Distribuições de probabilidade devariáveis aleatórias discretasUniversidade Estadual de Santa Cruz

Ivan Bezerra Allaman

Cronograma

1. Distribuição Bernoulli

2. Distribuição Binomial

3. Distribuição Poisson

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DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI

Jakob Bernoulli. De 1965 a 1705

É uma das distribuição mais simplesde probabilidade;

Experimentos que consistem emapenas uma única tentativa econsequentemente tendo sucessoou fracasso, podem utilizar estadistribuição para o cálculo deprobabilidades.

·

·

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Seja um experimento que consisteno lançamento uma única vez deuma moeda;

Seja o evento de interesse osurgimento da face cara;

Logo, denominamos o evento deinteresse como sucesso,representado pela letra p e o outrocomo fracasso, representado por 1-p.

·

·

·

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Portanto, a função de probabilidade é dada por:

com parâmetros

Seja Y o número de sucessos em um única tentativa doexperimento. Então Y assume o valor 0 que corresponde aofracasso, com probabilidade , ou o valor 1, que correspondeao sucesso, com probabilidade . Logo:

1 − p

p

Y = {0

1

fracasso com P(Y = 0) = 1 − p

sucesso com P(Y = 1) = p

P(Y = y) = ⋅py q1−y

E(Y) = p  e  VAR(Y) = pq

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Experimentos que consistem emmais de uma tentativa e cujo osvalores possíveis são sucesso oufracasso, podem utilizar estadistribuição para o cálculo deprobabilidades;

Percebam que uma variável comdistribuição binomial consiste de ntentativas independentes de umavariável com distribuição Bernoulli.

Denotamos Y com distribuiçãobinomial como: .

·

·

·Y ∼ B(n,p)

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A função de probabilidade é dada por:

com parâmetros

P(Y = y) = ( )n

ypyqn−y

E(Y) = np  e  VAR(Y) = npq

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Aplicação

1. Cinquenta por cento dos norte-americanosacreditavam que o país se encontrava emrecessão, não obstante, tecnicamente, aeconomia não apresentar dois semestres seguidosde crescimento negativo. Em relação a umaamostra de 20 norte-americanos, faça osseguintes cálculos.

a. Calcule a probabilidade de exatamente 12pessoas acreditarem que o país se encontravaem recessão.

Vamos identificar primeiramente a variável aleatória de interesse

Y. Neste caso a variável de interesse são os americanos que

acreditavam que o país se encontravam em recessão. Então p que a

probabilidade de sucesso é de 0,5. O tamanho da amostra n é 20.

Portanto efetuando os cálculos tem-se:

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b. Calcule a probabilidade de não mais que cincopessoas acreditarem que o país se encontrava emrecessão.

c. Quantas pessoas você acha que diriam que o paísse encontrava em recessão?

O quanto eu espero é sinônimo de esperança. Logo,

P(Y = 12) = ( ) ⋅ 0, ⋅ 0,20

12512 520−12

= 125970 ⋅ 0, ⋅ 0,512 58

= 0, 1201

P(Y ≤ 5) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5)

= 0, 0207

E(Y) = 20 ⋅ 0, 5 = 10

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d. Calcule a variância e o desvio padrão do númerode pessoas que acreditavam que o país seencontrava em recessão?

VAR(Y) = npq = 20 ⋅ 0, 5 ⋅ 0, 5 = 5

= = 2, 24σY 5‾√

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DISTRIBUIÇÃO POISSON

É uma distribuição utilizada em casos que envolvemcontagens e cuja a probabilidade de ocorrência desucesso no intervalo é proporcional ao intervalo;

A ocorrência ou não-ocorrência em determinadointervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em outro intervalo;

Como exemplo podemos citar:

·

·

·

carros que chegam a um caixa automático drive-thru durante um período de 15 minutos nasmanhãs de fins de semana;

erros tipográficos por página, em um materialimpresso;

mortes por ataque de coração por ano, numacidade;

·

·

·

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A função de probabilidade é dada por:

com parâmetros

P(Y = y) =e−λ

λy

y!

E(Y) = λ  e  VAR(Y) = λ

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Aplicação

2. Os passageiros de uma empresa aérea chegamaleatória e independentemente ao balcão decontrole de passageiros de um importanteaeroporto internacional. A taxa média dechegada são 10 passageiros por minuto.

a. Calcule a probabilidade de ninguém chegar noperíodo de um minuto.

A taxa média é o lambda ( ).λ = 10/min

P(X = 0) =⋅e−10 100

0!

= 0, 0000454

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b. Calcule a probabilidade de três ou menospassageiros chegarem no período de um minuto.

c. Calcule a probabilidade de ninguém chegar em umperíodo de 15 segundos.

Precisamos encontrar a taxa média para 15segundos já que a taxa média atual é para umminuto. Com uma regra de três simplesencontramos um lambda de 2,5. Logo,

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) +

+P(X = 3) = 0, 01034

P(X = 0) =⋅ 2,e−2,5 50

0!

= 0, 0821

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d. Calcule a probabilidade de pelo menos umpassageiro chegar em um período de 15 segundos.

P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0)

= 1 − 0, 0821 = 0, 9179

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