Post on 14-Jul-2015
Professor Arthur Moraes Cremonezi 1
Cálculo Diferencial e Integral 3
Coordenadas Esféricas
LEMBRETE - Conversão de Coordenadas(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas paracoordenadas retangulares, usamos as equações
cosx r θ= sy r enθ= z z=
enquanto que para converter de coordenadasretangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamosas equações
2 2 2r x y= + tg
y
xθ =
z z=
R é o raio do cilindro em relação ao eixo z.
é o ângulo entre o
eixo positivo e o vetor
.OPuuur
z
é o mesmo ângulo queem coordenadascilíndricas.
Sistema de Coordenadas Esféricas
•
θ
P = ( ), ,ρ θ φ
•
φ
onde
ρ
ρ =
x
y
z
O
OPuuur
θ
φ
Note que:
0ρ ≥ 0 φ π≤ ≤
È a distânciade P até aorigem
Sistema de Coordenadas Esféricas
Conversão de Coordenadas(Esféricas - Retangulares)
•
θ
P = ( ), ,ρ θ φ
•
φρ
x
y
z
O
P = ( ), ,x y z
x
y
⋅
⋅
'P = ( ), ,0x y
r
z
φ
Q ⋅
Do triângulo retângulo , temos'OPP
cosz
φρ
= cosz ρ φ=
senr
φρ
= senr ρ φ=
Do triângulo retângulo , obtemos'QOP
⇒
⇒
( )i
( )ii
cosx
rθ = cosx r θ=
seny
rθ = seny r θ=
⇒
⇒
( )iii
( )iv
cossenx ρ φ θ= sen seny ρ φ θ=
também, a distância entre dois nos mostrta que
Para converter de coordenadas esféricas para
coordenadas retangulares, substituímos em para
encontrar a coordenada e substituímos em para
encontrar a coordenada , daí
( )ii ( )iii
x ( )ii ( )iv
y
cosz ρ φ=
usamos este resultado para converter de coordenadasretangulares para coordenadas esféricas.
2ρ =2
OPuuur
=2 2 2
x y z+ +
8
Exemplo 1:
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera
( ) 11222 =−++ zyx
Exemplo 2:
9
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone
22yxz +=
10
Integral tripla em Coordenadas Esféricas
∫ ∫ ∫
∫∫∫
=
=
=
2
1
2
1
2
1
d d
d d
),,(
2
2
θ
θ
φ
φ
ρ
ρ
θφρφρ
θφρφρ
θφρ
dsen
dsendV
dVfR
Exemplo 3:
11
Usando Coordenadas esféricas calcule o volume do “sorvete de casquinha”
cortado da esfera sólida e pelo cone1≤ρ3
πφ =
Exemplo 4:
12
Se um ponto P tem coordenadas esféricas , encontre suascoordenadas cartesianas.
3,
6,4
ππ
Exemplo 5:
13
Transforme a equação para coordenadascartesianas
θφρ cos2sen=
Exemplo 6:
14
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado
acima pela esfera e abaixo pelo cone16222 =++ zyx
22yxz +=