campo gravítico!

Cristalografia

• Os átomos ou moléculas num cristal organizam-se em estruturas periódicas.

Cloreto de Sódio Imagem por difracção de raio-x do cloreto de Sódio

E. Fedorov (1853-1919) e A. Schoeflies (1853-1928) provaram que existem essencialmente 17 padrões periódicos planares e 219 padrões periódicos espaciais possíveis.

Cristalografia

Um padrão planar periódico.

Quase-Cristalografia Em 1982, D. Shechtman (Prémio Nobel da Química em 2011) observou padrões de difracção com centros de simetria de ordem 10.

Quase-Cristalografia Tais padrões não podem ser gerados por estruturas periódicas, e portanto não correspondem a cristais: os quase-cristais. Numa estrutura periódica, existe uma distância mínima a separar quaisquer dois centros de simetria de ordem igual.

Quase-Cristalografia Roger Penrose, em 1974, descobriu uma pavimentação do plano exibindo um (e necessariamente único) centro de simetria de ordem 5.

Pavimentação de Penrose

Compreender as estruturas aperiódicas geradas por um número finito de “peças” e que exibem um grande número de (quase)simetrias.

Quase-Cristalografia

Padrões semelhantes podem ser encontrados na arte medieval islâmica.