Post on 18-Nov-2020
Distribuições de probabilidade devariáveis aleatórias discretasUniversidade Estadual de Santa Cruz
Ivan Bezerra Allaman
Cronograma
1. Distribuição Bernoulli
2. Distribuição Binomial
3. Distribuição Poisson
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DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI
Jakob Bernoulli. De 1965 a 1705
É uma das distribuição mais simplesde probabilidade;
Experimentos que consistem emapenas uma única tentativa econsequentemente tendo sucessoou fracasso, podem utilizar estadistribuição para o cálculo deprobabilidades.
·
·
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Seja um experimento que consisteno lançamento uma única vez deuma moeda;
Seja o evento de interesse osurgimento da face cara;
Logo, denominamos o evento deinteresse como sucesso,representado pela letra p e o outrocomo fracasso, representado por 1-p.
·
·
·
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Portanto, a função de probabilidade é dada por:
com parâmetros
Seja Y o número de sucessos em um única tentativa doexperimento. Então Y assume o valor 0 que corresponde aofracasso, com probabilidade , ou o valor 1, que correspondeao sucesso, com probabilidade . Logo:
1 − p
p
Y = {0
1
fracasso com P(Y = 0) = 1 − p
sucesso com P(Y = 1) = p
P(Y = y) = ⋅py q1−y
E(Y) = p e VAR(Y) = pq
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Experimentos que consistem emmais de uma tentativa e cujo osvalores possíveis são sucesso oufracasso, podem utilizar estadistribuição para o cálculo deprobabilidades;
Percebam que uma variável comdistribuição binomial consiste de ntentativas independentes de umavariável com distribuição Bernoulli.
Denotamos Y com distribuiçãobinomial como: .
·
·
·Y ∼ B(n,p)
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A função de probabilidade é dada por:
com parâmetros
P(Y = y) = ( )n
ypyqn−y
E(Y) = np e VAR(Y) = npq
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Aplicação
1. Cinquenta por cento dos norte-americanosacreditavam que o país se encontrava emrecessão, não obstante, tecnicamente, aeconomia não apresentar dois semestres seguidosde crescimento negativo. Em relação a umaamostra de 20 norte-americanos, faça osseguintes cálculos.
a. Calcule a probabilidade de exatamente 12pessoas acreditarem que o país se encontravaem recessão.
Vamos identificar primeiramente a variável aleatória de interesse
Y. Neste caso a variável de interesse são os americanos que
acreditavam que o país se encontravam em recessão. Então p que a
probabilidade de sucesso é de 0,5. O tamanho da amostra n é 20.
Portanto efetuando os cálculos tem-se:
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b. Calcule a probabilidade de não mais que cincopessoas acreditarem que o país se encontrava emrecessão.
c. Quantas pessoas você acha que diriam que o paísse encontrava em recessão?
O quanto eu espero é sinônimo de esperança. Logo,
P(Y = 12) = ( ) ⋅ 0, ⋅ 0,20
12512 520−12
= 125970 ⋅ 0, ⋅ 0,512 58
= 0, 1201
P(Y ≤ 5) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5)
= 0, 0207
E(Y) = 20 ⋅ 0, 5 = 10
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d. Calcule a variância e o desvio padrão do númerode pessoas que acreditavam que o país seencontrava em recessão?
VAR(Y) = npq = 20 ⋅ 0, 5 ⋅ 0, 5 = 5
= = 2, 24σY 5‾√
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DISTRIBUIÇÃO POISSON
É uma distribuição utilizada em casos que envolvemcontagens e cuja a probabilidade de ocorrência desucesso no intervalo é proporcional ao intervalo;
A ocorrência ou não-ocorrência em determinadointervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em outro intervalo;
Como exemplo podemos citar:
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·
carros que chegam a um caixa automático drive-thru durante um período de 15 minutos nasmanhãs de fins de semana;
erros tipográficos por página, em um materialimpresso;
mortes por ataque de coração por ano, numacidade;
·
·
·
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A função de probabilidade é dada por:
com parâmetros
P(Y = y) =e−λ
λy
y!
E(Y) = λ e VAR(Y) = λ
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Aplicação
2. Os passageiros de uma empresa aérea chegamaleatória e independentemente ao balcão decontrole de passageiros de um importanteaeroporto internacional. A taxa média dechegada são 10 passageiros por minuto.
a. Calcule a probabilidade de ninguém chegar noperíodo de um minuto.
A taxa média é o lambda ( ).λ = 10/min
P(X = 0) =⋅e−10 100
0!
= 0, 0000454
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b. Calcule a probabilidade de três ou menospassageiros chegarem no período de um minuto.
c. Calcule a probabilidade de ninguém chegar em umperíodo de 15 segundos.
Precisamos encontrar a taxa média para 15segundos já que a taxa média atual é para umminuto. Com uma regra de três simplesencontramos um lambda de 2,5. Logo,
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) +
+P(X = 3) = 0, 01034
P(X = 0) =⋅ 2,e−2,5 50
0!
= 0, 0821
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d. Calcule a probabilidade de pelo menos umpassageiro chegar em um período de 15 segundos.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0)
= 1 − 0, 0821 = 0, 9179
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