Post on 16-Apr-2015
Ensino Superior
8. Integrais DuplasMomentos e Centro de Gravidade
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos
As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:
Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.
mx my
mx
my
mx
my
mx my
mx my
mx
my
mx
my
mx
my
Aplicações
Baricentros e centróides
Superfície de espessura constante
Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔPO peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:
sendo que, no limite:
1 2 ... nP P P P
P dP
Baricentros e centróides
Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam:
Levando tais expressões ao limite, tem-se:
Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se: onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidemcom as do Baricentro.
1 1 2 2
1 1 2 2
...
...c n n
c n n
Px x P x P x P
Py y P y P y P
c cP x xdP P y ydP
c c
xdA ydAA dA x y
A A
Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas
Exercícios
1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da
Região limitada no 1º Quadrante por y = x 3 e y = 4x.
Resposta:
Exercícios
2) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da
Região limitada no 1º Quadrante por y 2 = x, x + y = 2
e y = 0.
Resposta:
Momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia
De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas
expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos
Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por:
2 2 x yI dA I dAy x
FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA
2
1
y x
y x
0x 1x
1 2
0 1
( )
( )
, ,x x
A x x
f x y dA f x y dy dx
Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:
Momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia
Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:
onde
Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.
De maneira análoga, para o eixo y:
b
h
x
y
21 20 ,x x h f x y y
32
0 0 3
b h
x
bhI y dy dx
3
3y
b hI
Cálculo dos Momentos de Inércia
Fazemos o cálculo dos momentos de inércia mediante a integral:
dmrmrI iimi
22
0lim
Para um objeto tridimensional é conveniente utilizar a densidade do volume:
dV
dm
V
mV
0
lim
Então: dVrI 2
Teorema dos Eixos Paralelos
O teorema dos eixos paralelos estabelece que o momento de inércia ao redor de qualquer eixo que é paralelo e que se encontra a uma distância D do eixo que passa pelo centro de massa é
I = ICM + MD2
Exemplos de Momento de Inércia
Aro ou casca cilíndrica 2MRICM
Cilindro sólido ou disco 2
21 MRICM
Cilindro oco 2
22
121 RRMICM
Placa retangular
22121 baMICM
Longa Haste fina com eixo de rotação que passa pelo centro. 2
121 MLICM
Esfera sólida
252 MRICM
Esfera oca2
32 MRICM
231 MLI
Longa haste fina com o eixo de rotação que passa pelo fim
Cálculo dos Momento de Inércia
Exercício 1
Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região
limitada pelas curvas y 2 = 4x; x = 4 e y = 0, no 1º Quadrante.
Resposta: 107,28
Exercício 2
Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada
pelas curvas y 2 = 4x; x + y = 3 e y = 0, no 1º Quadrante.
Resposta: 8,97