Sociedade Brasileira de MatematicaMestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional

MA33 - Introducao a` Algebra Linear

Unidade 1 - O que e Algebra linear ?Exerccios recomendados

1) Seja Q[

2] = {a+ b2 : a, b Q}. Dados a+ b2 e c+ d2, defina a somae o produto, respectivamente, como:

(a+ b2) + (c+ d2) = (a+ c) + (b+ d)2; (a+ b2) (c+ d2) = (ac+ 2bd) + (ad+ bc)2.

Mostre que Q[

2], com as operacoes definidas, e um corpo. Em particular,determine o inverso de um elemento a+ b

2 6= 0.

2) Considere o conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} munido das operacoes de adicao emultiplicacao a seguir:

Se a, b Z5, entao a+ b :=resto da divisao de a+ b por 5. Por exemplo:3 + 4 = 7 = 1 5 + 2, entao 3 + 4 := 2. Se a, b Z5, entao a b :=resto da divisao de a b por 5. Por exemplo:

3 4 = 12 = 2 5 + 2, entao 3 4 := 2.Mostre que Z5, com as operacoes definidas, e um corpo e determine o simetricoe o inverso multiplicativo de cada elemento nao nulo.

3) Seja v um elemento nao nulo de um espaco vetorial V sobre R. Mostre quea funcao f : R V , definida por f(t) = t v, e injetora.

4) Mostre que o conjunto dos numeros complexos, com as operacoes usuais desoma e multiplicacao, e um espaco vetorial sobre R.

5) Considere o conjunto V = {(x, y) R2 : x, y > 0} munido das seguintesoperacoes de soma e multiplicacao por escalar:

(a, b) (c, d) = (ac, bd), (a, b), (c, d) V ; (a, b) = (a, b), R e (a, b) V .

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Mostre que V , com as operacoes definidas, e um espaco vetorial sobre R. Emparticular, determine o vetor nulo de V .

6) Seja n N. Considere o conjunto R[x]n = {p(x) R[x]n : grau(p(x)) = n}munido das operacoes usuais de soma de polinomios e multiplicacao porescalar. R[x]n e um espaco vetorial sobre R ?

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