Encontro Científico dosPós-Graduandos do IMECC

Modelagem Espectral daTurbulência

Ailin Ruiz de Zarate Fabregas

ailin@ufpr.br

ailinruizdezarate@gmail.com

Departamento de Matematica DMAT/UFPR

Atualmente realizando um Pos-Doc no Programa de Pos-graduacao em

Engenharia Ambiental PPGEA/UFPR

Supervisor: Prof. Nelson Luıs da Costa Dias

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Objetivos

Estabelecer conexões entre diversas áreas de conhecimento:MatemáticaFísicaEngenharia (micrometeorologia)Estatística

Conexões entre diversas áreas da Matemática:ÁlgebraEquações DiferenciaisAnálise

Enfatizar o papel da Matemática como ferramenta útil napesquisa científica.

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Turbulência

Fonte: NASA, 6 de setembro de 2018. Imagem colorida artificialmente.Jupiter desde a nave espacial Juno.

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Turbulência

Fonte: NASA, 3 de Agosto de 2018. Incêndios na California fotografadospelo astronauta Alexander Gerst desde uma estação espacial.

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Turbulência

Fonte: NASA, 4 de Maio de 1990. Enorme vórtice na assa de um aviãoutilizado na agricultura.

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Fluxo turbulento vs. laminar

Movimento irregular de um fluido, enfeitado deredemoinhos de todos os tamanhos, em todas as escalasvisíveis e que muda drasticamente com a menor perturbaçãoque encontra no caminho.

Caótico, aleatório, desordenado...

Em contraste, temos o fluxo laminar, bem comportado, masque pode mudar de regime de forma notável.

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Turbulência

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Mecânica dos Fluidos em MultimediaFonte:

G. M. Homsy University of California, Santa Barbara

H. Aref, Virginia Polytechnic Institute and State University

K. S. Breuer, Brown University, Rhode Island

S. Hochgreb, Sandia National Laboratories, Peru

J. R. Koseff, Stanford University, California

B. R. Munson, Iowa State University

K. G. Powell, Michigan State University

C. R. Robertson, Stanford University, California

S. T. Thoroddsen, University of Illinois, Urbana-Champaign– p. 8/27

Turbulência, medição

Experimento realizado por Tong e Warhaft (1995). Série temporalda componente axial da velocidade na linha central de um jatoturbulento.

0.0 0.1 0.2 0.30

1

2

3

4

5

6

(m s–1)

U1(t)

t (s)

Fonte: S. B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press,Cambridge, 2000.

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Separação de Reynolds em um escoamento turbulento

Grandeza “ 〈 Média 〉 + flutuações

Ui: componentes do campo de velocidade, i “ 1, 2, 3

Ui “ 〈Ui〉 ` ui

P: pressão, P “ 〈P〉 ` p,

ρ: densidade, ρ “ 〈ρ〉 ` s.

Processo estocástico com índice px, tq, t ě 0, x P R3:

Médias: funções determinísticas da posição x e do tempo t,

〈G〉 “

ż

Ω

GpωqPpdωq.

Flutuações com média zero: 〈ui〉 “ 〈p〉 “ 〈s〉 “ 0.

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Outras hipóteses simplificadoras

ρpx, tq “ ρ, constante.

Fluido incompressível volume Wt constante no tempo ñ

BJ

Bt“ p∇ ¨ UqJ

ñ campo de velocidades solenoidal ∇ ¨ U “ 0.

flutuações de velocidade ui e de pressão p configuram umprocesso estocástico homogêneo (em x).

Médias de velocidade: funções afins no argumento x:

〈Un〉 “ 〈Un〉0 `B 〈Un〉

Bxl

xl “ 〈Un〉0 ` Clnxl,

〈Un〉0: velocidade média em xl “ 0.

Cisalhamento constante B〈Un〉

Bxl“ Cln “ δ31C31, C31 , 0.

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Equações no domínio físicoBalanço de massa:

BUn

Bxn

“ 0 ñB 〈Un〉

Bxn

“ 0 ñBun

Bxn

“ 0,

Balanço de quantidade de movimento:

BUi

Bt` Un

BUi

Bxn

“ ´1ρ

BP

Bxi

` νB2Ui

BxnBxn

,

ν ą 0 denota o coeficiente de viscosidade cinemática.

ñB 〈Ui〉

Bt` 〈Un〉

B 〈Ui〉

Bxn

“ ´1ρ

B 〈P〉

Bxi

` νB2 〈Ui〉

BxnBxn

,

ñBui

Bt`〈Un〉0

Bui

Bxn

`B 〈Un〉

Bxl

xl

Bui

Bxn

`un

B 〈Ui〉

Bxn

`un

Bui

Bxn

“ ´1ρ

Bp

Bxi

`νB2ui

BxnBxn

.

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Equações no domínio da frequênciap : Transformada de Fourier no espaço tridimensional

pf pkq “ F r f spkq “1

p2πq3

ż

R3f pxqe´ik¨xd3x.

i: unidade imaginária,

O operador é estendido por continuidade às distribuiçõestemperadas,

k: módulo do vetor número de onda k “ pk1, k2, k3q P R3.

Bun

Bxn

“ 0 pÑ i kn pun “ 0 ô k K pu.

A equação de balanço de quantidade de movimento contémcoeficientes não constantes (lineares em x) e termos não linearese de pressão. Por isto, a equação correspondente para cadacomponente pui é obtida após manipulações mais elaboradas. Nãoconstituem um sistema fechado.

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Relação entre covariância e espectro⟨

pui˚pk, tq pu jpk, tq

⟩

“ Φi, jpk, tq δ0.

δ0: Delta de Dirac centrada em k “ 0 (a igualdade vale no sentido

das distribuições).

˚: conjugação complexa em escalares e transposição com

conjugação de vetores em geral.

Espectro Φ “ Transformada de Fourier do Tensor de Reynolds:

Ri jpr, tq “⟨

uipx, tqu jpx ` r, tq⟩

,

Portanto,

Ri jp0, tq “⟨

uipx, tqu jpx, tq⟩

“

ż

R3Φi, jpk, tq d3k.

Φ é a densidade espectral do Tensor de correlação de Reynolds.

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Caracterização do tensor Ri j a partir de Φi j

Teorema de Cramér (generaliza o teorema de Khintchine paraprocessos estocásticos estacionários contínuosmultidimensionais).Na versão para processos homogêneos:

A condição necessária e suficiente para Ri j constituir o tensor decorrelação de um processo estocástico homogêneo contínuo é quesua Transformada de Fourier Φi j seja uma forma quadráticasemidefinida positiva absolutamente integrável.

Uma outra restrição sob Φ é imposta pela incompressibilidade:

Φk “ 0

A preservação destas propriedades pelo fluxo gerado pelasequações espectrais não é imediata.

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Equações espectrais da turbulência

BΦi, j

Bt´ B 〈Um〉

Bxn

„km

BΦi, j

Bkn

` 2km

k2

`kiΦn, j ` k jΦi,n

˘´

`δimΦn, j ` δ jmΦi,n

˘

`ikn

“Φi,n j ´ Φni, j

‰´ i

knkm

k2

“k jΦi,nm ´ kiΦnm, j

‰` 2νk2Φi, j “ 0.

Singularidade na origem Ñ condições iniciais fornecidas para k , 0.

Outras estatísticas envolvidas: espectros cruzados de ordem três,

Φi, jn δ0 “⟨

pui˚

`pu j ˚ pun

˘⟩“⟨

pui˚

`yu jun

˘⟩,

e

Φi j,n δ0 “⟨`

pui ˚ pu j

˘˚ pun

⟩

“⟨`

yuiu j

˘˚ pun

⟩

.

São responsáveis por forçar o sistema linear homogêneo e compensar oefeito dissipativo do termo com ν.

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Rapid Distorsion Theory (RDT)

BΦRi, j

Bt´ B 〈Um〉

Bxn

«km

BΦRi, j

Bkn

` 2km

k2

´kiΦ

Rn, j ` k jΦ

Ri,n

¯´

´δimΦ

Rn, j ` δ jmΦ

Ri,n

¯ff

` 2νk2ΦRi, j “ 0,

ou

BΦRi, j

Bt´ Cnmkm

BΦRi, j

Bkn

“ Cnm

2km

k2

´kiΦ

Rn, j ` k jΦ

Ri,n

¯´ CniΦ

Rn, j ´ Cn jΦ

Ri,n ´ 2νk2ΦR

i, j.

Nove EDPs de primeira ordem lineares homogêneas (vale o Princípio de

superposição de soluções) com o mesmo operador:

BBt

´ Cnmkm

BBkn

.

Portanto, temos uma única família de características.

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Equações das características

$’’’’’’&’’’’’’%

dt

dτ“ 1

dk

dτ“ ´Ck

dΦR

dτ“ MΦR ` ΦRM˚,

onde M é a matriz real

Mpkq “ ´νk2 Id `ˆ

2kk˚

k2´ Id

˙C˚,

que contém “metade” dos termos,

´2νk2ΦRi, j ` Cnm

2km

k2

´kiΦ

Rn, j ` k jΦ

Ri,n

¯´ CniΦ

Rn, j ´ Cn jΦ

Ri,n.

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Projeção das características

$’&’%

dt

dτ“ 1 ñ t “ τ` t0 “ τ

dk

dτ“ ´Ck ñ kpτq “ e´Cτkp0q “ pId ´Cτqkp0q.

Projeção das características:

Retas pτ, k1p0q, k2p0q, k3p0q ´ C31τk1p0qq P R4 que por sua vez projetam

como retas no espaço k exceto se k1 “ 0,

pk1p0q, k2p0q, k3p0q ´ C31τk1p0qq P R3.

A informação se propaga ao longo de retas K ao plano pk1, k2q.

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Fluxo autônomo vs. propriedades de ΦR

O sistema,dΦR

dτ“ MΦR ` ΦRM˚,

dk

dτ“ ´Ck

preserva

a condição de ΦR ser hermitiana.

a perpendicularidade ΦRk “ 0.

a condição de ΦR ser semidefinida positiva.

Preservar significa que começando com um dado inicial com determinada

propriedade, esta é mantida quando τ muda.

Representação canônica a K b

ΦR “ aa˚ ` bb˚

Ñ procurar soluções da forma aa˚ Ñ Princípio de superposição.Qual seria o sistema de equações natural para a?

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Sistema de equações para a (b)

da

dτ“ Ma,

temos

daa˚

dτ“ Maa˚ ` apMaq˚ “ Maa˚ ` aa˚M˚.

Preservamos também ΦRk “ 0 desde que ak “ 0 para τ “ 0.

O mesmo para b.

Construimos

ΦR “ aa˚ ` bb˚

automaticamente

ΦR é hermitiana e semidefinida positiva.

dΦR

dτ“ MΦR ` ΦRM˚.

Em geral, a˚p0qbp0q “ 0; a˚b “ 0. Não preserva ortogonalidade entrea e b.

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Autovalores de Φ:

Além do autovalor nulo, temos os autovalores

λ1,2 “ |a|2 ` |b|2 ˘a

p|a|2 ´ |b|2q2 ` 4|a˚b|22

.

λ1 “ λ2 ô a K b, |a| “ |b|

É o caso isotrópico.

Dois autovalores iguais é uma caracterização de isotropia no modelo

incompressível!

Caso contrário, uma medida da anisotropia é dada por

λ1

λ2“ |a|2 ` |b|2 `

ap|a|2 ´ |b|2q2 ` 4|a˚b|2

|a|2 ` |b|2 ´a

p|a|2 ´ |b|2q2 ` 4|a˚b|2.

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Invariantes de Φ:

trpΦq “ Φii “ |a|2 ` |b|2,

12

`ptrpΦqq2 ´ trpΦ2q

˘“ |a|2|b|2 ´ |a˚b|2,

detpΦq “ 0.

Espectro da energia cinética da turbulência

Eepk, tq “ 12

ż

|k|“k

Φiipk, tq d2k.

Φi jpk, tq “ Eepk, tq4πk2

ˆδi j ´ kik j

k2

˙

Lei de Kolmogorov dos cinco terços para a faixa inercial:

Eepkq “ αe ǫ23e k´ 5

3 .

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Equação para o traço da matriz aa˚

tr aa˚ “ a˚a “ |a|2:

d|a|2dτ

“ ´ˆ

2ν|k|2 ` a˚pC˚ ` Cqa

|a|2˙

|a|2.

Quociente de Rayleigh: RpC˚ ` C, aq “ a˚pC˚`Cqa

|a|2P r´|C31|, |C31|s.

Utilizando desigualdade de Gronwall e outras estimativas...

e´2νtk2

ˆ1`

C231 t2

6 `|C31 t|

6

?C2

31t2`9

˙´|C31|t

Eepk, 0q ď ERe pk, tq

e

ERe pk, tq ď e

´2νtk2

ˆ1`

C231 t2

6 ´|C31 t|

6

?C2

31t2`9

˙`|C31|t

Eepk, 0q.

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Conclusões / Trabalhos futuros

ERe pk, tq não pode zerar em tempo finito (se inicialmente, 0).

O modelo RDT comporta um único estado estacionário, asaber, o identicamente nulo.

Parece mais viável um escalamento próximo da isotropia doque uma faixa isotrópica no espectro (no sentido estrito deum autovalor repetido).

Na ausência de isotropia os dois invariantes são importantes.

As direções a e b dos autovetores ortogonais dão a descriçãomais completa do problema.

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Referências

P. A. Davidson, Y. Kaneda, K. Moffatt, K. R. Sreenivasan, Voyage

Through Turbulence, Cambridge University Press, 2011.

R. G. Deissler. “Turbulent Fluid Motion”, Taylor & Francis,

Philadelphia, PA, USA, 1998.

A. S. Monin and A. M. Yaglom. “Statistical fluid mechanics:

Mechanics of turbulence”, volume 2. MIT Press, Cambridge,

Massachusetts, 1975.

S. B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press,

Cambridge, 2000.

P. Sagaut e C. Cambon, Homogeneous Turbulence Dynamics,

Cambridge University Press, 2008.

A. A. R. Townsend, The Structure of Turbulent Shear Flow,Cambridge University Press, 1956.

– p. 26/27

Muito obrigada!

– p. 27/27