EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade...

EVM07

Aplicações de Grafos na

Sala de Aula

Marília Pires

Departamento de Matemática

Universidade do Algarve

EVM07

Onde se ensina:

Estados-Unidos (alguns estados)

Holanda

Portugal

EVM07

Porquê ensinar:

Necessita de poucos conhecimentos de outros temas de Matemática

Representação gráfica intuitiva Estrutura o raciocínio Exemplos da vida quotidiana Entusiasma os alunos …

EVM07

A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais:

30 aulas de 90 minutos:

Circuitos de Euler Circuitos de Hamilton Árvores Problemas Históricos

EVM07

Porquê só em MACS?

? Porque não desde o básico?

? O que se pode ensinar?

? Como ensinar?

? Quando?

? “Receitas mágicas”?

EVM07

RECEITA (não é mágica):

Exemplos Exemplos ……… Exercícios Exercícios ……… Problemas Problemas

EVM07

Um bom exemplo:

Conduz o aluno à construção do conceito

Desperta o interesse

Facilita a reflexão

Induz a criatividade

...

EVM07

A manhã de folga da mãe da Joana

Casa Finanças Correio Banco

Farmácia Sapateiro Florista Livraria

Seguro Emprego

EVM07

Conceito: caminho

A manhã de folga da mãe da Joana…

Fin.Banco

Seg.

Far.Casa

Sap.

Emp.Flo.

Liv.CTT

EVM07

A manhã de folga da mãe da Joana

Casa Finanças Correio Banco

Farmácia Sapateiro Florista Livraria

Seguro Emprego

Mas será esta a melhor ordem para tratar de

tudo na mesma manhã?

EVM07

Conceito: caminho mais curto passando por todos os vértices

A manhã de folga da mãe da Joana…

Fin.Banco

Seg.

Far.Casa

Sap.

Emp.Flo.

Liv.CTT

1000

500

1500200

300

100

500

750200

100

EVM07

Caminho mais curto de S a A:

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

EVM07

Primeira estratégia:

1. Pedir aos alunos para fazerem uma lista de todos os caminhos possíveis

2. Calcular o comprimento de cada caminho3. Escolher o mais curto

• Como saber que não esquecemos nenhum caminho?

EVM07

Porque não ensinar um algoritmo?

• Os alunos gostam de algoritmos• (Quase não se ensinam algoritmos!)• A aplicação de um algoritmo ajuda a

perceber melhor a essência do problema• “Certeza” de obter a solução

EVM07

Algoritmo de Dijkstra:

Fácil perceber porque funciona

Fácil de executar

Eficiente para problemas pequenos

Algoritmo exacto

EVM07

Algoritmo de Dijkstra:

Princípio do algoritmo:

O caminho mais curto entre dois vértices

contém os caminhos mais curtos entre todos

os vértices desse caminho

EVM07

Caminho mais curto de S a A:

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

EVM07

Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância

mínimaDistânciaestimada

Antecedente

S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

EVM07



Antecedente

S 0 - -ABC 11 GDE 8 7 S GF 7 GG 5 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -ABC 11 GDE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

(7)

EVM07



Antecedente

S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

(7)

(7)

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

(7)

(7)

(9)

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 FB 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

(7)

(7)

(9)

(10)

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

(0)

(5)

(7)

(7)

(9)

(10)(11)

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

EVM07



Antecedente

S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S

S G F A

EVM07

A

B

D

F

C

E

G

S

5

8

2

6

2310

5

4

2

42

7

4

EVM07

Problema do Carteiro Chinês:

Correio

Mei Ko Kwan (1962)

EVM07


2

2

2

3

3

EVM07


2

2

2

3

34

4

EVM07


2

2

2

3

3

150

200

500400

300

180

EVM07


2

2

2

3

3

150

200

500

4

4

4

EVM07

Algoritmo de Fleury:

1. Escolher um vértice qualquer para começar;2. Escolher uma qualquer aresta não marcada

incidente nesse vértice e marcá-la;3. Repetir 2 até chegar a um vértice onde todas as

arestas estão marcadas4. Se todas as arestas estão marcadas acabar5. Escolher um vértice com uma aresta não

marcada e recomeçar

EVM07


A I

B F

E D

G H

J

C

EVM07


A I

B F

E D

G H

J

C

2 54

4

6

5

4

4 33

EVM07

Agrupamentos possíveis:

• A B C D• A C B D• A D B C

EVM07


A I

B F

E D

G H

J

C

6

3

4

5

4

31

12

2

2

1

3

4

1

3

1 2

2

3

EVM07

Caminhos mais curtos:

• A B 3 (A G F B)• A C 4 (A H J C)• A D 4 (A G D)• B C 6 (B F G H J C)• B D 4 (B E D)• C D 4 (C J H D)

EVM07

Custo de cada agrupamento:

• A B C D 3 + 4 = 7• A C B D 4 + 4 = 8• A D B C 4 + 6 = 10

EVM07


A I

B F

E D

G H

J

C

6

3

4

5

4

31

12

2

2

1

3

4

1

3

1 2

2

3

EVM07

Problema do Caixeiro Viajante:

Visitar Castelos

A B C D

A - 100 10 30

B 100 - 40 40

C 10 40 - 100

D 30 40 100 -

EVM07


• A B C D A 100 + 40 + 100 + 30 = 270• A B D C A 100 + 40 + 100 + 10 = 250• A C B D A 10 + 40 + 40 + 30 = 120• A C D B A 10 + 100 + 40 + 100 = 250• A D B C A 30 + 40 + 40 + 10 = 120• A D C B A 30 + 100 + 40 + 100 = 270

EVM07

AD

C

B

100

10

40

100

40

30

EVM07

Heurística de inserção do vizinho mais próximo:

Construir o circuito escolhendo a aresta de menor custo saindo do vértice em que se está.

EVM07

AD

C

B

100

10

40

100

40

30

EVM07


A B C

A - 10 9

B 50 - 10

C 40 50 -

EVM07

A

C

B

10

9

1050

40

50

EVM07

A

C

B

10

9

1050

40

50

A C B A 9 + 50 + 50 = 109

EVM07

A

C

B

10

9

1050

40

50

A B C A 10 + 10 + 40 = 60

MAS:

A C B A 9 + 50 + 50 = 109

EVM07

Um funcionário de uma empresa de parques de estacionamento tem que percorrer todas as ruas onde funciona estacionamento pago, para recolher o dinheiro das máquinas, uma vez por dia. As máquinas encontram-se a intervalos regulares ao longo das ruas cujo mapa se desenha a seguir. Os números sobre as arestas correspondem aos comprimentos das ruas, em centenas de metros. Determine o percurso a percorrer pelo funcionário, de modo a minimizar o espaço percorrido.

EVM07

C

A

BD

H

I

E

F

G

6

7

35

10

3

7

7

8

4

34

4

6

5

EVM07

Agrupamentos possíveis:

• (B,C) + (D,H) → 9 + 7 =16• (B,D) + (C,H) → 7 + 15 = 22• (B,H) + (C,D) → 11 + 8 = 19

EVM07

C

A

BD

H

I

E

F

G

6

7

35

10

3

7

7

8

4

34

4

6

5

EVM07

ab

cde

f

g

Graphs: An Introductory approach

Wilson & Watkins

EVM07

d

e

a

g

b

f

c

Grafo de compatibilidades

EVM07

d

e

a

g

b

f

c

Encontrar subgrafos completos

cde abc gf

EVM07

d

e

a

g

b

f

c

Subgrafos completos

abf cde gf

EVM07

Alternativa 1: abc cde gf

0 20 40 60

abc

gf

de

Tempo de espera: Total:

a, b, d, e, f, g : 40 segundos 260 segundos

c: 20 segundos

EVM07

Vamos escolher a roupa da Joana

A Joana leu numa revista de moda que não se deve misturar mais do que 3 cores. Ela quer vestir-se de modo a que peças que se toquem não tenham a mesma cor. Será possível?

EVM07

Sapatos Meias

Saia

Cinto

Blusa

Mala

Lenço

Laços

EVM07

Expedição a Marte:

10 candidatos

Escolher duas tripulações

Não pôr na mesma tripulação pessoas que não se

dão bem

Problemas divertidos de Teoria de GrafosO.I. Melnikov – Minsk 2001

EVM07

Resultado dos testes psicológicos:

***10**9

***8***7**6

**5**4

**3**2

***110987654321

EVM07

1

4

3

5 8

97

10

2

6

EVM07

Bactérias:

Há uma bactéria que se divide inicialmente em 3. As bactérias seguintes ou não se dividem ou se dividem em 2 ou em 4.

Observa-se a cultura e há 102 bactérias.

Quais os números máximos e mínimos de divisões em 4 e em 2 bactérias?

EVM07

Só as bactérias representadas a castanho serão observadas

EVM07

Nó inicial: grau 3

Nós finais: grau 1

Nós intermédios: grau 3 ou grau 5

1 vértice de grau 3

k vértices de grau 3

p vértices de grau 5

102 vértices de grau 1número de vértices:

1 + k + p + 102

soma dos graus dos vértices:

3 + 3k + 5p + 102

número de arestas:

k + p + 102

EVM07

Lema dos apertos de mão:

A soma dos graus dos vértices é o dobro do número de arestas

3 + 3k + 5p + 102 = 2 ( k + p + 102 )

k + 3p = 99

k = 0 p = 33

k = 99 p = 0 0 divisões em 2 e 33 em 4

99 divisões em 2 e 0 em 4

EVM07

Arquitectura: elaboração de plantas

• Entrada principal – ligação ao hall• Entrada pelo jardim• Hall – ligado a escritório, sala de estar, sala

de jantar e escada• Escritório perto de WC• Sala de jantar ligada à zona de serviço

(cozinha, copa, wc serviço, lavandaria)• Zona de serviço com acesso directo à

entrada

EVM07

escritório

WC

hall

entrada

jardim

estar

jantar

lavagens cozinha copa

wc

EVM07

escritórioWC

Sala de estar sala de jantar

jardim

entradalavagens

cozinha

copawchall

EVM07

Espaço de manobra ilimitado

Exemplos devem requerer trabalho

intelectual

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