Post on 07-Apr-2016
EVM07
Aplicações de Grafos na
Sala de Aula
Marília Pires
Departamento de Matemática
Universidade do Algarve
EVM07
Onde se ensina:
Estados-Unidos (alguns estados)
Holanda
Portugal
EVM07
Porquê ensinar:
Necessita de poucos conhecimentos de outros temas de Matemática
Representação gráfica intuitiva Estrutura o raciocínio Exemplos da vida quotidiana Entusiasma os alunos …
EVM07
A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais:
30 aulas de 90 minutos:
Circuitos de Euler Circuitos de Hamilton Árvores Problemas Históricos
EVM07
Porquê só em MACS?
? Porque não desde o básico?
? O que se pode ensinar?
? Como ensinar?
? Quando?
? “Receitas mágicas”?
EVM07
RECEITA (não é mágica):
Exemplos Exemplos ……… Exercícios Exercícios ……… Problemas Problemas
EVM07
Um bom exemplo:
Conduz o aluno à construção do conceito
Desperta o interesse
Facilita a reflexão
Induz a criatividade
...
EVM07
A manhã de folga da mãe da Joana
Casa Finanças Correio Banco
Farmácia Sapateiro Florista Livraria
Seguro Emprego
EVM07
Conceito: caminho
A manhã de folga da mãe da Joana…
Fin.Banco
Seg.
Far.Casa
Sap.
Emp.Flo.
Liv.CTT
EVM07
A manhã de folga da mãe da Joana
Casa Finanças Correio Banco
Farmácia Sapateiro Florista Livraria
Seguro Emprego
Mas será esta a melhor ordem para tratar de
tudo na mesma manhã?
EVM07
Conceito: caminho mais curto passando por todos os vértices
A manhã de folga da mãe da Joana…
Fin.Banco
Seg.
Far.Casa
Sap.
Emp.Flo.
Liv.CTT
1000
500
1500200
300
100
500
750200
100
EVM07
Caminho mais curto de S a A:
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
EVM07
Primeira estratégia:
1. Pedir aos alunos para fazerem uma lista de todos os caminhos possíveis
2. Calcular o comprimento de cada caminho3. Escolher o mais curto
• Como saber que não esquecemos nenhum caminho?
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Porque não ensinar um algoritmo?
• Os alunos gostam de algoritmos• (Quase não se ensinam algoritmos!)• A aplicação de um algoritmo ajuda a
perceber melhor a essência do problema• “Certeza” de obter a solução
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:
Fácil perceber porque funciona
Fácil de executar
Eficiente para problemas pequenos
Algoritmo exacto
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:
Princípio do algoritmo:
O caminho mais curto entre dois vértices
contém os caminhos mais curtos entre todos
os vértices desse caminho
EVM07
Caminho mais curto de S a A:
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GDE 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GDE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
(10)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
(10)(11)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
S G F A
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
Correio
Mei Ko Kwan (1962)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
34
4
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
150
200
500400
300
180
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
150
200
500
4
4
4
EVM07
Algoritmo de Fleury:
1. Escolher um vértice qualquer para começar;2. Escolher uma qualquer aresta não marcada
incidente nesse vértice e marcá-la;3. Repetir 2 até chegar a um vértice onde todas as
arestas estão marcadas4. Se todas as arestas estão marcadas acabar5. Escolher um vértice com uma aresta não
marcada e recomeçar
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
2 54
4
6
5
4
4 33
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• A B C D• A C B D• A D B C
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
6
3
4
5
4
31
12
2
2
1
3
4
1
3
1 2
2
3
EVM07
Caminhos mais curtos:
• A B 3 (A G F B)• A C 4 (A H J C)• A D 4 (A G D)• B C 6 (B F G H J C)• B D 4 (B E D)• C D 4 (C J H D)
EVM07
Custo de cada agrupamento:
• A B C D 3 + 4 = 7• A C B D 4 + 4 = 8• A D B C 4 + 6 = 10
EVM07
Custo de cada agrupamento:
• A B C D 3 + 4 = 7• A C B D 4 + 4 = 8• A D B C 4 + 6 = 10
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
6
3
4
5
4
31
12
2
2
1
3
4
1
3
1 2
2
3
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
Visitar Castelos
A B C D
A - 100 10 30
B 100 - 40 40
C 10 40 - 100
D 30 40 100 -
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
• A B C D A 100 + 40 + 100 + 30 = 270• A B D C A 100 + 40 + 100 + 10 = 250• A C B D A 10 + 40 + 40 + 30 = 120• A C D B A 10 + 100 + 40 + 100 = 250• A D B C A 30 + 40 + 40 + 10 = 120• A D C B A 30 + 100 + 40 + 100 = 270
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
• A B C D A 100 + 40 + 100 + 30 = 270• A B D C A 100 + 40 + 100 + 10 = 250• A C B D A 10 + 40 + 40 + 30 = 120• A C D B A 10 + 100 + 40 + 100 = 250• A D B C A 30 + 40 + 40 + 10 = 120• A D C B A 30 + 100 + 40 + 100 = 270
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
Heurística de inserção do vizinho mais próximo:
Construir o circuito escolhendo a aresta de menor custo saindo do vértice em que se está.
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
A B C
A - 10 9
B 50 - 10
C 40 50 -
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
A C B A 9 + 50 + 50 = 109
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
A B C A 10 + 10 + 40 = 60
MAS:
A C B A 9 + 50 + 50 = 109
EVM07
Um funcionário de uma empresa de parques de estacionamento tem que percorrer todas as ruas onde funciona estacionamento pago, para recolher o dinheiro das máquinas, uma vez por dia. As máquinas encontram-se a intervalos regulares ao longo das ruas cujo mapa se desenha a seguir. Os números sobre as arestas correspondem aos comprimentos das ruas, em centenas de metros. Determine o percurso a percorrer pelo funcionário, de modo a minimizar o espaço percorrido.
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• (B,C) + (D,H) → 9 + 7 =16• (B,D) + (C,H) → 7 + 15 = 22• (B,H) + (C,D) → 11 + 8 = 19
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• (B,C) + (D,H) → 9 + 7 =16• (B,D) + (C,H) → 7 + 15 = 22• (B,H) + (C,D) → 11 + 8 = 19
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
EVM07
ab
cde
f
g
Graphs: An Introductory approach
Wilson & Watkins
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Grafo de compatibilidades
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Encontrar subgrafos completos
cde abc gf
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Subgrafos completos
abf cde gf
EVM07
Alternativa 1: abc cde gf
0 20 40 60
abc
gf
de
Tempo de espera: Total:
a, b, d, e, f, g : 40 segundos 260 segundos
c: 20 segundos
EVM07
Vamos escolher a roupa da Joana
A Joana leu numa revista de moda que não se deve misturar mais do que 3 cores. Ela quer vestir-se de modo a que peças que se toquem não tenham a mesma cor. Será possível?
EVM07
Sapatos Meias
Saia
Cinto
Blusa
Mala
Lenço
Laços
EVM07
Sapatos Meias
Saia
Cinto
Blusa
Mala
Lenço
Laços
EVM07
Expedição a Marte:
10 candidatos
Escolher duas tripulações
Não pôr na mesma tripulação pessoas que não se
dão bem
Problemas divertidos de Teoria de GrafosO.I. Melnikov – Minsk 2001
EVM07
Resultado dos testes psicológicos:
***10**9
***8***7**6
**5**4
**3**2
***110987654321
EVM07
1
4
3
5 8
97
10
2
6
EVM07
1
4
3
5 8
97
10
2
6
EVM07
Bactérias:
Há uma bactéria que se divide inicialmente em 3. As bactérias seguintes ou não se dividem ou se dividem em 2 ou em 4.
Observa-se a cultura e há 102 bactérias.
Quais os números máximos e mínimos de divisões em 4 e em 2 bactérias?
EVM07
Só as bactérias representadas a castanho serão observadas
EVM07
Nó inicial: grau 3
Nós finais: grau 1
Nós intermédios: grau 3 ou grau 5
1 vértice de grau 3
k vértices de grau 3
p vértices de grau 5
102 vértices de grau 1número de vértices:
1 + k + p + 102
soma dos graus dos vértices:
3 + 3k + 5p + 102
número de arestas:
k + p + 102
EVM07
Lema dos apertos de mão:
A soma dos graus dos vértices é o dobro do número de arestas
3 + 3k + 5p + 102 = 2 ( k + p + 102 )
k + 3p = 99
k = 0 p = 33
k = 99 p = 0 0 divisões em 2 e 33 em 4
99 divisões em 2 e 0 em 4
EVM07
Arquitectura: elaboração de plantas
• Entrada principal – ligação ao hall• Entrada pelo jardim• Hall – ligado a escritório, sala de estar, sala
de jantar e escada• Escritório perto de WC• Sala de jantar ligada à zona de serviço
(cozinha, copa, wc serviço, lavandaria)• Zona de serviço com acesso directo à
entrada
EVM07
escritório
WC
hall
entrada
jardim
estar
jantar
lavagens cozinha copa
wc
EVM07
escritórioWC
Sala de estar sala de jantar
jardim
entradalavagens
cozinha
copawchall
EVM07
Espaço de manobra ilimitado
Exemplos devem requerer trabalho
intelectual