FUNÇÕES Disciplina: LógicaAplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro · Representar a relação R = {(x,...
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FUNÇÕES
Disciplina: Lógica Aplicada
Prof. Rafael Dias Ribeiro
Autoria: Prof. Denise Candal
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Funções
Plano Cartesiano
FixandoemumplanodoiseixosreaisOxeOy,perpendicularesentresinopontoO,podemosdeterminarumpontodesteplano:
• essesistemadeeixoséconhecidocomosistemacartesianoortogonaldecoordenadas;•oplanoquecontémessesistemaéchamadodeplanocartesiano;•opontoOéaorigemdosistema;•oseixosOxeOy,denominadosdeeixoscoordenados,são•respectivamenteoeixodasabscissaseoeixodasordenadas;
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Funções
Plano CartesianoOs eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatroregiões denominadas de quadrantes.
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Funções
Um meteorologista, para analisar a variação detemperatura numa determinadaregião, durante sete dias,enumerou os dias de 1 a 7 e registrou em cada dia atemperaturamédia, obtendo assim a seguinte tabela:
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Funções
Podemos dizer que o cientista estabeleceu umarelação do conjuntode dias A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas dastemperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}, associando a cada dia atemperaturamédia correspondente.
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Funções
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Diagrama de Flechas
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Funções
Gráfico Cartesiano
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Funções
Introdução
Intuitivamente, função é uma relação especial entre dois
conjuntos na qual todo elemento do primeiro conjunto deve
ter, obrigatoriamente, elemento associado no segundo
conjunto, e, cada elemento do primeiro conjunto só pode
ter um e apenas um elemento associado no segundo
conjunto.
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Funções
Função
Definição formal:
Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f
de A para B é chamada uma função se para todo a∈A, existe
um único b∈B tal que (a,b)∈f, e se lê: “f é função de A em B”.
f: A→B
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Funções
Função
Exemplos:
f
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Funções
Função
Exemplos:
A B
f
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Funções
Função
Exemplos:
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Funções
Função
Exemplos:
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Funções
Função
Exemplos:
t
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Funções
Função
Exemplos:
t
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Funções
Função
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de
domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são
válidos.
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Funções
Função - Imagem de um elemento através do diagrama de
flechas
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a
seguir. Se um elemento y de B estiver associado a um
elemento x de A, através de f, então diremos que y é a
imagem de x , através de f.
Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a
imagem de x através de f”).
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Funções
Função - Imagem de um elemento através do diagrama de
flechas
•6 = f (1)
•7 = f (2)
•8 = f (3)
•8 = f (4)
•11 = f (5)
D = {1,2,3,4,5}; CD = {6,7,8,9,10,11}; Im = {6,7,8,11}
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Funções
Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6,
12}. Representar a relação R = {(x, y) ∈ A X B | y = 3x} em
diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de
R.
A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}
R = {(x, y) ∈A X B | y = 3x}
x 3x y-2 3. (-2) -6-1 3. (-1) -30 3. (0) 01 3. (1) 32 3. (2) 63 3. (3) 9
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Funções
D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}
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Funções
Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
Considerando os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a
função f : A → B, onde cada x, x ∈ A, é associado a um único
f(x), f(x) ∈ B, através da lei f(x) = 2x + 1.
A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio
de f é o número 2x + 1 do contradomínio.
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Funções
Função
Imagem de um elemento através de y = f(x)
a imagem do elemento 4, através de f, é:
f (4) = 2 × 4 + 1 ⇒ f (4) = 9; logo, (4, 9) ∈ f
a imagem do elemento 1/2, através de f, é:
f (1/2) = 2 × 1/2 + 1 ⇒ f (1/2) = 2; logo, (1/2 , 2) ∈ f
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Funções
Função
Funções Compostas
São as funções em que o conjunto imagem de uma função
f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que, por
sua vez, gera um conjunto imagem A.
A função composta é uma expressão que, dado um
determinado número do domínio de f(x), nos leva
diretamente ao conjunto imagem A.
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Funções
Função
Funções Compostas
Exemplos: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1,
determine a função composta g(f(x)) ou gof.
- A função f(x) será o x da função g(x)!
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Funções
Função
Funções Compostas
Basta substituir em g(x) o valor de x por f(x), ou seja, por (2x
+ 3):
g(x) = x – 1 f(x) = 2x + 3
Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2
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Funções
Função
Funções Compostas
Exemplos: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2
e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas:
f(g(x)) e g(f(x)).
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Funções
Função
Funções Compostas
f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4
1 - f(g(x)) → g(x) é o u da f(u)
f(g(x)) = 4.(7x-4) + 2 = 28x-14
2- g(f(x)) → f(u) é o x da g(x)
g(fx)) = 7 (4u+2) – 4 = 28u+10
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Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa
de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer
que sejam a em A e b em B.
Denotamos a função inversa de f por f -1.
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Funções
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Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
f(x)=2x
f-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e
colocando o y em evidência novamente:
y = 2x
x = 2y
2y = x
y=x/2 = g(x)
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Funções
Função
FUNÇÃO INVERSA
g(x)=x/2
g-1 é calculada substituindo o y pelo x e vice-versa e
colocando o y em evidência novamente:
y = x/2
x = y/2
y/2 = x
y=2x = f(x)
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Funções
Função - Função afim
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando
existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais
tais que f(x)= ax + b para todo x R.
A lei que define função afim é:
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Funções
Função - Função afim
Na f(x) = ax + b, a e b são números reais e a ≠ 0.
O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de
constante.
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Funções
Função - Função afim
Exemplos:
• f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3
• f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = -7
• f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
• f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
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Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular
ao eixo Ox.
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Funções
Função - Função afim
Casos Particulares: funções linear e constante.
•Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando
existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈
R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
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Funções
Função - Função afim
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao
eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
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Funções
Função - Função afim
•Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando
existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x∈ R.
A lei que define uma função constante é:
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Funções
Função - Função afim
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou
coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de
ordenada b.
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Funções
Função - Gráficos
O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a
0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1
Atribuímos valores para x e calculamos o valor de y.
Desta maneira obtemos diversos pares ordenados que
podem ser plotados no plano cartesiano.
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Funções
Função - Gráficos
•y = 3x – 1
Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8)
x 3x-1 y-2 3. (-2) -1 -7-1 3. (-1) -1 -40 3. (0) -1 -11 3. (1) -1 22 3. (2) -1 53 3. (3) -1 8
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Funções
Função - Gráficos
•y = 3x - 1
x y-2 -7-1 -40 -11 22 53 8
0,0 x
y
1
2
1-1
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Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar
os valores de x para os quais y é positivo, os valores de x
para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é
negativo.
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Funções
Função
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu
sinal.
•Quando y=0, a reta corta o eixo x:
0 = ax+b
ax = -b
x = -b/a
Neste ponto, y=0
-b/a x
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Funções
Função
Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da
função.
1º Caso: a>0 – Função Crescente
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Funções
Função
Chamamos o valor de x, quando y=o de raiz da
função.
2º Caso: a<0 – Função Decrescente
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Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x-1
•a = 2 → a > 0 – função crescente!
•Raiz: 2x-1=0 → x= ½
- Para x>1/2, y é positivo
- Para x<1/2, y é negativo
1/2 x
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Funções
Função
Exemplo: Estudar o sinal da função y = -2x + 5
•a = -2 → a < 0 – função decrescente!
•Raiz: -2x+5=0 → x= 5/2
- Para x>5/2, y é negativo
- Para x<5/2, y é positivo
5/2 x