FUNÇÕES

Disciplina: Lógica Aplicada

Prof. Rafael Dias Ribeiro

Autoria: Prof. Denise Candal

Funções

Plano Cartesiano

FixandoemumplanodoiseixosreaisOxeOy,perpendicularesentresinopontoO,podemosdeterminarumpontodesteplano:

• essesistemadeeixoséconhecidocomosistemacartesianoortogonaldecoordenadas;•oplanoquecontémessesistemaéchamadodeplanocartesiano;•opontoOéaorigemdosistema;•oseixosOxeOy,denominadosdeeixoscoordenados,são•respectivamenteoeixodasabscissaseoeixodasordenadas;

Funções

Plano CartesianoOs eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatroregiões denominadas de quadrantes.

Funções

Um meteorologista, para analisar a variação detemperatura numa determinadaregião, durante sete dias,enumerou os dias de 1 a 7 e registrou em cada dia atemperaturamédia, obtendo assim a seguinte tabela:

Funções

Podemos dizer que o cientista estabeleceu umarelação do conjuntode dias A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas dastemperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}, associando a cada dia atemperaturamédia correspondente.

Funções

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Diagrama de Flechas

Funções

Gráfico Cartesiano

Funções

Introdução

Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois

conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve

ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo

conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode

ter um e apenas um elemento associado no segundo

conjunto.

Funções

Função

Definição formal:

Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f

de A para B é chamada uma função se para todo a∈A, existe

um único b∈B tal que (a,b)∈f, e se lê: “f é função de A em B”.

f: A→B

Funções

Função

Exemplos:

f

Funções

Função

Exemplos:

A B

f

Funções

Função

Exemplos:

Funções

Função

Exemplos:

Funções

Função

Exemplos:

t

Funções

Função

Exemplos:

t

Funções

Função

Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de

domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são

válidos.

Funções

Função - Imagem de um elemento através do diagrama de

flechas

Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a

seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um

elemento x de A, através de f, então diremos que y é a

imagem de x , através de f.

Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a

imagem de x através de f”).

Funções

Função - Imagem de um elemento através do diagrama de

flechas

•6 = f (1)

•7 = f (2)

•8 = f (3)

•8 = f (4)

•11 = f (5)

D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11}

Funções

Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6,

12}. Representar a relação R = {(x, y) ∈ A X B | y = 3x} em

diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de

R.

A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}

R = {(x, y) ∈A X B | y = 3x}

x 3x y-2 3. (-2) -6-1 3. (-1) -30 3. (0) 01 3. (1) 32 3. (2) 63 3. (3) 9

Funções

D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}

Funções

Função

Imagem de um elemento através de y = f(x)

Considerando os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a

função f : A → B, onde cada x, x ∈ A, é associado a um único

f(x), f(x) ∈ B, através da lei f(x) = 2x + 1.

A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio

de f é o número 2x + 1 do contradomínio.

Funções

Função

Imagem de um elemento através de y = f(x)

a imagem do elemento 4, através de f, é:

f (4) = 2 × 4 + 1 ⇒ f (4) = 9; logo, (4, 9) ∈ f

a imagem do elemento 1/2, através de f, é:

f (1/2) = 2 × 1/2 + 1 ⇒ f (1/2) = 2; logo, (1/2 , 2) ∈ f

Funções

Função

Funções Compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função

f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por

sua vez, gera um conjunto imagem A.

A função composta é uma expressão que, dado um

determinado número do domínio de f(x), nos leva

diretamente ao conjunto imagem A.

Funções

Função

Funções Compostas

Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1,

determine a função composta g(f(x)) ou gof.

- A função f(x) será o x da função g(x)!

Funções

Função

Funções Compostas

Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x

+ 3):

g(x) = x – 1 f(x) = 2x + 3

Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2

Funções

Função

Funções Compostas

Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2

e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas:

f(g(x)) e g(f(x)).

Funções

Função

Funções Compostas

f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4

1 - f(g(x)) → g(x) é o u da f(u)

f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x-14

2- g(f(x)) → f(u) é o x da g(x)

g(fx)) = 7 (4u+2) – 4 = 28u+10

Funções

Função

FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa

de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer

que sejam a em A e b em B.

Denotamos a função inversa de f por f -1.

Funções

Funções

Função

FUNÇÃO INVERSA

f(x)=2x

f-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e

colocando o y em evidência novamente:

y = 2x

x = 2y

2y = x

y=x/2 = g(x)

Funções

Função

FUNÇÃO INVERSA

g(x)=x/2

g-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e

colocando o y em evidência novamente:

y = x/2

x = y/2

y/2 = x

y=2x = f(x)

Funções

Função - Função afim

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando

existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais

tais que f(x)= ax + b para todo x R.

A lei que define função afim é:

Funções

Função - Função afim

Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a ≠ 0.

O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de

constante.

Funções

Função - Função afim

Exemplos:

• f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3

• f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = -7

• f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5

• f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0

Funções

Função - Função afim

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular

ao eixo Ox.

Funções

Função - Função afim

Casos Particulares: funções linear e constante.

•Função linear

Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando

existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈

R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

Funções

Função - Função afim

O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao

eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

Funções

Função - Função afim

•Função constante

Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando

existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x∈ R.

A lei que define uma função constante é:

Funções

Função - Função afim

O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou

coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de

ordenada b.

Funções

Função - Gráficos

O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a

0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1

Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y.

Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que

podem ser plotados no plano cartesiano.

Funções

Função - Gráficos

•y = 3x – 1

Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)

x 3x-1 y-2 3. (-2) -1 -7-1 3. (-1) -1 -40 3. (0) -1 -11 3. (1) -1 22 3. (2) -1 53 3. (3) -1 8

Funções

Função - Gráficos

•y = 3x - 1

x y-2 -7-1 -40 -11 22 53 8

0,0 x

y

1

2

1-1

Funções

Função

Variação de sinal da Função de 1° Grau

Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar

os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x

para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é

negativo.

Funções

Função

Variação de sinal da Função de 1° Grau

Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu

sinal.

•Quando y=0, a reta corta o eixo x:

0 = ax+b

ax = -b

x = -b/a

Neste ponto, y=0

-b/a x

Funções

Função

Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da

função.

1º Caso: a>0 – Função Crescente

Funções

Função

Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da

função.

2º Caso: a<0 – Função Decrescente

Funções

Função

Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1

•a = 2 → a > 0 – função crescente!

•Raiz: 2x-1=0 → x= ½

- Para x>1/2, y é positivo

- Para x<1/2, y é negativo

1/2 x

Funções

Função

Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5

•a = -2 → a < 0 – função decrescente!

•Raiz: -2x+5=0 → x= 5/2

- Para x>5/2, y é negativo

- Para x<5/2, y é positivo

5/2 x