Características das variáveis aleatórias

Por: E. Seno FE-UAN - 2006

1

Material para os estudantes do 2.º ano

CARACTERÍSTICAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS


2

Características (Medidas) das v. a.

Valor esperado = Esperança matemática (média)

Variância, Desvio-padrão e Coeficiente de variação

Covariância

Coeficiente de Correlação


3

Valor esperado

Definição:

Centro de gravidade da distribuição de probabilidade da variável aleatória

Matematicamente:

• Para variável discreta:

• Para variável contínua:

∑=

==N

iiix xfxXE

1)(.)( µ

∫+∞

∞−

== dxxfxXE x )(.)( µ


4

Valor esperado

Exemplo – v. a. d.:

No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode-se calcular o número esperado de faces, da seguinte forma:

Ou, seja:

.5,1375,075,0375,00125,03375,02375,01125,00

)(.)(.)(4

11

=+++==×+×+×+×=

=== ∑∑== i

ii

N

iii xfxxfxxE

x 0 1 2 3 ∑

f(x) = 0,125 0,375 0,375 0,125 1

x.f(x) 0 0,375 0,75 0,375 1,5


5

Valor esperado

Exemplo – v. a. c.: :

No caso da variável a. contínua, calculamos o valor esperado da variável cuja função de densidade édada por:

Da seguinte forma:

30 ; 41

18)(0 x ; 0

3 ; 0⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤+=<

>x

xxxf

.625,1023

41

33

181

241

3181

41

18)(.)(

233

0

23

3

0

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×== ∫∫

+∞

∞−

xx

dxxxdxxfxxE


6

Valor esperado

Propriedades:

1. E(a) = a

aadxxfadxxafaE

aaxfaxafaE i

N

i

N

ii

====

====

∫∫

∑ ∑

∞+

∞−

∞+

∞−

= =

1.)()()(

,ou

,1.)()()(1 1


7

Valor esperado

Propriedades:

2. E(X+Y) = E(X) + E(Y)

(Podemos demonstrar para o caso de uma v. a. Discreta)

)()()()(

),(),(),(

),(),()()(

11

1 1111 1

11

YEXEyfyxfx

yxfyyxfxyxfy

yxfxyxfyxYXE

jy

N

jjix

M

ii

N

j

M

ijij

N

jji

M

iiji

M

i

N

jj

M

i

N

jjii

M

i

N

jjiji

+=+=

=+=+

+=+=+

∑∑

∑ ∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

==

= ==== =

= == =


8

Valor esperado

Propriedades:

3. E(a + bX) = E(a) + bE(X) = a + bE(X)

4. Valor esperado conjunto:

contínua a. v.para ,),(),(

,

discreta a. v.para ,),(),(),(1

∫ ∫

∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

= =

=

=

dxdyyxxyfYXE

ou

yxfyxYXEM

i

N

jjiji


9

Valor esperado

Propriedades:

5. Valor esperado conjunto de variáveis aleatórias independentes: E(XY) = E(X).E(Y)E(XY) = E(X).E(Y)

contínua a. v.para ,)().()(.)(

)().(),(),(

,

discreta a. v.para ,11

11

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∑∑

∑∑∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

==

= == =

==

===

==

===

YEXEdyyyfdxxxf

dxdyyfxxyfdxdyyxxyfYXE

ou

E(X).E(Y))(yfy.)(xfx

)(y)f(xf.yx),y)f(x,y(xE(X,Y)

yx

yx

N

jjyj

M

iixi

M

i

N

jjyixji

M

i

N

jjiji


10

Valor esperado

Propriedades:

6. Valor esperado de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas), isto é E(XE(X11) = E(X) = E(X22) = ) = ……= E(X= E(XNN) ) e V(XV(X11) = V(X) = V(X22) = ) = …… = V(X= V(XNN))

)(.)(...)()(

)(...)()()...( vezesN

2121

XENXEXEXE

XEXEXEXXXE NN

=+++=

=+++=+++4444 84444 76


11

Valor esperado

Propriedades:

7. Valor esperado condicionado

∫∫

∑∑

∫∫

∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

==

∞+

∞−

∞+

∞−

==

==

==

==

==

dy(x)f

f(x,y)yyf(y\x)dyE(Y\X)

, )(xf),yf(x

y)\xf(yyE(Y\X)

dx(y)f

f(x,y)xxf(x\y)dxE(X\Y)

, )(yf),yf(x

x)\yf(xxE(X\Y)

x

ix

jiN

jjij

N

jj

y

jy

jiM

iiji

M

ii

ou

:X dado Y De

ou

:Ydado X De

11

11


12

Variância

Definição:

Valor esperado do quadrado do desvio entre a variável e o seu valor esperado, ou seja:

σ2 = V(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – E2(X)

Onde:

E, E2(X) = [E(X)]2

contínuas variáveispara ; )(.

ou,

discretas, variáveispara ; )(.)(

22

1

22

dxxfx)E(X

xfxXE i

N

ii

∫

∑

∞+

∞−

=

=

=


13

Variância

Exemplo – v. a. d.:

No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode-se calcular a variância do número esperado de faces, da seguinte forma:

%.7,5757735,05,1

866,0)(

.866,075,0

.75,0)5,1(3)()()(

.3125,15,1375,00125,03375,02375,01125,00

)(.)(.)(

2

2222

2222

4

1

2

1

22

====

===

=−=−==

=+++==×+×+×+×=

=== ∑∑==

XECv

XEXEXV

xfxxfxxEi

ii

N

iii

σσσ

σ


14

Variância

Exemplo – v. a. c.:

Voltando ao exemplo anterior:

%7,5252736,0625,1

85696,0)(

.85696.073438,0

.73438,0)625,1(375,3)()()(

.375,3033

41

43

181

341

4181

41

18)(.)(

2

2222

343

0

34

3

0

222

====

===

=−=−==

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×== ∫∫

+∞

∞−

XECv

XExEXV

xx

dxxxdxxfxxE

σσσ

σ


15

Variância

Propriedades:

1. V(X) ≥ 0

2. V(a) = 0V(a) = E[a – E(a)]2 = E(a – a)2 = E(0) = 0.

3. V(b.X) = E[bX – E(bX)]2 = E[bX – bE(X)]2 == E{b[X – E(X)]}2 = E{b2.[X – E(X)]2} == b2.E[X – E(X)]2 = b2.V(X)


16

Variância

Propriedades:

4. V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2.Cov(XY)

[ ] [ ][ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ]

444 3444 21

m

xyCov

YEXEXYEYVXVYEXEYEXEYEXEXYE

YVXVYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXE

YEYXEXEYXEYXEYXV

)()()(2)()()()()()()()()(2

)()()(.)(2)()()()(

)()()()()(222

22

−±+==+−−±

±+=−−±±−+−=−±−

=±−=±−±=±


17

Variância

Propriedades:

5. V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y independentes, porque neste caso:

E(XY) = E(X)E(Y).

6. V(a + bX) = b2.V(X)

7. Variância de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas):

)(.)(...)()(

)(...)()()...( vezesN

2121

XVNXVXVXV

XVXVXVXXXV NN

=+++=

=+++=+++4444 84444 76


18

Covariância

Definição:

Medida de associação entre as variáveis (em termos absolutos)

Covxy = E(XY) – E(X)E(Y)Logo, se X e Y são independentes ⇒ Covxy =0.Mas o contrário nem sempre é verdade

Se Covxy > 0 ⇒ Relação directa entre as variáveis, evoluem no mesmo sentido;

Se Covxy < 0 ⇒ Relação inversa entre as variáveis, evoluem em sentidos opostos. Se uma aumenta, outra diminui e vice-versa.


19

Coeficiente de correlação

Definição:

Medida de associação entre as variáveis (em termos relativos)

|rxy| ≤ 1; Logo, se X e Y são independentes ⇒ rxy = 0.Mas o contrário nem sempre é verdade

Em relação ao sinal, avalia-se o sentido da relação;

Em relação à grandeza do valor, avalia-se a força darelação.

[ ][ ][ ] [ ] yx

xyxy

Cov

YEYEXEXE

YEYXEXErσσ

=−−

−−=

22 )(.)(

)()(


20

Coeficiente de correlação

Definição – cont.:

Em relação ao sinal:Se rxy > 0 ⇒ relação directa;Se rxy < 0 ⇒ relação inversa.

Em relação à grandeza:Se 0 < |rxy| ≤ 0,5 ⇒ relação fraca;Se 0,5 < |rxy| < 1 ⇒ relação forte;Se |rxy| = 1 ⇒ correlação total.


21

Parâmetros de vectores aleatórios

Exemplos:

Calcule os coeficientes de correlação para as v. a. com as funções de probabilidade e de densidade conjuntas que se seguem:

Função de probabilidade conjunta de X e Y

Y 2 3 4 5

X

0 0,2 0,06 0,05 0

1 0,05 0,1 0,04 0,15

2 0,04 0,06 0,05 0,2


22


Exemplos:

Função de densidade conjunta de X e Y

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≤≤≤≤

21

21 ;

21

21 ,

21

contrário caso 0),(

y-x-

yxf


23


Exemplos – resolução (v. a. Discretas):

Comecemos por determinar o valor esperado conjuntoE(XY) = ΣΣxy.f(x,y) = 4,23

Y 2 3 4 5 Σ

X

0 0 0 0 0 0

1 0,1 0,3 0,16 0,75 1,31

2 0,16 0,36 0,4 2 2,92

Σ 0,26 0,66 0,56 2,75 4,23


24



Calculemos de seguida os valores esperados marginais de cada variável:

E(X) = Σx.fx(x) = 1,04; E(Y) = Σy.fy(y) = 3,55

Y 2 3 4 5 fx(xi) xi.fx(xi)

X

0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0

1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34

2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 0,7

fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,04

yj.fy(yj) 0,58 0,66 0,56 1,75 3,55


25



Calculemos E(X2) e E(Y2)

E(X2) = Σx2.fx(x) = 1,74 ; E(Y2) = Σy2.fy(y) = 14,1

Y 2 3 4 5 fx(xi) xi2.fx(xi)

X

0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0

1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34

2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 1,4

fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,74

yj2.fy(yj) 1,16 1,98 2,24 8,75 14,1


26



Cálculo da covariância:Covxy = E(XY) – E(X).E(Y) = 4,23 – 1,04x3,55 = 0,538.

Variâncias:V(X) = E(X2) – E2(X) = 1,74 – (1,04)2 = 0,6584.V(Y) = E(Y2) – E2(Y) = 14,1 – (3,55)2 = 1,5275.

Covxy = 0,536 > 0 ⇒ X e Y aumentam no mesmo sentido;Covxy = 0,536 > 0,5 ⇒ Э correlação forte entre X e Y.

%.6,53536,05275,16584,0

538,0==

×==

yx

xyxy

Covr

σσ


27



Valor esperado condicional de X:

.44828,029,004,02

29,005,01

29,02,00

)2()2;()2\()2\(

2

0

2

0

=×+×+×=

===== ∑∑== x yx f

xfxYxxfYXE

X f(xi;2) f(xi\Y=2) xi.f(xi\Y=2)

0 0,2 0,6897 0

1 0,05 0,1724 0,17241

2 0,04 0,1379 0,27586

Σ 0,29 1 0,44828


28



Valor esperado condicional de Y:

.85,334,015,05

34,004,04

34,01,03

34,005,02

)1();1()1\()1\(

5

2

5

2

=×+×+×+×=

===== ∑∑== y xy f

yfyXyyfXYE

y 2 3 4 5 Σ

f(1;yj) 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34

f(yj\X=1) 0,15 0,29 0,12 0,44 1

yj.f(yj\X=1) 0,29 0,88 0,47 2,21 3,85


29


Exemplos – resolução (v. a. contínuas):

Comecemos por determinar o valor esperado conjunto

0.22

1.21

21),()(

21

21

21

21

221

21

21

21

21

21

21

21

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

===

∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

∞+

∞−

∞+

∞−

dyxydyxdxy

xydxdydxdyyxxyfXYE


30



Cálculo dos valores esperados marginais de X e de Y:

.02

1)()(

e

.02

1)()(

21

21

21

21

∫∫

∫∫

+

−

∞+

∞−

+

−

∞+

∞−

===

===

ydydyyyfYE

xdxdxxxfXE

y

x


31



Cálculo de E(X2) e E(Y2)

V(X) = V(Y) = E(X2) – E2(X) =

61)()(

61

221

221

321

321

21)()(

22

21

21

3

21

21

222

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

===

+

−

+

−

∞+

∞−∫∫

XEYE

x

dxxdxxfxXE x

Características das variáveis aleatórias

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