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1 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
Funções
Sejam A e B subconjuntos de ℝ. Uma função f: A B é uma lei que associa cada
elemento x de A exatamente a um elemento f (x) de B.
Os conjuntos A e B são chamados respectivamente de domínio e contra-domínio de
f. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) quando x varia por
todo o domínio.
Notação:
f: A B
x f (x)
Exemplo:
f: A B
x x + 1
Contra-exemplo:
g: A B
x x - 3
A representação gráfica de f também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x
e a imagem sobre o eixo y.
Exercícios:
1) Dados os conjuntos A e B, determine o domínio, o contra-domínio e a imagem.
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2) Determine o domínio e a imagem da função:
f: ℝ ℝ
f (x) x2
3) Determine o domínio das funções:
a) 𝑓(𝑥) = 1
𝑥
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
c) 𝑓(𝑥) = −√𝑥 + 4
d) 𝑓(𝑥) = 1
𝑥2−𝑥
e) 𝑓(𝑥) = 1
𝑥−5+
1
√𝑥−4
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥−2
√4−𝑥
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 + 3
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O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) de um plano
coordenado. Para saber quais curvas no plano coordenado xy são gráficos de funções,
pode-se realizar o “teste da reta vertical”, ou seja, uma curva no plano xy é o gráfico de
uma função de x se e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
Operações com funções
Sejam f e g funções e k uma constante, define-se:
i. ( f + g ) (x) = f (x) + g (x)
ii. ( f - g ) (x) = f (x) - g (x)
iii. ( f g ) (x) = f (x) g (x)
iv. (𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
v. (k f (x)) = k (f (x))
Função composta
Sejam f e g duas funções quaisquer. Se x é um número no domínio de g, então g(x) é
a sua respectiva imagem. Se este número g(x) estiver no domínio de f, então pode-se
calcular o valor de f (g(x)). O resultado é uma nova função h(x) = f (g(x)), obtida pela
substituição de g em f. Esta nova função é chamada de composição (ou composta) de f e g
e denotada por f g.
Definição: Dadas duas funções f e g, a função composta f g (também chamada de
composição de f e g) é definida por:
(f g)(x) = f (g(x))
f g
x g(x) f(g(x))
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O domínio de f g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que g(x) está no
domínio de f.
Df g = {x D( g ) / g(x) D( f )}
Exercícios:
1) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = √2 − 𝑥, encontre f g, g f, f f, g g e seus domínios.
2) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 16 e 𝑔(𝑥) = √𝑥, encontre f g e g f e seus domínios.
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Propriedades de uma função
Função sobrejetora: uma função é sobrejetora se sua imagem é igual ao seu
contradomínio. Isto é, cada elemento no contradomínio será relacionado com algum
elemento no domínio.
Função injetora: uma função é injetora se nenhum elemento do contradomínio é
imagem de dois elementos distintos no domínio. Isto é, cada elemento no domínio será
relacionado a um único elemento no contradomínio.
Função bijetora: uma função bijetora se é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora
Funções inversa
Seja f: A B uma função bijetora, tal que y = f (x). Desta forma, é possível obter
uma função f -1: B A, tal que f -1(y) = x. Para chamar a variável independente de x,
troca-se x por y e chega-se à equação y = f –1(x).
O princípio de trocar x e y para encontrar a função inversa também fornece um
método de obter o gráfico f –1 a partir de f. Como f (a) = b se e somente se f –1(b) = a, o
ponto (a, b) está no gráfico de f se e somente se o ponto (b, a) estiver no gráfico de f –1.
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A partir do ponto (a, b), obtém-se o ponto (b, a) refletindo-o em torno da reta y = x.
Desta forma, os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação à reta y = x.
Exercícios:
Determine a inversa das funções e faça seus gráficos em um mesmo plano cartesiano:
a) f (x) = 2x + 1
b) 𝑓: ℝ+ → ℝ+
𝑥 → 𝑦 = 𝑥2
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Funções definidas por partes
Funções definidas por partes, são definidas por fórmulas distintas em diferentes
partes de seus domínios.
𝑓(𝑥) = {1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
Uma função definida por partes bastante conhecida é a função valor absoluto.
Lembre-se de que o valor absoluto de um número a, denotado por |a|, é a distância de a
até 0 sobre a reta real. Como distâncias são sempre positivas ou nulas, temos |a| ≥ 0, para
todo número a. Em geral, tem-se:
|a| = a, se a ≥ 0
|a| = – a, se a < 0
Exercício:
Esboce o gráfico das funções:
a) f(x) = |x|
b) 𝑓(𝑥) = {𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 12 − 𝑥, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 20, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
c) f(x) = |x + 1|
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d) f(x) = |x| + 1
e) f(x) = |x+2| + x – 1
Simetrias
Se uma função f satisfizer f (–x ) = f (x) para todo x em seu domínio, então f é
chamada função par. Por exemplo, a função f (x) = x2 é par, pois
f (–x) = (–x)2 = x2 = f (x)
O significado geométrico de uma função ser par é que seu gráfico é simétrico em
relação ao eixo y.
Se f satisfaz f (–x) = –f (x) para cada número x em seu domínio, então f é função
ímpar. Por exemplo, a função f (x) = x3 é ímpar, pois
f (–x) = (–x)3 = –x3 = –f (x)
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
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Exercícios:
Determine se as funções são par, ímpar ou nenhum dos dois.
a) f (x) = x5 + x
f (–x) = (–x)5 + (–x) = (–1)5x5 +
(–x)
= –x5 – x = –(x5 + x)
= –f (x)
Portanto, f é uma função
ímpar.
b) g (x) = 1 – x4
g (–x) = 1 – (–x)4 = 1 – x4 = g
(x)
Assim, g é par.
c) h (x) = 2x – x2
h(–x) = 2(–x) – (–x)2 = –2x – x2
Como h(–x) h (x) e h(–x) –h (x),
concluímos que h não é par ou ímpar.
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I. Logo, f é crescente nesse intervalo se,
para quaisquer x1, x2 I, sempre que x1 x2 f (x1) f (x2). A função f é decrescente
nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 I sempre que x1 x2 f (x1) f (x2).
No gráfico a seguir, a função f é crescente no intervalo [a, b], decrescente em [b, c],
e crescente novamente em [c, d].
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Exercício:
Determine os intervalos em que f (x) = x2 é crescente e decrescente.
Função Afim (primeiro grau)
A representação gráfica de uma função afim é uma reta. Esta função é definida por
y = f (x) = mx + b, em que m é o coeficiente angular da reta e b é a intersecção com o eixo
y. Quando m = 0, f (x) é conhecida como função constante e, quando b = 0 tem-se uma
função linear.
Para valores de m > 0, f (x) é crescente e para m < 0 f (x) é decrescente.
- Função afim
- Função constante
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- Função linear
Quando m = 1 e b = 0, f (x) é conhecida como função identidade.
Funções Polinomiais
Uma função P é denominada polinômio se
P (x) = anxn + an –1x
n –1 + . . . + a2x2 + a1x + a0
em que n é um inteiro não negativo e os números a0, a1, a2, ..., an são constantes chamadas
coeficientes do polinômio.
Se o coeficiente dominante an 0, então o grau do polinômio é n. Por exemplo, a
função P(x) = x6 +2x4 – 3x3 +5 é um polinômio de grau 6.
Um polinômio de grau 1 é da forma P (x) = mx + b, portanto, é uma função afim.
Um polinômio de grau 2 é da forma P (x) = ax2 + bx + c e é chamado função quadrática.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem concavidade para cima se
a > 0 e para baixo quando a < 0.
Um polinômio de grau 3 tem a forma P (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) e é chamado
função cúbica.
Funções Potências
Uma função da forma f (x) = xa, em que a é uma constante, é chamada função
potência. Para esta função, vários casos surgem:
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(i) a = n, em que n é um inteiro positivo
A forma geral do gráfico de f (x) = xn depende de n ser par ou ímpar. Se n for par,
então f (x) = xn será uma função par e seu gráfico será similar ao da parábola y = x2. Se n
for ímpar, então f (x) = xn será uma função ímpar e seu gráfico será similar ao de y = x3.
(ii) a = 1/n, em que n é um inteiro positivo
A função 𝑓(𝑥) = 𝑥1𝑛 = √𝑥
𝑛 é uma função raiz. Para n = 2, tem-se a função raiz
quadrada, 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Para outros valores pares de n, o gráfico de √𝑥𝑛
é similar ao de 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Para n = 3, tem-se a função raiz cúbica 𝑓(𝑥) = √𝑥3
. O gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛
para n
ímpar (n > 3) é similar ao de 𝑓(𝑥) = √𝑥3
.
(iii) a = –1
A função f (x) = x –1 = 1/x também é conhecida como função recíproca. Seu
gráfico tem a equação y = 1/x, ou xy = 1, e é uma hipérbole com os eixos coordenados
como suas assíntotas.
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Função Racional
Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
em que P e Q são polinômios. O domínio desta função consiste em todos os valores de x
tais que Q(x) 0.
A função 𝑓(𝑥) =2𝑥4−𝑥2+1
𝑥2−4 é uma função racional com domínio {x / x 2}.
Funções Algébricas
Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes)
a partir de polinômios. Toda função racional é automaticamente uma função algébrica.
Exemplos:
Os gráficos das funções algébricas podem assumir diversas formas:
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Funções Exponenciais
As funções exponenciais são da forma f (x) = ax, em que a base a é uma constante
positiva. Esta função é crescente sempre que a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e uma
constante para a = 1.
Todos os gráficos da função exponencial passam pelo mesmo ponto (0, 1), pois, para
a 0, ax = a0 = 1. Para x > 0, a função exponencial cresce mais rapidamente à medida que
a fica maior.
Se n é um inteiro positivo, então:
• para x = n 𝑎𝑥 = 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 …𝑎⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
;
• para x = –n 𝑎𝑥 = 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 ;
Se x for um número racional, x = p /q, em que p e q são inteiros e q > 0, então
𝑎𝑥 = 𝑎𝑝𝑞 = √𝑎𝑝
𝑞
Propriedades da função exponencial:
Se a e b forem números positivos e x e y números reais, então:
i) ax+y = axa y ii) ax-y = ax/a y iii) (ax)y = axy iv) (ab)x = axbx
a > 0 0 < a < 1 a = 1
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Exercício:
Esboce o gráfico da função y = 3 – 2x e determine seu domínio e imagem.
O número e
Entre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais
conveniente para os propósitos do cálculo. A escolha de uma base a é influenciada pela
maneira que o gráfico de y = ax cruza o eixo y. As figuras a seguir mostram as retas
tangentes (reta que toca o grafico em um único ponto) para os gráficos de y = 2x e y = 3x
no ponto (0, 1).
O coeficiente da reta tangente em (0, 1) para y = 2x é m 0,7, e para y = 3x é m 1,1.
Entretanto, muitas fórmulas do cálculo ficam mais simplificadas quando escolhemos
como base a aquela para a qual resulta uma reta tangente a y = ax em (0, 1) com uma
inclinação de exatamente 1. O número que atende essa condição é denotado pelo caractere e.
(Essa notação foi escolhida pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1727,
provavelmente porque é o primeiro caractere da palavra exponencial.)
O valor de e até a vigésima casa decimal é e 2,71828182845904523536.... Por
estar entre 2 e 3, o gráfico de y = ex está entre os gráficos y = 2x e y = 3x.
A função f (x) = ex também é conhecida como função exponencial natural.
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Exercício:
Faça o gráfico de 𝑦 =1
2𝑒−𝑥 − 1 e diga qual o domínio e a imagem.
Funções Logarítmica
Se a > 0 e a ≠ 1, a função exponencial f (x) = ax admite inversa. Assim, existe uma
função inversa f –1, chamada função logarítmica com base a, denotada por loga, que
associa a cada número x o número loga x. Desta forma,
y = loga x ay = x
O gráfico da função logarítmica é a reflexão do gráfico de y = ax em torno da reta
y = x.
O fato de y = ax é uma função que cresce muito rapidamente para x > 0 está refletido
no fato de que y = loga x é uma função de crescimento muito lento para x > 1.
A função logarítmica é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Uma vez que
loga 1 = 0, os gráficos de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto (1, 0).
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Propriedades dos logaritmos
Se x e y forem números positivos e r um número real qualquer, então:
• loga(xy) = loga x + loga y
• loga(x/y) = loga x – loga y
• loga(xr) = rloga x
Logaritmos Naturais
Entre todas as possíveis bases a para os logaritmos, a escolha mais conveniente para
uma base é o número e. O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma
notação especial:
loge x = ln x
A função logaritmo natura é definida por:
ln x = y ey = x
Exercício
Encontre x se ln x = 5.
Propriedades dos logaritmos naturais
Se x é um número positivo, então:
i) ln(ex) = x ii) eln x = x iii) ln e = 1
Em razão de a curva y = e x cruzar o eixo y com uma inclinação de 1, segue que a
curva refletida y = ln x cruza o eixo x com uma inclinação de 1.
Exercício
Esboce o gráfico da função ln (x) – 2.
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Funções Trigonométricas
Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo de problemas
geométricos e na modelagem de fenômenos periódicos, cujos valores são obtidos a partir
de razões entre os lados do triângulo retângulo, construídos no ciclo trigonométrico.
Para se obter valores de uma função trigonométrica, muitas vezes é convencional
dar sua medida de ângulos em radianos. Por exemplo, quando utilizamos a função
f(x) = sen x, entende-se que sen x seja o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x.
Função seno
A função f(x) = sen(x) possui domínio definido em ℝ e a imagem no intervalo
fechado [–1, 1]. Dessa forma, para todos os valores de x, tem-se:
-1 ≤ sen(x) ≤ 1 ou | sen(x) | ≤ 1
Uma propriedade importante da função seno é que ela é periódica e tem período 2.
Isso significa que, para todos os valores de x, sen (x + 2π) = sen(x).
Graficamente:
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Função cosseno
A função f(x) = cos(x) possui domínio definido em ℝ e a imagem no intervalo
fechado [–1, 1]. Dessa forma, para todos os valores de x, tem-se:
-1 ≤ cos(x) ≤ 1 ou | cos(x) | ≤ 1
Uma propriedade importante da função cosseno é que ela é periódica e tem período
2. Isso significa que, para todos os valores de x, cos (x + 2π) = cos(x).
Graficamente:
Função tangente
A função f(x) = tg(x) relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação:
𝑡𝑔(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
O domínio da função tangente é definido para todos valores reais de x, tais que
cos(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( /2 + k ), k inteiro. A imagem é definida em ℝ.
A função tangente tem período , ou seja, para todo x, tg (x + ) = tg(x).
Graficamente:
Função cotangente
A função f(x) = cotg(x) relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação:
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) =𝑐𝑜𝑠(𝑥)
sen (𝑥)
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O domínio da função cotangente é definido para todos valores reais de x, tais que
sen(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( + k ), k inteiro. A imagem é definida em ℝ.
A função cotangente tem período , ou seja, para todo x, cotg(x + ) = cotg(x).
Graficamente:
Função secante
A função f(x) = sec(x) relaciona-se com a função cosseno pela equação:
𝑠𝑒𝑐(𝑥) =1
cos (𝑥)
O domínio da função secante é definido para todos valores reais de x, tais que
cos(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( /2 + k ), k inteiro. A imagem é definida para ℝ - ]-1, 1[.
A função secante tem período 2, ou seja, para todo x, sec(x + 2) = sec(x).
Graficamente:
Função cossecante
A função f(x) = cossec(x) relaciona-se com a função seno pela equação:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) =1
sen (𝑥)
O domínio da função cossecante é definido para todos valores reais de x, tais que
sen(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( + k ), k inteiro. A imagem é definida para ℝ - ]-1, 1[.
A função cossecante tem período 2, ou seja, para todo x, cossec(x + 2) =
cossec(x).
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Graficamente:
Exercícios
Esboce os gráficos de f(x) = 2 sen(x) e f(x) = 1 + 2 sen(x).
Funções Trigonométricas Inversas
Todas as funções trigonométricas são periódicas e desta forma, nenhuma delas é
invertível em seu domínio, pois, não são funções bijetoras. Porém, para cada função,
pode-se considerar uma restrição no domínio tornando-as funções bijetoras.
Função arco-seno
Para obter a inversa da função seno, restringe-se seu domínio ao intervalo ,2 2
.
Com a restrição no domínio da função seno, ela torna-se estritamente crescente.
Função seno
f : ,2 2
[-1, 1]
x y = sen(x)
Função arco-seno
f -1: [-1, 1] ,2 2
x y = arcsen(x) = sen-1(x)
f(x) = sen(x)
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f(x) = arcsen(x)
Exercício
Determine 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (1
2).
Função arco-cosseno
A função cosseno admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo
0, .
Função cosseno
f : 0, [-1, 1]
x y = cos(x)
Função arco-cosseno
f -1: [-1, 1] 0,
x y = arccos(x)=cos-1(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = arccos(x)
Exercício
Calcule:
a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (√3
2)
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 [𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (1
3)]
Função arco-tangente
A função tangente admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo
aberto ,2 2
.
Função tangente
f : ,2 2
ℝ
x y = tg(x)
Função arco-tangente
f -1: ℝ ,2 2
x y = arctg(x) = tg-1(x)
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f(x) = tg(x)
f(x) = arctg(x)
Exercício:
Calcule:
a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)
b) 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1)
Função arco-cotangente
Para obter a inversa da função cotangente, seu domínio restringe-se ao intervalo
aberto 0, .
Função cotangente
f : 0, ℝ
x y = cotg(x)
Função arco-cotangente
f -1: ℝ 0,
x y = arccotg(x)
f(x) = cotg(x)
f(x) = arccotg(x)
Exercício:
Calcule:
a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(−1)
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Função arco-secante
A função secante admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo
0, ,2 2
. Consequentemente, o contradomínio restringe-se ao intervalo
(-∞, -1][1, ∞).
Função secante
f : 0, ,2 2
(-∞, -1][1, ∞)
x y = sec(x)
Função arco-secante
f -1: (-∞, -1][1, ∞) 0, ,2 2
x y = arcsec(x)
f(x) = sec(x)
f(x) = arcsec(x)
Exercício:
Calcule:
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (−2√3
3)]
Função arco-cossecante
A função cossecante admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo
,0 0,2 2
. Consequentemente, o contradomínio restringe-se ao intervalo
(-∞, -1][1, ∞).
Função cossecante
f : ,0 0,2 2
(-∞, -1][1, ∞)
x y = cossec(x)
Função arco-cossecante
f -1: (-∞, -1][1, ∞) ,0 0,2 2
x y = arccossec(x)
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f(x) = cossec(x)
f(x) = arccossec(x)
Exercício:
Calcule:
a) 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(1)
Funções Hiperbólicas
Além da circunferência, outra maneira de definir a medida de um ângulo é
utilizando uma hipérbole. As funções hiperbólicas são análogas, de muitas maneiras, às
funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções
trigonométricas têm com o círculo.
x2 + y2 = 1
x2 - y2 = 1
Seja a medida do ângulo AÔM e M o
ponto sobre a curva, de modo que o setor
OAM tenha área /2. O segmento de reta
AR define a tangente à curva em A.
Define-se:
ON = cos | NM = sen | AR = tg
Seja a medida do ângulo AÔM e M o
ponto sobre a curva, de modo que o setor
OAM tenha área /2. O segmento de reta
AR define a tangente à curva em A.
Define-se:
ON = cosh | NM = senh | AR = tgh
26 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
As funções hiperbólicas são definidas por combinações das funções exponenciais ex
e e–x. Por exemplo, as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
Domínio: ℝ e Imagem: ℝ
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
Domínio: ℝ e Imagem: [1; ∞)
As funções hiperbólicas tangente e cotangente, são obtidas pelas relações:
𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
cosh(𝑥) e 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
senh(𝑥)
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
Domínio: ℝ e Imagem: (- 1; 1)
𝑓:ℝ∗ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
Domínio: ℝ∗ e Imagem: (-∞; -1) (1; ∞)
As funções hiperbólicas secante e cossecante, são obtidas pelas relações:
𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1
cosh(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =
1
senh(𝑥).
27 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
Domínio: ℝ e Imagem: (0; 1]
𝑓:ℝ∗ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =2
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
Domínio: ℝ∗ e Imagem: ℝ∗
As funções hiperbólicas satisfazem diversas identidades que são análogas às bem
conhecidas identidades trigonométricas. Sabe-se que sen2(x) + cos2(x) = 1. Para as funções
hiperbólicas, tem-se:
cosh2(x) - senh2(x) = 1
(𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
𝟐)
𝟐
− (𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐)
𝟐
= 𝒆𝟐𝒙 + 𝟐(𝒆𝒙𝒆−𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙
𝟒−𝒆𝟐𝒙 − 𝟐(𝒆𝒙𝒆−𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙
𝟒=
=𝒆𝟐𝒙 +𝟐+ 𝒆−𝟐𝒙
𝟒−𝒆𝟐𝒙 −𝟐+ 𝒆−𝟐𝒙
𝟒=𝟒
𝟒= 𝟏
Além dessas, várias outras identidades podem ser obtidas para as funções
hiperbólicas.
Exercício:
Mostre que 1 – tgh2(x) = sech2(x).
A aplicação mais famosa das funções hiperbólicas é o uso do cosseno hiperbólico
para descrever a forma de um fio dependurado. Pode ser demonstrado que se um cabo
flexível pesado (como uma linha de telefone ou de eletricidade) estiver suspenso entre
dois pontos na mesma altura, então ele assume a forma de uma curva com a equação
y = c – a cosh (x/a), chamada catenária (a palavra latina catena significa “cadeia”).
Outra aplicação das funções hiperbólicas ocorre na descrição das ondas do mar.
28 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri
________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves
Funções Hiperbólicas Inversas
Com exceção das funções hiperbólicas cosseno e secante, as demais não precisam de
alterações em seus domínios para admitirem inversa.
Função argumento do seno hiperbólico
𝑓−1:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1)
Função argumento do cosseno hiperbólico
𝑓−1: [1;+∞) → ℝ+
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1)
Função argumento da tangente hiperbólica
𝑓−1: (−1; 1) → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔ℎ(𝑥) =1
2ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑥)
Função argumento da cotangente hiperbólica
𝑓−1: (−∞;−1) ∪ (1;∞) → ℝ∗
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =1
2ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑥)
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Função argumento do secante hiperbólica
𝑓−1: (0; 1] → [0;+∞)
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1
2ln (
1 + √𝑥2 − 1
𝑥)
Função argumento do cossecante hiperbólica
𝑓−1: ℝ∗ → ℝ∗
𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1
2ln (
1
𝑥+√𝑥2 + 1
|𝑥|)