Estatística Aplicada à Motricidade

Características de Distribuição e Distribuição Normal

J. A. Barela & E. Kokubun

Encontro #1

Tipos de variáveis: Qualitativa: resulta de uma classificação por tipos

ou atributosVariável: cor dos olhos (verdes, castanhos)Variável: sexo (masculino e feminino)Variável: qualidade de um produto (perfeita ou

defeituosa)

Quantitativa: considerada quantitativa quando seus valores forem expressos em números. Podem ser subdivididas em:

Quantitativas discretas (contagem) número de células, pontos obtidos, ...

Quantitativas contínuas (medidas):peso, estatura, velocidade …

valor de uma variável contínua é sempre um “valor aproximado”!!!

Gráficos: utilização: ilustrar relacionamentos entre variáveis

independente(s) e dependente(s).

0

10

20

30

40

Ord

enada (

"Y")

1 2 3 4 5 6 7Abicissa ("X")

• organização: Abscissa (eixo do “X”): variável independente Ordenada (eixo do “Y”): variável dependente

Variáveis: Independente: aquela manipulada pelo

experimentadoridadeGênero (masculino ou feminino)Escolaridade (ensino médio, superior)

Dependente: aquela que o experimentador não controla … é o resultado a ser observado

distância saltadavelocidade do andar

5

10

15

20

25

30

35

40

Renda A

nual (M

il R

eais

)

1 2 3 4 5 6 7 Nível Educacional

Renda Anual por Nível Educacional

5

10

15

20

25

30

35

40

Renda A

nual (M

il R

eais

)

1 2 3 4 5 6 7 Nível Educacional

Renda Anual por Nível Educacional

Tabela: Renda Anual por Nível Educacional

------------------------------------------------

Nível Renda

Educacional Anual (Reais)

------------------------------------------------

1 7.150,00

2 8.775,00

3 12.125,00

4 15.650,00

5 20.275,00

6 24.850,00

7 35.525,00

-------------------------------------------------

Gráficos

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Teses D

efe

ndid

as

SP RJ RS MGEstados

Gráficos de Barras • relacionamento entre duas variáveis quando a escala

de medida da variável independente é nominal (categoria)

Tabela: Notas da Avaliação Final de Estatística Aplicada à Motricidade - ano 2003

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Média Frequência Frequência Frequência Frequência

Acumulada Relativa Relativa Acumulada

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 0,033 0,033

2 1 2 0,033 0,066

3 2 4 0,066 0,132

4 2 6 0,066 0,198

5 4 10 0,133 0,331

6 6 16 0,2 0,531

7 7 23 0,233 0,764

8 5 28 0,166 0,930

9 2 30 0,066 0,996

10 0 30 0 0,996*

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* O resultado deveria ser 1, entretanto, neste caso ficou próximo devido ao arredondamento

Histogramas • Definição: gráfico de barras que mostra as

frequências de valores individuais ou valores em intervalos.

Valores da Av. Final

9.08.07.06.05.04.03.02.01.0

Histograma - Av. Final8

6

4

2

0

Polígono (azul)

Valores da tabela anterior

0

5

10

15

20

25

Fre

quência

(%

)

0 2 4 6 8 10 Valores da Av. Final

Polígono Relativo da Av. Final

0

20

40

60

80

100

Fre

quência

(%

)0 2 4 6 8 10

Valores da Av. Final

Polígono de Freq. Acumulada Av. Final

Polígono de Freq. Relativa• mesmo que o polígono, apenasusando a frequência relativa (%)

Polígono de Freq. Acumulada• as frequências relativas são somadas• utilizado para identificar percentios da distribuição

Formas de Polígono de Frequência

Distribuição Uniforme ou Retangular Distribuição Normal

Distribuição Inclinada Negativamente Distribuição Inclinada Positivamente

Distribuição Leptocúrtica Distribuição Platicúrtica

Descrevendo Distribuições

Descrever uma distribuição é indicar sua:• FORMA:

• MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

• MEDIDAS DE DISPERSÃO:

gráficos fazem isso

indicam os valores médios

indicam o quão os valores estãodistribuídos

Percentil: é um ponto em uma distribuição em ou abaixo de uma determinada porcentagem dos valores

Ex: P30 ponto no qual 30% dos valores da distribuição estão abaixo.

Valores Freq. Freq. % % Acum. Acum. 1.00 1 1 3.3 3.3 2.00 1 2 3.3 6.7 3.00 2 4 6.7 13.3 4.00 2 6 6.7 20.0 5.00 4 10 13.3 33.3 6.00 6 16 20.0 53.3 7.00 7 23 23.3 76.7 8.00 5 28 16.7 93.3 9.00 2 30 6.7 100.0 ------- ------- ------- Total 30 100.0

Px = li + w * [(np - fa)/ fi)]Onde:

li = limite inferior do intervalo contendo o Percentil

n = número total de valores

p = proporção do percentil

fa = freq. acumulada abaixo do intervalo contendo o percentil

fi = freq. de valores no intervalo que contém o percentil

w = largura do intervalo de classe

Valores Freq. Freq. % % Acum. Acum. 1.00 1 1 3.3 3.3 2.00 1 2 3.3 6.7 3.00 2 4 6.7 13.3 4.00 2 6 6.7 20.0 5.00 4 10 13.3 33.3 6.00 6 16 20.0 53.3 7.00 7 23 23.3 76.7 8.00 5 28 16.7 93.3 9.00 2 30 6.7 100.0 ------- ------- ------- Total 30 100.0

Px = li + [(np - fa)/ fi)] * (w)

P30 = 4.5 + [(30 x 0.30 - 6)/4] x 1

P30 = 4.5 + [(9 - 6)/4] x 1

P30 = 4.5 + (.75) x 1

P30 = 5.25

0

20

40

60

80

100

Fre

quência

(%

)

0 2 4 6 8 10 Valores da Av. Final

Polígono de Freq. Acumulada Av. Final

Exemplo: P30

Medidas de Tendência Central

Moda:• def: o valor (ou valores) de maior frequência• é a medida mais simples de tendência central• fornece pouca informação sobre a distribuição

Valores da Av. Final

9.08.07.06.05.04.03.02.01.0

Histograma - Av. Final8

6

4

2

0

Medidas de Tendência CentralMediana:• def: é o P50 ou o ponto na escala de medida em que

50% dos valores estão abaixo.

Poucos números (n=7)

Ex: 23, 21, 3, 6, 12, 19, 18

Primeiro passo:Arranje os valores em ordem ascendente

Ex: 3, 6, 12, 18, 19, 21, 23

md = 18

Poucos números (n=8)

Ex: 23, 40, 29, 44, 18, 27, 46, 28

Ex: 18, 23, 27, 28, 29, 40, 44, 46

md = (28 + 29)/2md = 28.5

Primeiro passo:Arranje os valores em ordem ascendente

Medidas de Tendência Central

Mediana: Muitos Números def: é o P50 ou o ponto na escala de medida em que

50% dos valores estão abaixo.

Valores Freq. Freq. % % Acum. Acum. 1.00 1 1 3.3 3.3 2.00 1 2 3.3 6.7 3.00 2 4 6.7 13.3 4.00 2 6 6.7 20.0 5.00 4 10 13.3 33.3 6.00 6 16 20.0 53.3 7.00 7 23 23.3 76.7 8.00 5 28 16.7 93.3 9.00 2 30 6.7 100.0 ------- ------- ------- Total 30 100.0

md = li + [(n*0.50 - fa)/ fi)] (w)Onde:

li = limite inferior do intervalo contendo o Percentil

n = número total de valores

fa = freq. acumulada abaixo do intervalo contendo o percentil

fi = freq. de valores no intervalo que contém o percentil

w = largura do intervalo de classe

Medidas de Tendência CentralMédia (aritmética):

• def: é o valor médio de todos os valores da distribuição

A média é a medida de tendência central mais utilizada, em parte, devido a duas propriedades:

fórmula: onde: Xi = cada um dos valores

X = Xi/n n = número total de valores

Média (aritmética)

Propriedades: a soma da diferença de todos os valores da média é zero

Diferença => xi = (Xi - X)

propriedade => (Xi - X) = (xi) = 0------------------------------------------------

Xi xi = (Xi - X)------------------------------------------------- 9 3 12 6 7 1 5 - 1 2 - 4 3 - 3 4 - 2------------------------------------------------- = 42 0n = 7X = 6

Média (aritmética)

Propriedades: a soma do quadrado da diferença de todos os valores da média é a menor possível

------------------------------------------------------------------------------------------------

Xi xi = (Xi - X) xi2 = (Xi - X)2 (Xi - 8)2

------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 3 9 1 12 6 36 16 7 1 1 1 5 - 1 1 9 2 - 4 16 36 3 - 3 9 25 4 - 2 4 16------------------------------------------------------------------------------------------------- = 42 0 76 104n = 7X = 6

Diferença ao quadrado=> xi2 = (Xi - X)2

propriedade => (Xi - X)2 = (xi)2 = menor possível

Medidas de Tendência Central

Comparação: moda, mediana e média

(mo, md, X) mo mo(md, X)

X mo mo X

mdmd

• Medidas de Dispersão

Descrevendo Distribuição:

•Forma• Medidas de Tendência Central Pontos

Tamanho de intervalos indicando como os

valores estão variando ou distribuídos

• Amplitude• Variância• Desvio Padrão

Medidas de Dispersão

• Amplitude: diferença entre o maior e menor valor da distribuição acrescida de um.

Amplitude (R) = maior valor - menor valor + 1

Dist 1: 11 16 18 23 29 31 37

Dist 2: 18 19 21 23 24 26 29

R = 37 - 11 + 1 = 27

R = 29 - 18 + 1 = 12

Medidas de Dispersão

• Variância (s2): média dos quadrados das diferenças dos valores em relação à sua média

Se dividir SS pelo número total de valores, teremos a média da soma dos quadrados ou VARIÂNCIA

OBS.: n é usado para a populaçãon - 1 é usado para amostra

s2 = SS/n = (Xi - X)2 / n = (xi)2 / n

1) Soma dos Quadradros (SS) = (Xi - X)2 = (xi)2

Variância

s2 = 76/7-1s2 = 12.67

s2 é expressa em unidades ao quadrado da unidade utilizada !!!

---------------------------------------------------------------------------

Xi xi = (Xi - X) xi2 = (Xi - X)2

--------------------------------------------------------------------------- 9 3 9 12 6 36 7 1 1 5 - 1 1 2 - 4 16 3 - 3 9 4 - 2 4--------------------------------------------------------------------------- = 42 0 76n = 7X = 6

s2 = SS/n-1 = (Xi - X)2 / n-1 = (xi)2 / n -1Amostra

Medidas de Dispersão

• Desvio Padrão (s): é a raiz quadrada da variância

O Desvio Padrão tem a mesma unidade como a medida original da variável, o que o torna

muito mais útil do que a variância.

s sss

n

X X

ni

2

2

1 1( )

( )

( )